ALGEBRA I

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Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación 
 
 
1
 
GUÍA 1 - CIENCIAS 
 
 
 
 
 
 
1. NEGACIÓN: 
No…, Nunca…, Jamás…, Es falso que…, No es posible que…, Es 
mentira que…, No es cierto que…, De ninguna forma…, Es absurdo 
que…, 
 
*Tabla de verdad: 
p p 
V F 
F V 
 
2. CONJUNCIÓN: 
y…, …además…, …también…, ...sin embargo…, …no obstante…, 
…tal como…, …al igual que…, …así como…, …incluso..., …pero…, 
…aunque…, …a la vez 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
 
3. DISYUNCIÓN INCLUSIVA: 
 O…,…salvo que…, a menos que…,…excepto que… 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
 
4. DISYUNCION EXCLUSIVA: 
O...…. o…..., O bien… o bien…., O es que….. o es que...…, 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
V 
F 
 
5. IMPLICACIÓN MATERIAL O CONDICIONAL DIRECTA: 
Entonces....., ..…por lo tanto.…, ….por consiguiente…., .…luego…, 
....en consecuencia…., ....por ello.…, ….implica que…., …de modo 
que …, …es obvio que…, etc. 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
 
6. REPLICA MATERIAL O CONDICIONAL INVERSA: 
Siempre que …, …si es que…, debido a que…, …dado que…, 
…puesto que…, …ya que…, …porque…, etc. 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
F 
V 
 
7. BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN: 
Si y solo si…, siempre y cuando…, …es idéntico a…, …equivale a 
que…, …es…, .....entonces y solo entonces…,…siempre que y sólo 
cuando…,…es una condición necesaria y suficiente…., etc. 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
 
8. NEGACIÓN CONJUNTA: 
*Símbolo: 
Scheffer p q 
 
*Palabras usuales: No…y no…, Ni… ni… 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
F 
V 
 
*Equivalencia: p q p q 
 
9. NEGACIÓN ALTERNA: 
*Símbolo: 
Scheffer p q 
 
*Palabras usuales: No… o no… 
*Tabla de verdad: 
p q p q 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
V 
V 
*Equivalencia: 
p q p q 
 
 
LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 
 
1. Leyes de la conjunción: 
1.1 p p p (Idempotencia) 
1.2 p q q p (Conmutativa) 
1.3 (p q) r p (q r) (Asociativa) 
1.4 p p F (No contradicción) 
1.5 p V p 
1.6 p F F 
 
2. Leyes de la disyunción: 
2.1 p p p (Idempotencia) 
2.2 p q q p (Conmutativa) 
2.3 (p q) r p (q r) (Asociativa) 
2.4 p p V (Tercero Excluido) 
2.5 p V V 
2.6 p F p 
 
3. Leyes distributivas: 
3.1 p (q r) (p q) (p r) 
3.2 p (q r) (p q) (p r) 
 
4. Ley de la condicional: 
 p q p q 
 
5. Leyes de bicondicional: 
5.1 p q (p q) (q p) 
5.2 p q (p q) ( p q) 
 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 2
 
6. Leyes de disy. Exclusiva: 
6.1 p q (p q) 
6.2 p q (p q) ( p q) 
 
7. Ley de doble negación: 
 ( p ) p 
 
8. Leyes de morgan: 
8.1 (p q) p q 
8.2 (p q) p q 
 
9. Leyes de absorción: 
9.1 p ( p q ) p 
9.2 p ( p q ) p 
9.3 p ( p q ) p q 
9.4 p ( p q ) p q 
 
 
CIRCUITOS LÓGICOS 
 
CIRCUITO EN SERIE: P Q 
P Q
 
 
CIRCUITO EN PARALELO: P Q 
 
P
Q 
 
INFERENCIAS NOTABLES 
 
Son inferencias que por su estructura siempre resultan ser válidas. 
 
1. Modus Ponendo Ponens (PP) 
 
P Q
P
Q (P P)
 
 
2. Modus Tollendo Tollens (TT)
 
P Q
Q
P (TT )
 
 
3. Silogismo Disyuntivo (SD)
 
P Q P Q
P Q
Q (SD) P (SD)
 
 
5. Silogismo Hipotético (SH)
 
P Q
Q R
P R (SH)
 
 
6. Conjunción (C)
 
P
Q
P Q (C)
 
 
7. Simplificación (S) 
 
P Q P Q
P (S) Q (S)
 
 
8. Adición (A)
 
P
P Q (A)
 
9. Dilema Constructivo (DC) 
 
P R
Q S
P Q
R S (DC )
 
10. Dilema Destructivo (DD)
 
P R
Q S
R S
P Q (DD)
 
 
 
LÓGICA DE CLASES 
 
1. IDEA DE CLASE: Es la reunión de elementos de características 
similares. Para una mejor comprensión de la teoría de clases, se 
debe considerar a las clases como conjuntos. 
 
2. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS: Son aserciones entre clases, 
en las cuales unas clases están totalmente o parcialmente incluidas 
o excluidas en otras. 
 Las formas típicas o estándar de las proposiciones categóricas son 
las siguientes: 
 
A: Todo S es P Universal afirmativa 
E: Ningún S es P Universal Negativa 
I: Algún S es P Existencial Afirmativa 
O: Algún S no es P Existencial Negativa 
 
3. DIAGRAMAS BOOLEANOS: 
 
 
A 
Todo S es P 
SaP 
 
 
E 
Ningún S es P 
SeP 
 
 
 
I 
algún S es P 
SiP 
 
 
 
O 
algún S no es P 
SoP 
 
 
 
4. CUADRO DE LAS OPOSICIÓN TRADICIONAL ( BOECIO): Es 
un cuadro que resume de una manera simple las relaciones entre 
las formas típicas de las proposiciones categóricas: 
 
CONTRADICTORIASCO
NT
RA
 I
CT
OR
IA
S
A E
OI
CONTRARIAS
SUBCONTRARIAS
S
U
B
A
L
T
E
R
N
A
N
T
E
S
S
U
B
A
L
T
E
R
N
A
S
S
U
B
A
L
T
E
R
N
A
S
S
U
B
A
L
T
E
R
N
A
N
T
E
S
 
 
 
 
 
 
 Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 
SILOGISMO CATEGÓRICO 
 
1. DEFINICIÓN: Es una estructura formada por tres proposiciones 
categóricas, donde dos de ellas son llamadas Premisa Mayor, 
Premisa Menor y otra es llamada Conclusión. 
 
2. TÉRMINOS DE UN SILOGISMO: Son tres: 
 
2.1 Término Mayor (P): Es el predicado de la conclusión y se 
encuentra en la Premisa Mayor. 
2.2 Término Menor (S): Es el sujeto de la conclusión y se 
encuentra en la Premisa Menor. 
2.3 Término Medio (M): Se encuentra en las dos premisas, 
pero no está en la conclusión. 
 
