BertJanssen-RelatividadGeneral-34

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B
A=0
B=0
γ
2
γ
1
Figura 1.8: El efecto Aharonov-Bohm: electrones emitidos por una fuente, pasan alrededor de un solenoide.
El campo magnético ~B fuera del solenoide es cero, sin embargo el potencial ~A no. Clásicamente los electro-
nes no estan influenciados por el flujo magnético dentro del solenoide. Cuánticamente la función de ondas
acoge una fase, que da lugar a un patrón de interferencias en una pantalla (detector).
fuente de electrones y la pantalla colocamos un solenoide por el cual pasa una corriente (véase
figura 1.8). Ya hemos visto en la sección 1.2 que el solenoide genera un campo magnético ~B = 0
fuera y ~B = I~ez dentro del solenoide. Tomando por simplicidad el radio del solenoide a cero,
manteniendo el flujo magnético Φ =
∫∫
~B · ~n d2x constante, el potencial que genera este campo
magnético en coordenadas cilı́ndricas (con el eje z a lo largo del solenoide) viene dado por
~A =
Φ
2πr
~eϕ. (1.89)
Efectivamente, a través de la expresión para el rotacional en coordenadas cilı́ndricas,
~∇× ~A =
(
r−1∂ϕAz − ∂zAϕ
)
~er +
(
∂zAr − ∂rAz
)
~eϕ + r
−1
(
∂r(rAϕ) − ∂ϕAr
)
~ez, (1.90)
no es difı́cil de comprobar que con esta expresión ~B es cero en todo el espacio, menos en el origen
r = 0.
Clásicamente los electrones no notan la presencia del flujo magnético, puesto que ~B = 0 a
lo largo de toda su trayectoria (y por lo tanto la fuerza de Lorentz es cero). Sin embargo en la
mecánica cuántica, al conectar el flujo, la función de ondas de los electrones acoge un factor de
fase
Ψ(0)(~r) → Ψ( ~A) = exp
(
− icq
~
∫ ~r
∞
~A(~r ′) · d~r ′
)
Ψ(0)(~r). (1.91)
Debido a esta fase, el comportamiento en la pantalla será diferente. La probabilidad de encontrar
el electrón en la posición ~r viene dado por el cuadrado de la norma de la suma de las dos contri-
buciones, una por cada camino γ1 y γ2, por encima y por debajo del solenoide respectivamente
(véase figura 1.8):
P ∼
∣
∣
∣Ψγ1(~r) + Ψγ2(~r)
∣
∣
∣
2
. (1.92)
En general la contribución de los dos caminos causará un patrón de interferencias en la pantalla,
debido a que en algunos puntos las dos contribuciones se anulan, mientras en otros puntos se
suman.
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