ARITMETICA 2024

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CICLO 
VIRTUAL 
2024-0 
BOLETÍN 
01 
 TEORIA DE CONJUNTOS 
 NUMERACIÓN 
 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS 
 NUMEROS RACIONALES 
 
 
 
 
 2 
 
 
I. NOCION DE CONJUNTO: 
 Un conjunto es un ente matemático por lo 
cual se puede tener una idea subjetiva de 
ello, como colección agrupación o reunión 
de objetos abstractos o concretos 
denominados elementos. 
 Ejemplos: 
 -Los días de la semana. 
 -Los países de América del Sur. 
 -Los jugadores de un equipo de fútbol. 
 
1.1 NOTACION DE CONJUNTO 
 Generalmente se denota a un conjunto 
con símbolos que indiquen superioridad y 
a sus elementos mediante variables o 
letras minúsculas separados por comas y 
encerrados con llaves. 
 Ejemplos: A = {a, e, i, o, u} 
 B = {los días de la semana} 
 C = {cara, sello} 
 
1.2 RELACION DE PERTENENCIA 
 Se establece esta relación sólo de 
elemento a conjunto y expresa si el 
elemento indicado forma parte o no del 
conjunto considerado. 
 “. . . pertenece a . . .” : ∈ 
 “. . . no pertenece a . . .” : ∉ 
 Ejemplo: C = �1 ; 2 ; {1,2} ; 5 ; {6}� 
 
• 2 ∈ C • 8 ∉ C • {1; 2} ∈ C 
• 5 ∈ C • 6 ∉ C • 1 ; 2 ∈ C 
 
1.3 DETERMINACION DE UN CONJUNTO 
 Consiste en precisar correctamente que 
elementos forman parte del conjunto. 
Puede hacerse de dos formas: 
 
Por Extensión (forma tabular) 
Cuando se indica generalmente a todos y 
cada uno de los elementos. 
Ejemplos: A = {a, e, i, o, u} 
 D = {2,4,6,8} 
Es evidente que el orden en el cual son 
listados los elementos del conjunto no afecta 
el hecho de que pertenezcan a él. De este 
modo en el conjunto. 
 A = {a, e, i, o, u} = {a, o, u, i, e} 
 
No todos los conjuntos pueden ser 
determinados por extensión, entonces se 
recurre a otra forma de determinación. 
 
Por Comprensión (forma constructiva) 
Cuando se enuncia una propiedad que 
caracteriza a todos los elementos del 
conjunto, de tal manera que cada objeto que 
goza de la propiedad pertenece al conjunto y 
todo elemento del conjunto goza de la 
propiedad mencionada. 
 Esquema: 
 “tal que” 
𝐹𝐹 = �. . . .� / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .������������������ 
 
 
 
Ejemplos: 
 A = {n/n es una vocal} 
 B = {los números pares menores que 13} 
 C = {n2 - 1 / n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ 7} 
 
1.4 DIAGRAMA DE VENN - EULER 
Son regiones planas limitadas por figuras 
geométricas cerradas que se utilizan para 
representar gráficamente a los conjuntos, así: 
Ejemplo: 
 
𝐴𝐴 = {1 , 8 , 27 , 64} 
 
Observación: 
Otro diagrama para representar gráficamente 
a los conjuntos es: 
 
DIAGRAMA DE LEWIS CARROL 
 
 
 
Forma 
General 
del Elemento 
Características o propiedad 
común de la variable que forma 
el elemento 
A 
.1 
.8 .64 
.27 
 
 
 
 3 
 
 Hombres Mujeres 
 Fuman 
 No Fuman 
Se observa que: 
 
 Hombres que fuman 
 
 Mujeres que no fuman 
 
1.5 NUMERO CARDINAL 
 El número cardinal de un conjunto (A) nos 
indica la cantidad de elementos diferentes 
que posee y se denota por: n(A). 
 Ejemplos: 
• A = {5, 6, 6, 5} → n(A) = 2 
• B = {x/x ∈ N ∧ 3 < x < 9} → n(B) = 5 
 
II. CLASES DE CONJUNTOS 
 Los conjuntos se clasifican teniendo en 
cuenta la cantidad de elementos 
diferentes que poseen, según esto 
tenemos: 
 
2.1 FINITO 
 Si posee una cantidad limitada de 
elementos, es decir el proceso de contar 
sus diferentes elementos termina en algún 
momento. 
 Ejemplo: 
 A = {3n + 2 / n ∈ ℤ ∧ 1 ≤ n ≤ 4} 
 A es finito pues n(A) = 4 
 
 B = {x/x es un día de la semana} 
 B es finito pues n(L) = 7 
 
2.2 INFINITO 
 Si posee una cantidad ilimitada de 
elementos es decir el proceso de contar 
sus diferentes elementos no termina 
nunca. Ejemplo: 
 M = {x / x ∈ Q ∧ 1 ≤ x ≤ 2} 
 M es infinito pues n(M) = . . . . ? 
 Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} 
 Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ? 
 
III. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 
 
3.1 INCLUSION ( ⊂ ) 
 Se dice que A está incluido en otro 
conjunto B, si todos los elementos de A 
pertenecen a B. 
 Se denota: A ⊂ B 
 Se lee: “A está incluido en B” 
 “A está contenido en B” 
 “A es subconjunto de B” 
 Representación: 
 
 A ⊂ B ≡ ∀ x ∈ A : x ∈ A → x ∈ B 
 
 Gráficamente: 
 
 
 
 Ejemplos: 
 
 1) A = {p, q} 
 B = {p, q, r, s} 
 
 ⇒ A ⊂ B 
 
 
 2) D = {2, 4, 6} 
 
 E = {1, 2, 3, 5} 
 
 Se observa que D no está contenido en E, 
en ese caso se denota: D ⊄ E 
 
 Observaciones: 
 Todo conjunto está incluido en sí mismo 
o es subconjunto de sí mismo. 
 ∀ A : A ⊂ A 
 El conjunto vacío está incluido en todo 
conjunto. 
 ∀ A : ∅ ⊂ A 
 
 
A 
B 
.p 
.q 
A 
B 
.r 
.s 
D E 
.4 
.6 
.2 
.1 
.3 
.5 
 
 
 
 4 
3.2 IGUALDAD 
 Se dice que dos conjuntos son iguales 
cuando ambos poseen los mismos 
elementos. 
 Ejemplo: 
 A = {3n+2 / n ∈ Z ∧ 1 ≤ n ≤ 4} 
 
 B = {5, 14, 8, 11} 
 
 
 se observa: A = B 
 Se define: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A 
 
3.3 CONJUNTOS COMPARABLES 
 Dos conjuntos A y B son comparables 
cuando sólo uno de ellos está incluido en 
el otro, es decir: 
 A ⊂ B ó B ⊂ A 
 Ejemplo: 
 A = {3, 5, 7} ; B = {1, 3, 5, 7, 9} 
 ⇒ A y B son comparables, 
 Porque: A ⊂ B. 
 
3.4 CONJUNTOS DISJUNTOS 
 Se dice que dos conjuntos son disjuntos 
cuando no poseen elementos comunes. 
 Ejemplo: GRAFICA 
 A = {2, 3, 4} 
 B = {5, 6, 7} 
 ∴ A y B 
 son disjuntos 
 
3.5 CONJUNTOS EQUIPOTENTES O 
COORDINABLES 
 “Para hablar de estos conjuntos de alguna 
forma, el proceso de contar sus elementos 
siempre termina”. 
 Dos conjuntos serán coordinables cuando 
el número de sus elementos son iguales. 
 Ejemplo: 
 A = {10, 11, 12} 
 B = {m, n, p} 
 ∴ A y B son equipotentes 
 
 Simbólicamente: A < > B ⇔ n ( A ) = n (B) 
IV. CONJUNTOS ESPECIALES 
 
4.1 CONJUNTO NULO O VACIO 
 Es aquel conjunto que carece de 
elementos. 
 Notación: “∅” ó { } 
 
 ⇒ A = B = ∅ = { } 
 
 Ejemplo: 
 A = {x/x es el actual INCA del Perú} 
 B = {x/x ∈ N ∧ 7 < x < 8} 
 
Nota: El conjunto vacío “∅” es 
subconjunto de todo conjunto. 
 
4.2 CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON 
 Es aquel conjunto que tiene un solo 
elemento. 
 Ejemplo: 
 A = {x / x ∈ ℤ ∧ 10 < x < 12} = {11} 
 B = {2, 2, 2, 2, . . . } = {2} 
 
4.3 CONJUNTO UNIVERSAL (U) 
 Es un conjunto referencial para el estudio 
de una situación particular, que contiene a 
todos los conjuntos considerados. No 
existe un conjunto universal absoluto. 
 Ejemplo: 
 A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6} 
 Podrían ser conjuntos universales 
 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ; U = {x/x ∈ N} 
 
* Gráficamente el conjunto universal se 
representa generalmente mediante el 
rectángulo. 
 Ejemplo: 
 A = {x/x es peruano} 
 B = {x/x es colombiano} 
 ⇒ U = {x/x es americano} 
 
 
 
 
 
.1 
.3 
.5 
.2 
.4 .5 
.6 
U = N 
A B 
.5 
.8 
.14 
.11 
A B .2 
.3 .4 
.5 
.6 .7 
 
 
 
 5 
 4.4 CONJUNTO DE CONJUNTOS O 
FAMILIA DE CONJUNTOS 
 Es aquel conjunto cuyos elementos son 
todos conjuntos. 
 Ejemplos: 
 A = { {2, 3}, {3}, {a}, {6, b}, ∅ } 
 B = { {a, b, c}, {2, 3, 6}, {6}, c, 8 } 
 Se observa que: 
 A es familia de conjuntos 
 B no es familia de conjuntos 
 
4.5 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO 
DE PARTES 
 Dado un conjunto A, el conjunto potencia 
de A está formado por toda la familia de 
subconjuntos de A. 
 Notación: P ( A ) 
 Ejemplo: A = {a, b, c} 
 
 Subconjuntos propios de A 
 
P (A) = { ∅ , {a} , {b} , {c} , {a, b}, {a, c},{b, c} , {a, b, c} } 
 
 vacío unitarios binarios ternario 
 
⇒ n [ P (A) ] = 23= 8 
 
 Simbólicamente: P (A) = {X/X ⊂ A} 
 
 Observaciones: 
* Si un conjunto A tiene “n” elementos 
entonces el número de subconjuntos de A 
es 2n, es decir: n[P(A)] = 2n 
 
* Los subconjuntos propios de A son 
aquellos subconjuntos diferentes al 
conjunto A, entonces: 
 
 # de subconjuntos propios de A = 2n − 1 
 
 Ejemplo: 
 Si n(A) = 5; entonces el número de 
subconjuntos es: 
 
 n[P(A)] = 25= 32; además 
 # subconjuntos propios de: 
 A = 25 − 1 = 31 
 
* Para determinar la cantidad de 
subconjuntos K-arios de un conjunto A, se 
utiliza la fórmula: 
 
 # de subconjuntos de “k” elementos = Ck
n(A) 
 
NUMERO CARDINAL DE LA UNION DE 
CONJUNTOS. 
 