3. FIGURAS DEL SILOGISMO: Son las diferentes posiciones en las 
que encontramos ubicado al Término Medio, estas son: 
 
 
1raF 2daF 3raF 4taF 
Mayor MP PM MP PM 
Menor SM SM MS MS 
Concl. SP SP SP SP 
 
 Ejm. 
Ningún roble es arbusto y 
todo roble es un árbol, 
 ningún árbol es arbusto 
MP 
MS 
SP 
 
Ejm. 
Algún músico es pianista y 
todo artista es músico, 
 cierto pianista es artista. 
PM 
MS 
SP 
 
4. MODOS DEL SILOGISMO: Están constituidos por las diferentes 
formas típicas de las proposiciones categóricas, en el orden antes 
mencionado, es decir: Premisa Mayor, Premisa Menor y luego la 
conclusión. 
Ejm. 
Ningún insecto es vertebrado, y cierto vertebrado no es alado, 
 algún alado es insecto. 
 Modo: EOI 
 
E: corresponde a la premisa mayor 
O: corresponde a la premisa menor 
I: corresponde a la conclusión 
 
5. FORMA DE UN SILOGISMO: Es colocar ordenadamente el 
modo y figura de un silogismo. 
Ejm. 
Todas las frutas son dietéticas, y 
algunas frutas son económicas, 
pocas dietéticas son económicas. 
 
Fig: 3ra 
Modo: I A I 
Forma: I A I – 3 
MP 
MS 
SP 
 
6. MODOS VÁLIDOS DEL SILOGISMO: Se sabe que los modos 
posibles que se pueden organizar con tres términos son 64 en 
total, pero esto es en una sola figura, lo cual indica que en total se 
puede obtener 256 silogismos totalmente diferentes, de los cuales 
solamente 24 son válidos, de ellos 19 se les conoce con una 
nombre latino con las vocales de las proposiciones categóricas, 
estos modos válidos son los siguientes: 
 
1RA FIGURA 2DA FIGURA 
BARBARA 
CELARENT 
DARII 
FERIO 
AAI 
EAO 
CESARE 
CAMESTRES 
FESTINO 
BAROCO 
AEO 
EAO 
3RA FIGURA 4TA FIGURA 
DARAPTI 
FELAPTON 
DATISI 
DISAMIS 
BOCARDO 
FERISON 
BAMALIP 
CAMENES 
DIMATIS 
FESAPO 
FRESISON 
AEO 
 
Los modos tradicionales que están subrayados son los convalidados 
mediante la llamada Premisa Existencial. 
Los modos tradicionales que no tienen nombre son los reivindicados 
mediante la llamada Premisa Existencial. 
Ejm. 
Todo pescador es madrugador, y 
ningún madrugador es ocioso, 
ningún ocioso es pescador. 
 
Fig: 4ta 
Modo: A E E 
Forma: A E E – 4 
Validez: Válido 
(CAMENES) 
 
PM 
MS 
SP 
Ejm. 
Cada anarquista es rebelde, además 
cierto testarudo es rebelde, 
existen testarudos anarquistas. 
Fig: 2da 
Modo: A I I 
Forma: A I I – 2 
Validez: No válido 
 
PM 
SM 
SP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lapalabra falacia proviene del término “falaz” que significa engaño, 
mentira. Falacia es una idea equivocada ó creencia falsa. 
Las falacias pueden ser: 
 
1. Formales.- Cuando se transgreden las leyes y principios de la 
lógica aquí la solución para este tipo de de falacia es aplicar la 
lógica. 
 
2. No formales.- se dan cuando el error de razonamiento se debe a 
la falta de atención al tema o por la ambigüedad por el uso de 
lenguaje. 
Las mismas que se dividen siguiendo a Irving M. Copi en: 
a) falacia de atingencia 
b) falacia de ambigüedad. 
 
A.- LAS FALACIAS DE ATINGENCIA 
Se comete esta clase de falacias en los que se concluye sin tener 
nexo integral con las premisas. Pero no deja de haber alguna 
vinculación por pequeña que sea. Y precisamente de ahí parte el 
engaño, la falacia Estos son: 
 
A.1. Conclusión inatingente.- Cuando el razonamiento destinado 
a establecer una conclusión, se usa para probar una conclusión 
diferente. 
Ejemplo: 
“afirmar que el asesinato es terrible y concluir que el acusado es 
culpable”. 
“el proyecto arquitectónico del ingeniero López debe aceptarse por 
que el embellecimiento de la ciudad es un viejo anhelo de los 
habitantes”. (se insiste sobre dicha necesidad, pero no se analiza el 
proyecto mismo). 
 
01 
 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 4
 
A.2. Actitud ofensiva (ARGUMENTUM AD HOMINEN).- 
Significa literalmente “argumento dirigido contra el hombre”, es 
decir esta falacia se produce cuando en lugar de probar la 
validez de un razonamiento por el, razonamiento mismo, se 
pretende demostrar falsedad atando a la persona que la planteo. 
 
Ejemplo: 
“no es cierto lo que dices eres testarudo”. 
“la teoría de la relatividad es falsa por que Einstein es mujeriego”. 
 “destituir al rector de la universidad por ser un “burgués” y no por 
su labor administrativa y docente”. 
 
A.3. Apelación a la fuerza (ARGUMENTUM AD BACULUM).- Es 
la apelación a la fuerza o a la amenaza de fuerza, para provocar 
la aceptación de una conclusión. Ejemplo: 
“Si no apruebas el curso, te castigo”. 
“Estarás estudiando mucho hijo, si no ya sabes”. 
“Terrorismo político”. 
 
A.4. Argumento por la ignorancia (ARGUMENTUM AD 
IGNORATIAM).- Cuando se sostiene que una proposición es 
verdadera, por que no se ha demostrado su falsedad o es falsa, 
por que no se ha demostrado su verdad. 
 
Ejemplo: 
“Afirmar que existen fantasmas” 
“Negar que no existen fantasmas”. 
 
A.5. Circunstancial.- Se produce esta falacia cuando se exige que 
se acepte o se rechace determinado razonamiento mismo, si no 
por la posición o situación del a persona. 
 
Ejemplo: 
“Usted tiene que ser comunista por que es un obrero”. 
 
A.6. Apelación a la Piedad (ARGUMENTUM AD 
MISERICORDIAM).- Es la falacia que se comete cuando se 
recurre a la piedad, clemencia para lograr que se acepte una 
determinad conclusión. 
 
Ejemplo: 
“pedir absolución de un CRIMINAL por que es padre de cinco hijos” 
“He dado mal mi examen por que mi mama estaba enferma, dame 
otra oportunidad” 
 
A.7. Llamado al pueblo (ARGUMENTUM AD POPULUM).- 
Cuando se dirige una llamada emocional al pueblo con el fin de 
ganar su asentimiento para una conclusión que no está 
sustentada en pruebas. 
 
Ejemplo. 
“el político que efectúa su campaña electoral argumenta que el debe 
recibir nuestros votos por que todo el mundo vota por el”. 
“comer una cierta marca de cereales es proclamado un deber 
patriótico”. 
 
A.8. Apelación a al autoridad (ARGUMENTUM AD 
VERECUNDIAM).- Se comete esta falacia cuando se aprovecha 
el sentimiento de respeto que siente la gente por las personas 
famosas, para lograr implantar una conclusión. 
 
