LOGARITMOS

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LOGARITMOS 
 
Definición: 
 
Sea N>0; b>0; 
 
 
PROPIEDADES Y OPERACIONES 
 
 
 
 
 
 
 OBS : 
 ; x  R+ 
 
 
 (cambio de base: de base 
“a” a base “b”) 
 
 
 CASO PARTICULAR: 
 
o 
o 
 CASO PARTICULAR: 
o 
o 
 
 COLOGARITMO 
 
 
Cologb N = Logb N; N > 0  b > 0  b  1 
 
 ANTILOGARITMO 
 
 
Antilogb X = bx; b > 0  b  1  x  R 
 
Ejercicios resueltos 
 
1. El valor de:   3 3 32Log 9 1 81 9 1     es: 
el número que sigue es: 
 
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) – 1 
 
Resolución: 
  3 3 32Log 9 1 81 9 1     
  23 3 32Log 9 1 9 9 1     
Hacemos: 3 9 a 
2
2
3a 1
Log [(a 1)(a a 1)]

   
33 3
2 2 2Log (a 1) Log ( 9 1) Log 8 3     
 
Clave A de Amante 
b 1
x
b
log N= X N= b
b
log b = 1
b
log 1 = 0
b b b
log (xy)= log x + log y x y ; ;
bb b
log (x/y)= log x log y ; x y – ;
n
bb
log x = n log x x ;
 
nn
b b
log x log x
xlog
n
m
xlog b
m
bn 
  b
a
1
log a = ; a, b 1
log b
 
a ab
log x . log b = log x
alog
xlog
xlog
b
b
a 
alogxlog
bb xa 
Nb
Nlog
b 
Nlog
q
p
Nlog b
p
b
q 
m
n
xlog nxm 
NlogNlog b
x
bx 
R 
R 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
2. En la ecuación 
3y
Log 36 = y ; el doble valor 
de y es: 
 
A) 8 B) 6 C) 4 D) 3 E) 9 
 
Resolución: 
 
3y
Log 36 = y36 =  y3y 
Dándole forma:    y2 3y3 2  
Comparando: y = 2 
  2(2) = 4 
 
Clave C de Cachudo 
 
3. Al efectuar:  0,5 1/ log 8 log 162 2527 5 
 
 Se obtiene: 
 
A) 3 B) 1/3 C) 3 D) 5 E) 1/5 
 
Resolución: 
 
 
1
0,5 Log 82 log 162527 5 
 
Observación: 
 
3
2Log 8 3 porque 8 2  
25 525
Log 16 Log 16 Log 4  
 
Reemplazando: 
 
 
Clave D de Dámelo duro 
 
4. Si: 
2
1
8
100 1
E 3 log 4 (0, 3)
3(99)
  entonces el 
valor de E es: 
 
A) 99 B) 100 C) 103 D) 
112 E) 115 
 
Resolución: 
 
Haciendo por partes: 
 
• x8Log 4 x 8 4   
 3x 22 2 
 3x 2 x 2 / 3   
•    
1 1
1 3 1(0,3) 3
9 3
 
    
 
Reemplazando en “E”: 
 
E 3
2
3
(100 1)(1 00 
 
 
1)( 3 )
3 ( 99 )
 
E 2 101 103    
Clave C de Cabrito 
 
5. Si x=log 2, y =log 3 
 
1
2
49
7
5
)10Log(
100Log
5Log
)12Log)(2Log1(
M


 
 
 
1
1
2 Log 43 3 5
2
(3 ) 5
3 4 5

 

¡ !Recuerda
Log baa b
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 entonces el valor de 2M es: 
 
a) 6x+4y b) 4x+2y c) x+2y 
d) 2x+4y e) x+3y 
 
Resolución: 
 
Haciendo por partes: 
 
 1 – Log 2 = Log 10 – Log 2 = Log 
2
10 = 
Log 5 
 
 
5Log7Log5Log
10Log
5Log
100Log
5Log
100Log
5Log
7
7
7
49
7
49
7 
 
 
 (Log2 10)1 = 2Log
10Log
1
2
 
 
Reemplazando: 
 
M = 12Log
10Log
12Log
2Log5Log
)12Log)(5Log( 5 

 
 