Para dos conjuntos: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B) 
 
para dos conjuntos disjuntos 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 
 
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
1. Unión o reunión 
La unión de los conjuntos A y B denotado por 
“A ∪ B” es el conjunto formado por los 
elementos de ambos conjuntos. 
 
Simbólicamente se expresa como: 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = �
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∨ 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵
� 
Ejemplo: 
Si: A = {1; 3; 5 } y B = {2; 4; 6} 
entonces: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
Representación grafica 
 
 
 
 
 
 
Propiedades 
- 𝐴𝐴 ∪ 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈 
- 𝐴𝐴 ∪ 𝜙𝜙 = 𝐴𝐴 
- 𝐴𝐴 ∪ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 
- 𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)∪ 𝐶𝐶 
- 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∪ 𝐴𝐴 
- Si 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 
- 𝐴𝐴 ⊂ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) 𝑦𝑦 𝐵𝐵 ⊂ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) 
A B 
 A ∪ B A ∪ B A ∪ B = B 
B 
A 
B A 
 
 
 
 6 
2. Intersección 
La intersección de los conjuntos A y B 
denotado por “A ∩ B” es el conjunto formado 
por los elementos que pertenecen a los dos 
conjuntos a la vez (elementos comunes). 
Simbólicamente se expresa como: 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = �
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵
� 
Ejemplo 
Si: A = {2; 4; 6} y B = {4; 6; 8}, 
entonces: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {4; 6} 
Representación grafica 
 
 
 
 
 
Propiedades 
- 𝐴𝐴 ∩ 𝑈𝑈 = 𝐴𝐴 
- 𝐴𝐴 ∩ 𝜙𝜙 = 𝜙𝜙 
- 𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 
- 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴 
- 𝐴𝐴 ∪ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴 
- 𝐴𝐴 ∩ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴 
- Si 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 
- Si A y B son disjuntos, entonces 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝜙𝜙 
 
3. Diferencia 
La diferencia de los conjuntos A y B denotado 
por “𝐴𝐴−𝐵𝐵” , es el conjunto formado por los 
elementos de A pero no de B. Simbólicamente 
se expresa como: 
𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = �
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∧ 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵
� 
Ejemplo: 
Si: A = {a, b, c} y B = {b, c, m, n} 
Entonces: A − B = {a} 
 
Representación grafica 
Propiedades 
- 𝐴𝐴 − 𝐴𝐴 = 𝜙𝜙 𝐴𝐴 −𝜙𝜙 = 𝐴𝐴 𝜙𝜙−𝐴𝐴 = 𝜙𝜙 
- 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ⊄ 𝐵𝐵 
- 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)−𝐵𝐵 
- 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 − (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 
- 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ⊂ 𝐴𝐴 
- (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)∩ (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴) = 𝜙𝜙 
- (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)∩ (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴 
 
4. Diferencia simétrica 
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B 
denotado por “A D B” es el conjunto formado 
por los elementos de A y B, pero menos los 
elementos que pertenecen a los dos conjuntos 
a la vez (elementos comunes). 
Simbólicamente se expresa de la siguiente 
manera: 
 
𝐴𝐴Δ𝐵𝐵 = �
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ∈ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∧ 𝑥𝑥 ∉ (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
� 
ó 
𝐴𝐴Δ𝐵𝐵 = �
𝑥𝑥
𝑥𝑥 ∈ (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) ∨ 𝑥𝑥 ∈ (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴)
� 
de donde: 
𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)− (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 
𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)∪ (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴) 
Ejemplo: 
Si A = {4; 5; 6; 7; 8} y B =
{7; 8; 9; 10; 11} 
⇒ A △ B = {4; 5; 6; 9; 10; 11} 
Representación grafica 
 
 
 
 
 
 
Propiedades 
- 𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 △ 𝐴𝐴 
- (𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵)△ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 △ (𝐵𝐵 △ 𝐶𝐶) 
- 𝐴𝐴 △ 𝐴𝐴 = 𝜙𝜙 
- 𝐴𝐴 △ 𝜙𝜙 = 𝐴𝐴 
- Si 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = 𝜙𝜙 
- 
B A A B 
 A − B = ∅ 
B 
A 
𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩 𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩 = ∅ 𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩 = 𝑨𝑨 
B A A B B 
A 
B A A B 
 A Δ B A Δ B = A ∪ B A Δ B = B − A 
B 
A 
 
 
 
 7 
 5. Complemento de un conjunto 
Si A es subconjunto de U entonces el 
complemento de A con respecto a U 
denotado por A’, Ac o CA es el conjunto 
formado por los elementos de U, pero no de 
A. Simbólicamente se expresa de la siguiente 
forma: 
{ }= - = Î Ù Ï'A U A x x U x A 
Ejemplo: 
𝑆𝑆𝑆𝑆:𝐴𝐴 = {2; 3; 4; 5} 𝑦𝑦 
 U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
Entonces 𝐴𝐴' = 𝑈𝑈 − 𝐴𝐴 = {1; 6} 
Representación grafica 
 
 
 
 
 
Propiedades 
- (𝐴𝐴') = 𝐴𝐴 𝑈𝑈' = 𝜙𝜙 
- 𝜙𝜙' = 𝑈𝑈 𝐴𝐴△ 𝐴𝐴' = 𝑈𝑈 
- 𝐴𝐴'∩ 𝐴𝐴 = 𝜙𝜙 (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)' = 𝐴𝐴'∩ 𝐵𝐵' 
- (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)' = 𝐴𝐴'∪ 𝐵𝐵' 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Cuántas proposiciones son falsas en: 
B={ 3 ; {3} ; 0 ; { {4} } ; 5 } 
I. 3∈B IV. {0}∈B VII. {0,3}∈B 
II. {3}∈B V. {{4}}⊂ B VIII. {{3}} ∈ B 
III. {3}⊂ B VI. φ ⊂ B IX. {{3},3}⊂ B 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
2. Dados los conjuntos A, B y C 
subconjuntos del conjunto de los 
números naturales: 
A = {2 x/x ∈ ℕ, x < 6} 
B = �
y + 4
2
/y ∈ A� 
 C = �2m+1
3
/m ∈ B� 
¿Cuántos elementos tiene C? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
3. Hallar (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦); si A y B son unitarios: 
𝐴𝐴 = �√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 ; 5� 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = �√𝑥𝑥 −�𝑦𝑦 ; 3� 
a) 3 b) 5 c) 17 d) – 1 e) 23 
 
4. Sabiendo que el conjunto: 
𝐴𝐴 = {𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ; 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 − 2 ; 10} ; es un 
conjunto unitario, ¿Cuál es el valor de: 𝑎𝑎2 +
𝑏𝑏2? 
a) 16 b) 80 c) 68 d) 58 e) 52 
 
5. ¿Cuántos subconjuntos tiene A?; Si: 
𝐴𝐴 = { √2𝑥𝑥 + 1 𝜖𝜖 ℕ / 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℕ ; 2 ˂ 𝑥𝑥 ˂15} 
a) 16 b) 8 c) 4 d) 64 e) 32 
 
6. Sean a, b y c números enteros positivos 
tales que: X = a + b + c ;además: A=B 
A = {a2 + 9 ; b − c − 5 ] 
B = {−1 ; 6a ; a2 + b2 − 7} 
Hallar la suma de los valores de "𝑥𝑥" 
a)7 b)6 c)5 d)8 e)9 
 
7. Dados los conjuntos unitarios 
 A = {a + b ; a + 2b − 3 ; 12} y 
B = {Xy ; Yx ; 16} ; hallar el valor 
de: (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑎𝑎² + 𝑏𝑏) 
a)81 b) 92 c) 96 d)87 e)90 
 
8. Si los conjuntos A y B son iguales, 
halle 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛, donde 
A = {n2 + 1 ; −6} y B = {2 −m ; 10} 
 a) 13 b) 9 c) 11 d) 12 e) 15 
 
9. Determinar: n(AUB) 
NOTA: 
Si A ⊂ B, entonces el complemento de A con 
respecto a B denotado por “CBA” es el conjunto 
formado por los elementos de B pero no de A. 
Simbólicamente se expresa de la siguiente 
manera: 
CBA = {x/x ∈ B ∧ x ∉ A}, de donde CBA = B − A 
 
 A’ 
U A 
 
 
 
 8 
A = {�
3x + 1
4 � ∈ ℤ / 20 ≤ x
2 ≤ 100 ; x ∈ ℤ} 
B = {Y =
x + 2
3 / Y ∈ ℤ
+ ∧ 5 ≤ X ≤ 10} 
a)1 b)2 c)4 d)8 e)16 
 
10. Dados los conjuntos iguales, A = B y 
C = D ; A = {a + 2 ; a + 1}, 
B = {7 − a ; 8− a}, 
C = {b + 1 ; c + 1}, 
D = {b + 2 ; 4}. 
Calcule a + b + c. 
a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 8 
 
11. Si 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 / 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℤ ˄10 ˂ 𝑥𝑥 ˂ 20} 
B = {y + 5 / y ϵ ℤ ( �y + 15 ) ϵ A} 
¿cuál es la suma de los elementos de B? 
 a)51 b)52 c)53 d)54 e)55 
 
12. Si: n(𝐴𝐴) ≤ 1 y 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ; 
A = {2p ; m} 
B = {n + 1 ; 2m − 3} 
C = {n + 5 ; 2p − 1} 
Calcular el valor de: m + n + p 
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 
 
13. Si se sabe: n(A Ս B) = 70 , 
n(A − B) = 18 y n(A) = 41 , halle 
n(AΔB). 
a)42 b)45 c)46 d)47 e)48 
 
14. Si 
𝑛𝑛(𝑈𝑈) = 200; 𝑛𝑛(𝐴𝐴) = 80; 𝑛𝑛(𝐵𝐵) = 82 
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 36; n(A ∩ C) = 34 
n(B ∩ C) = 32; n(A∪ B) − n(A∪ C) = 21 
calcular: A ∩ B∩ C 
a)4 b)5 c)7 d)11 e)3 
 
15. No decir cuantas de las proposiciones no 
son verdaderas si. 
𝐴𝐴 = �𝑎𝑎; {𝑎𝑎}; 5; {3; 7}�. 
I. 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 II. {𝑎𝑎} ∈ 𝐴𝐴 III. {𝑎𝑎} ⊂ 𝐴𝐴 
IV.�{𝑎𝑎}� ⊂ 𝐴𝐴 V. 5 ∈ 𝐴𝐴 VI. 3 ∈ 𝐴𝐴 
VII. 10 ⊄ 𝐴𝐴 VIII. {7; 3} ∈ 𝐴𝐴 IX. {5} ⊄ 𝐴𝐴 
a) 7 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5 
 
16. Cuántas proposiciones son verdaderas 
en: 
 C={ 2, 3, {2,3}, ∅, {2} } 
I. ∅ ∈C IV. {2}∈C VII. {2, ∅ }∈C 
II. ∅ ⊂ C V. {2,3}⊂ C VIII. {{2}}⊂ C 
III. {3}⊂ C VI. {∅ }∈C IX. {3,2}∈C 
a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 6 
 
17. Si: P ∪ Q = {a, b, c, d, e} 
 P – Q = {d, e} ; P ∩ Q = {c} 
Calcular: n(Q - P) + n(Q) 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
18. Si: 
A = {a, b, c, d, e, f, g} ; B = {f, b, c, h, i, j} 
C = {a, c, e, i, k, l} : D = {a, b, d, f, k, i, j} 
Hallar: C ∩ [D – (A ∩ B)] 
a) {a, i, j} b) {a, b, c} c) {a, i, k} 
d) {a, j} e) N.A. 
 
