432038533-Trenes-de-Engranajes

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TRENES DE ENGRANAJES
Se analizará la cinemática de la teoría de los dientes de engrane, tipos de engranes y el diseño 
cinemático de conjuntos y trenes de engranes de tipos simple, compuesto, invertido y epicíclico.
CILINDROS RODANTES
La forma mas simple de transferir movimiento rotatorio de un eje a otro es 
mediante un par de cilindros rodantes. Estos pueden ser un conjunto 
externo de cilindros rodantes, como se muestra en la fi gura 9-1a, o uno 
interno, como en la fi gura 9-1b. Siempre que haya suficiente fricción en la 
interfaz rodante, este mecanismo funcionara bastante bien.
Las desventajas principales del mecanismo de impulsión de cilindros 
rodantes (o de banda lisa) son la capacidad de par de torsión relativamente 
baja y la posibilidad de deslizamiento.
Ejemplos. Los neumáticos son un cilindro rodante y la carretera el otro (de radio muy grande). La 
fricción evita el deslizamiento entre ambos, y funciona bien a menos que el coeficiente de fricción 
se reduzca por la presencia de hielo u otras sustancias resbaladizas.
Ejemplo La variante del impulsor de 
cilindro rodante es la banda plana o 
en V mostrada en la fi gura 9-2.
Este mecanismo también transfiere 
potencia mediante fricción y 
proporciona niveles de potencia 
bastante grandes, siempre que la 
banda tenga una sección transversal 
suficiente.
ENGRANAJES
ENGRANAJES
LEY FUNDAMENTAL DE ENGRANAJE.
Esta Ley establece que la relación (𝑚𝑉) de velocidad angular entre los engranes de un 
juego de engranes permanece constante mientras permanecen engranados.
Donde:
𝝎𝒔𝒂𝒍 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝝎𝒆𝒏𝒕 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝒓𝒔𝒂𝒍 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝒓𝒆𝒏𝒕 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝒎𝑻 es la relación del par de torsión
signo menos implica un engranaje de conexión externo y uno positivo un engranaje 
de conexión interno
Para que se cumpla la ley fundamental de engranaje, los contornos de los dientes que engranan
deben conjugarse entre si. Existe un numero infinito de posibles pares conjugados que podrían 
utilizarse, pero solo algunas curvas tienen aplicación práctica como dientes de engranes. Aun se 
utiliza la cicloide como forma de dientes en relojes, pero en la mayoría de los demás engranes se 
utiliza la forma de curva involuta.
LA FORMA DE INVOLUTA EN DIENTES DE ENGRANE
La involuta es una curva que se genera al desenrollar 
una cuerda tirante de un cilindro (llamado evoluta), 
como se muestra en la fi gura 9-5. Obsérvese lo 
siguiente sobre esta curva involuta:
• La cuerda siempre es tangente al cilindro.
• El centro de curvatura de la involuta siempre está 
en el punto de tangencia de la cuerda con el cilindro.
• Una tangente a la involuta siempre es normal a la 
cuerda
GEOMETRÍA DEL CONTACTO
GEOMETRÍA DEL CONTACTO
ÁNGULO DE PRESIÓN
NOMENCLATURA DE DIENTE DE ENGRANE
NOMENCLATURA DE DIENTE DE ENGRANJE
.− 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑝𝑐 =
𝜋𝑑
𝑁
, donde d es el diámetro de paso y N el número de dientes sus unidades son 
pulgadas por diente (US)
− 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝑝𝑏 = 𝑝𝑐𝑐𝑜𝑠𝜑 (US)
− 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑑 =
𝑁
𝑑
, sus unidades son dientes por pulgada (US)
− 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑣𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑝𝑑 =
𝜋
𝑝
𝑐
(US)
−𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝑚 =
𝑑
𝑁
es el recíproco del paso diametral , sus unidades son mm / diente (SI)
- Relación de engrane (mG ) : mG siempre es > 1 y puede expresarse en función de la relación de velocidad 
o de la relación de par de torsión, la que sea mayor que 1. Por tanto, mG expresa la relación total del tren 
de engranes independiente del cambio de dirección de rotación o de la dirección del flujo de potencia que 
fluye por él cuando funciona como reductor o como incrementador de velocidad
mG = /mV / ó mG = /mT /, para mG ≥ 1
DIENTES DE ENGRANAJE ESTÁNDAR
RELACIÓN DE CONTACTO
La relación de contacto 𝑚𝑝 define el número promedio de dientes en contacto en cualquier
momento
como: 𝑚𝑝 =
𝑧
𝑃𝑏
, Donde z es la longitud de acción
Pb , es el paso base.
