Gravitación Universal

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GRAVITACIÓN UNIVERSAL
I. Teorías
1. Teoría Geocéntrica
* Precursor: Aristóteles
* Propuesto por el griego Claudio 
Ptolomeo (II d.C.) y enuncia que
los planetas, incluido el Sol, 
orbitan alrededor de la Tierra en 
trayectorias circulares. 
* El orden de las trayectorias a 
partir de la Tierra es: Luna, 
Mercurio, Venus, Sol, Marte, 
Júpiter, Saturno y estrellas fijas
2. Teoría Heliocéntrica
* Precursor: Aristarco de Samos
* Propuesto en 1543 por el 
astrónomo polaco Nicolás 
Copérnico (1473−1543). Planteó 
que el centro del sistema 
planetario es el Sol y que en torno 
a él giran la Tierra y el resto de 
los planetas excepto la Luna, que 
gira en torno a la Tierra
* El orden de las trayectorias es:
* El 7 de enero de 
1610, Galileo Galilei 
descubrió la existencia 
de 4 satélites, 
mediante el uso del 
telescopio, del planeta 
Júpiter. Dando así la 
validez a la teoría 
heliocéntrica
II. Leyes de Kepler
1. Concepto
a. Ley de las Órbitas (1ERA Ley)
* Fue publicado en su obra Astronomía Nova en 1609
* Propone que los planetas orbitan en trayectorias elípticas alrededor del Sol, donde el Sol se ubica en uno de los 
focos de la trayectoria descrita por cada planeta
· Donde:
VectorRadior :

AphelioA :
PerihelioP :
R: Semieje mayor o 
distancia media al Sol
2
máxmín rrR


· Además:
b: Semieje menor
c: Distancia del foco al 
centro de la elipse
222 cbR 
· Sabías que:
πRbElipseA
* Cuando Newton demuestra esta ley, encuentra que la 
curva de la trayectoria seguida por los planetas presentan 
una excentricidad (e) menor a 1
1
R
c
e Para la Tierra: e=0,017
b. Ley de las Áreas (2DA Ley)
* Fue publicado en su obra Astronomía Nova en 1609
* Propone que el radio vector barre áreas iguales en el 
mismo intervalo de tiempo
· Si: 21 AA  21 tt 
* Newton al demostrar la 2da Ley de Kepler, encontró:
cte
T
A
t
A
t
A
t
A
Areolar
Rapidez Elipse



2
2
1
1
Periodo de Traslación
* Además, Newton se percató que:
c. Ley de los Periodos (3ERA Ley)
* También conocido como la Ley Armónica
* Fue publicado en su obra Harmonice Mundi en 1619
* Propone que el cuadrado del periodo de traslación de los 
planetas es proporcional al cubo del semieje mayor de su 
trayectoria alrededor del Sol
3
2
2
2
3
1
2
1
R
T
R
T

Donde:
* Newton al demostrar 
esta ley, encuentra la 
siguiente expresión: MGR
T
.
4 2
3
2 

Masa del cuerpo 
respecto del cual 
se orbita
OBS.: 
* Las leyes de Kepler es un estudio 
cinemático del movimiento planetario
* Las leyes de Kepler se pueden extender al 
movimiento de satélites alrededor de sus respectivos 
planetas
* Las leyes de Kepler se pueden emplear en cualquier 
sistema solar
* Kepler nunca indicó el por qué los planetas orbitan 
alrededor del Sol 
Además: 
hT
nariogeoestacio
satélite 24
añoT
terrestre
traslación 1
.. 1 10.5,1 11 AUmR
terrestre
órbita 
kgMTierra 10.6
24
kgM Sol 10.2
30
Sabías que
2. Preguntas
27. Con relación a las leyes de Kepler señale la veracidad 
(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La distancia media de un planeta al sol está definido 
como la semisuma de los ejes de la elipse.
II. El cubo del período de un planeta es proporcional al 
cuadrado de su distancia media al Sol.
III. Sólo los planetas que se encuentran muy cerca al Sol 
describen orbitas elípticas.
Rpta. 
I. FALSA
Ya que se obtiene de la 
siguiente manera: 2
máxmín
media
rr
d