19. Si: A = {Divisores de 4} 
 B = {Divisores de 6} 
 C = {Divisores de 12} 
Marcar la alternativa correcta 
a) C ⊂ A b) C ⊂ B c) C = A∪Bd) A ⊂ B e) (A ∪ B) ⊂ C 
 
20. Dados los conjuntos: 
A = {1, 2, 3, 4, …} ; B = {13, 15, 17}; 
C = {6, 15, 17, 19} ; Hallar el número de 
subconjuntos de [(A – B) ∩ C] 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 
 
21. Afirmamos para conjuntos: 
I. {x ∈ Ν/x+4 = 0} = φ 
II. {x∈Ν/ 3 < x ≤ 4} = φ 
III. {x∈Ν/4 ≤ x ≤ 4} = φ 
IV. {x∈Ν/x2 – 25 = 0} = {5; -5} 
Son verdaderas: 
a) Sólo I b) Sólo I y IV c) Sólo II 
d) Sólo I y II e) Todos 
 
22. Durante el mes de agosto, Enrique salió 
a pasear con Angélica o Beatriz. Si 17 
 
 
 
 9 
 días paseó con Angélica y 23 días con 
Beatriz, ¿cuántos días paseó sólo con 
una de ellas? 
a)22 b)21 c)20 d)18 e)16 
 
23. En una ciudad se sabe que 2/5 de la 
población comen pollo y la quinta parte 
comen carne. Si los 3/4 de los que 
comen carne también comen pollo y 
16500 habitantes no comen pollo ni 
comen carne, ¿Cuántos habitantes hay 
en dicha ciudad? 
a)30000 b)300 c)30500 d)40000 e)400 
 
24. De una muestra recogida a 200 
transeúntes se determinó lo siguiente: 60 
eran mudos, 70 eran cantantes callejeros 
y 90 eran ciegos; de estos últimos, 20 
eran mudos y 30 eran cantantes 
callejeros. ¿Cuántos de los que no son 
cantantes callejeros no eran mudos ni 
ciegos? 
a)30 b)35 c)40 d)45 e)60 
 
25. En una ciudad el 60% de la población va 
al cine y el 35% va al teatro. Si el 20% 
de los que van al cine van también al 
teatro. ¿Qué porcentaje no va al cine ni 
al teatro? 
a)17% b)27% c)25% d)15% e)12% 
 
26. En una población: 50% toma leche, el 
40% come carne, además solo los que 
comen carne o solo los que toman leche 
son el 54% ¿Cuál es el porcentaje de los 
que no toman leche ni comen carne? 
a)28% b)14% c)16% d)18% e)36% 
 
27. Una persona come pan con mantequilla o 
mermelada cada mañana durante el mes 
de febrero; si 22 días comió pan con 
mermelada y 12 días con mantequilla. 
¿Cuántos días comió pan con 
mermelada y mantequilla? 
a)6 b)8 c)10 d)12 e)5 
 
28. En un salón de clases el número de los 
que prefieren aritmética y álgebra es 
igual a: 
• 1/4 de los que prefieren aritmética. 
• 1/6 de los que prefieren álgebra. 
• 1/2 de los que no prefieren dichos 
cursos. 
Si hay 55 alumnos. ¿Cuántos prefieren 
aritmética y álgebra? 
a)4 b)5 c)8 d)10 e)15 
 
29. De un grupo de 55 personas, 25 hablan 
inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres 
idiomas. ¿Cuál es la diferencia entre los 
que hablan un idioma solamente y los 
que hablan dos idiomas únicamente? 
a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 8 
 
30. Según las preferencias de 420 personas 
que ven los canales A, B ó C, se observa 
que 240 no ven el canal A; 180 no ven el 
canal B, 150 no ven el canal C, los que 
ven por lo menos 2 canales son 230. 
¿Cuántos ven los 3 canales? 
a)40 b)36 c)32 d)42 e)48 
 
31. De 100 personas que leen por lo menos 
2 de 3 revistas A, B y C; se observa que: 
40 leen la revista A y B, 50 leen B y C y 
60 leen A y C. ¿Cuántas personas leen 
las 3 revistas? 
a)25 b)20 c)15 d)30 e)35 
 
32. De 50 personas se sabe: 
5 mujeres tienen ojos negros. 
16 mujeres no tienen ojos negros. 
14 mujeres no tienen ojos azules. 
10 hombres no tienen ojos azules o 
negros. 
¿Cuántos hombres tienen ojos azules o 
negros? 
 a)19 b)23 c)18 d)21 e)17 
 
33. En una encuesta tomada el verano 
pasado a un grupo de 600 personas se 
 
 
 
 10 
supo que 250 iban a la playa, 220 iban a 
la piscina, 100 iban a la paya y a la 
piscina. ¿Cuántos no iban a la playa ni a 
la piscina? 
a)100 b)250 c)220 d)230 e)240 
 
34. A un grupo de 100 personas se les 
preguntó si practicaban fútbol y básquet. 
El resultado fue: 20 no practicaban estos 
dos deportes, 30 no practicaban fútbol y 
60 no practicaban básquet. ¿Cuántos 
practicaban fútbol y básquet? 
a)20 b)30 c)40 d)50 e)60 
 
35. En un salón de clase de 100 alumnos, 
hay diez hombres provincianos, hay 40 
mujeres limeñas y el número de mujeres 
provincianas excede en 10 a número de 
hombre limeños. ¿Cuántos hombres hay 
en el aula? 
a)28 b)30 c)20 d)40 e)32 
 
36. Durante un examen se observó en un 
aula que 15 alumnos miraban al techo y 
no usaban lentes, 10 usaban lentes y 
resolvían el examen. El número de 
alumnos que usaban lentes y miraban al 
techo era el doble de los que resolvían el 
examen y no usaban lentes. Si en el 
salón había 85 alumnos. ¿Cuántos 
resolvían su examen? 
a)20 b)25 c)24 d)30 e)36 
 
37. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal 
que, el número de subconjuntos de A y 
de B suman 320, los conjuntos A y B 
tienen 2 elementos comunes; determine 
n(A∆B) 
 a)14 b)13 c)12 d)11 e)10 
 
38. Si A tiene el doble de elementos que B y 
posee 992 subconjuntos más que B, 
hallar el número de elementos que tiene 
(A Ս B), sabiendo además que A y B 
tienen en común solo tres elementos. 
a) 12 b) 15 c) 9 d) 7 e) 11 
 
39. De una muestra recogida a 200 
secretarias 40 eran rubias, 50 eran 
morenas y 90 tienen ojos azules; de 
estas últimas 65 no son rubias y 60 no 
son morenas. ¿Cuántas de las 
secretarias no eran rubias ni morenas, ni 
tienen ojos azules? 
a)35 b)110 c)90 d)105 e)75 
 
40. De 50 personas se sabe: 
5 mujeres tienen ojos negros. 
16 mujeres no tienen ojos negros. 
14 mujeres no tienen ojos azules. 
10 hombres no tienen ojos azules o 
negros. 
¿Cuántos hombres tienen ojos azules o 
negros? 
 a)19 b)23 c)18 d)21 e)17 
 
41. A la carrera profesional de Farmacia 
ingresaron 35 alumnos y al final del 
semestre se obtuvo la siguiente 
información: 
• 7 varones aprobaron matemática 
• 6 varones aprobaron biología 
• 5 aprobaron los 2 cursos 
• 11 aprobaron solo matemática 
• 16 son varones 
• 5 varones y 8 mujeres no aprobaron 
ninguno de los cursos. 
¿Cuántas mujeres aprobaron solo 
biología? 
a) 2 b) 5 c) 3 d) 1 e) 6 
 
42. De 100 alumnos, 44 no estudian 
matemáticas, 25 no estudian lenguaje y 
15 no estudian ninguno de los dos 
cursos. ¿Cuántos estudian matemáticas 
y lenguaje? 
a) 35 b) 31 c) 46 d) 44 e) 15 
 
43. De un grupo de 64 alumnos que estudian 
idiomas se observó que los que estudian 
solo inglés es el triple de los que estudian 
 
 
 
 11 
 inglés y francés. Los que estudian solo 
francés son la mitad de los que estudian 
inglés y 4 no estudian ingles ni francés. 
¿Cuántos estudian solo inglés? 
a) 30 b) 20 c) 26 d) 40 e) 45 
 
44. Se hizo una encuesta a 50 personas 
sobre preferencias respecto a dos 
revistas A y B. Se observa que los que 
leen las dos revistas son el doble de los 
que leen solo A, el triple de los que leen 
solo B y el cuádruplo de los que no leen 
ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas 
personas leen la revista A? 
a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) 40 
 
45. De un grupo de 100 estudiantes de la 
universidad nacional de San Antonio 
Abad del Cusco, 40 son mujeres, 73 
estudian contabilidad, 12 mujeres no 
estudian contabilidad. ¿Cuántos varones 
no estudian contabilidad? 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO 
Es un ente matemático sin definición, el cual 
nos permite cuantificar los elementos de la 
naturaleza. El número es solamente una idea. 
 