M = Log 22 3 = 2Log 2 + Log 3 = 2x + y 
  2M = 4x + 2y 
 
Clave B de Bebecita 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁCTICA 
 
1. Sabiendo que: log 2 = 𝑚 y log 3 = 𝑛; 
entonces el equivalente de log 6! ; en 
función de m y n; es: 
 
A) 2m+n-1 B) m+2n+1 
C) 3m-n+1 D) m+3n-1 
E) 3m+2n+1 
 
2. Hallar el valor de x si: 
 
3 Logx
xLog
)xLog(Log
2
4
44

 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
3. Si x=log 2, y =log 3 
 
1
2
49
7
5
)10Log(
100Log
5Log
)12Log)(2Log1(
M


 
 
entonces el valor de 2M es: 
 
a) 6x+4y b) 4x+2y c) x+2y 
d) 2x+4y e) x+3y 
 
4. Simplificar: 
 
( 5 2)
5
( 5 2)
( 5 2)
2
( 5 2)
log ( 5 2)
log 0,2
log ( 5 2)
log ( 5 2)
log 0,5
log ( 5 2)
H











 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
A) -2 B) -1 C) 0 
D) 1 E) 2 
 
5. Si 
3
2
1010
1010





xx
xx
 
 
Calcular el valor de “x”. 
 
A) 
2
1 2 Log B) 
2
1 2 Log C) 
2
1 10 Log 
D) 
2
1 10 Log E) N.A. 
 
6. Si logba + logab = 5 ; entonces el cuadrado 
del valor de 
 
 
3 2 5
a a a
5
a
(log b log b)(log b 1)
M 12
log b
 
  es: 
A) 11 B) 22 C) 13 D) 121 
E) 484 
 
7. Sabiendo que: logm n + logn m = 4 
Entonces el valor de: 
 
√
Logm
4 n+1
Logm
2 n
+
1
2
× logm n + logn2 m ; es: 
 
A) 2√5 B) 3√2 C) 8 D) √14 
E) 4 
 
8. Si a = log72 y b = log73, entonces al 
expresar log14 72 en función de “a” y “b” 
se obtiene: 
 
A) 2a 3b
1 a


 B) a b
1 a


 C) 3a 2b
2 a


 
D) 2a 3b
2 a


 E) 3a 2b
1 a

 
 
9. Al simplificar 
𝟓𝐥𝐨𝐠 𝟐− 𝟎,𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟐 
𝟏+ 𝟓𝐥𝐨𝐠 𝟎,𝟓
−
 𝐥𝐨𝐠(√𝟓+𝟐)(√𝟓 − 𝟐); se obtiene: 
 
A) log 2 B) log 5 C) 1 
D) 5log 2 E) 0 
 
10. Si se cumple que 
2x x
364 (2 )(32 ) anti log 2
  
  
 
 
El valor de: M = 
 3
1
log 8 (x 2)
(x 3)


 
A) log29 B) 2 C) 1/6 D) 6 
E) log92 
 
11. Se tiene un triángulo rectángulo ACB 
(recto en C), cuyos lados miden a, b y c 
unidades. 
 
Si c b c b
c b c b
log a log a
H
log a.log a
 
 

 , entonces el valor 
del logaritmo en base 4 de H es: 
 
A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 
2
1
 
 
12. Siendo m y n reales e inversos 
multiplicativos tales que: 
 
 n mlog 0,25 log 0,2P m n 
  8 0,52 2Q Antilog log Colog 32 
El valor de P + Q es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
A) 14 B) 17 C) 19 D) 21 
E) 25 
 
13. De las afirmaciones: 
 
I) bb
log clog c
a a 
II) n na alog (b c) log b c   si n = 1 
III) 
a alog (abc) a log a b c   si a = b = c 
IV) ca alog b c log b  
 
Son ciertas: 
 
A) I, II y III B) I, III y IV C) I, 
II y IV 
D) II, III y IV E) Todas 
 
14. Al simplificar: 
𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 × 𝟏𝟔 + 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟏𝟔 × 𝟐 + 
√𝟔 √𝟔
𝟓
𝟔 √𝟔
𝟓
√ √𝟔
𝟓√
𝟔
𝟓 
 
Se obtiene: 
 
A) 6/5 B) 10 C) 5/2 
D) 13 E) 16 
 
15. Si se cumple que: 
 
 (log5 𝑥)
2 + (log 𝑦)2 = 2 log5 𝑥 . log 𝑦 ; 
entonces, el valor de log𝑦 𝑥; es: 
A) log5 10 B) log 15 C) log 5 
D) log5 15 E) log15 5 
 
 
 
16. Se sabe que: √𝑛
𝑛𝑛
= 10 
Entonces el valor de: log ( √log 𝑛
log 𝑛
), es: 
 
A) 1 B) 𝑛 C) 𝑛𝑛 
D) log 𝑛 E) log𝑛 10 
 
17. Si 
x
3log 10xx 3

 , entonces el valor de: 
 
xlog xlog xlog
xloglogloglogE  es: 
 
A) 4 B) 3 C) 2 
D) 1 E) 0