II. FALSA
Ya que la tercera ley enuncia lo siguiente: Cte
R
T

3
2
Semieje mayor o 
distancia media al Sol
III. FALSA
Ya que todos los planetas desarrollarán trayectorias 
elípticas sin importar que tan cercano o lejano se 
encuentran del Sol
28. Respecto de las leyes de Kepler, indique la veracidad 
(V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes:
I. Sólo son aplicables al sistema solar o sistema planetario.
II. De acuerdo a la primera ley, un planeta desarrolla una 
órbita elíptica alrededor del sol.
III. El cuadrado del periodo de traslación de la Luna, entre 
el cubo del semieje mayor de su órbita alrededor de la 
Tierra, es igual al cuadrado del periodo de la Tierra entre 
el cubo del semieje mayor de su órbita alrededor del Sol.
Rpta. 
I. FALSA
Ya que se puede aplicar para cualquier sistema 
planetario
II. VERDADERA
· Para la Luna:
III. FALSA
Ya que:
TL
L
MGR
T
.
4 2
3
2 

· Para la Tierra:
ST
T
MGR
T
.
4 2
3
2 

Masa de 
la Tierra
Masa del 
Sol
3
2
3
2
T
T
L
L
R
T
R
T

29. En la figura, determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) y marque 
la alternativa correspondiente. (CEPRE 2020-I)
I. La constante de Kepler (3era ley) depende de las masas m1 y m2
II. El planeta de masa m2 tiene un periodo mayor que el del planeta de masa m1
III. Si m1 = m2, entonces las velocidades angulares con que se mueven los planetas 
1 y 2 son iguales.
Solución: * Piden V o F
* Veamos:
I. FALSA
Ya que la constante de Kepler depende de M
MGR
T
R
T
kKepler
.
4 2
3
2
2
2
3
1
2
1 
II. VERDADERA
Ya que:
3
2
2
2
3
1
2
1
R
T
R
T

Como:  21 RR 21 TT 
III. FALSA
Ya que:
MGR
T
.
4 2
3
2 

3
2
.2
R
MG
T





 
32.. RMG 
Con ello:
3
2
2
2
3
1
2
1 ... RRMG  
Como:  21 RR 21  
3. Problemas
30. Si el Sol agota su combustible hasta que 
su masa se reduce a 1/4 de la que tiene 
actualmente, en qué porcentaje cambiaría 
el periodo de rotación de la Tierra. 
(PARCIAL 2020-I)
Solución: * Piden %ΔT
* Veamos:
· Al Inicio:
MG
R
T
.
.4 322
0


· Al Final:
)4/.(
.4 322
MG
R
T f









MG
R
T f
.
.4
4
32
2 
2
0
2 4TT f  02TT f 
* Por último:
0
0
%
T
TT
T
f 

1
2
%
0
00 


T
TT
T
32. Determine el periodo (en meses) 
del planeta, si al ir de A hasta B emplea 
4 meses, además, al ir de B hasta C el 
radio vector barre el 30% del área total 
de la elipse.
Solución: * Piden T
* A partir del enunciado:
· Sea: Aelipse = S
· De la 2da Ley 
de Kepler: T
A
t
A Elipse
AB
AB 
T
SS

4
5/ mesesT 20
34. Una de las lunas de Júpiter, Ío, describe una órbita de radio medio 4,22x108 m y un periodo 1,53x105 s. Calcule 
el radio medio (en m) de otra de las lunas de Júpiter, Calisto cuyo periodo es 1,44x106 s. Dato: (88,56)1/3 ≃ 4,45. 
(UNI 2014-I)
Solución: * Piden R2
* A partir del enunciado:
· De la 3era Ley de Kepler:
3
2
2
2
3
1
2
1
R
T
R
T