Ejemplo: 
“Apelar a las opiniones de un gran físico como Einstein, para dirimir 
una discusión sobre política ó economía”. 
“Cuando se nos insta a tomar una marca de gaseosas porque algún 
jugador de fútbol afirma su superioridad” 
 
A.9. Accidente.- Cuando se aplica una regla general a un caso 
particular cuyas causas accidentales hacen inaplicable la regla. 
 
Ejemplo: 
“Esta medicina le hace bien a la mayoría, no creo que te afecte, 
toma” 
 
A.10. La causa falsa.- Cuando se concluye a partir de una causa 
que no tiene relación, o simplemente fue anterior. 
 
Ejemplo: 
“Llueve porque los indígenas de Norteaméric_B a bailan la danza de 
lluvia”. 
“Ya ves, él ingreso a la universidad porque se encerró en su cuarto 
tres días antes”. 
 
A.11. Petición de principio.-Cuando se toma como premisa de un 
razonamiento la misma conclusión que se pretende probar. 
“por supuesto que existe papa Noel pero no le lleva regalos a los 
que no creen en el”. 
“Por supuesto que Dios Existe, pero solo le hace milagros a los 
que creen en el ”. 
 
A.12. La pegunta compleja.- Cuando hay varias preguntas y se 
exige una sola respuesta. Ó cuando una pregunta supone otra 
pregunta anterior que ya ha sido respondido. 
 
Ejemplo: 
“¿A dejado Ud de pegarle a su hijo?”. 
“¿A abandonado Ud sus malos hábitos?”. 
“¿Qué hizo con el dinero que robó?”. 
(Se supone que anteriormente lo hacía). 
 
 
B: LAS FALACIAS DE AMBIGÜEDAD 
Contiene palabras ó frases ambiguas, cuyos significados cambian en 
el curso del razonamiento. Hay varios casos que examinaremos: 
 
B.1. EL EQUIVOCO.- cuando se usan dos significados de la misma 
palabra. 
 
Ejemplo: 
“un elefante pequeño, es un animal muy grande”. 
 
B.2. LA ANFIBOLOGÍA:- Cuando hay ambigüedad debido a la 
estructura gramatical de las premisas. 
 
Ejemplo: 
“El perro de mi vecino”(La palabra perro puede ser sustantiva ó 
adjetiva). 
 
B.3. EL ENFASIS:-Cuando la validez depende de un cambio ö una 
alteración en el significado, según las partes que se recalquen ó 
destaquen. 
Ejemplo: 
“Golpe de estado en el Perú”, y mas abajo en letras pequeñas 
“temen los analistas”. 
 
B.4. LA COMPOCICION.- cuando a partir de las propiedades de las 
partes de un todo, se razonan hacia las propiedades del todo 
mismo. 
 
Ejemplo: 
“Si toda las partes de una maquina son livianas, entonces la maquina 
es liviana”. 
 
B.5. LA DIVICION.- Cuando lo que es cierto de un todo, debe 
serlo también para cada uno de sus partes. 
 
Ejemplo: 
“Puesto que tal empresa es importante, el señor x de esa empresa 
necesariamente importante” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 
PRACTICA 1 
 
 
LOGICA PROPOSICIONAL 
 
1. Hallar p V, q F, r F indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. ~ p (q r) 
II. p q ~p ~q ~p q ~q q 
III. ~p q p ~r q r 
 
a. VVV b. VVF c. VFV d. FVV e. FFF 
 
2. Si la siguiente proposición: q r ~p q , es falsa, hallar los 
valores de verdad de p, q y r. 
 
a. VFF b. FVF c. FFF d. VVF 
 
3. Si Las proposiciones (a) y (b) son falsas, halle los valores de 
verdad de I, II, III. 
A. ~ P q r s r 
B. ~p q 
C. n p ~r p 
D. s (p r) 
 
a. VVV b. VVF c. VFV d. FVV e. VFF 
 
4. Indica cuales de las siguientes proposiciones son 
contradicciones: 
I. ~(p q) (p ~q) 
II. ~(p q) (p ~q) 
III. ~(p q) (~p ~q) 
 
a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III 
d. Todas e. N.A. 
 
5. Hallar cuáles son tautologías: 
1) (p ~q) ~(q ~p) 
2) (~p q) ~(p q) 
3) (~p q) ~(q ~q)
 
 
a. Sólo 1 b. Sólo 2 c. Sólo 3 d. Sólo 1 y 3 
 
6. ¿Cuántos esquemas moleculares tautológicos se observan? 
I. p (p ~q) 
II. ~(p ~q) (q ~q) 
III. p q q p 
IV. ~ p q p ~q 
V. p q p p ~q 
VI. ~p (p ~q) (~p q) p 
 
a. 1 b. 2 c. 4 d. 4 e. 0 
 
7. Si (p ↓ q) significa “ni p ni q”. ¿Cuáles de las siguientes 
proposiciones son tautologías? 
I. p q q p pvq 
II. ~ p q p q 
III. p q ~ p q 
a. I y II b. II y III c. II y III 
d. Todas e. N.A. 
 
8. Simplificar: ~ p p ~q q ~p q 
a. p → q b. q → p 
c. ~ p → q d. ~ q → ~ p 
 
9. Simplificar: p ~q ~ p p ~q 
a. p Λ q b. p c. ~ q d. ~ p v q 
 
10. Simplificar: ~ p p q ~p ~q 
a. F b. P c. q d. V e. ~ p 
 
11. C v - A & B & A C B 
a. A vB b. B v C c. A & C 
d. A & C e. A v C 
 
12. Simplificar: p q. r . q r . p p 
a. p b. p r c. rq
 
d. p.r e. p 
 
13. Simplificar: ~ (~q p) (~p q) 
a. p Λ q b. p → q c. p← q 
d. p v q e. p ↔ q 
 
14. Simplificar: (~q ~r) (~p q) (p l r) 
a. p I q b. T c. F d. ~ r↓p e. r← q 
 
15. Simplificar: p ~(q p) ~q 
a. p v ~ q b. p . q c. ~ p v q 
d. ~ p . ~ q e. p ~ q 
 
16. Simplificar: ~(~p q) ~(p q) p (~p.r) 
a. F b. V c. ~ p 
d. p ~ q e. ~ q p 
 
17. Simplificar: ~p p r s vt ~p ~r rvs 
a. p b. q c. ~ p d. ~ r e. ~ s 
 
18. Simplificar: ~ p (p v ~ q) 
a. p → q b. q → p c. p Λ ~ q 
d. q v ~ p e. p v q 
 
19. Reducir: ~ ~(p q) ~q) q 
a. p v ~ q b. ~ p Λ q c. p Λ q d. ~ p e. p v q 
 
20. Simplificar: ~p q ~ q p r p q 
a. p b. ~ p c. q d. ~ q e. p v ~ q 
 
21. La proposición equivale: ~ p q ~ r p ~ q p 
a. p v q b. ~ p Λ q c. p v ~ q 
d. p e. q 
 
22. Simplificar: p q ~q ~p p q 
a. p Λ q b. p v q c. ~ p Λ q 
d. p Λ ~ q e. q v ~ p 
 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 6
 