NUMERAL 
Es la representación gráfica, mediante signos 
o símbolos, de un número. Esto significa que 
un número se puede representar mediante 
numerales 
 
PRINCIPALES PRINCIPIOS DEL SISTEMA 
POSICIONAL DE NUMERACION 
 
Principio del Orden 
Toda cifra de un numeral posee un orden, el 
cual se lee de derecha a izquierda, 
enumerándoseles empezando del orden cero. 
No debemos confundir el ORDEN con el 
LUGAR que ocupa la cifra. Al indicar lugar nos 
referimos a su ubicación enumerándolas de 
izquierda a derecha, empezando del primer 
lugar. 
 
Bas
e Nombre Cifras 
2 Binario 0; 1 
3 Ternario 0; 1; 2 
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 
6 Senario 0;1; 2; 3; 4; 5 
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
8 Octonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 
10 Décuplo 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 
11 Undecimal 
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 
(10) 
12 Duodedimal 
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 
(10); (11) 
 
 
 
 12 
Ejemplo: En el siguiente numeral 5847, se 
 observa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así: 
- La cifra 4 es de orden uno y ocupa el 3er 
lugar. 
- La cifra 8 es de orden dos y ocupa el 2do 
lugar. 
 
PRINCIPALES SISTEMAS DE 
NUMERACION 
Por convención, cuando la cifra es mayor que 
9 se utilizan letras griegas para su 
representación: 
α = 10 ; β = 11 ; γ = 12 ; δ = 13; . . . . . 
Ejemplo: 
 )13()13( 32)11(3)10(2 βα= 
Observación: Toda cifra que forma parte de un 
numeral es un número entero menor que la 
base. Así en el sistema de base “n”, se 
pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales 
son: Máxima 
 ↓ 
 0; 1; 2; 3; 4; . . . . . . .; (n-1) 
 
 Significativas 
 
Conclusión: Cifra < Base 
 
REPRESENTACION LITERAL DE 
NUMERALES 
De dos cifras: ab = 10 , 11 , ..... , 99 
De tres cifras: abc = 100, 101, ...., 999 
De cuatro cifras en base nonario:
99999 888.......;.........102 ;101 ;100=mnp
 
NUMERO CAPICÚA 
Son aquellas cuyas cifras equidistantes son 
iguales 
Ejemplo: 
De dos cifras: aa 
De tres cifras: aba 
De cuatro cifras: 7abba 
 
DESCOMPOSICION POLINÓMICA 
La descomposición polinómica de un numeral 
es la suma de los valores relativos de sus 
cifras 
Ejemplos: 
210.4210.5310.33542 +++= 
r10.m210.jjmr ++=
d5.c25.b35.a)5(abcd +++= 
En bloques: 
def310.abcabcdef += 
)(
2
)(
4
)()( .. nnnn efncdnababcdef ++= 
)(
3
)()( . nnn defnabcabcdef += 
)(
2
)()( . nnn efnabcdabcdef += 
)(
4
)()( . nnn cdefnababcdef += 
 
CAMBIO DE BASE 
Caso I. De base ≠ 10 a base 10 
Método: Por descomposición polinómica 
Ejemplo: 
2508)8(4714
484482048)8(4714
48.128.738.4)8(4714
=
+++=
+++=
 
 
Caso II. De base 10 a base ≠ 10 
 
Método: Divisiones sucesivas. 
Ejemplo: Representar 867 en el 
sistema octonario. 
 
 
 
ORDEN 
 
 tres dos uno cero 
 5 8 4 7 
 1er 2do 3er 4to 
 
LUGAR 
 
 
 
 13 
 
 867 8 
 3 108 8 
 4 13 8 
 5 1 
 ∴ 867 = 1543(8) 
 
Caso III. De base ≠ 10 a otra base ≠ 10 
Método: Descomposición polinómica y 
divisiones Sucesivas 
PROPIEDADES: 
 
1. Si dos numerales son equivalentes, se 
cumple que, a mayor valor aparente de 
un numeral, le corresponde menor base; 
y viceversa 
Si: )y(mnp)x(abcd = 
Observación 
Como aparentemente el primer numeral 
es mayor que el segundo, se cumple 
que: 
abcd > mnp → x< y 
 
2. Se cumple que: 
1kn
cifrask
)n()1n).....(1n)(1n( −=−−−   
 
A) Numeral expresado en bases sucesivas 
 nxcbaa +++++= .......... 1 
 b1 
 c1 
  
 )(1 nx 
 
 nkcbaa . . . . . . . 0 = 
 0b 
 0c 
  
 )(0 nk 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
01. Los siguientes numerales están 
correctamente escritos: 
10an�������(4) ; 2bc�����(a) ; bbm������(c) 
 Calcular: ac
b
 
 a) 6 b) 3 c) 2 d) 1 e) 32 
 
02. Si los siguientes numerales están 
correctamente escrito: 
n32q�������(m) ; p31�����(n) ; n3m������(6) ; 1211�������(p) 
hallar el máximo valor de: (m + n + p + q) 
 a)13 b)14 c)15 d)16 e)17 
 
03. Dado el numeral capicúa 
(a + 1)(c − 1)(a − 2)b�
b
2
� (13 − a)
����������������������������������������������
 
 Hallar “a. b. c” 
 a) 12 b) 18 c) 36 d) 48 e) 72 
 
04. Un número se representa como 455 y 
354 en dos bases consecutivas. Hallar 
dicho número en el sistema decimal. 
 a) 236 b)136 c) 75 d) 111 e) 233 
 
05. Calcular: ab, si: 
ab(a + b)������������(15) = b(16)b���������(19) 
400803(a) = 30034342(b) 
 a) 95 b) 54 c) 45 d) 48 e) 36 
 
06. Si: a, b y c; son cifras significativas y 
diferentes entre sí. Hallar “n”. 
abc�����(4) + ab���(3) + a�(2) = nn���� 
 a) 5 b) 6 c) 7 d) 2 e) 3 
 
07. Sabiendo que: 
(n − 1)n(n + 1)���������������������8 = 311�����11 
 Determinar el valor de “n”. 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
08. Sabiendo que: ac� (b) = cb���(a+2) ; y, 
además: a + b + c = 21; determinar el 
 
 
 
 14 
valor de "a". 
 a)1 b)8 c)7 d)4 e)5 
 
09. Si: 226(9) = 272(n) y 
 107 = abc�����(n) ; Hallar: a. b. c 
 a) 153 b) 15 c) 45 d) 10 e) 5 
 
10. Pablito cuenta las manzanas y naranjas 
que tiene y dice tengo: 27 manzanas, 35 
naranjas, total de frutas 63. ¿Qué 
sistema de numeración usó Pablito? 
 a) Decimal b) Senario c) Octal 
 d) Quinario e) Nonario 
 
11. Si se cumple la relación: 
abc(6) = 12002(a) = 2021(b) = 1022(c) 
Calcular: a . b . c 
 a) 60 b) 50 c) 20 d) 30 e) 40 
 
12. Si: abc�����(6) = 1304�������(n) 
 Calcular: a − b + c − n 
 a) 10 b) –4 c) –5 d) 15 e) 20 
 
13. Si: aaa�����(5) = xy30������(a) 
 Calcular: 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 
 a) 12 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10 
 
14. Cuál es la suma de las cifras del 
numeral: 
 111. . . . .111������������������������
30 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(2) ; en base octal. 
 a) 20 b) 21 c) 70 d) 75 e) 84 
 
15. Sabiendo que: 
N = 2. 174 + 2. 173 + 4.17 + 26 
Halle el numeral “N” escrito en base 17 y 
dar como respuesta la suma de las 
cifras. 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) N.A. 
 
16. Al escribir “S” en base 8, dar la suma de 
sus cifras. 
 S = 416 + 219 + 643 
 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 
 
17. Si: 
N = 14.135 + 21.134 + 27.132 + 5.13 + 17 
¿Cuál será la suma de cifras del numeral N al 
expresarlo en base 13? 
 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 
 
18. Si: abcd������(7) = 37(d + 1)������������� ; 
Hallar: a + b + c 
 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
19. Sabiendo que: 
 36ab������� = 3ab����� . 4 + ab3����� . 5 ; 
 hallar: a + b 
 a)8 b)9 c)10 d)11 e)12 
 
20. Si: abab(n) = 221 ; Hallar: a + b + n 
 a) 8 b) 7 c) 5 d) 9 e) 10 
 
21. Cuando el numeral 237(8); se escribe en 
base 2, resulta otro numeral cuya suma 
de cifras es: 
 a) 9 b) 6 c) 15 d) 21 e) 11 
 
22. Si: 
(a + 1)(a − 1)(a + 3)����������������������������(9) = c011cc���������(3) 
 Hallar: “ac” 
 a) 3 b) 5 c) 8 d) 6 e) 10 
 
23. Si: 
 
 
 
 
 
 
 Hallar: “𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐”. 
 a) 7 b) 10 c) 15 d) 14 e) 5 
 
24. Si: abcd������(5) = c55�����(7) , 
 Hallar: “a + b + c + d” 
 a) 3 b) 7 c) 10 d) 14 e) 5 
 
=14
14
14
14
.
.
.
14
abc
150 veces 
 
 
 
 
 
 15 
 25. Hallar: “a + b + c + d” Si : 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 14 b) 11 c) 18 d) 10 e) 16 
 
26. ¿Cuántos números se escriben con tres 
cifras en los sistemas quinario, senario y 
heptanario? 
 a) 65 b) 68 c) 72 d) 74 e) 76 
 
27. Si: 120(9) = abc�����(6), 
 Hallar: “a + b + c” 
 a) 8 b) 5 c) 9 d) 12 e) 15 
 
28. Si: abc3������(n) = 232(5), 
Hallar: "𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐" 
 a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9 
 
29. Si el numeral es capicúa. 
(a + 3)(b − 2)c(a + b)37���������������������������������(12) 
 Hallar: “𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐” 
 a) 7 b) 10 c) 15 d) 8 e) 15 
 
30. Si: 1122(3) = abcdef(x) 
Calcule” a + b + c + d + e + f + x” 
a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4 
 
31. Llevar a base nonario el siguiente 
número, contestar la sumade sus cifras: 
22222. . . . . . . .2222�������������
40 cifras
(3) 
 a) 150 b) 160 c) 320 d) 80 e) 90 
 
32. Halle “x” en : 
(x− 1)(x − 1)(x− 1). . . . (x − 1)���������������������
"n"cifras (x)
= 555. . .5�����
"3n"cifras(6)
 
a)215 b)216 c)217 d)218 e)219 
 
33. Hallar “n”, si: 
 17 = 10 
 17 20 
 17 30 
   
 )20(17 )n(
0)1n( −
 
 a) 12 b) 10 c) 9 d) 6 e) 5 
 
34. Calcular: a + b + c, si los siguientes 
numerales están correctamente escritos: 
5a4x(b) ; 3n2m(a) ; cxay(8) ; 52ba(c) 
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 
 
35. Llevar a base 12 el siguiente número y 
contestar la suma de sus cifras: 
F = 24x126 + 15x125 + 20x123 + 15 
 a) 18 b) 19 c) 24 d) 14 e) 22 
 
36. Si el siguiente numeral: 
b(b − 45)(b−a
3
)(a + b − c) �c
4
� (a − 2)8 
es capicúa. Calcule "a + b + c" en el 
sistema cuaternario. 
 a) 202(4) b) 201(4) c) 102(4) 
d) 101(4) e) 303(4) 
 
37. Si el numeral es capicúa. 
Hallar "a− b + c" 
(a + 3)(b − 2)c(a + b)37(12) 
a) 7 b) 10 c) 15 d) 8 e) 15 
 
38. Hallar un número de tres cifras tal que la 
cifra de decenas sea la cuarta parte de la 
cifra de centenas, y la cifra de las 
unidades sea la mitad de la cifra de 
decenas. Dar como respuesta la suma de 
cifras del número. 
 a) 13 b) 14 c) 11 d) 12 e) 18 
 
39. Determine el menor número par de cifras 
100 
numerales 
12
17
12
17
.
.
12
17
abcd=
400 veces 
 
 
 
 
 
 16 
diferentes entre sí, donde la cifra de 
orden tres ocupa el cuarto lugar. 
 a)123450 b)1023456 c)24680 
d)1023450 e)1234560 
 
40. Si: 7161 = ababab����������(n) ; 
Hallar: "a + b + n" 
 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 
 
41. Si: 
)(
2
)6(
2 )2)(2)(()2()1( naaaaaa −−=+
 Calcular: "a + n" 
 a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
42. Si: 120(9) = abc(6) , hallar: 
“a + b + c " 
a) 8 b) 5 c) 9 d) 12 e) 15 
 
43. Si: abc3(n) = 232(5) , hallar: 
“a + b + n " 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9 
 
44. Si : abc5������(x) = 5x0�����(7). 
Hallar: "a + b + c" 
 a) 5 b) 6 d) 7 d) 8 e) 9 
 
45. Hallar: “a + b + n”, 
 si: 11ab�������(n) = 79100(n) 
 a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 
 
46. Si: 𝑚𝑚 = 8888. . . . . . .8887�����������
12 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(9) y 
 M = 148(m) 
 Hallar la suma de cifras de M, luego 
 de convertirlo a base 27. 
 a) 24 b) 48 c) 28 d) 12 e) 5 
 
47. Un numeral “N”, de 2 cifras del sistema 
decimal, al expresarse en el sistema de 
base 7, “parece” duplicarse. ¿Cuál es la 
suma de cifras de “N”? 
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES 
(ℕ) 
 
Es el conjunto ℕ = {0,1,2,3,4,5,6, … } 
provisto de dos operaciones binarias bien 
definidas llamadas Adición (+) y 
Multiplicación (.), una relación de orden (<) 
y una relación de igualdad (=). 
+:ℕ× ℕ → ℕ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) → 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 
x ∶ ℕ× ℕ → ℕ (𝑎𝑎,𝑏𝑏) → 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 
 
Los cuales cumplen los siguientes axiomas: 
 
 
ADICIÓN (+) 
A1). ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ ℕ, (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ∈ ℕ 
A2). ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ ℕ,𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 
A3). ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, (𝑎𝑎+ 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 
A4). ∃! 0 ∈ ℕ/ 𝑎𝑎 + 0 = 0 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎 ∈ ℕ 
Existencia y unicidad del elemento neutro 
aditivo 
A5). Existencia del elemento inverso aditivo. 
No se cumple 
A6). ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 
 
MULTIPLICACIÓN (•) 
 
M1).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℕ, 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 ∈ ℕ 
M2).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℕ, 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 × 𝑎𝑎 
M3).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, (𝑎𝑎 × 𝑏𝑏) × 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 × (𝑏𝑏 × 𝑐𝑐) 
M4).∃! 1 ∈ ℕ/ 𝑎𝑎 × 1 = 1 × 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎 ∈ ℕ 
Existencia y unicidad del elemento neutro 
multiplicativo. 
M5). Existencia del elemento inverso 
multiplicativo. 
No se cumple 
M6).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, se cumple 
- 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑐𝑐 
- (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐𝑎𝑎 
M7).∀𝑎𝑎 ∈ ℕ, se cumple 𝑎𝑎× 0 = 0 × 𝑎𝑎 = 0 
 
 
 
 17 
 
RELACIÓN DE IGUALDAD (=) 
 
I1). Al comparar dos números naturales “a”, “b” 
una y solo una de las dos relaciones se 
cumple: 
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 Dicotomía 
I2). 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎,∀𝑎𝑎 ∈ ℕ Reflexiva 
I3). Si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⇒ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 Simétrica 
I3). Si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∧ 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 Transitiva. 
I4). Si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, 𝑐𝑐 ≠ 0 
 Unicidad de la suma 
I5). 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 Unicidad de la 
multiplicación. 
I6). Si: 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 Cancelativa 
I7). Si 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 ∧ c ≠ 0 ⇒ a=b 
 Cancelativa 
 
RELACIÓN DE ORDEN (<) 
Dados dos números naturales “a” y “b”, se 
dice que a<b, si y sólo si, existe un número 
natural 𝑐𝑐 ≠ 0, talque 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏. 
 
O1). Para dos números naturales “a” y “b” se 
cumple una y sola una de las siguientes 
igualdades: 
𝑎𝑎 < 𝑏𝑏,𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ó 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 Tricotomía 
O2). ∀a, b, c ∈ ℕ, a < b ∧ b < c ⇒ a < c 
Transitiva 
O3). ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 
Compatibilidad de orden 
O4).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ,𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ c>0 ⇒ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 
Compatibilidad de orden 
O5).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 
Cancelativa 
O6).∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℕ, 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 ∧ 𝑐𝑐 > 0 ⇒ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 
Cancelativa 
 
SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS 
(ℤ) 
Es el conjunto 
ℤ = {−∞, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, … , +∞} 
Provisto de las operaciones de Adición (+), 
sustracción (-) y multiplicación (.), una relación 
de orden (<) y una relación de igualdad (=). 
 
En el sistema de los números enteros ℤ se 
cumplen todas las propiedades del sistema de 
los números ℕ. 
 
Además de todas las propiedades anteriores, 
en este sistema se cumplen: 
 
A7) ∀a ∈ ℤ, ∃! − a ∈ ℤ/a + (−a) = (−a) + a = 0 
Existencia y unicidad del elemento inverso 
aditivo. 
 
O7) ∀a, b, c ∈ ℤ, a < b ∧ c < 0 ⇒ a ⋅ c > b ⋅ c 
 
NOTA: 
1. Al 0 se le llama también “elemento 
absorbente”, porque: 
∀𝑎𝑎 ∈ ℤ, 𝑎𝑎 ⋅ 0 = 0 ⋅ 𝑎𝑎 = 0 
2. 𝑎𝑎 > 0 ⇔ a es positivo. 
3. 𝑎𝑎 < 0 ⇔ a es negativo. 
4. 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 
 
En este capítulo trataremos sobre las cuatro 
operaciones (Adición, Sustracción, 
Multiplicación y División), propiedades, reglas, 
teoremas y aplicaciones. 
 
 
 
Es una operación binaria, donde dados dos 
elementos A y B llamados sumandos, se le 
hace corresponder un tercer elemento S 
llamado suma. 
𝐀𝐀 + 𝐁𝐁 = 𝐒𝐒 
 
 
 
Es una operación binaria, donde dados dos 
elementos M y S, se le hace corresponder un 
tercer elemento D. 
M – S = D 
Donde: 
M : Minuendo 
S : Sustraendo 
D : Diferencia 
 
 
 
 18 
I. La suma de todos los términos de una 
sustracción resulta el doble del minuendo: 
 
Se cumple que : 𝐌𝐌 + 𝐒𝐒 + 𝐃𝐃 = 𝟐𝟐𝐌𝐌 
 
II. Si a un número de dos cifras se le resta el 
mismo número de dos cifras, pero con las 
cifras en orden inverso resulta: 
 𝐚𝐚𝐚𝐚 − 𝐚𝐚𝐚𝐚 = 𝐱𝐱𝐱𝐱 , donde 𝐱𝐱 + 𝐱𝐱 = 𝟗𝟗 
 
Esta propiedad no cumple para los números 
capicúas. 
 
III. Si a un número de tres cifras se le resta el 
mismo número de tres cifras, pero con las 
cifras en orden inverso resulta: 
 
𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 − 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 = 𝐦𝐦𝐧𝐧𝐩𝐩, donde: 
𝐦𝐦 + 𝐩𝐩 = 𝟗𝟗 𝐱𝐱 𝐧𝐧 = 𝟗𝟗 
 
Esta propiedad no cumple para los números 
capicúas. 
 
Nota: Las dos últimas propiedades cumplen 
para cualquier sistema de numeración, con 
sus respectivas reglas de lectura y escritura. 
 
 
 
Es lo que le falta a un número para ser igual a 
una unidad del orden inmediato superior de su 
cifra de mayor orden. 
 
I. Método tradicional: 
CA(ab. . . . . c�����
"n"cifras
) = 1 0. . . .0���
"n"ceros
− ab. . . . . c�����"n"cifras
 
 
Ejemplos: 
C A(3) 10 3 7= − = 
C A(14) 100 14 86= − = 
C A(512) 1000 512 488= − = 
C A(5427) 10000 5427 4573= − = 
 
 
 
 
Es la operación binaria que hace corresponder 
a cada par ordenado de enteros cuyas 
componentes se denominan multiplicando y 
multiplicador respectivamente, un tercer 
entero llamado producto. 
 
 
 
 
 
 
A los términos A y B, también se les llama 
factores. 
 
 
 
Es la operación binaria que hace corresponder 
a cada par ordenado de enteros cuyas 
componentes se denominan dividendo y 
divisor, un tercer número (no necesariamente 
entero) llamado cociente. 
 
I. DIVISIÓN EXACTA: 
Se llama división entera a la división que no 
tiene residuo, y este residuo se representa por 
el cero: 
 Donde: 
D Dividendo
d divisor
q cociente
=
=
= 
 
Algoritmo de la división: D = d × q 
 
II. DIVISIÓN INEXACTA: 
Se llama división inexacta a la división que 
deja un residuo, además existen dos tipos de 
divisiones inexactas: 
 División inexacta por defecto. 
 División inexacta por exceso. 
 