3
2
25
38
25 )10.4,14(
)10.22,4(
)10.53,1(
R

2
5
53
8
2
10.53,1
10.4,14
10.22,4 











 R
 2
3
8
2 411,9
10.22,4





 R
56,88
10.22,4
3
8
2 




 R
45,4
10.22,4 8
2 
R
mR 82 10.7,18
35. El cometa Borrelly se acerca al Sol a una distancia mínima de 1,35 U.A. y su período orbital es de 6,8 años. 
¿Qué tan lejos del Sol, en U.A., viajará el cometa Borrelly antes de que inicie su viaje de regreso? Distancia media 
Tierra - Sol: 1 U.A. = 1,5×108 km
Solución: * Piden rmáx.
* A partir del enunciado:
· De la 3era Ley de Kepler:
3
2
3
2
B
B
R
T
R
T

· Recordar:
..2 máxmínB rrR 
3
2
3
2 8,6
1
1
BR

.. 59,3 AURB 
· Con ello:
..2 máxmínB rrR 
.35,1)59,3.(2 máxr
.. 83,5. AUrmáx 
III. Ley de la Gravitación Universal
1. Concepto
* Fue planteado en 1687 por Sir Isaac Newton en su 
obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
* Enuncia que toda partícula en el Universo atrae a 
todas las demás partículas con una fuerza 
directamente proporcional al producto de las masas 
de las partículas, e inversamente proporcional al 
cuadrado de la distancia que las separa.
* Veamos:
2
..
d
mMG
FG  2
2
11 .10.67,6
kg
mN
G 
G: Constante Universal
* Características de la Fuerza Gravitacional (FG)
· Cumple con la 3ERA Ley de Newton
· Es una fuerza a larga distancia
· Cumple con el Principio de Superposición
· Es atractiva
· Mediante esta fuerza se demuestra las 3 Leyes de Kepler
* Características de la constante G:
· Fue hallado casualmente por Sir Henry Cavendishen 
1798
· Se puede emplear en cualquier sistema solar
· Su valor nos indica la fuerza con la cual se atraen dos 
cuerpos de 1 kg cada uno separadas por 1 m de distancia
Fuerza Gravitacional
2. Pregunta
36. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones:
I. Si dos cuerpos se atraen gravitacionalmente, el 
de mayor masa experimenta mayor fuerza.
II. La constante de gravitación universal G, 
representa la fuerza con que se atraen dos 
partículas de masa 1 kg que se encuentran 
separadas entre sí una distancia de 1 m.
III. La ley de gravitación universal descubierta 
por Newton solo es válida para el Sistema 
Planetario Solar.
Rpta. 
I. FALSA
Ya que por la 3era Ley de Newton, los cuerpos 
se atraen con la misma magnitud de fuerza
II. VERDADERA
III. FALSA
Ya que se puede aplicar para cualquier sistema 
planetario
3. Problemas
38. La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna y la 
distancia que separa los centros de ambos cuerpos es 4×108 m. 
¿A qué distancia (en m) del centro de la Tierra se ubica un 
satélite para que se encuentre en equilibrio? (UNI 2001-II)
Solución: * Piden x
* A partir del enunciado:
· Donde:
LT FF 
2
0
2
0 ....
L
L
T
T
d
mMG
d
mMG

22 )4(
81
x
m
x
m


xx 

4
19
mx 810.6,3
40. En el gráfico se muestran tres masas 
puntuales donde M = 50 kg y m = 20 kg. 
Calcule aproximadamente la magnitud de 
la fuerza gravitacional (en 10-7 N) que 
actúa sobre la masa m debido a las masas 
M. (G = 6,673x10‒11 N∙m2/kg2)
Solución: * Piden FR
* A partir del enunciado:
· Del gráfico:  53cos2FFR













