División algebraica Algebra

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SEMANA
09
• P(x) 2x 7
• M(x) 3x
2–5x 8
• T(x) 5x
3–6x2 2x 1
¡Recuerde que...!
D y d
dividendo y divisor -
ente-
ros q y r cociente y resto
D d q r r d.
¡Sabía que...! 
CLASES DE DIVISIÓN
R(x)
• División exacta R(x)
x x
x
 se tiene
q(x) x(x 2) y R(x)
• División inexacta R(x)
x x
x
 se tiene
q(x) x(x 2) y R(x) 1
¡Tenga en cuenta que...!
División algebraica I
POLINOMIO ESPECIALES
Polinomio ordenado
Es aquel polinomio cuyos exponentes de la variable están ordena-
dos en forma ascendente (de menor a mayor exponente) o des-
cendente (de mayor a menor exponente).
Ejemplos
• P(x)=5+2x+x
3 –x5 es un polinomio ordenado en forma ascen-
dente.
• P(x)=x
7 –x4+ 2x2+11x–6 es un polinomio ordenado en forma 
descendente.
Polinomio completo
Es aquel polinomio donde la variable tiene como exponentes a to-
dos los números enteros que abarcan desde el 1 hasta el grado del 
polinomio.
Ejemplos
• P(x) 5 2x
5 3x4 –8x3 6x2 –7x es un polinomio completo.
• Q(x) 3x 5x
5 x3 5 es un polinomio completo.
• T(x) x
2 2x 10 es un polinomio completo y ordenado.
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo D(x) y di-
visor d(x), efectuar la división consiste en hallar estos dos úni-
cos polinomios llamados cociente q(x) y residuo R(x), de tal manera 
que cumplan la siguiente identidad.
 
D(x) d(x)q(x) R(x)
 Además
 • º[D(x)] º[d(x)]
 • º[R(x)] º[d(x)] R(x) 0
Propiedades
1. El grado del cociente es igual a la diferencia de grados entre el 
dividendo y el divisor; es decir,
º[q(x)] º[D(x)] –º[d(x)]
2. El grado máximo que puede tomar el residuo es igual al grado 
del divisor disminuido en 1; es decir,
Máxº[R(x)] º[d(x)]–1
5 3x33 4 –8x88 3 6x66 2 –7x es un polinomio completo.
5x5 5 es un polinomio completo.
2x 10 es un polinomio completo y ordenado.
DIVISIÓN ALGEBRAICA
10 es un polinomio completo y ordenado.
5 es un polinomio completo.
10 es un polinomio completo y ordenado.
Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo Dados dos polinomios no constantes llamados dividendo 
2
-
-
¡Sabía que...! 
MÉTODO CLÁSICO
6x4 – x3 + x2–2x+1
–6x4+3x3+6x2
2x3+7x2–2x
8x2+0x+1
3x2+x+4
–8x2+4x+8
2x2–x–2
4x+9
–2x3+ x2 +2x
Luego
q(x) 3x
2 x 4
R(x) 4x 9
Observación
Ejemplo
En la división algebraica 
x x x
x x
• º[q(x)] 6–2 4, entonces el grado del cociente es 4.
• Máxº[R(x)] 2–1 1, entonces el residuo puede ser lineal: 
R(x) ax b, pero si a 0, entonces el residuo puede ser 
constante R x b y si a b 0, entonces el residuo es idén-
ticamente nulo R x 0 .
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios, dividendo y divisor, ambos deben ser 
completos y ordenados respecto a su misma variable x, general-
mente en forma decreciente.
Método de Horner
Consideremos los polinomios completos y ordenados
D(x) a0x
4 a1x
3 a2x
2 a3x a4
d(x) b0x
2 b1x b2
El esquema de Horner es el siguiente
a2a1b0
–b1 * *
* *
* *
–b2
a0
q0 q1 q2 r0 r1
a3 a4
línea que separa al 
cociente del resto
Luego, q(x) q0x
2 q1x q2 y R(x) r0x r1
Ejemplo
Efectúe la división 
x x x x
x x x
.
18 –6 –12
6 –9 3 6
–1732
–3 –15
–12
5 10
1
2
10
5 –6 3 –6 –9 1
–1 0 –5
Luego, q(x) 5x
2 –6x 3 y R(x) –6x
2 –9x 1
a2a1
*
* *
a0 a3 a4
línea que separa al 
cociente del resto
* *
REGLA DE RUFFINI
Es un caso particular del método de Horner. Se aplica cuando el 
divisor es lineal d x ax b; a 0 .
Consideremos los polinomios
D(x) a0x
5 a1x
4 a2x
3 a3x
2 a4x a5
d(x) ax b
A continuación se muestra el esquema de Ruffini.
a1ax+b=0
* * *
a0
a0 b1 b2 b3 R
a
a
a2 a3
q0 q1 q2 q3
x= b
a
–
a a a
* *
b4
a4 a5
q4
a
coeficientes de q
(x)
Luego
q(x) q0x
4 q1x
3 q2x
2 q3x q4 y R(x) R.
Ejemplo
Determine el cociente de la siguiente división.
x x x
x
Resolución
Aplicamos la regla de Ruffini.
–83x+2=0
3
–4 8 –6 4
6
6 –12 9 –6
2 –4 3 –2
6
1 0 2
x= 2
3
–
coeficientes de q
(x)
resto
R
(x)
Entonces, el cociente de la división es
q(x) 2x
3 –4x2 3x–2
Nota 
-
P(x) f(x) si y solo 
si existe Q(x) P(x) f(x)Q(x).
¡Tenga en cuenta que...!
Determine el cociente de la siguiente división.Determine el cociente de la siguiente división.
x
q3x33x q4 yy RRR(x(q1x q2x22 R.
Problemas resueltos
1. Halle el residuo evaluado en a de la siguiente 
división si se sabe que el término independien-
te del cociente es cero.
Resolución
Aplicamos el método de Horner para efectuar 
la división.
15 –10
a+11 0 0
a42
3 6
10
–4
–2
4
2 5 a+11 1 2
11 2
2
0
Por dato
 
a
a
de donde
 q(x) 2x
2 5x y R(x) x 2
Por lo tanto
 R(a) R(–11)
 –11 2
R(a) –9
2. Halle el cociente de la siguiente división
x x x x
x
Resolución
Aplicamos la regla de Ruffini
42
5
4–3 –52x+1=0
–3–112
x=–
2
2 –4 –86
1 –2
coeficientes del q
(x)
–43
1
(+)
2
q(x) x
3 –2x2 3x–4
3. Halle el menor valor de m n si se sabe que el 
polinomio P(x) m – 3 x
2 n2 – 1 x mn 1 –a
es idénticamente nulo.
Resolución
En vista que P x m–3 x
2 n2 –1 x mn 1 –a
es idénticamente nulo, todos sus coeficientes 
son iguales a cero. Es decir,
 m–3 0 n2–1 0
 m 3 n2 1
 m 3 n 1
Luego,
si n 1, entonces m n 4
si n –1, entonces m n 2
Por lo tanto, el menor valor de m n es 2.
4. Dado el siguiente polinomio
P(x) 5 4x
a b 3xb c 2xc d xd 5
Completo y ordenado, halle el valor de abcd.
Resolución
Como P(x) es completo y ordenado, entonces
 P(x)=5+4x +3x +2x +x
a+b
1
b+c
2
c+d
3
d+5
4
d 5 4; c d 3; b c 2; a b 1
d –1; c 4; b –2; a 3
abcd 24
 m–3 0
m 3
 m
Luego,
2
si si n
si 
n
n
1, entonces 
–1, entonces 
1, entonces 
–1, entonces 
1, entonces 
–1, entonces 
1, entonces 
–1, entonces 
0 son iguales a cero. Es decir,son iguales a cero. Es decir,son iguales a cero. Es decir,0 son iguales a cero. Es decir,
PRÁCTICA DIRIGIDA
1. Luego de efectuar la división
calcule a b si la división es exacta.
A) 2 B) 3
C) 4 D) –5
2. Los socios de una cooperativa adquieren
una deuda de 3x3 6x 2x2 4 soles y de-
ciden pagarlo en partes iguales. ¿Cuánto le
toca a cada socio si el total de integrantes es
x2 2 ; x x 5?
A) (3x–2) soles
B) (3x 2) soles
C) (9x 2) soles
D) (10x–1) soles
3. Luego de efectuar la división
se obtuvo como resto R(x) 2x 1. ¿Cuál es el
valor de a–b?
A) –1 B) –3
C) 4 D) 1
4. Determine el cociente y resto de la siguiente
división:
x x x
x
A) x2 3x; 1
B) 4x2 3x; 1
C) x2 – 3x; 0
D) 4x2 x; 2
5. Determine el término cubico del cociente de
la siguiente división:
x x x x
x
A) x3
B) 10x3
C) 4x3
D) 3x3
6. En la siguiente definición
indique el coeficiente del término lineal del 
cociente si el resto es 3.
A) 20 B) 4
C) 4x D) 5x
7. La empresa de caramelos “Diente Feliz”,
produce diariamente 6x3 5x2 –2x 10 cara-
melo. Para su exportación se debe preparar 
paquetes de (3x 1) caramelos. Determine 
cuántos paquetes se debe preparar y cuántos 
caramelos sobran si x .
A) 2x2 –x–1 ; 10
B) 2x2 x–1 ; 11
C) x2 x–1 ; 9
D) x2 x–1 ; 11
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Indique la secuencia correcta de verdad
(V o F) según corresponda.
I. P(x)3x
2 5x 7es un polinomio completo y 
ordenado.
II. Q(x) 3x
7 x2 –1 es un polinomio ordenado 
de forma decreciente.
III. T(x) x 3x
3–x2 8 es un polinomio completo.
A) VFF B) FVV
C) FFF D) VVV
produce diariamente
melo. Para su exportación se debe preparar
paquetes de (3
cuántos paquetes se debe preparar y cuántos
caramelos sobran si
Luego de efectuar la divisiónLuego de efectuar la división
7.7. La empresa de caramelos “Diente Feliz”,La empresa de caramelos “Diente Feliz”,La empresa de caramelos “Diente Feliz”,La empresa de caramelos “Diente Feliz”,
2. Indique el valor de (V o F) de las siguientes 
proposiciones respecto al siguiente polinomio:
P(x) ax
3 bx2 cx d
I. Si a b c d 0, entonces P(x) es polinomio 
nulo.
II. Si a, b, c y d son diferentes de cero, enton-
ces P(x) es completo y ordenado.
III. Si a b d 1 c 0, entonces P(x) es un po-
linomio completo.
A) FVV B) FFF
C) VVV D) VVF
3. De la definición
x x x
x
determine la suma de los términos indepen-
dientes del cociente y el resto.
A) 3 B) – 5
C) 2 D) 10
4. Determine la suma de coeficientes del resto 
de la siguiente división:
x x x
x x
A) 19 B) 29
C) 10 D) 15
5. Si la siguiente división
tiene su residuo constante, calcule m.
A) 4 B) 2
C) 8 D) –14
6. Lucía y Diego trabajan juntos para la venta de 
chocotejas. Para ponerlas en el mercado, la 
empacan en cajas de (x2 2x–1) chocotejas 
cada una. Si producen (3x3–15x 6) chocotejas, 
¿cuántas cajas necesitan para empacarlas 
todas?
A) (3x– 6) cajas
B) (x 6) cajas
C) (3x) cajas
D) (3x–2) cajas
7. Si en la división algebraica
el residuo es –6x–3, halle el valor de m n.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 4
8. Al dividir con el método de Horner se obtiene 
el siguiente esquema:
1–31
2
–1
a
5 * *
–1
*
*
*
*
*
Halle el residuo.
A) 12x2 6
B) 7x– 6
C) 2x–7
D) x– 6
9. De la división
x x x
x
halle su cociente y el resto.
A) q(x) –x
2 –x 1; R(x) 7
B) q(x) x
2 –2x–2; R(x) 3
C) q(x) x
2 –x; R(x) 8
D) q(x) x
2 –1; R(x) 9
Determine la suma de coeficientes del resto 
1
2
–1
Determine la suma de coeficientes del resto Determine la suma de coeficientes del resto 
10. Halle el término lineal del cociente de la si-
guiente división.
x x x
x
A) –7x B) – 4x
C) 6x D) 4x
11. En la siguiente división
x x x
x
Indique la secuencia correcta de verdad (V o F) 
según corresponda.
I. Si cociente es 6x2 4x 4
II. Es una división exacta
III. Su cociente es 3x2 2x 2
A) VVV B) FVV
C) VFF D) FFV
12. En la división
Se cumple que la suma de coeficientes del co-
ciente es igual a dos veces el resto. Determine 
el valor de a.
A) 3 B) 4
C) 1 D) –1
13. La empresa coreana Sansung ha comenzado a
producir un nuevo equipo celular “Galaxy S10”.
Para entrar al mercado peruano debe producir
x5 –1 equipos y exportarlo en cajas con x 1
celulares. Indique el número de cajas que
debe llenar si 4 x 11.
A) x4 x2 1 cajas
B) x4 x3 x2 x 1 cajas
C) x3 –x–1 cajas
D) x4 –x3 x2 –x 1 cajas
14. Si R(x) es el resto de la división
x x x
x
Determine el término independiente del 
cociente.
A) 2 B) 2
C) 3 D) 1
15. En un restaurante se usan (5x–1) gramos por
cada porción de arroz por persona. Si un día
se preparan (5x4–11x3 nx2 x 2) gramos de
arroz, ¿cuánto es el valor de n si se sabe que al
preparar las porciones sobraron 3 gramos de
arroz?
A) 31 B) 22
C) 20 D) 21
D
D
B
A
D
A
C
B
B
C
C
C
D
A
B
A) 2
C) 3
15. En un restaurante se usan (5
cada porción de arroz por persona. Si un día
Se cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del coSe cumple que la suma de coeficientes del co
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