𝑚𝑝 , puede escribirse también como:
Si la relación de contacto es 1, entonces un diente deja el contacto justo cuando el siguiente lo
inicia. Esto no es recomendable porque errores leves en la separacion de los dientes provocaran
oscilaciones en la velocidad, vibración y ruido. Además, la carga actuara en la punta del diente y
creara un momento de flexión mas grande. Con relaciones de contacto mayores a 1, existe la
posibilidad de que los dientes compartan la carga.
PROBLEMAS
.PROBLEMA 1: Un engrane de 22 dientes tiene dientes en involuta de profundidad completa 
estándar AGMA con paso diametral de 4. calcule el diámetro de paso, el paso circular, la cabeza, la 
raíz, el espesor del diente y la holgura.
PROBLEMA: 2
Un engrane de 40 dientes tiene dientes en involuta de profundidad completa estándar AGMA con 
paso diametral de 10. calcule el diámetro de paso, el paso circular, la cabeza, la raíz, el espesor del 
diente y la holgura.
PROBLEMAS
.PROBLEMA 3: Para un piñón de 19 dientes, con ángulo de presión de 20°, con paso diametral 6 y 
que engrana con un engranaje de 37 dientes, encuentre:
a)La relación de engrane, paso circular, paso base y diámetro de paso, radios de paso distancia 
entre centros, cabeza, raíz, profundidad total de diente, holgura, diámetros exteriores y relación de 
contacto.
b) si la distancia entre el centro del piñón y del engrane aumenta en un 2% determine el nuevo 
ángulo de presión
INTERFERENCIA Y SOCAVACIÓN
La forma del diente de involuta solo se define fuera del circulo base. En algunos casos la raíz será
suficientemente grande como para extenderse por debajo del circulo base. De ser así, entonces la
parte del diente debajo del circulo base no será una involuta e interferirá con la punta del diente
en el engrane compañero, el cual es una involuta.
Para evitar la interferencia se realizará el socavado en la base del diente pero un socavado severo
ocasionara la falla temprana
del diente.
INTERFERENCIA Y SOCAVACIÓN
Consideraciones para evitar interferencia entre piñón y engranaje
TIPOS DE ENGRANES
TIPOS DE ENGRANAJES
ENGRANAJES RECTOS.- Son engranajes en los cuales los dientes
son paralelos al eje de simetría del engranaje.
Esta es la forma de engranaje mas simple y menos costosa.
ENGRANAJES HELICOIDALES.- Son engranajes en los cuales
los dientes forman un ángulo ψ con respecto al eje de engrane
TIPOS DE ENGRANAJES
ENGRANAJES HELICOIDALES DOBLES O DE ESPINA DE PESCADO.-
Se forman al unir dos engranajes helicoidales de paso y diámetro idénticos, pero de sentido
opuesto sobre el mismo eje. La ventaja en comparación con un engranaje helicoidal, es la
cancelación interna de sus cargas de empuje axiales opuesto que cada una de las mitades del
engranaje de espina de pescado tiene una carga opuestamente dirigida.- Son altamente costosos
y se utilizan para transmitir alta potencia.
TIPOS DE ENGRANAJES
EFICIENCIA
La definición general de eficiencia e potencia de salida entre potencia de entrada expresada como
un porcentaje.
- Engranaje recto: 98% -99%
- Engranaje helicoidal paralelo: 96 % - 98%
- Engranaje helicoidal cruzado: 50% - 90%.
