BertJanssen-RelatividadGeneral-95

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Capı́tulo 6
Variedades y cambios de
coordenadas generales
No hay Camino Real hacia la geometrı́a.
(Euclides, cuando Ptolomeo I le preguntó si no habı́a
una manera más sencilla de aprender matemáticas)
En la sección 5.4 hemos visto que el intento de incluir la gravedad en el formalismo de la
relatividad especial sugiere que el espaciotiempo no es R1,3, sino algo que localmente parece
plano, aunque globalmente no necesariamente lo sea. La geometrı́a de estas variedades curvas
es una generalización de la geometrı́a euclı́dea y en la Parte II de este libro introduciremos las
herramientas matemáticas necesarias para trabajar en variedades curvas, en particular las pro-
piedades algebráicas y geométricas que resultarán imprescindibles para la descripción relativista
de la gravedad.
6.1. Breve historia de la geometrı́a no-euclı́dea
Los Elementos de Euclides (ca. 325 - ca. 265 a. C.) es sin duda uno de los libros más influentes
de la historia de la ciencia.1 Escrito en Alejandrı́a (Egipto) alrededor del año 300 a. C., la obra
consiste en realidad en 13 libros que tratan la mayorı́a de las matemáticas conocidas entonces,
pero los Elementos son realmente conocidos por su estudio de la geometrı́a plana y la geometrı́a
espacial. Durante más de 2000 años los Elementos han sido el texto estándar por excelencia sobre
la geometrı́a de espacios planos, tanto que esta última se suele denominar también geometrı́a
euclı́dea.
La causa de la admiración que los matemáticos siempre han sentido hacia los Elementos es su
estrictametodologı́a: partiendo solamente de definiciones y postulados, Euclides logra demostrar
cerca de 500 proposiciones (teoremas), utilizando sólo las definiciones, postulados y proposicio-
nes anteriormente demostrados. Este rigor, que respira toda la obra, ha influenciado a generacio-
nes de cientı́ficos y durante siglos el estudio de los Elementos formaba parte de cualquier carrera
universitaria.
De los cinco postulados que usa Euclides para construir su geometrı́a, los primeros cuatro
son afirmaciones bastante directas sobre puntos, rectas, cı́rculos y angulos rectos, pero el quinto
1Desde su primera edición imprenta en 1482 en Venecia, han sido publicadas por lo menos 1000 ediciones. Sólo de la
Biblia se han publicado más ediciones.
95
	II Geometría Diferencial
	Variedades y cambios de coordenadas generales
	Breve historia de la geometría no-euclídea