23. Simplificar: B & A B A A B & A B 
a. A b. B c. A & B d. A v B e. A ? B 
 
24. Simplifica: ENpApNq 
a. KNpq b. NApq c. KpNq 
d. Nkpq e. Anpq 
 
25. Simplifica: JNKNpqCNqp 
a. Np b. Cpq c. Nq 
d. Kpq e. Jpq 
 
26. Simplifica: NENKpNqCNpq 
a. Nq b. Kpq c. Jpq 
d. KNpq e. N.A. 
 
27. Si Se tiene la tabla de verdad siguiente: 
 
Simplifica: q@(p@ ~ q) 
 
a. q@p b. p@q c. ~ p@q 
d. ~ q@p e. ~ p@ ~ p 
 
28. Sea el operador “*” definido por: 
p * q ~ ( ~ p → q) Entonces. ¿Cuál es la expresión más 
simplificada de: p*p * q * p * r * t
 
 
a. p v q b. ( ~ p v q) Λ ( ~ p Λ r) 
c. ( ~ p v q) d. tr~p~ 
e. trrpqp~qp~
 
 
29. ¿Cuántas afirmaciones son verdaderas? 
I. ↓ Es idempotente 
II. ↓ Es conmutativa 
III. F es la identidad de ↓ 
IV. ~ p↓ ~ q p v q 
 
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 
 
 
 
CIRCUITOS LOGICOS 
 
30. El circuito lógico más simple de. 
~ p
~ p q r
p
p
 Es: 
 
a. p ~ q 
b. 
q
~ p
 
c. 
q
p
 
d. p q 
e. q~ p 
 
 
 
 
31. Simplificar el circuito: 
r
p
~ p
~ p
 
a. p b. q → p c. p → q 
d. p Λ ~ q e. ~ p Λ q 
 
32. Determinar la proposición simplificada de: 
~q
p
~q
p
p ~q
~pq
~q
p
 
 
a. p Λ ~ qb. ~ p v q c. p v q 
d. p v ~ q e. ~ p Λ ~ q 
 
33. Reducir el circuito: 
~p
p q
~q
p
~q ~p
p
p q
q
 
a. p Λ ~ q b. q Λ p c. ~ p Λ ~ q 
d. ~ q v ~ p e. p v ~ q 
 
34. La proposición simplificada de: 
~qp
q
qp
p
 
 
a. p Λ ~ qb. q Λ ~ p c. p→ q 
d. p v ~ q e. p Δ q 
 
35. Reducir: 
p q
~q
q
p
p ~r
~p
r
~q
~p
 
a. ~ (p v q) b. ~(q Λ ~ p) c. F 
d. ~ (p Λ q) e. ~(~ qΛ p) 
 
36. Al simplificar: 
~p
~r p ~q
r
~q
p
~q
~r
 
a. (p v r) v (q Λ ~ r) b. (p v r v ~ q) Λ (p Λ r) 
c. (r v p) Λ (q Λ ~ r) d. (r v p v ~ q) Λ ~ (p Λ r) 
e. N.A. 
 
 
 
 
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7
 
GUÍA 1 - CIENCIAS 
INFERENCIA LOGICA 
 
1. P1) p → q 
P2) p 
P3) q → r // r 
 
2. P1) p→ ~ q 
P2) r → q 
P3) p // ~ r 
 
3. P1) ~ p 
P2) q → p 
P3) ~ r v q // ~ r 
 
4. P1) ~ p Λ ~ q 
P2) ~ q → (r → s) 
P3) (t → r) v p // t → s 
 
5. P1) ~ (p v q) 
P2) r → (p v q) 
P3) r v (s → p) // ~ q Λ ~s 
 
6. P1) (p v r) → ~q 
P2) r → s 
P3) (s v ~ r) → p 
P4) s → q // r → t 
 
7. P1) ~ (p → q) 
P2) (q → r) → (s Λ t) 
P3) (p Λ s) → k 
P4) w → ~ (t Λ k) // p ↔ ~ w 
 
8. P1) ~ (p → q) 
P2) (q → r) → (s Λ t) 
P3) (p Λ s) → k 
P4) w → ~ (t Λ k) // p ↔ ~ w 
 
 
LOGICA DE CLASES 
 
1. Obtenga el equivalente de cada una de las siguientes 
proposiciones según el cuadro tradicional de la oposición. 
1.1. Todos los musulmanes son mahometanos 
1.2. Ningún diplomático es descortés 
1.3. Algunos héroes son militares 
1.4. Algunos novelistas no son políticos 
1.5. Es falso que ningún religioso sea gobernante 
 
2. Si es verdadera cada una de las siguientes proposiciones, obtenga 
las conclusiones que se derivan válidamente según el cuadro 
tradicional de la oposición. 
2.1. Todos los planetas giran alrededor del Sol. 
2.2. Ningún país capitalista es subdesarrollado. 
2.3. Algunos mercenarios ganan mucho dinero. 
 
3. Si es falsa cada una de las siguientes proposiciones, obtenga las 
conclusiones que se derivan válidamente según el cuadro 
tradicional de la oposición. 
3.1. Todos los mamíferos son acuáticos. 
3.2. Ninguna máquina es peligrosa. 
3.3. Algunos países productores de cobre son subdesarrolados. 
 
4. Por conversión obtenga la conclusión que se deriva válidamente 
de cada una de las siguientes proposiciones. 
4.1. Todos los desiertos están deshabitados. 
4.2. Ningún mapa del desierto es suficientemente claro. 
4.3. Ningún ser vivo es inorgánico. 
 
5. Por obversión obtenga el equivalente de cada una de las 
siguientes proposiciones: 
5.1. Todos los curanderos son pintorescos. 
5.2. Ningún auto deportivo es aburrido. 
5.3. Algunas escrituras no son. 
 
6. Si la proposición algunos religiosos no son políticos es verdadera, 
determine respecto de ella si es verdadera, falsa o indeterminada 
cada una de las siguientes proposiciones, y por qué. 
6.1. Ningún religioso es político. 
6.2. Algunos religiosos son apolíticos. 
6.3. Algunos religiosos son políticos. 
 
7. Si la proposición todo deporte es divertido es verdadera, diga con 
respecto a ella si es verdadera, falsa o indefinida cada una de las 
siguientes proposiciones, y por qué. 
7.1. Algo que no es divertido es no-deporte. 
7.2. Algo que es deporte no es divertido. 
7.3. Ningún deporte es no-divertido. 
7.4. Algún deporte es divertido. 
7.5. Algo que no es divertido no es deporte. 
 
 
SILOGISMO 
 
8. Indique a qué modo y figura pertenece cada silogismo que 
aparece a continuación. Luego, aplicando las reglas determine la 
validez o invalidez. Señale, además, la falacia que se ha cometido 
en cada silogismo inválido. 
8.1. Todos los alpinistas son intrépidos. Algunos italianos son 
alpinistas. Luego, algunos italianos son intrépidos. 
8.2. Algunos pintores son músicos. Algunos artistas de cine son 
músicos. De ahí que, algunos artistas de cine son pintores. 
8.3. Ninguna ballena es rumiante. Todas las ballenas son 
acuáticas. Luego, algunos animales acuáticos no son 
rumiantes. 
8.4. Ningún insecto es vertebrado. Algunos animales vertebrados 
son mamíferos. Por lo tanto, algunos mamíferos no son 
insectos. 
8.5. Ningún socialista es republicano. Algunos economistas no son 
socialistas. De modo que, algunos republicanos no son 
economistas. 
8.6. Todos los ciudadanos son mayores de 18 años. Ningún niño 
es mayor de 18 años. Luego, ningún ciudadano es un niño. 
8.7. Algunos astronautas no llegaron a la Luna, porque algunos 
astronautas tenían la misión de recorrer sólo la órbita terrestre 
y nadie que llegó a la Luna tenía la misión de recorrer sólo la 
órbita terrestre. 
8.8. Todos los trabajadores de las plantaciones son inmigrantes 
negros, de modo que algunos trabajadores de las plantaciones 
no son nadadores, dado que algunos inmigrantes negros no 
son nadadores. 
8.9. Algunos prisioneros no son militantes de un partido político, 
dado que algunos dirigentes políticos no son prisioneros y 
todos los dirigentes políticos son militantes de un partido 
político. 
8.10. Algunos criterios políticos sustituyen criterios mercantiles, 
puesto que algunos criterios mercantiles sustituyen criterios 
morales y algunos criterios políticos sustituyen criterios 
morales. 
8.11. Todas las oportunidades de éxito son riesgos, en 
consecuencia ninguna oportunidad de éxito es calculada, dado 
que ningún riesgo es calculado. 
8.12. Algunos jueces no son deshonestos, puesto que algunos 
jueces son justos y ningún deshonesto es justo. 
8.13. Algunos días festivos son no-laborables, en vista de que 
ningún día laborable es un día dedicado al turismo. 
 
 
 
Alexander Fleming… 20 años insuperables entu preparación 
 
GUÍA 1 - CIENCIAS 8
 
8.14. Es falso que todos los satélites giren alrededor de Júpiter, 
porque no todos los que giran alrededor de Júpiter giran 
alrededor de la Tierra. 
8.15. Algunos manantiales salen de rocas coloreadas, por lo tanto 
algunos manantiales no son cristalinos, puesto que todo lo que 
sale de rocas coloreadas es no-cristalino. 
 
9. Mediante los diagramas de Venn determine la validez o invalidez 
de cada una de las siguientes inferencias. 
9.1. Todos los insectos son invertebrados. Todas las hormigas son 
insectos. Por lo tanto, todas las hormigas son invertebrados. 
9.2. Ningún animal rumiante es un ave. Todas las palomas son 
aves. En consecuencia, ninguna paloma es un animal 
rumiante. 
9.3. Todos los alpinistas son intrépidos, pero algunos alpinistas no 
son románticos, por lo tanto algunos intrépidos no son 
románticos. 
9.4. Algunos novelistas no son dramaturgos, pero ningún 
dramaturgo es un jugador de bolas, de ahí que algunos 
novelistas no son jugadores de bolas. 
9.5. Algunos animales no son de sangre fría, pero todos los reptiles 
son animales de sangre fría, luego no todos los animales son 
reptiles. 
9.6. Todos los lectores de Shakespeare, ya que ningún ingles es 
inculto. 
9.7. Algunos astronautas no son rusos, puesto que algunos que 
viajan al espacio no son rusos y algunos que viajan al espacio 
son astronautas. 
9.8. Todos los competidores fueron descalificados. Algunos 
competidores son incapaces de aceptar sus derrotas. En 
consecuencia, no es el caso que nadie que sea capaz de 
aceptar sus derrotas sea calificado. 
9.9. Todas las escuelas son obras de artistas italianos, pero ningún 
edificio de estructura moderna es obra de un artista italiano. 
Por lo tanto, algunos edificios de estructura moderna no son 
escuelas. 
9.10. Algunos objetos no-maleables son no-metaloides, en vista de 
que ningún metal es metaloide y ningún no-metal es no - 
maleable. 
 
 
Determine modo, figura y validez de los siguientes 
argumentos: 
 
10. Cualquier ángel es mensajero divino por eso el mensajero 
divino es real, puesto que todo ángel es real. 
11. Ningún cantante es leal, siempre que algún artista sea leal, 
inclusive muchos cantantes son artistas. 
12. Todo cristiano es sabio, porque todo sabio es culto, sin 
embargo quien quiera sea culto es cristiano. 
13. Si todos los no genios son ahorradores y ningún vegetariano es 
genio, entonces todos los vegetarianos son ahorradores. 
14. Ningún país es acogedor; por lo tanto todo lo acogedor está en 
crisis, debido a que todo país está en crisis. 
15. Cada lechuza es nocturna, pero ninguna lechuza es agradable, 
por ello cada nocturna es agradable. 
 
En los diagramas siguientes. 
Corresponde a silogismos válidos. 
Determine en cada caso su modo. 
 
16. 
 
 
a. AEI 
b. EIO 
c. AIO 
d. OIE 
e. AII 
 
X
S P
M
 
 
 
 
17. 
 
a. AIO 
b. AOI 
c. OAI 
d. AOO 
e. OAO 
 
 
X
S P
M
 
18. 
 
a. IEO 
b. EII 
c. EIO 
d. EIE 
e. OEI 
 
 
X
S P
M
 
19. 
 
a. AEO 
b. AEE 
c. AEI 
d. EAI 
e. a y b 
 
 
X
S P
M 
20. 
 
a. AIO 
b. AOI 
c. AEO 
d. AAI 
e. AII 
 
 
S P
M
 
21. 
 
a. AAI 
b. AAO 
c. AEA 
d. EAA 
e. AAA 
 
 
S P
M
 
22. 
 
a. AEO 
b. EAE 
c. AEA 
d. AEE 
e. EAO 
 
 
S P
M
 
 
 
FALACIAS 
 
Determinar a qué falacia corresponde los siguientes argumentos: 
 
1. La propuesta del candidato presidencial: Ingeniero Arias debe 
aceptarse, porque el pueblo hace tiempo que tiene el anhelo de 
gobernantes incorruptos. 
 
2. El principio de Arquímedes es falso porque este personaje siempre 
fue infiel con sus esposas. 
 
 
 
 
 
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9
 
GUÍA 1 - CIENCIAS 
3. La policía nacional es corrupta, por ello la sección de robos de 
vehículos debe ser muy corrupta. 
 
4. La muñeca de amigo Raúl se quebró. 
 
5. ¿Has dejado de pegarle a tu hijo? 
 
6. Esta hombre a pesar de ser criminal tenemos que dejarlo libre 
porque es el único sustento de sus 6 hijos y de su mujer que es 
enferma. 
 
7. Dime con quién andas y te diré quién eres. 
 
8. ESTUDIE GRATIS (Sólo pague derecho de matrícula). 
 
9. Si no votan por mí todo lo hecho en mí gobierno se perderá. 
 
10. Ese profesor enseña bien y domina su curso, por ello 
seguramente en la academia donde trabaja deben haber buenos 
docentes. 
 
11. El rey Pelé dijo que en el Brasil la economía muy estable a 
desaparecido. 
 
12. A todos los obesos, la crema Corpo Light les baja de peso de 
peso, tómalo y échate no creo que afecte a tu celulitis. 
 
13. Por supuesto que San Anselmo es milagroso, pero hay que 
rezarle con fervor para que te conceda milagros. 
 
14. Todas las declaraciones de Chalaquito en el tribunal son falsas 
porque él es un delincuente criminal y plagiario. 
 
15. Juliana robó ese collar desesperada por el hambre, porque no 
tenía qué comer. Vivía en la miseria, abandonada por sus padres. 
Ella es víctima de la crisis social y económica de nuestro pueblo. Por 
eso señor juez, Juliana no debe ser condenada. 
 
16. El perro de Pepito es cariñoso. Come todo. Le gustan mucho los 
niños. 
 
17. En una entrevista al astronauta Gagarin: 
 - ¿Cree usted en Dios? 
 - Pues, realmente no. En ninguno de mis viajes lo he visto. 
 
18. Carla y José pelean siempre y tienen problemas en su hogar. 
Eso les pasa porque se casaron un viernes 13. 
 
19. Esta computadora es muy costosa y además de buena marca, 
seguramente sus accesorios deben de ser costosos, te recomiendo 
que la trates con cuidado. 
 
20. Ven, estudia en la academia preuniversitaria PULGIN, porque 
aquí están los profesores de más alto nivel preuniversitario de 
Arequipa y el sur. 
 
21. La propuesta de Alan García debe aceptarse, porque el Perú 
hace tiempo que necesita una política de generación de empleo para 
los más necesitados. 
 
22. En nuestra casa antigua teníamos varias gatas, unas nos 
servían para cambiar de llantas a los carros, las otras exterminaban 
a los molestosos pericotes. 
 
23. No me gustó lo que hizo el animal de tu amigo. 
 
24. ¿Cuándo vas a dejar de ser mentirosa? 
 
25. Cuando un gobierno reprime policialmente a los clubes de 
madres por pedir alimentos para sus hijos sin aceptar para nada 
métodos racionales 
 
26. Un país imperialista pide a un país pobre que “liberalice” su 
economía so pretexto de no concederle pretexto de no concederle 
préstamo o comprarle su materia prima 
 
27. La afirmación de que en otras galaxias hay vida por que no se 
ha demostrado lo contrario 
 
28. Cuando a un inculpado se le va ha condenar a muerte (por las 
pruebas acumuladas en su contra), el defensor implora justicia para 
el susodicho alegando aspectos sentimentales y humanitarios que 
tienen que ver supuestamente con el reo (infancia triste, misérrima, 
sin padre, etc.) 
 
29. Cuando en una conversación sobre “Genética y evolución” se 
recurre a algunos pasajes bíblicos para dirimir el debate. 
 
30. Cuando en una discusión política se recurre a las opiniones de A. 
Einstein (gran físico relativista) Para hacer que acepten la conclusión 
 
31. Los pueblos primitivos atribuyen la causa de sequía, relámpago 
o truenos a la “Ira de los dioses”, por lo cual hacen sacrificios 
 
32. Si hoy sufrí un accidente se debe a que en días anteriores rompí 
un espejo. 
 
33. Intentar probar que un determinado televisor de Phillips es 
bueno, partiendo que dicho televisor es lo mejor que ha producido 
Phillips. 
 
34. En el parlamento al debatir sobre la ley de vivienda alguien pide 
la palabra y opina a favor de la ley opinando que todo el mundo 
debe tener vivienda decente y holgada 
 
35. La discusión entre un religioso y un ateo, en el cual primero 
sostiene algo y luego se refuta alegando que no es cierto lo que dice 
por que sus palabras están en contra de lo que dice la Biblia 
 
36. EL fin de una cosa es su perfección, la muerte es el fin de la 
vida, en consecuencia la muerte es el fin de la vida 
 
37. El chancho de mivecino 
 
38. Si un religioso careciera de evidencia suficiente para sostener de 
que dios existe, esta “ignorancia justificaría la conclusión de que 
Dios no existe 
 
39. Si llegamos a la conclusión de que una teoría científica es 
errónea porque lo propuso un judío, o si rechazamos la demostración 
de un estudiante sólo por ser éste un jovenzuelo con barba y 
sandalias 
 
40. Si el tema que está en discusión es la aprobación de una ley 
sobre la vivienda, y que un legislador de que está a favor de esta ley 
argumenta diciendo “todos deben tener viviendas decentes” 
 
41. La filosofía de Kant es falsa porque niega la realidad material, 
además, Kant fue un filósofo burgués, jorobado que medía sólo 1.40 m 
 
42. El argumento del estudiante que no ha entregado su tares 
después de todos los plazos fijados; dice: “Señor profesor en estos 
últimos días he tenido que soportar problemas familiares agobiantes. 
Mi madre enfermó y a diario tenía que llevarla al médico. A mis 
hermanitos menores sólo yo podía prestarles atención en casa. Por 
está razón pido una nueva fecha para que recepcione mi trabajo, 
pienso que no se negará porque Ud. Comprenderá mi problema” 
 
43. XYZ, los jabones importados de fragancia exquisita son usados 
por nueve de cada diez estrellas del cine 
 
44. Los cánones religiosos son infalibles porque Einstein, ferviente 
católico, también lo admitía 
 
 
 
 
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación 
 
GUÍA 1 - CIENCIAS 10
 
45. Sabía que me iban a despedir de mi trabajo, porque cuando 
salía de mi casa un gato negro se cruzó en el camino 
 
46. Si eres abogado, ¿trabajarás en el Palacio de Justicia y estarás 
de acuerdo con el plan de gobierno sobre la justicia? 
 
47. Rafael es un cantante consumado. Todo lo que está consumado 
está acabado como cantante. Luego, Rafael está acabado como 
cantante 
 
48. Una paloma es un animal, por tanto, una paloma grande es un 
animal grande 
 
49. El titular de un periodista decía: “EL REY PELÉ LADRON”, y luego 
con letras pequeñas continuaba diciendo: “el famoso popular 
futbolista Pelé filmará el típico ladrón brasileño” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. CONCEPTO 
Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o 
imaginarios, que tienen una o más características comunes, estos 
objetos reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de 
manera que un conjunto está bien definido si es posible conocer 
todos sus elementos. 
 
2. NOTACION 
Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de 
nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y 
encerrados por signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm: 
 
A= do,re,mi,fa,sol,la,si 
P= Ecuador,Perú,Bolivia,Argentina,....Chile
 
B= a,e,i,o,u 
 
Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n): 
Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto 
considerado. Ejm: 
A 8;12;17 n A 3 
B 9;9;6;6;6;11;11;11;11;17 n B 4
 
 
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
Los conjuntos se representan gráficamente por figuras geométricas 
cerradas, llamados Diagramas de Venn – Euler, que contienen los 
elementos del conjunto. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se lee conjunto A formado por las vocales. 
Se lee conjunto B formado por los 10 primeros números naturales. 
 
