BertJanssen-RelatividadGeneral-74

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|e’ >
|e’ > xy
|e’ > |e’ >xy
|v>
|e >
|e >
|e >x x
y
y|e > = |v>
Figura 4.2: El cambio de base (4.40) con a = 2
√
2 y b =
√
2/2 (izquierda) y a = b = 2
√
2 (derecha). En
el segundo caso, una base ortonormal transforma en otra base ortogonal, pero no normalizada.
bajo un ángulo π4 en sentido contrarreloj. Por otro lado, si a = b 6= 1, M−1 transforma una base
ortonormal en una base ortogonal, pero no normalizada, puesto que aparte de una rotación con
ángulo π4 , escalea los vectores de base con un factor a
2.
Sea ahora {|ei〉} una base ortonormal, es decir
|ex〉 =
(
1
0
)
, |ey〉 =
(
0
1
)
. (4.41)
Entonces la nueva base {|e′i〉} viene dada en función de los vectores de la base vieja como (4.4)
|e′x〉 =
a√
2
|ex〉 +
b√
2
|ey〉, |e′y〉 = −
a√
2
|ex〉 +
b√
2
|ey〉, (4.42)
y vice versa
|ex〉 =
1√
2a
|e′x〉 −
1√
2a
|e′y〉, |ey〉 =
1√
2b
|e′x〉 +
1√
2b
|e′y〉. (4.43)
Un vector |v〉, que en la base {|ei〉} tiene componentes |v〉 =
√
2b|ey〉 tiene en la nueva base la
forma |v〉 = |e′x〉 + |e′y〉, puesto que por (4.5)
( 1√
2a
1√
2b
− 1√
2a
1√
2b
)(
0
√
2b
)
=
(
1
1
)
. (4.44)
Una aplicación lineal 〈w| = 〈ex| + 2〈ey| tendrá en la base {〈e′i|} componentes
〈w| = a + 2b√
2
〈e′x| + −a + 2b√
2
〈e′y|, (4.45)
o bien por (4.16), o bien por la la multiplicación de matrices
(
1 2
)
( a√
2
− a√
2
1√
2b
b√
2
)
=
(
a+2b√
2
−a+2b√
2
)
. (4.46)
El producto escalar entre los vectores 〈w| y |v〉 tiene el mismo valor en las dos bases {|ei〉} y
{|e′i〉}, ya que
〈w|v〉 = wivi = 0 + 2
√
2b = 2
√
2b
= w′iv
′i =
a + 2b√
2
+
−a + 2b√
2
= 2
√
2b. (4.47)
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