Razones trigonométricas de ángulos agudos

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DEFINICIóN
Son los diferentes cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, con 
respecto a uno de sus ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ACB, respecto al ángulo agudo A definimos:
θA
B
C
a
b
c
Se cumple:
• Ángulos complementarios
m+A + m+B = 90°
• Teorema de Pitágoras
a2 + b2 = c2
senq = hipotenusa
cateto opuesto
c
a=
cosq = hipotenusa
cateto adyacente
c
b=
tanq = cateto adyacente
cateto opuesto
b
a=
cotq = cateto opuesto
cateto adyacente
a
b=
secq = cateto adyacente
hipotenusa
b
c=
cscq = cateto opuesto
hipotenusa
a
c=
 pROpIEDADES DE LAS RAzONES TRIGONOMéTRICAS
Razones trigonométricas recíprocas
Para un mismo ángulo, si el producto de dos razones trigonométricas es igual a la unidad, entonces son 
recíprocas.
senacsca = 1 sena = csc
1
α
cosaseca = 1 cosa = sec
1
α
tanacota = 1 tana = cot
1
α
Ejemplo:
Calcula b + 20°, si b es agudo: 
sen36°cscb = 1
sen36° = csc
1
β
 sen36° = senb
b agudo:
& b = 36°
` b + 20° = 56°
Nota:
Sean a, b, q, x, y, z, ángulos agudos:
senacscx = 1 & a = x
cosbsecy = 1 & b = y
tanqcotz = 1 & q = z
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Sean a y b ángulos complementarios (a + b = 90°), se cumple:
sena = cosb tana = cotb seca = cscb
Ejemplos:
• sen40° = cos50° • tan70° = cot20° • sec30° = csc60°
Razones trigonométricas de ángulos agudos
Atención
Se	 puede	 afirmar	 para	 un	
mismo	ángulo:
	sen	y	csc
Recíprocos	 	cos	y	sec
	tan	y	cot
A C
B
b
a
α
c
Sabemos	que:
a	<	b		/		c	<	b
Entonces:
b
a 	<	1		/		 b
c 	<	1
sena	<	1		/		cosa	<	1
Análogamente:
csca	>	1		/		seca	>	1
Nota
Razones trigonométricas de ángulos notables
Estas razones se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde la proporción entre sus lados y la 
medida de sus ángulos interiores es conocida.
sen cos tan cot sec csc
30° 2
1
2
3
3
1
3 3
2 2
60°
2
3
2
1 3
3
1 2
3
2
45°
2
1
2
1 1 1 2 2
37°
5
3
5
4
4
3
3
4
4
5
3
5
53°
5
4
5
3
3
4
4
3
3
5
4
5
30°
2k
k
60°
3 k
k
k
45°
45°
2k
3k5k
4k
53°
37°
A partir de estos triángulos rectángulos se pueden obtener otros notables:
a
45°/2
135°
2
a( 2 + 1)
a
37°/2
3a
143°
2
10 a
a
53°/2
2a
127°
25 a
Ejemplos:
1. Calcula tan15°, en:
60° 15°
2
2B
1
C
A
P15°30°
2 + 3
3
Resolución:
En el triángulo ACB notable de 30° y 60° 
prolongamos CB hasta el punto P, tal que BP = BA. 
Luego, ABP isósceles; en el TACP:
m+ APC = 15°
Entonces:
tan15° = 
2 3
1
+
2. En la figura, halla x:
A
C
30°
53°
6
E
B
P
x
Resolución:
El triángulo rectángulo BCD es notable de 53° y 37°, 
como BC = 6, entonces: BP = 2
15
En el triángulo isósceles BPA: BP = AP = 2
15
Luego en el APE notable de 30° y 60°, se tiene:
x AP2=
` x 4
15=
Observación
Otros	triángulos	notables
k82°
8°
7 k
5 2 k
7 k
74°
16°
24 k
25 k
Observación
Para	 el	 triángulo	 notable	 de	
15°	y	75°	se	cumple:
M
N
a
O
75° 15°
4a
R
MR
NO
4
1=