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 
Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras: 
 
 
a) Por Extensión o Forma Tabular: 
Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del 
conjunto. 
Ejemplo: 
u;o;i;e;aV
 
5;4;3;2;1P 
 
* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son listados los elementos 
del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. 
5,17,3,1017,10,5,3D 
 
b) Por comprensión o Forma Constructiva: 
Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades 
comunes que caracterizan a los elementos de dicho 
conjunto. 
Ejemplo: 
vocalunaesx/xA Se lee: x tal que x es una vocal 
6xx/xB Se lee: x tal que x pertenece a los números 
naturales menores que 6 
 
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
a) Relación de Pertenencia ( ) 
Un elemento pertenece ( ) a un conjunto si forma parte o es un 
agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia vincula cada 
elemento con el conjunto. 
 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
 “Pertenece a” 
 “No Pertenece a” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* s es un elemento del conjunto E 
 s pertenece a E  s E 
* t es un elemento del conjunto A 
 t pertenece a A  t A 
* o no es elemento del conjunto E 
 o no pertenece a E  o E 
* m no es elemento del conjunto A  m no pertenece a A  m A 
 
 
b) Relación de Inclusión ( ): 
Se dice que A está incluido en el conjunto B (A B), cuando todo 
elemento de A pertenece a B. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
Ejemplo: 
Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {1; 2; 3} 
Se observa: B A: Conjunto B incluido en conjunto A. 
 
c) Igualdad de Conjuntos: 
Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos 
elementos. 
Ejemplo: 
Si: A = {1,3,5,7,9} y B = {x/x N x impar <10} A = B 
A B 
.1 
.2 
.3 
.4 
.5 
.6 
.7 A B 
A 
*a 
*e 
*i 
*o *u 
B 
*1 *2 *3 
*4 
*5 *6 
*7 
*8 *9 *1
0 
E 
*g 
*s 
*i 
*m 
*a 
*t 
*a *i 
*o 
A 
 
 
 
 
 Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación 
 
 
11
 
GUÍA 1 - CIENCIAS 
6. CLASES DE CONJUNTO 
 
a) Conjunto Vacío 
Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama 
conjunto nulo. 
Notación: o { }. 
Ejemplo: 
B = {x/x N 5<x<6} B = { } y n(B) = 0 
 
b) Conjunto Unitario 
Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama conjunto 
Singlentón 
Ejemplo: 
A = {x/x N 8 x 10} B = {satélites de la tierra} 
 
c) Conjunto Finito 
Es cuando se pueden enumerar o contar sus elementos en su 
totalidad. 
Ejemplo: 
A = {x/x N x 99} B = {los países de América del Sur} 
 
d) Conjunto Infinito 
Es cuando sus elementos no se pueden determinar en su totalidad. 
Ejemplo: 
A = {x/x N x 5} B = {las estrellas del universo} 
 
e) Conjunto Universal 
Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, 
teniendo una referencia se representa por el símbolo U. 
 
f) Conjunto Potencia 
Está formado por todos los subconjuntos que es posible formar de n 
conjunto dado. Se simboliza por “P”. 
Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A. 
A = {a, b, c} 
P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c}; } 
 
Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2
n
, de 
donde “n” es el número de elementos del conjunto. 
Número de subconjuntos = 2
n
 = 2
3
 = 8 
 
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
a) Unión o Reunión ( ) 
Dado los conjuntos A y B se llama conjunto unión al conjunto 
formado por todos los elementos que pertenecen a A o B o en 
ambos. 
Notación: A B. 
 
 
 
Se lee: “A unión B” 
Ejemplo: 
Sean los conjuntos: 
A = 2; 4, 7, 9 B = 1, 7, 4, 12, 18 
El conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18 
 
b) Intersección ( ) 
Dados los conjuntos A y B se llaman conjunto intersección, al 
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, 
es decir que sean comunes a ambos conjuntos. 
Notación: A B 
 
 
 
Se lee: “A intersección B” 
 
Ejemplo: 
A = {2, 4, 6, 9, 12} 
B = {3, 6, 9, 4, 20, 23} 
 Conjunto A B = {4, 6, 9} 
c) Diferencia ( – ) 
Dados los conjuntos A y B se llama conjunto diferencia (A – B) al 
conjunto formado únicamente por los elementos que pertenecen a A 
pero no a B. 
 
Notación: A – B 
 
 
Se lee: “A diferencia B” 
Ejemplo: 
Sean los conjuntos: 
A = {23, 19, 26, 25, 30} B = {1,9,26,23,20,18} 
El conjunto A – B = {19, 25, 30} 
* Observación: A – B B – A 
 
d) Diferencia Simétrica ( ) 
Dado los conjuntos A y B, se llama conjunto diferencia simétrica a 
aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen 
al conjunto (A B) pero no al conjunto (A B). 
Notación: A B 
 
 
 
Ejemplo: 
Sean los conjuntos: 
A = {2, 13, 19, 28, 30} 
B = {1,13, 19, 20, 29, 32} 
El conjunto: 
A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32} 
 
Complemento de un Conjunto (A’ ) 
Siendo A un subconjuntocualquiera del conjunto universal U. El 
complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de 
elementos de U que no pertenece a A. 
Notación: A` Se lee: el complemento de A. 
 
 
 
Ejemplo: 
A = {4, 8, 10} U = {x/x N 2 < x < 12} 
 El conjunto: A’ = {3,5,6,7,9,11} 
 
 
 
 
PRACTICA 2 
 
 
1. En una ciudad al 25% de la población no le gusta la carne y al 
50% no le gusta el pescado. Hallar el % de gente que gusta de 
carne y pescado si el 5% no gusta de ninguna de ellas. 
a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) N.A. 
 
2. En una fiesta donde habían 70 personas, 10 eran hombres que 
no les gustaba la música “salsa”, 20 eran mujeres que gustaban 
de esta música. Si el número de hombres que gustaba de la 
música “salsa” es la tercera parte de las mujeres que no gustan 
de esta música. ¿A cuántos les gusta la música “salsa”? 
a) 20 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 
 
3. De un total de 55 alumnos de un salón de la Academia, 32 
aprobaron Aritmética, 22 Álgebra, 45 Geometría, 5 aprobaron 
los 3 cursos. Si 5 alumnos no aprobaron ninguno de los 3 
cursos, ¿Cuántos aprobaron sólo dos de estos cursos? 
a) 16 b) 25 c) 30 d) 34 e) 39 
 
4. A y B son dos conjuntos tales que: 
n(A) + n(B) = 83 n(A B) = 74 
Calcular n (A B) 
a) 70 b) 80 c) 60 d) 65 e) 75 
A’ = {x/x U x A} 
 
A B = {x/x (A B ) (A B)} 
 
A – B = {x/x A x B} 
 
A B = {x/x A x B} 
 
A B = x / x A x B 
 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 12
 
5. De 80 personas encuestadas sobre el uso de cigarrillos, se ha 
obtenido que 20 mujeres no fuman y de los encuestados 44 son 
varones. ¿Cuántas de las encuestadas fuman cigarrillos? 
a) 20 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 
 
6. De los 100 estudiantes de un salón, 70 aprobaron matemáticas, 
80 aprobaron historia y 78 aprobaron castellano. Si 90 
aprobaron exactamente 2 cursos, ¿Cuántos aprobaron en los 3 
cursos? 
a) 19 b) 21 c) 11 d) 13 e) 38 
 
