Inecuaciones cuadráticas

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
 
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE 
 
Para resolver estas desigualdades puede seguirse los pasos siguientes: 
 
1. Se transforma la desigualdad en 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎 (donde ≤ puede ser ≥, < o >) 
2. Se factoriza la parte izquierda. 
3. Se determina cada una de las raíces de los factores obtenidos en el paso 2. 
4. Se construye un cuadro de variación para ver el comportamiento de la expresión 𝒂𝒙𝟐 + 
𝒃𝒙 + 𝒄 en los diferentes intervalos determinados por las raíces de los factores. 
5. Se concluye en base a los resultados, los cuales están determinados por la última fila del 
cuadro de variación. 
 
Ejemplo: resolver 𝒙𝟐 > 𝟔 − 𝒙 
 
Solución: 
 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 > 𝟎 
Trasladamos todos los términos ya sea al 
miembro izquierdo o al miembro derecho. 
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) > 𝟎 Luego, factorizamos el polinomio cuadrático. 
𝒙 + 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟑 
𝒙 − 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟐 
Determinamos los valores que hacen cero 
cada uno de los factores. 
 
 
 
 
Estos números nos dividen en tres regiones de 
la recta real (se colocan en el cuadro en el orden 
que aparecen en la recta numérica). 
 
 
 
 
 
 
 
Se analiza como es el signo de los 2 factores en 
los tres intervalos. 
 
Es decir, nos interesa saber si al sustituir la 
variable 𝒙 por valores que estén entre −∞ y 
−𝟑, en el factor (𝒙 + 𝟑), da como resultado 
valores positivos o negativos. Podemos 
escoger el número – 𝟒 y notamos que el 
resultado es negativo. 
 
En efecto, si 𝒙 toma el valor de – 𝟒, entonces 
𝒙 + 𝟑 = −𝟒 + 𝟑 = −𝟏 < 𝟎 (negativo). 
 
Colocamos este signo (−) en la primera 
 casilla. 
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Notar que: 
 
 Al sustituir, en lugar de la 𝒙, valores que estén en este intervalo deben de hacer cierta la 
inecuación original. Tomemos el valor de 𝟑, por ejemplo: 
(𝟑)𝟐 > 𝟔 − (𝟑) 
𝟗 > 𝟑, 𝑒𝑠 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐. 
 Si sustituimos cualquier valor entre – 𝟑 y 𝟐 no hacen cierta la inecuación original 𝒙𝟐 > 
𝟔 − 𝒙, es decir que no forman parte de la solución. Sustituimos, por ejemplo, el valor de 
1 en lugar de la 𝒙 en esta desigualdad, obtenemos: 
 Ahora veamos que signo resulta al sustituir la 
𝒙 por valores en este mismo intervalo, pero 
ahora en el factor (𝒙 − 𝟐) y notamos que 
también resultan valores negativos (−). 
Colocamos este signo en la casilla que le 
corresponde al factor (𝒙 − 𝟐) en el intervalo 
de −∞ y – 𝟑. 
 
 
Realmente nos interesa el signo del producto de 
los dos factores en dicho intervalo, entonces 
aplicamos la ley de los signos del producto: 
menos por menos es más (positivo) y 
colocamos ese signo en la primera casilla 
correspondiente al producto (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐). 
 
 
 
Hacemos lo mismo, pero ahora en los otros 
dos intervalos de −𝟑 a 𝟐 y también de 𝟐 a 
+∞, y completamos el cuadro. 
 
 
El producto de los dos factores es mayor que 
cero en estos dos intervalos. 
 
 
 
Recordemos, que andamos buscando números 
que cumplan que (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) > 𝟎, es decir 
que el producto sea mayor que cero (positivo). 
 
 
] − ∞, −𝟑[ ⋃ ]𝟐, +∞[ 
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo 
] − ∞, −𝟑[ ⋃ ]𝟐, +∞[ . Es decir que si 
sustituimos cualquier valor de 𝒙 comprendido 
en ese conjunto solución, nos 
hace “verdadera” la inecuación 𝒙𝟐 > 𝟔 − 𝒙. 
 
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(𝟏)𝟐 > 𝟔 − 𝟏 
𝟏 > 𝟓, 𝑒𝑠 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐. 
Esto confirma que los valores comprendidos entre – 𝟑 y 𝟐 no forman parte del conjunto 
solución. 
 Podemos, de igual manera comprobar que cualquier elemento que esté comprendido 
entre 𝟐 y +∞ (es decir que pertenezca al intervalo ]𝟐, +∞[), hacen cierta la inecuación 
original. 
Preguntas: 
 
1. ¿Cuál será el conjunto solución si la inecuación es 𝒙𝟐 ≥ 𝟔 − 𝒙? 
2. ¿Cuál será el conjunto solución si la inecuación es 𝒙𝟐 < 𝟔 − 𝒙? 
3. ¿Cuál será el conjunto solución si la inecuación es 𝒙𝟐 ≤ 𝟔 − 𝒙? 
 
Notemos que al seguir los pasos propuestos para resolver cada una de estas inecuaciones, en 
los tres casos llegamos a que equivalen, respectivamente: 
 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎 
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) ≥ 𝟎 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 < 𝟎 
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) < 𝟎 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 ≤ 𝟎 
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) ≤ 𝟎 
 
El cuadro de variación que hay que elaborar es el mismo que se hizo para resolver la inecuación 
𝒙𝟐 > 𝟔 − 𝒙. 
 
En las preguntas 1 y 3 admite que el producto de los factores sea también igual a “cero”, por lo 
tanto, la respuesta para la pregunta 1 es: 
 
𝑪. 𝑺. =] − ∞, −𝟑]⋃[𝟐, +∞[ 
 
Para la pregunta 2, notemos que resolver la inecuación 𝒙𝟐 < 𝟔 − 𝒙, equivale a resolver (𝒙 
+ 𝟑)(𝒙 − 𝟐) < 𝟎. Es decir que buscamos valores que al sustituirlos por 𝒙, nos resulte un producto 
menor que cero (negativo). 
 
Entonces, según el cuadro de variación, el producto (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) es menor estrictamente que 
cero (negativo), en el intervalo de −𝟑 a 𝟐. La respuesta sería: 
 
𝑪. 𝑺. =] − 𝟑, 𝟐[ 
 
Ejercicio: resolver −𝒙(𝟐𝒙 + 𝟏) ≥ −𝟑. 
 
 
 
Efectuamos el producto. 
 
−𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 ≥ 𝟎 
 
Trasladamos el – 𝟑. 
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Multiplicamos por −𝟏 ambos miembros. 
Cambia el sentido de la desigualdad. 
 
 Factorizando el miembro izquierdo. 
𝟑 
𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = − 
𝟐
 
𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏 
Ya estamos listos para la construcción del 
cuadro de variación. 
 
Completarlo por favor. 
 
 
 
Obtener el conjunto solución. 
𝑪. 𝑺. =