A) DIVISIÓN INEXACTA POR DEFECTO: 
Es la división en la que al aplicar el algoritmo 
de la división el producto del divisor y el 
Multiplicand
 
Multiplicador 
Producto total 
A B P× =
D d
0 q
 
 
 
 19 
 cociente, más el residuo resulta el dividendo. 
 
 
 
Donde: 
D = Dividendo 
d = divisor 
q = cociente 
rd=residuo por defecto 
 
Algoritmo de la 
división: 
 
dD d q r×= + 
 
Ejemplo: 
 
 
 
Donde: 
32 = Dividendo 
9 = divisor 
3 = cociente 
5 = residuo 
 
Algoritmo de la 
división: 
 
32 9 3 5×= + 
B) DIVISIÓN INEXACTA POR EXCESO: 
Es la división en la que al aplicar el algoritmo 
de la división el producto del divisor y el 
cociente, menos el residuo resulta el 
dividendo. 
 
 
 
 
Donde: 
D = Dividendo 
d = divisor 
q + 1 = cociente por 
exceso 
re = residuo por exceso 
 
Algoritmo de la división: 
 
excD d ( q 1 ) r×= + − 
 
 
 
Ejemplo: 
32 = Dividendo 
9 = divisor 
4 = cociente por 
exceso 
4 = residuo por 
exceso 
 
Donde: 
Algoritmo de la 
división: 
 
LEYES FORMALES DE LA DIVISIÓN 
 
I. El residuo (por defecto o por exceso) es un 
número que es mayor que cero y menor que 
el divisor: 
0 < 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 < 𝑟𝑟𝑆𝑆𝑑𝑑𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
 
II. El residuo máximo en cualquier división es 
siempre una unidad menor que el divisor: 
 
residuo máximo = divisor− 1 
 
III. El residuo mínimo en cualquier división es 
siempre uno: 
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑚𝑚í𝑛𝑛𝑆𝑆𝑚𝑚𝑟𝑟 = 1 
 
IV. La suma del residuo por defecto más el 
residuo por exceso siempre es igual al divisor: 
 
residuo por defecto + residuo por exceso = divisor 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Dadas las sumas: 
ab��� + mn���� + xy��� = 124 
ac� + mp���� + xz� = 127 
bd���� + nq���� + yw���� = 160 
Calcular: abcd������ + mnpq��������+ xyzw������� 
a)11290 b)12590 c)13590 
d)11690 e)12380 
 
2. Si a + b + c = 19, 
hallar abab + caba + bccc 
 a) 19999 b) 21009 c) 20109 
 d) 19989 e) 21109 
 
3. Si ab + bc = 89, donde: 
a + b + c = 12, hallar: (𝑎𝑎–𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
4. Si: 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 111, hallar: ba + ac 
 a) 111 b) 120 c) 110 d) 121 e) n.a. 
 
5. La suma de los tres términos de una resta 
es 1200 y el sustraendo es la cuarta parte 
del minuendo. Hallar el complemento 
aritmético de la diferencia. 
 a) 450 b) 500 c) 550 d) 650 e) 850 
 
6. La suma de los tres términos de una resta 
es 6 veces el sustraendo. Si la diferencia 
ex
D d
r q 1+
d
D d
r q 32 9
5 3
32 9
4 4
 
 
 
 20 
es 34. Hallar el minuendo. 
 a) 63 b) 42 c) 48 d) 51 e) 57 
 
7. Hallar "𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐", si: 
CA(abc(6)) = 82 
 a) 9 b) 10 c) 12 d) 11 e) 14 
 
8. Si: C. A�abb� = c(b + 1)(a + 1) . 
Hallar a + b + c 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
9. Un número de cuatro cifras es tal que al 
restarle su complemento aritmético resulta 
5256. Hallar la suma de sus cifras. 
 a) 20 b) 22 c) 14 d) 23 e) 25 
 
10.Hallar un número de 4 cifras tal que al 
restarle el quíntuplo de su complemento 
aritmético se obtenga 1246 de resultado. 
Dar como respuesta la suma de sus cifras. 
 a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20 
 
11.La diferencia entre los complementos 
aritméticos de un número de tres cifras y 
otro de 2 cifras es 493. Si la suma de 
dichos números es 557. indicar el número 
mayor. 
 a) 538 b) 407 c) 582 d) 497 e) 482 
 
12.Si el complemento aritmético de: 
 a7b(b + 2) es (d− 1)bcd 
Hallar: a + b + c + d 
a) 18 b) 19 c) 17 d) 23 e) 15 
 
13.La diferencia entre dos números de tres 
cifras cada uno es 291. ¿Cuál será la 
diferencia de los números que resulten de 
invertir el orden de sus cifras de los 
números anteriores ?, se sabe que los 
números originales tienen cifras 
significativas. 
 a) 83 b) 108 c) 93 d) 96 e) 108 
 
14.Hallar "a + b + c + d + e" 
si: abcde7 × 5 = 7abcde 
 a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 
 
15.El producto de dos números es 2856. Si al 
multiplicando se le agrega 13 unidades 
resulta un producto de 3740. Hallar la 
suma de los números. 
 a) 110 b) 115 c) 120 d) 127 e) 130 
 
16.En una multiplicación, si al multiplicando 
se le agrega 5 y al multiplicador se le quita 
5, entonces el producto aumenta en 600. 
Cuál es la diferencia del multiplicando y 
del multiplicador. 
 a) 100 b) 515 c) 325 d) 645 e) 125 
 
17.Hallar "a + b + c", 
 si: abc × 23 =. . . . .396 
 a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 16 
 
18.abcdef × 999999 =. . .110101 
hallar (a + b + c + d + e + f) 
 a) 47 b) 32 c) 51 d) 57 e) 63 
. 
19.Se tiene: abc����� . a = 5222 
abc����� . b = 2984 ; abc����� . c = 4476 ; 
Hallar la suma de cifras del resultado de 
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐�����2. 
 a)24 b)26 c)28 d)30 e)18 
 
20.Al dividirse dos números se obtiene 5 de 
cociente y 20 de residuo. Hallar el menor, 
si la suma de dichos números es 620. 
 a) 125 b) 150 c) 180 d) 100 e) 250 
 
21.Si la diferencia de dos números es 361, al 
ser divididos se obtiene 10 de cociente y 
un residuo mínimo. Hallar la sum a de 
dichos números. 
 a) 400 b) 250 c) 650 d) 441 e) 641 
 
22.Calcule el menor número de tres cifras 
que al ser dividido entre 12 se obtiene un 
residuo máximo. Contestar la suma de las 
 
 
 
 21 
 cifras de dicho número. 
 a) 8 b) 18 c) 15 d) 12 e) 16 
 
23.La diferencia de dos números es 85 y la 
división del mayor entre el menor de 
cociente 3 y por residuo 15. La suma de 
cifras del mayor de los números es. 
 a)2 b)3 c)4 d)8 e)12 
 
24.Hallar el valor de (a + b) si se cumple: 
aba = aa + bb + 443 
 a) 11 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14 
 
25.Si: ab + bc + dd = (c − 1)dd, 
 hallar a × c + b 
 a) 10 b) 11 c) 15 d) 9 e) 12 
 
26.Si abcde + edcba = 8 ∗ 6 ∗∗ donde 
cada * es una cifra; además se cumple: 
 a > b > c > d > e y 
a2 + d2 = b2 + c3 + e2 
 Hallar 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏. 
 a) 52 b) 35 c) 18 d) 48 e) 40 
 
27. Si: (a + b + c)2 = 529 
 Calcule la suma de cifras de: 
 𝐴𝐴 = 3a5b + abc5 + c7ba + bcac 
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 
 
28. Si: a + b + c + d = 25 
Halle la suma de cifras de: 
R = abcd + cdab + dcba + badc 
Halle la suma de cifras del resultado. 
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 
 
29.Si abc − cba = mn(m + 1), 
Hallar: “𝑎𝑎 − 𝑐𝑐”. 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
30.a un número de tres cifras se le suma otro 
de tres cifras que empieza en 6 y el 
resultado es el mismo número original 
pero con sus cifras dispuestos en orden 
inverso. Hallar la cifra de las decenas del 
número original, si la suma de sus cifras 
es 19. 
 a) 7 b) 5 c) 8 d) 6 e) 4 
 
31.Hallar “a+ b + c”, si: 
 abc(8) × 2 = cba(8) 
 a) 5 b) 7 c) 16 d) 14 e) 12 
 
32.La diferencia de dos números es 832, su 
cociente es 17 y su residuo el más grande 
posible. Hallar la suma de los números. 
 a) 881 b) 993 c) 934 d) 890 e) 930 
 
33.Aumentando 7 a cada uno de los 2 
factores de una multiplicación, el producto 
aumenta en 364. Hallar el producto 
original si la diferencia de los factores es 
5. 
 a) 492 b) 512 c) 485 d) 500 e) 490 
 
34.Al multiplicar un número de tres cifras por 
su complemento aritmético nos da como 
resultado el quíntuplo del número original. 
Hallar este número y dar como respuesta 
la suma de sus cifras. 
a) 20 b) 23 c) 24 d) 27 e) 21 
 
35.SI:a74b + c7a + 5ba2 = bba68 
 Calcular: E = a + b + c 
 a) 10 b) 13 c) 9 d) 12 e) 22 
 
36.Al dividir ab7a entre ba, se obtuvo como 
cociente 67 y residuo (b − a)(b − a) . 
Calcule “a + b” 
a) 6 b) 8 c) 5 d) 7 e) 9 
 
37.La diferencia de 2 números es 305. Si al 
mayor le quitamos 20 y al menor le 
aumentamos 85. La nueva diferencia es: 
 a) 350 b) 200 c) 240 d) 180 e) 179 
 
38.La suma del minuendo, sustraendo y 
diferencia de una sustracción es 19 456 y 
 
 
 
 22 
el minuendo es el cuádruple del 
sustraendo, hallar el sustraendo. 
a)2432 b)3648 c)3040 d)1216 e)608 
 
39.Si: abc − bca = mn(m + 1). 
Hallar: (a – c) 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
40.Si: abc + cba =∗ 5 ∗∗ y 
 abc − cba = 1 ∗∗ 
Donde cada asterisco es una cifra. 
Hallar: “ b ” si: b = 1
2
 (a + c) 
a) 8 b) 6 c) 5 d) 7 e) 4 
 
41.Hallar: a × b (Máximo valor) 
 Si: ab − ba = de y de = ed + 27 
 a) 18 b) 8 c) 42 d) 36 e) n.a. 
 