5
3
.
..
2
2d
mMG
FR








2
11
5,0
)20).(50).(10.673,6(
5
6
RF
NFR
710.2,3 
42. Se tiene un sistema conformado 
por dos estrellas de igual masa M y 
separadas una distancia d. Estas 
estrellas orbitan alrededor del 
punto medio de la línea que une sus 
centros. El radio de estas estrellas 
es mucho menor que d, de modo 
que se puede considerar a las 
estrellas como masas puntuales. 
Determine la rapidez de dichas 
estrellas. (CEPRE 2020-I)
Solución: * Piden V
* A partir del enunciado:
· Del gráfico:
Gcp FF 
2
..
.
d
MMG
aM cp 
2
2 .
d
MG
R
V

2
2 .
5,0 d
MG
d
V

d
MG
V
2
.

IV. Campo Gravitatorio
1. Concepto
* Es el medio por el cual se darán las interacciones gravitacionales
* Veamos:
Campo 
Gravitatorio de M 
∙ Recordar: m
d
MG
FG .
.
2

∙ Como FG DP m:
2
.
d
MG
m
F
g GP 
Unidad: 
N/kg <> m/s2
Intensidad de Campo Gravitatorio 
o Aceleración de la Gravedad
∙ Con ello:
2sup
.
R
MG
g 
  sup
2
2
.
.
g
hR
R
hR
MG
gext 









44. Considerando que la masa de Júpiter es igual a 300 veces la masa de la tierra y su radio es igual a 10 veces el radio 
de la tierra, ¿cuál será el peso (en N), en el planeta Júpiter de un bloque que en la Tierra pesa 60 N? (PARCIAL 2013-II)
Solución: * Piden FJ
* A partir del enunciado:
· Para la Tierra:
TT gmF .Donde:







2
.
.60
R
MG
m
· Para Júpiter:
2
.
J
J
J
R
MG
g Donde:
2)10(
)300.(
R
MG
g J 
TJJ gg
R
MG
g 3
.
3
2

Ahora:
JJ gmF .
)3.( TJ gmF 
)60.(3).(3  TJ gmF
NFJ 180
2. Problemas
46. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra es de 625 N. Calcule aproximadamente a que altura 
(en km) su peso es de 576 N. Considere el radio de la Tierra es 6370 km. (g = 9,81 m/s2) (UNI 2019-II)
Solución: * Piden h
* Del enunciado:
· En la superficie: NgmF 625. sup.sup 
· En el exterior: NgmF extext 576. .. 
· Ahora:
 
576
625
.
. sup

extgm
gm
 
576
625
. sup
2
sup








g
hR
R
g
 
576
625
2





 
R
hR
 
24
25


R
hR
 R
24
1
h
kmh 42,265
48. El volumen de un planeta A es 8 veces el volumen de 
la Tierra. Encuentre la aceleración de la gravedad en la 
superficie del planeta A si su masa es 3 veces la masa de 
la Tierra. (g es la aceleración en la superficie de la Tierra) 
(UNI 2020-I)
Solución: * Piden gA
* Para la Tierra:
2
.
TR
MG
g 
* Para el planeta A:
· Donde:
2
.
A
A
A
R
MG
g 
· Dado que: TA VolVol 8






 33 π.
3
4
.8π.
3
4
TA RR
TA RR 2
· Con ello: 2
.
A
A
A
R
MG
g 
2)2(
)3.(
T
A
R
MG
g 







2
.
.
4
3
T
A
R
MG
g
ggA
4
3

50. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra (en 
términos de su radio R) el valor de la aceleración de la 
gravedad es el 25 % de su valor a nivel del mar? 
(CEPRE 2007-II)
Solución: * Piden h
* Del enunciado:
· Recordar:
sup
2
.g
hR
R
gext 







sup
2
sup .%.25 g
hR
R
g 







2
4
1








hR
R
hR
R


2
1
Rh 
· Donde: