Álgebra Inecuaciones

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INECUACIONES
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
11/3/2017
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INECUACIONES
N
Inecuaciones de primer grado en una variable
Inecuaciones de primer grado
Definición
Una inecuación de primer grado, es aquella que tiene una de las
siguientes formas:
ax + b < 0 ∨ ax + b > 0 ∨ ax + b ≤ 0 ∨ ax + b ≥ 0
donde a y b son números reales (a 6= 0) y x ∈ R es la incógnita.
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INECUACIONES
N
Inecuaciones de primer grado en una variable
Inecuaciones de primer grado
Resolver ax + b < 0 si a 6= 0.
Cuando a > 0, la inecuación ax + b < 0 es equivalente a ax < −b,
por lo tanto x < −
b
a
, aśı
C.S. =
〈
−∞,−
b
a
〉
Cuando a < 0, la inecuación ax + b < 0 es equivalente a ax < −b,
por lo tanto x > −
b
a
, aśı
C.S. =
〈
− b
a
,+∞
〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones de primer grado en una variable
Inecuaciones de primer grado
Resolver ax + b < 0 si a 6= 0.
Cuando a > 0, la inecuación ax + b < 0 es equivalente a ax < −b,
por lo tanto x < −
b
a
, aśı
C.S. =
〈
−∞,−
b
a
〉
Cuando a < 0, la inecuación ax + b < 0 es equivalente a ax < −b,
por lo tanto x > −
b
a
, aśı
C.S. =
〈
− b
a
,+∞
〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones de primer grado en una variable
Inecuaciones de primer grado
Resolver ax + b < 0 si a 6= 0.
Cuando a > 0, la inecuación ax + b < 0 es equivalente a ax < −b,
por lo tanto x < −
b
a
, aśı
C.S. =
〈
−∞,−
b
a
〉
Cuando a < 0, la inecuación ax + b < 0 es equivalente a ax < −b,
por lo tanto x > −
b
a
, aśı
C.S. =
〈
− b
a
,+∞
〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones de segundo grado
Definición
Una inecuación cuadrática, es aquella que tiene una de las
siguientes formas:
• ax2 + bx + c < 0 • ax2 + bx + c > 0
• ax2 + bx + c ≤ 0 • ax2 + bx + c ≥ 0
donde a, b y c son números reales (a 6= 0) y x ∈ R es la incógnita.
La resolución de la inecuación cuadrática dependerá del coeficiente
principal a y del discriminante ∆ = b2 − 4ac de
p(x) = ax2 + bx + c.
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones de segundo grado
Definición
Una inecuación cuadrática, es aquella que tiene una de las
siguientes formas:
• ax2 + bx + c < 0 • ax2 + bx + c > 0
• ax2 + bx + c ≤ 0 • ax2 + bx + c ≥ 0
donde a, b y c son números reales (a 6= 0) y x ∈ R es la incógnita.
La resolución de la inecuación cuadrática dependerá del coeficiente
principal a y del discriminante ∆ = b2 − 4ac de
p(x) = ax2 + bx + c.
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0,
se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0,
se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0,
se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0,
se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso I :
Si ∆ > 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 6= r2), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = 〈r1; r2〉
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = [r1; r2]
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1〉 ∪ 〈r2;∞〉
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = 〈−∞; r1] ∪ [r2;∞〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24,
a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2,
∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0
y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x−3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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N
Inecuaciones cuadráticas
Caso I
Ejemplo
Al resolver
a) 2x2 − 14x + 24 < 0
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0
c) 2x2 − 14x + 24 > 0
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0
p(x) = 2x2 − 14x + 24, a = 2, ∆ > 0 y p(x) = 2(x− 3)(x− 4)
a) 2x2 − 14x + 24 < 0, tiene como C.S. = 〈3; 4〉
b) 2x2 − 14x + 24 ≤ 0, tiene como C.S. = [3; 4]
c) 2x2 − 14x + 24 > 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3〉 ∪ 〈4;∞〉
d) 2x2 − 14x + 24 ≥ 0, tiene como C.S. = 〈−∞; 3] ∪ [4;∞〉
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0,
se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0,
se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0,
se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0,
se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso II :
Si ∆ = 0, p(x) tiene ráıces reales r1 y r2 (r1 = r2 = r), entonces
ax2 + bx + c = a(x− r)2
luego, si a > 0, al resolver:
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R\{r}
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = {r}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25,
a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
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INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1,
∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0
y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8/ 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso II
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0
b) x2 − 10x + 25 > 0
c) x2 − 10x + 25 < 0
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0
p(x) = x2 − 10x + 25, a = 1, ∆ = 0 y p(x) = (1)(x− 5)2
a) x2 − 10x + 25 ≥ 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − 10x + 25 > 0, tiene como C.S. = R\{5}
c) x2 − 10x + 25 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − 10x + 25 ≤ 0, tiene como C.S. = {5}
8 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Si a 6= 0, entonces :
ax2 + bx + c = a
(
x +
b
2a
)2
+
−∆
4a
luego, se tiene :
Teorema del trinomio
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0⇔ a > 0 y ∆ < 0.
∀x ∈ R, ax2 + bx + c < 0⇔ a < 0 y ∆ < 0.
9 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Si a 6= 0, entonces :
ax2 + bx + c = a
(
x +
b
2a
)2
+
−∆
4a
luego, se tiene :
Teorema del trinomio
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0⇔ a > 0 y ∆ < 0.
∀x ∈ R, ax2 + bx + c < 0⇔ a < 0 y ∆ < 0.
9 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Si a 6= 0, entonces :
ax2 + bx + c = a
(
x +
b
2a
)2
+
−∆
4a
luego, se tiene :
Teorema del trinomio
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0⇔ a > 0 y ∆ < 0.
∀x ∈ R, ax2 + bx + c < 0⇔ a < 0 y ∆ < 0.
9 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0,
se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0,
se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0,
se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0,
se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones cuadráticas
Caso III :
Si ∆ < 0 y a > 0, por el teorema del trinomio (positivo)
∀x ∈ R, ax2 + bx + c > 0
luego, al resolver :
ax2 + bx + c > 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c ≥ 0, se tiene que el C.S. = R
ax2 + bx + c < 0, se tiene que el C.S. = ∅
ax2 + bx + c ≤ 0, se tiene que el C.S. = ∅
10 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1,
a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1,
∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0
y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x+ 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones cuadráticas
Caso III
Ejemplo
Al resolver
a) x2 − x + 1 > 0
b) x2 − x + 1 ≥ 0
c) x2 − x + 1 < 0
d) x2 − x + 1 ≤ 0
p(x) = x2 − x + 1, a = 1, ∆ < 0 y ∀x ∈ R, x2 − x + 1 > 0
a) x2 − x + 1 > 0, tiene como C.S. = R
b) x2 − x + 1 ≥ 0, tiene como C.S. = R
c) x2 − x + 1 < 0, tiene como C.S. = ∅
d) x2 − x + 1 ≤ 0, tiene como C.S. = ∅
11 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Definición
Una inecuación polinomial de grado superior de incógnita x, es
aquella que tiene una de las siguientes formas:
p(x) > 0 ∨ p(x) ≥ 0 ∨ p(x) < 0 ∨ p(x) ≤ 0;
donde
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + anx
n
con a0, a1, a2, . . . , an números reales, an 6= 0 y n ≥ 3.
12 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Toda polinomio p(x) de grado n ≥ 3 puede expresarse como un
producto de factores de grado uno, o bien factores cuadráticos
con discriminante negativo.
Los factores de grado uno, generan ráıces reales.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, son o bien
positivos o bien negativos, dependiendo del signo del coeficiente
principal.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, siempre
generan parejas de ráıces complejas conjugadas.
13 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Toda polinomio p(x) de grado n ≥ 3 puede expresarse como un
producto de factores de grado uno, o bien factores cuadráticos
con discriminante negativo.
Los factores de grado uno, generan ráıces reales.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, son o bien
positivos o bien negativos, dependiendo del signo del coeficiente
principal.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, siempre
generan parejas de ráıces complejas conjugadas.
13 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Toda polinomio p(x) de grado n ≥ 3 puede expresarse como un
producto de factores de grado uno, o bien factores cuadráticos
con discriminante negativo.
Los factores de grado uno, generan ráıces reales.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, son o bien
positivos o bien negativos, dependiendo del signo del coeficiente
principal.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, siempre
generan parejas de ráıces complejas conjugadas.
13 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Toda polinomio p(x) de grado n ≥ 3 puede expresarse como un
producto de factores de grado uno, o bien factores cuadráticos
con discriminante negativo.
Los factores de grado uno, generan ráıces reales.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, son o bien
positivos o bien negativos, dependiendo del signo del coeficiente
principal.
Los factores cuadráticos con discriminante negativo, siempre
generan parejas de ráıces complejas conjugadas.
13 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 1
q2n(x)h(x) > 0 ⇔ h(x) > 0 ∧ q(x) 6= 0
q2n(x)h(x) < 0 ⇔ h(x) < 0 ∧ q(x) 6= 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 2)(x− 3)]2 (x− 4)(x− 5) > 0
equivale a resolver
(x− 4)(x− 5) > 0 ∧ (x 6= 2 ∧ x 6= 3)
14 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 1
q2n(x)h(x) > 0 ⇔ h(x) > 0 ∧ q(x) 6= 0
q2n(x)h(x) < 0 ⇔ h(x) < 0 ∧ q(x) 6= 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 2)(x− 3)]2 (x− 4)(x− 5) > 0
equivale a resolver
(x− 4)(x− 5) > 0 ∧ (x 6= 2 ∧ x 6= 3)
14 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 2
q2n(x)h(x) ≥ 0 ⇔ h(x) ≥ 0 ∨ q(x) = 0
q2n(x)h(x) ≤ 0 ⇔ h(x) ≤ 0 ∨ q(x) = 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 2)(x− 3)]2 (x− 4)(x− 5) ≤ 0
equivale a resolver
(x− 4)(x− 5) ≤ 0 ∨ (x = 2 ∨ x = 3)
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INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 3
q2n+1(x)h(x) > 0 ⇔ q(x)h(x) > 0
q2n+1(x)h(x) < 0 ⇔ q(x)h(x) < 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 1)(x− 2)]3 (x− 4)(x− 5) > 0
equivale a resolver
(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 5) > 0
16 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 3
q2n+1(x)h(x) > 0 ⇔ q(x)h(x) > 0
q2n+1(x)h(x) < 0 ⇔ q(x)h(x) < 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 1)(x− 2)]3 (x− 4)(x− 5) > 0
equivale a resolver
(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 5) > 0
16 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 4
q2n+1(x)h(x) ≥ 0 ⇔ q(x)h(x) ≥ 0
q2n+1(x)h(x) ≤ 0 ⇔ q(x)h(x) ≤ 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 1)(x− 2)]3 (x− 4)(x− 5) ≤ 0
equivale a resolver
(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 5) ≤ 0
17 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones de grado superior
Inecuaciones de grado superior
Teorema 4
q2n+1(x)h(x) ≥ 0 ⇔ q(x)h(x) ≥ 0
q2n+1(x)h(x) ≤ 0 ⇔ q(x)h(x) ≤ 0
Ejemplo
Resolver
[(x− 1)(x− 2)]3 (x− 4)(x− 5) ≤ 0
equivale a resolver
(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 5) ≤ 0
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INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Inecuaciones racionales
Definición
Una inecuación racional de incógnita x, es aquella que tiene una
de las siguientes formas:
p(x)
q(x)
> 0 ∨ p(x)
q(x)
≥ 0 ∨ p(x)
q(x)
< 0 ∨ p(x)
q(x)
≤ 0
donde p(x) y q(x) son polinomios sobre R con q(x) 6= 0.
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INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Inecuaciones racionales
Teorema 1
p(x)
q(x)
> 0 ⇔ p(x)q(x) > 0
Ejemplo
Resolver
(x− 2)(x− 3)
(x− 4)(x− 5)
> 0
equivale a resolver
(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5) > 0
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INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Inecuaciones racionales
Teorema 1
p(x)
q(x)
> 0 ⇔ p(x)q(x) > 0
Ejemplo
Resolver
(x− 2)(x− 3)
(x− 4)(x− 5)
> 0
equivale a resolver
(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5) > 0
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INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Inecuaciones racionales
Teorema 2
p(x)
q(x)
≥ 0 ⇔ p(x)q(x) ≥ 0 ∧ q(x) 6= 0
Ejemplo
Resolver
(x− 2)(x− 3)
(x− 4)(x− 5)
≥ 0
equivale a resolver
(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5) ≥ 0 ∧ (x 6= 4 ∧ x 6= 5)
20 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Material de Estudio
Ejercicio 92
Dado el conjunto
A =
{
a ∈ Z/∀x ∈ R,−3 < x
2 + ax− 2
x2 − x + 1
< 2
}
Determine n(A)
Ejercicio 94
Determine el número de soluciones enteras de
(x2 − 2x + 3)(x− 1)5(x− 2)11(x + 1)7(x + 3)
(x− 2)7(x− 5)13(x2 + 1)
≤ 0
21 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Material de Estudio
Ejercicio 92
Dado el conjunto
A =
{
a ∈ Z/∀x ∈ R,−3 < x
2 + ax− 2
x2 − x + 1
< 2
}
Determine n(A)
Ejercicio 94
Determine el número de soluciones enteras de
(x2 − 2x + 3)(x− 1)5(x− 2)11(x + 1)7(x + 3)
(x− 2)7(x− 5)13(x2 + 1)
≤ 0
21 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Material de Estudio
Ejercicio 96
Si 〈−∞; a + 2] ∪ 〈b− 1;∞〉 es el C.S. de la inecuación
1 + x−1 + x−2 + x−3 + x−4 + x−5 ≥ 0
determine el valor de a2 + b2
Ejercicio 99
Determine el conjunto solución de la inecuación
x4 − x2 − 6
x2 − 1
≤ 0
22 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Material de Estudio
Ejercicio 96
Si 〈−∞; a + 2] ∪ 〈b− 1;∞〉 es el C.S. de la inecuación
1 + x−1 + x−2 + x−3 + x−4 + x−5 ≥ 0
determine el valor de a2 + b2
Ejercicio 99
Determine el conjunto solución de la inecuación
x4 − x2 − 6
x2 − 1
≤ 0
22 / 22
INECUACIONES
N
Inecuaciones racionales
Material de Estudio
Ejercicio 96
Si 〈−∞; a + 2] ∪ 〈b− 1;∞〉 es el C.S. de la inecuación
1 + x−1 + x−2 + x−3 + x−4 + x−5 ≥ 0
determine el valor de a2 + b2
Ejercicio 99
Determine el conjunto solución de la inecuación
x4 − x2 − 6
x2 − 1
≤ 0
22 / 22
INECUACIONES
N
	Inecuaciones de primer grado en una variable
	Inecuaciones cuadráticas
	Inecuaciones de grado superior
	Inecuaciones racionales