42.Se tienen 2 números A y B de 3 cifras 
cada uno. Si A es el doble del C.A. de B y 
B es vez y media del C.A. de A. Hallar el 
C.A. de (A + B). 
 a)1750 b)1250 c)5500 d)8250 e)8750 
 
43.Hallar la cifra de las centenas del mayor 
número de 3 cifras continuas crecientes, 
siendo la cifra de las decenas de su 
complemento aritmético 2. 
 a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
44.¿Cuál es el valor del minuendo de una 
resta donde se cumple que la diferencia 
de los dos términos menores es 210 y que 
el minuendo es el triple del sustraendo? 
 a)540 b)450 c)630 d)360 e)603 
 
45.Si el C. A�abc� = 4a + 6b + 7c. Hallar la 
suma de cifras del mayor número que 
cumple la condición anterior. 
 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
 
 
 
 
FRACCIÓN: Se denomina fracción o 
quebrado a una de las varias partes en que se 
considera la unidad. 
f = a
b
 Donde: a: numerador 
 b: denominador 
Q = { a
b
 / a∈Z ∧ b∈Z , b≠0 } 
CLASES DE FRACCIONES 
 
Por Comparación de sus términos. 
1)Fracción Propia. - Cuando el numerador es 
menor que el denominador, es decir: 
Si: 𝑓𝑓 = 𝑐𝑐
𝑏𝑏
 ; es una fracción propia, entonces 
a< b. 
Ejemplos : 3
5
 ; 2
7
 ; 8
11
 
 
2)Fracción Impropia.- Cuando el numerador 
es mayor que el denominador, es decir: 
Si: f = a
b
 es una fracción impropia, 
entonces: a > b. 
Ejemplos: 7
2
 ; 12
5
 ; 17
9
 
 
3)Fracciones Decimales. - Cuando el 
denominador es 10 ó cualquier potencia de 
10. 
Ejemplos: 13
10
 ; 531
100
 ; 31
105
 
 
Por grupo de fracciones 
 
1)Fracciones Homogéneas.- Cuando los 
denominadores son iguales. 
Ejemplos: 4
7
; 9
7
; 20
7
 son fracciones 
homogéneas. 
 
2)Fracciones Heterogéneas.- Cuando los 
denominadores son diferentes. 
Ejemplos: 5
9
 ; 7
4
; 11
5
 son fracciones 
heterogéneas. 
 
 
 
 
 23 
 Fracción Irreductible.- Son aquellas 
fracciones cuyos términos son primos entre sí 
(PESI), en caso contrario se dice que es 
reductible. 
Ejemplo: Las fracciones 1
9
 ; 7
5
 son 
irreductibles, mientras que las fracciones 4
20
 ; 
36
21
 son reductibles. 
 
Fracciones Equivalentes.- Una fracción es 
equivalente a otra cuando tiene el mismo 
valor, pero sus términos son diferentes. 
Ejemplo: 4
7
 = 16
28
 son fracciones equivalentes. 
En general: 
 
a
b
 es equivalente si: a.k
b.k
 , con k∈Z. 
 
Número Mixto. - Es aquel que consta de una 
parte entera y una fraccionaria. 
Ejemplos: 2 1
5
; 5 2
7
; 1 1
3
 
 
Propiedad de Fracciones 
1)Si a los términos de una fracción se les 
multiplica o divide por un mismo número, la 
fracción no se altera. (Fracción equivalente) 
2)De dos o más fracciones homogéneas, es 
mayor la que presenta mayor numerador. 
3)De dos o más fracciones heterogéneas que 
presentan un mismo numerador es mayor la 
que presenta menor denominador. 
Ejemplo: 
De las fracciones 5
6
 ; 7
6
 ; 13
6
 la mayor es 13
6
 
y la menor es 5
6
. mientras que las fracciones 
4
21
 ; 4
35
 ; 4
13
 la mayor es 4
13
 y la menor es 
4
35
. 
 
MCD y MCM de Números Fraccionarios.- Si: 
𝑐𝑐
𝑏𝑏
,𝑐𝑐
𝑑𝑑
,𝑒𝑒
𝑐𝑐
 son fracciones irreductibles, entonces: 
 MCD = MCD (a ; c ; e)
MCM (b ; d ; f)
 
 MCM = MCM (a ; c ; e)
MCD (b ; d ; f)
 
 
Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 
 12
16
 , 42
9
 y 9
8
 
Solución: 
Las fracciones deben ser necesariamente 
irreductibles: 
12
16
 = 3
4
 ; 42
9
 = 14
3
 ; 9
8
 = 9
8
 
 
Luego: 
MCD = 
MCD (3 ; 14 ; 9)
MCM (4 ; 3 ; 8)
 = 
1
24 
 
MCM = 
MCM (3 ; 14 ; 9)
MCD (4 ; 3 ; 8)
 = 126 
 
NÚMEROS DECIMALES. - Al dividir los 
términos de una fracción irreductible, se 
obtiene un número decimal, puede tener una 
cantidad de cifras decimales limitada (Decimal 
Exacto) o una cantidad de cifras ilimitada 
(Decimal Inexacto) 
 
Conversión de Fracciones a decimales 
 
 
 
 
 
 
1. Decimal Exacto. - Una fracción irreductible 
dará origen a un decimal exacto cuando del 
denominador sea una potencia de 2 y/o una 
potencia de 5. 
Ejemplos: 
13
25 = 
13
52 = 0,52 
23
8
 = 
23
23 = 2,875 
31
200 = 
31
23 . 52 = 0,155 
 
Numero 
decimal 
Decimal 
Exacto 
Decimal 
Inexacto 
Periódico 
Puro 
 
 
 
 
 24 
Fracción Generatriz.- La fracción generatriz 
de una fracción decimal exacto será igual al 
número formado por las cifras decimales 
dividida entre la unidad seguida de tantos 
ceros como cifras decimales tenga el número 
decimal. 
Ejemplos: 
* 0,75 = 75
100
 = 3
4
 
* 2,225 = 2225
1000
 = 89
40
 
2.-Decimal Inexacto 
 
Decimal Inexacto Periódico Puro.- Una 
fracción irreductible originará un decimal 
periódico puro cuando el valor del 
denominador sea diferente de un múltiplo de 2 
y/o múltiplo de 5. 
Ejemplo: 
30,=0,333.....=
3
1
 
450,=.0,4545....=
11
5
 
 
Fracción Generatriz. - La fracción generatriz 
de un decimal inexacto periódico puro está 
dado por el número formado por las cifras del 
período dividido entre tantos nueves como 
cifras tenga el período. 
Ejemplo: 33
25 = 
99
75 = 750,
 
 
2.2.Decimal Inexacto Periódico Mixto.- Una 
fracción irreductible dará origen a un decimal 
inexacto periódico mixto cuando al 
descomponer el denominador en sus factores 
primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y 
además, algún otro factor necesariamente 
diferente. 
Ejemplo: 
17
88
 = 17
23.11
= 0,1931818. . . = 0,19318
540,829=
88
73
 
⇒ 3 cifras no periódicas 
⇒ 2 cifras periódicas 
Fracción Generatriz. - La fracción generatriz 
de un decimal inexacto periódico mixto estará 
dado por el número formado por la parte no 
periódica, seguida de la parte periódica menos 
la parte no periódica entre tantos nueves 
como cifras tenga el período seguido de 
tantos ceros como cifras tengan la parte no 
periódica. 
Ejemplos: 
* 0,95454... = 0,954 
22
21 = 
990
945 = 
990
9 - 954
 
 
* 0,80681818...=0,80681= 
88
71 = 
99000
79875 = 
99000
806 - 80681
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Calcular (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) si: 
 0, ab� + 0, ba� = 1, 4� 
a)10 b)12c)13 d)14 e)15 
 
2. Hallar: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏; si: 1, 9� + 1, a� = b, 2� 
 a) 5 b) 4 c) 3 d) 8 e) 7 
 
3. Si: A
37
= 0, �a+1
2
� (a + 1)a ; calcule 
el valor de: 𝐴𝐴 + 𝑎𝑎 
a)10 b)9 c)11 d)8 e)12 
 
4. Hallar una fracción equivalente a 84/147 
tal que la suma de sus términos sea 
154. Dar su denominador. 
a) 105 b) 121 c) 147 d) 98 e) 91 
 
5. ¿Cuánto le falta a los 2/3 de los 3/5 de 
los 7/8 de 2 para ser igual a los 4/9 de los 
3/8 de los 2/5 de 12? 
 A) 1
5
 B) 1
10
 C) 2
5
 D) 3
10
 E) 4
5
 
 
6. Al cajero de una compañía le falta 1/9 del 
dinero que se le confió. ¿Qué parte de lo 
 
 
 
 25 
 que le queda restituirá la perdida? 
 A) 5
9
 B) 7
9
 C) 8
9
 D) 1
8
 E) 1
9
 
 
7. Los obreros A, B y C hacen una obra en 
18 días, pero se sabe que A y B hacen la 
misma obra en 30 días ¿en cuántos días 
hace la obra C trabajando solo? 
a)50 b)60 c)90 d)84 e)45 
 
8. Un tonel está lleno un cuarto de lo que no 
está lleno. ¿Qué fracción del tonel queda 
vacío, si se vacía un tercio de lo que no 
se vacía? 
 A) 11
20
 B) 3
4
 C) 17
20
 D) 3
5
 E) 120 
 
9. Después de haber perdido 
sucesivamente los 3/8 de su herencia, 
1/9 del resto y 5/12 del nuevo resto, una 
persona hereda S/. 45600 y de esta 
manera, la perdida se reduce a la mitad 
de la cantidad inicial. ¿Cuál era la fortuna 
inicial? 
a)259200 b)258400 c)270000 
d)280800 e)291600 
 
10. Tengo algunos soles ahorrados, pero en 
una compra gasto la octava parte de mis 
ahorros más s/. 100; en una segunda 
compra invierto las 2/3 partes de mi saldo 
menos s/. 200; y, por último, efectuó una 
compra en la que gasto la cuarta parte de 
lo que me quedaba más s/. 200, 
quedándome finalmente con solamente 
s/. 100. ¿Cuánto era mi ahorro inicial? 
a)500 b)550 c)600 d)700 e)800 
 
11. La quinta parte de un enjambre de abejas 
se posa sobre una flor de Crisantemo; la 
tercera parte en una rosa; el triple de la 
diferencia entre estos dos números vuela 
sobre un clavel y una abeja vuela 
indecisa de una flor de pardanus a un 
oloroso jazmín. ¿Cuál es el número de 
abejas? 
 A)15 B)10 C)12 D)20 E)16 
 