Consideración: si los engranajes han de conectarse o desconectarse entonces han de utilizarse
engranajes rectos, los engranajes helicoidales no permiten e movimiento axial por ende esto
imposibilita mover axialmente los engranaje
TIPOS DE ENGRANAJES
ENGRANAJES DE TORNILLO SINFÍN Los gusanos y ruedas
se fabrican y reemplazan como juego conectados;
estos juegos de engranes de tornillo sinfín tienen
la ventaja de presentar altas relaciones de engrane
en un paquete pequeño y pueden soportar cargas elevadas
Tienen una eficiencia del 40% al 85%
Una de las principales ventajas es que pueden diseñarse para que la contramarcha no sea posible.CREMALLERA Y PIÑÓN.- Si el diámetro del círculo base de un engrane se incrementa sin límite, el
círculo base será una recta.- Este engrane lineal se llama cremallera; sus dientes son trapezoidales.
La aplicación mas común de este dispositivo es la conversión del movimiento rotatorio en
movimiento lineal y viceversa. Si puede accionarse en reversa, entonces requerirá de un freno si
se debe mantener una carga.- Ejemplo. La dirección piñón – cremallera en automóviles
TIPOS DE ENGRANAJES
TRENES DE ENGRANJES SIMPLES.
Un tren de engranajes es un conjunto de dos o mas engranes conectados.
En un tren de engranajes simple cada eje porta sólo un engrane.
A continuación se presenta la relación siguiente:
Donde: 𝑚𝑉 es la relación de velocidad o relación del tren
En términos generales las expresión anterior se puede escribir en
términos generales
Un engranaje simple de engranajes rectos, helicoidales o cónicos está limitado
a una relación de aproximadamente 10 : 1
Los ejes intermedios que no toman potencia suele llamárselos engranajes locos.
Es práctica común colocar un engranaje loco para cambiar de dirección, pero tiene
Poco justificación utilizar mas de 01 engranaje loco.
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
TRENES DE ENGRAJES COMPUESTAS.
Para obtener una relación de tren mas de 10:1 es necesario un tren de engranes de tipo
compuesto.
Tren compuesto es aquel en el que por lo menos un eje tiene mas de un engrane;
Cada par de engranajes es una etapa ( si observamos
La fórmula sería cada paréntesis )
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
DISEÑO DE UN ENGRANAJE COMPUESTO.
Ejemplo: Diseñe un tren compuesto con una relación exacta de 180:1. Encuentre una combinación
de engranajes que produzca esa relación
Solución
A continuación se describen los principales pasos generales.
1. Determinar el número de etapas ( menos etapas es mejor ), y la 
relación de cada etapa
𝑛 𝑚𝑣 ≤ 10 , donde n es el número de etapas y
𝑚𝑣 es la relación total del tren.
𝑛 = 3 → 𝑚𝑣 =
3 𝑚𝑣 ∗
3 𝑚𝑣 ∗
3 𝑚𝑣 =
3
180 ∗
3
180 ∗
3
180 = 5.646 ∗ 5.646 ∗ 5.646
Donde: 5.646 es la relación de cada etapa
2. Conocido la relación de cada etapa se deberá construir 
una tabla de posibles combinaciones de engrane ( ver tabla ).
Luego se elige los dientes de engrane a partir del valor mas próximo 
a un entero a partir de la tabla anteriormente construida
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
DISEÑO DE UN ENGRANAJE COMPUESTO.
3. A partir de la combinación de engranaje encontrado 𝑁𝑝 = 14,𝑁𝑔 = 79, se recalcula el valor de
relación del tren 𝑚𝑉 =
79
14
∗
79
14
∗
79
14
= 179.68 ∶ 1 , de acuerdo a este método se ha
alcanzado el valor mas aproximado a la exigencia: 180 : 1
4. Si la exigencia es encontrar una relación de tren exacta 180 : 1,
la mejor opción es factorizar la relación del tren, cada factor
debe ser menor que 10 : 𝑚𝑉 = 180 = 6 ∗ 6 ∗ 5
5. Elegir los piñones de acuerdo al ángulo de presión elegido.
Ejemplo: si se elige un ángulo de presión de 25°
Se obtendrán los resultados de la tabla mostrada
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
El diseño obtenido se resume
en la siguiente configuración
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
DISEÑO DE TRENES COMPUESTOS REVERTIDOS.
Se llama tren compuesto revertido cuando el eje de salida es concéntrico con el eje de entrada.
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
EJEMPLO DE DISEÑO DE TRENES COMPUESTOS REVERTIDOS.
Se llama tren compuesto revertido cuando el eje de salida es concéntrico con el eje de entrada.
La configuración anteriormente mostrada debe cumplir las siguientes ecuaciones.
Ejemplo de diseño de trenes compuestos revertidos
Diseñe un tren compuesto con una relación exacta 18:1
A continuación se describen los principales pasos generales.
1. Determinar el número de etapas ( menos etapas es mejor ), y la 
relación de cada etapa
𝑛 𝑚𝑣 ≤ 10 , donde n es el número de etapas y
𝑚𝑣 es la relación total del tren.
𝑛 = 2 → 𝑚𝑣 =
2 𝑚𝑣 ∗
2 𝑚𝑣 =
2
18 ∗
2
18 = 4.2426 ∗ 4.2426
Donde: 4.2426 es la relación de cada etapa
2. Conocido la relación de cada etapa se deberá construir 
una tabla de posibles combinaciones de engrane ( ver tabla ).
Luego se elige los dientes de engrane a partir del valor mas próximo 
a un entero a partir de la tabla anteriormente construida
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
EJEMPLO DE DISEÑO DE TRENES COMPUESTOS REVERTIDOS.
3. Si la exigencia es encontrar una relación de tren exacta 18 : 1
la mejor opción es factorizar la relación del tren, cada factor
debe ser menor que 10 : 𝑚𝑉 = 18 = 6 ∗ 3 ó 𝑚𝑉 = 6 ∗ 3
Por razones de empaque la mejor alternativa se eligen las
relaciones de engrane más próximas.
4. Una vez determinado las etapas y las relaciones de engrane se
procede a satisfacer las siguientes ecuaciones.
Teniendo en consideración la siguiente consideración.
𝑚𝑉 = −
𝑁2
𝑁3
∗ −
𝑁4
𝑁5
= −
1
6
∗ −
1
3
→ →
TRENES DE ENGRANAJES COMPUESTOS
EJEMPLO DE DISEÑO DE TRENES COMPUESTOS REVERTIDOS.
5. Una vez obtenido las relaciones de “k” ( 𝑘 = 7𝑁2 𝑦 𝑘 = 4𝑁4 )se puede predecir
que los valores de “k” son múltiplos de 4 y 7 (K: 28, 56, 84, 112, … )
Y por lo tanto se puede predecir los valores de N2 y N4 las posibles respuesta son:
𝑁2 = 4 𝑦 𝑁4 = 7
𝑁2 = 8 𝑦 𝑁4 = 14
𝑁2 = 12 𝑦 𝑁4 = 21
𝑁2 = 16 𝑦 𝑁4 = 28
elegimos 𝑁2= 16 𝑦 𝑁4 = 28 → 𝑁3= 96 𝑦 𝑁5 = 84
Finamente se puede corroborar 𝑚𝑉
𝑚𝑉 = −
𝑁2
𝑁3
∗ −
𝑁4
𝑁5
= −
16
96
∗ −
28
84
= 1/18
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
El tren engranaje epicíclico o planetario es un dispositivo de dos grados de libertad. Se requieren
02 entradas para obtener una salida predecible. En algunos casos, como el diferencial automotriz,
se proporciona una entrada ( el eje motriz ) y se obtienen o2 salidas friccionalmente acopladas (
las 02 ruedas impulsoras). En otras aplicaciones, como transmisiones automáticas, motores de
avión a reducciones de hélice se proporcionan dos entradas ( una por lo general es una velocidad
cero, es decir, un engranaje fijo) y el resultado es una salida acoplada.
A continuación se muestra un tren de engranajes convencionales y otro engranaje planetario,
notar que la diferencia principal radica que en el primer caso el eslabón 1 está fijo en 2 puntos y
para el segundo caso el eslabón 1 queda fijo en un punto ( punto 02 ) confiriéndole esto 2 grados
de libertad
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
Para que un tren planetario tenga utilidad necesita de un engranaje adicional que puede recibir el
movimiento generado, para ello se adiciona un engranaje llamado engranaje anular
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
De acuerdo a LEVAI se tienen 12 tipos básicos de trenes de engranajes planetarios.
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
MÉTODO TABULAR
Una forma de analizar las velocidades en un tren epicíclico es crear una tabla que represente la
Ecuación: 𝜔𝐸𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒 = 𝜔𝐵𝑟𝑎𝑧𝑜 + 𝜔𝐸𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒
𝐵𝑟𝑎𝑧𝑜
por cada engrane en el tren; Es decir la tabla tendrá
tantas filas como engranajes.
Así mismo se tomará en cuenta los siguientes convencionalismos.
• Para giro horario se considerará la velocidad angular con signo negativo
• Para giro anti-horario se considerará la velocidad angular con signo positivo
• Para una relación externa de engranajes se
considerará un signo negativo
• Para una relación interna de engranajes se
considerará un signo positivo
En términos generales la tabla a llenar será la
siguiente, sin embargo para cada caso deberá
considerarse lo anteriormente mencionado
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
.
EJEMPLO 1:
Considérese el tren mostrado en la figura 9-34, el cual tiene los siguientes números de dientes y
condiciones iniciales.
Encuentre la velocidad angular absoluta de la corona dentada
ENGRANAJE NÚMERO DE DIENTES
Engranaje sol N2 = Engranaje externo de 40 dientes
Engranaje planetario N3 = Engranaje externo de 20 dientes
Corona dentada N4 = Engranaje interno de 80 dientes
Entrada al brazo 200 rpm en el sentido de las manecillasdel reloj
Entrada solar 100 rpm en el sentido de las manecillas del reloj
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
SOLUCIÓN
a) Preparación y llenado de tabla
b) Cálculos auxiliares
𝑚𝑉1 =
𝜔𝑒𝑛𝑔 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝜔𝑒𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
=
𝑁𝑒𝑛𝑔.𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟
𝑁𝑒𝑛𝑔.𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡
→ 𝜔𝑒𝑛𝑔 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 = +100 ∗ −
40
20
= −200
𝑚𝑉2 =
𝜔𝑒𝑛𝑔 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝜔𝑒𝑛𝑔 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
=
𝑁𝑒𝑛𝑔.𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡
𝑁𝑒𝑛𝑔.𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟
→ 𝜔𝑒𝑛𝑔 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 = −200 ∗ +
20
80
= −50
ENGRANE 𝜔𝐸𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒 = 𝜔𝐵𝑟𝑎𝑧𝑜 + 𝜔𝐸𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒
𝐵𝑟𝑎𝑧𝑜
Relación de 
velocidad
Engranaje solar -100 -200 100 𝑚𝑉1 =-40/20
Engranaje
planetario
-400 -200 -200
𝑚𝑉2 =-+20/80
Engranaje anular -250 -200 -50
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
MÉTODO DE LA FÓRMULA
a) Para este método se construirá una fórmula de relación del tren epicíclico a partir de la fórmula
𝜔𝐸𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒 = 𝜔𝐵𝑟𝑎𝑧𝑜 +𝜔𝐸𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑒
𝐵𝑟𝑎𝑧𝑜
b) Se aplicará la ecuación anterior para el primer (first ) y el último (last) engranaje.
𝜔𝐹 = 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 +𝜔𝐹/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
→ 𝜔𝐹/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 = 𝜔𝐹 −𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 …………………… .1
𝜔𝐿 = 𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 +𝜔𝐿/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
→ 𝜔𝐿/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 = 𝜔𝐿 −𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 …………………… .2
c) Luego se divide la ecuación 2 entre la ecuación 1 y se obtine la siguiente relación
𝜔𝐿/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝜔𝐹/𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
=
𝜔𝐿−𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝜔𝐹−𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
= 𝑅, 𝑅 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑒𝑛
TRENES DE ENGRANAJES EPICÍCLICOS O PLANETARIOS
MÉTODO DE LA FÓRMULA
d) El valor fundamental del tren también se calcula como
𝑅 =+/−
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠
=
𝜔𝐿−𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
𝜔𝐹−𝜔𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜
PROBLEMA: para el ejemplo anterior calculo la velocidan angular de
Solución
−40 ∗ 20
20 ∗ 80
=
𝜔𝐿 − (−200)
−100 − (−200)