12. A un alambre de 95m de longitud se le 
han dado dos cortes de tal manera que la 
longitud de cada corte sea igual al 
anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál 
es la longitud del trozo más largo? 
 A)25m B)30m C)45m D)40m E)55m 
 
13. Sean los obreros A y B pueden hacer 
una obra en 20 días, B y C pueden hacer 
la misma obra en 15 días, A y C lo 
pueden hacer en 12 días ¿en qué tiempo 
harán la obra juntos? 
a)5 b)6 c)8 d)10 e) menos de 5 
 
14. Cada vez que un jugador apuesta pierde 
1/3 de su dinero. Después de 3 juegos se 
quedó con 800 soles. ¿Con cuánto 
dinero empezó? 
 A)3600 B)3500 C)4800 
 D)2700 E)5400 
 
15. Encontrar un quebrado de denominador 
84, que sea mayor que 1/7 pero menor 
que 1/6 
A) 1384 B) 
12
84
 C) 3
84
 D) 51
84
 E) 2584 
 
16. Un granjero reparte sus gallinas entre 
sus 4 hijos. El primero recibe la mitad de 
las gallinas, el segundo la cuarta parte, el 
tercero la quinta parte y el cuarto los 7 
restantes. Las gallinas repartidas fueron: 
 A)100 B)240 C)80 D)130 E)140 
 
17. Hallar: M = �
�1− 16��1− 
1
7��1− 
1
8�
�1+ 16��1+ 
1
7��1+ 
1
8�
� 
a)12/5 b)18/5 c)5/2 d)21/10 e)16/5 
18. Calcular: �√1,444 + �0,694�
4 �
2
 
 a)121
15
 c)120
17
 e) 171
45
 b) 121
30
 d) 169
30
 
 
 
 
 
 26 
19. Calcule “x” en: 
 �0,0x� + 0,00x� + 0, x� + 0,0x� = 0,36� 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
20. Calcular: “𝑎𝑎 + 𝑏𝑏” en: 
�0, ab� + 0, ba� − 0, 1� = 1, 3� 
 a) 4 b) 9 c) 17 d) 15 e) 16 
 
21. Calcular 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 si: 
�0,00a� + 0,00b� + 0,00c� = 0,16� 
 A) 20 B) 22 C) 30 D) 25 E) 18 
 
22. Después de construir los 2/7 de un 
cimiento, se construye los 3/5 del resto. 
¿Qué longitud tiene el cimiento si faltan 
construir 60m? 
 A)230 B)190 C)210 D)185 E)175 
 
23. Los 4/5 de las aves de una granja son 
palomas, los 5/6 del resto son gallinas y 
las 8 aves restantes son pavos. 
¿Cuántas aves hay en la granja? 
 A)200 B)240 C)300 D)280 E)250 
 
24. Hallar la el valor de “n”, 
5
2
+
5
6
+
5
12
+
5
20
+. . . . . . .�����������������
"n" fracciones
 = 4, 6� 
 A)11 B)10 C)12 D)13 E)14 
 
25. 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 10 y, Además: 
 
0,ac�+0,ca⏜
0,ac�
 = 2, fgh� ; 
Hallar: 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 + ℎ 
 a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 
 
26. Dar la suma de las cifras a y b de la 
fracción irreductible: (b+1)(b−1)
aa0
 que da 
origen a la fracción decimal 0, b ba� 
 a) 5 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 
 
27. Si: ab
cd
= 0, xy⏜ ∧ xy
ab
= 0, bd� 
 Hallar: a
cd+1
 
a)0,03 b)0,06 c)0,09 d)0,12 e)0,15 
 
28. Si: 0, mn���� x 0, (m − n)n = 0,1893� 
Calcular: m + n 
a)7 b)10 c)12 d)13 e)17 
 
29. Los 3/4 de un barril más 7 litros, son de 
petróleo y 1/3 menos 20 litros son de 
agua. ¿Cuántos litros son de petróleo? 
 a)124 b)142 c)132 d)123 e)134 
 
30. De las siguientes fracciones: 
3
4
 ; 
11
12 ; 
7
8 ; 
14
15 ; 
5
6 
¿Cuál es la mayor? 
 a) 5
6
 b) 1415 c) 
3
4
 d) 11
12
 e) 7
8
 
 
31. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que 
lleva en una oficina, los 3/8 en un banco; 
si aún le quedaban 34 cartas para 
distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para 
distribuir? 
 A)60 B)70 C)80 D)90 E)100 
 
32. Efectuar y simplificar: 
E = (�2,333. . .+�0,58333. . . )2 
 a)21/2 b)21/4 c)7/2 d)14/3 e)21/8 
 
33. Una pelota pierde la quinta parte de su 
altura en cada rebote que da. Si se deja 
caer desde 6,25 m de altura. ¿Qué altura 
alcanzará después del cuarto rebote? 
 a) 310 cm b) 320 cm c) 250 cm 
 d) 256 cm e) 50 cm 
 
25.Dos obreros necesitan 12 h para hacer un 
trabajo, si uno trabajando sólo lo hace en 
20 h. ¿En qué tiempo lo hará el otro solo? 
 
 
 
 27 
 a) 24 h b)30 h c) 32 h d) 35 h e) 38 h 
 
26. He gastado los 5
6
 de mi dinero, si en lugar 
de gastar los 5
6
 hubiera gastado los 3
4
 de mi 
dinero, tendría ahora “n” soles más de los que 
tengo. ¿Cuánto no gaste? 
A) 16 n b) 8 n c) 4 n d) 2 n e) n 
 
27. Tres personas se reparten una cantidad 
de hectáreas (Ha). Uno de ellos toma 
posesión de 84 Ha, el otro de los 2
7
 del total y 
el tercero la suma de los dos. ¿Cuál fue la 
cantidad de Ha repartida? 
a) 392 b) 399 c) 406 d) 413 e) 402 
 
28. Perdí 3
4
 de lo que tenía, si hubiera perdido 
los 2
3
 de lo que perdí tendría 100 soles más de 
lo que tengo. ¿Cuánto tengo? 
a) S/. 100 b) S/. 500 c) S/. 150 
d) S/. 250 e) S/. 370 
 
29. Un jugador en su primer juego pierde 1
3
 de 
su dinero, vuelve a apostar y pierde los 3
5
 de lo 
que queda y en una tercera apuesta pierde los 
4
7
 del resto, ¿qué fracción del dinero que tenía 
originalmente le ha quedado? 
a) 23
105
 b) 435 c) 
22
35 d) 
13
105 e) 
4
105 
 
30. Se retiran de un pozo los 3
4
 de su 
contenido menos 40 L. En una segunda 
operación se saca los 2
5
 del resto y por último 
se saca los 4
7
 del resto quedándole aún 36 L. 
¿Cuánto poseía al principio? 
a) 200 L b) 220 L c) 250 L 
d) 300 L e) 320 L 
 
31. El nivel de agua de un pozo desciende 
cada día la mitad de su nivel más 5 metros. 
¿Calcular el nivel inicial de dicho pozo si en 3 
días quedó vacío? 
a) 70 m b) 140 m c) 35 m 
d) 90 m e) 88 m 
 
32. Hallar: a + b: 
 a
11
+ b
3
= 0,96 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
33. Disminuyendo un número en la centésima 
parte de su valor resulta 4898321
5
. ¿Cuál 
es el número? 
a) 494 780 b)572 620 c) 572 840 
d) 486 720 e) 472 910 
 
34. ¿Cuántas fracciones de la forma 𝑛𝑛96, son 
mayores que 1
8
 y menor es que 1
6
? 
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
34. Memo paso así su vida: 1/3 durmiendo 
1/12 comiendo, 1/4 viajando, 1/6 
practicando deporte y el resto de su vida 
que son 3,5 años la pasó trabajando. 
¿Qué edad tuvo al morir? 
 a)42 años b)70 años c)32 años 
d)21años e)18 años 
 
35. ¿Cuál es la fracción cuyo valor es menor 
que 2/5 pero mayor que 1/3, si se sabe 
que su denominador es 30? 
a) 19
30
 b) 11
30
 c) 7
30
 d) 13
30
 e) 17
30
 
 
36. A una pieza de tela de 12,2m de longitud 
se le hizo dos cortes de tal manera que la 
longitud de cada trozo es igual a la 
longitud de la anterior más 1/4 de dicha 
longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo 
más grande? 
 A)3m B)4,8m C)4m D)3,2m E)5m 
 
37. A Los 2/3 de los miembros de un comité 
so mujeres; 1/4 de los hombres están 
 
 
 
 28 
casados. Si hay 9 hombres solteros, 
¿Cuántas mujeres tiene el comité? 
 A)12 B)26 C)18 D)24 E)36 
 
38. Julissa gasta los 2/3 del dinero que no 
gasta. Luego gasta la mitad de lo que ya 
gastó. ¿Qué parte del dinero que tenía 
gastó en total? 
 a) 2
5
 b) 1
6
 c) 3
5
 d) 5
6
 e) 1
2
 
 
39. De un vaso lleno con agua, bebo la sexta 
parte y luego la cuarta parte del resto. 
¿Qué fracción de lo que queda debo 
volver a beber para que aún sobren los 
3/8 del total? 
 a) 1
4
 b) 3
5
 c) 2
5
 d) 5
6
 e) 5
24
 
 
40. Mauricio gasta su dinero de la siguiente 
manera: En un libro gasta 3/4 de su 
dinero; en un CD gasta 1/7 de lo que le 
queda y en un reloj gasta 2/3 del nuevo 
resto quedándose al final con 20 soles. 
¿Con cuánto dinero contaba Mauricio? 
 a) S/.360 b) S/.250 c) S/.240 
 d) S/.280 e) S/.420 
 
41. Diana va de compras, gastando en la 
primera tienda 1/5 de su dinero, más 1 
sol; en la segunda tienda gastó 2/3 de lo 
que le quedaba menos 3 soles y en la 
tercera tienda gasta 1/4 del resto más 5 
soles. Si aún le quedan 4 soles. ¿Cuánto 
gastó en la primera tienda? 
 a) S/.5 b) S/.8 c) S/.6 d) S/.9 e) S/.7 
 
42. Una persona tiene cierto número de 
gallinas. Al ser víctima de un robo pierde 
2/9 del total, menos 5 gallinas. Por otro 
lado; compra 37 gallinas y se percata que 
el número primitivo quedó aumentado en 
1/6. ¿Cuántas gallinas le robaron? 
 a) 27 b) 15 c) 17 d) 19 e) 29