7. Entre los habitantes de un distrito se ha realizado una encuesta 
sobre quienes poseen ciertos artefactos y se ha obtenido los 
siguientes datos: 
 80% tienen televisor. 
 90% tienen radio. 
 60% cocina a gas. 
 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores. 
 55% tienen los tres artefactos 
 
¿Cuántos personas tienen solamente un artefacto? 
a) 20% b) 22% c) 10% d) 21% e) 11% 
 
8. Si: 
P Q = {a, b, c, d, e} 
P – Q = {d, e} P Q = {c} 
 
Calcular: n(Q - P) + n(Q) 
 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
9. Si: 
A = {a, b, c, d, e, f, g} 
B = {f, b, c, h, i, j} 
C = {a, c, e, i, k, l} 
D = {a, b, d, f, k, i, j} 
 
Hallar: C [D – (A B)] 
 
a) {a, i, j} b) {a, b, c} c) {a, i, k} 
d) {a, j} e) N.A. 
 
10. En una encuesta tomada el verano pasado a un grupo de 600 
bañistas se supo que: 250 usaban tanga, 220 usaban hilo 
dental, 100 usaban tanga e hilo dental. ¿Cuántas no usaban 
tanga ni hilo dental? 
a) 130 b) 230 c) 330 d) 320 e) 302 
 
11. Sean A, B y C, incluidos en “S” tal que: 
n(A) = 44 n(S) = 100 
n(B) = 41 n[A – (B C)] = 20 
n(C) = 45 n[B – (A C)] = 15 
n(A B C) = 5 n[C-(A B)] = 20 
y n[(A B) – C] = n[(A C) - B] + 1 
 
Hallar: n[(B C) - A] 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
12. Si el conjunto potencia de T posee 64 elementos, ¿Cuál de los 
siguientes puede ser el conjunto T? 
a) {x
3
/x < 6; x N} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
c) {x/x es una vocal} d) {x Z/x
4
 = 16 x
2
 = 1} 
e) N.A. 
 
13. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso básico I y 
53 llevan el curso de física I. Si 27 no llevan ninguno de estos 
cursos, ¿Cuántos llevan uno, y sólo uno de los cursos? 
a) 42 b) 43 c) 45 d) 40 e) 39 
 
14. De un grupo de turistas: 
 31 visitaron el Callao. 
 29 visitaron Trujillo. 
 34 visitaron el Cusco. 
 38 visitaron sólo y nada más que 1 lugar. 
 22 visitaron exactamente 2 lugares. 
 
¿Cuántos visitaron los 3 lugares y cuántos eran en total? 
 
a) 4 y 60 b) 3 y 64 c) 64 y 3 
d) 4 y 64 e) 64 y 4 
 
15. De 110 personas que leen por lo menos dos de las tres revistas 
A, B y C se observa que 40 leen las revistas A, B y C se observa 
que 40 leen las revistas A y B; 50 leen A y C; 60 leen B y C. 
¿Cuántas personas leen las tres revistas? 
a) 20 b) 19 c) 21 d) 18 e) 22 
 
16. En un colegio hay 58 profesores, de los cuales 38 enseñan 
matemática, 15 historia y 20 ciencias naturales, si hay 3 
profesores que enseñan los 3 cursos. ¿Cuántos de ellos enseñan 
por lo menos, 2 de los 3 cursos? 
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
17. En cierta olimpiada participaron 870 deportistas en tres 
deportes; fútbol, béisbol y natación. De ellos 480 participaron 
en natación, 680 participaron en futbol o béisbol; 90 
participaron en los dos primeros deportes pero no en el tercero. 
¿Cuántos participaron exclusivamente en un solo deporte? 
a) 480 b) 490 c) 500 d) 470 e) 485 
 
18. Una cantidad de 100 señoritas rindieron tres exámenes para 
ocupar una vacante en una institución en los puestos de 
mecanografía, taquigrafía y recepcionista. Según el examen de 
selección se obtiene que: 68 señoritas aprobaron el primer 
examen; 80 aprobaron el primero y segundo examen 
solamente, 16 aprobaron el segundo y tercero únicamente. Si 
se dio la orden de que se contrate a las señoritas que aprueben 
los tres exámenes, ¿Cuántas señoritas se puede contratar, si 
además sólo 10 señoritas aprobaron el primer y tercer examen, 
y que todas aprobaron al menos un examen? 
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 
 
19. De 500 postulantes a las universidades A, B y C, 320 no se 
presentaron a “A”; 220 no se presentaron a “C”; 260 no se 
presentan a “B”. los que postulan a una sola universidad son 
320. ¿Cuántos postulan a las 3 universidades? 
a) 20 b) 31 c) 19 d) 18 e) 21 
 
20. Entre los varones que se alojan en un hotel 40 son peruanos y 
60 ingenieros; de los primeros, los ¾ tienen computadora, de 
los peruanos con computadora la mitad son ingenieros; 5 de 
cada 6 ingenieros tienen computadora. Hallar cuántos varones 
con computadoras no son peruanos ni ingenieros, si en el hotel 
se alojan 85 personas con computadora. 
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 
 
21. La región sombreada en el diagrama 
 
 
 
Representa la operación: 
 
i. (A - B) ∩ (C ∪ B) 
ii. (B - A) ∪(C ∪ B)-(C ∩ D) 
iii. A y B son correctas 
iv. (B – A) ∪ (C - D) ∪ (D – C) 
v. B y D son correctas 
 
22. De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 
no estudian Matemáticas. Si 27 no estudian ninguno de ninguno 
de los cursos mencionados, ¿Cuántos estudian sólo un curso? 
A) 28 B) 38 C) 48 D) 58 E) 18 
 
 
 
 
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GUÍA 1 - CIENCIAS 
23. De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron física, 6 probaron 
física y química. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos 
mencionados, si los que aprobaron química fueron 7? 
A) 18 B) 15 C) 12 D) 10 E) 6 
 
24. Si: n(A B) = 8 
 n(A ∩ B) =2 Hallar: n(A ∪ B) 
 
A) 8 
B) 9 
C) 10 
D) 11 
E) NA 
 
 
25. Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la 
siguiente región sombreada achurada? 
 
A) (A - B) ∪ {A ∪ B} 
B) (A B) ∪ C 
C) {(A - C) ∩ (B - C)} ∪ C 
D) {(A ∩ B) – C } ∪ {C – (A ∪ B)} 
E) N. A. 
 
 
 
26. ¿Cuál es la alternativa que representa la región achurada? 
 
A) (A ∩ B) – C 
B) (A ∩ C) - B 
C) (A ∩ B) ∩ C 
D) (A ∩ C) ∪ {B – (A ∪ C)} 
E) N.A 
 
 
27. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de 
subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B 
tienen 2 elementos comunes; determine n(A B) 
A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 
 
28. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: 
 
 
 
I) [A (B C)] [C D] 
II) (A B) (B C) 
III) [(A D) C] [A (B C)] 
 
B
C
D
A
 
A) solo I B) solo II 
C) solo I y II D) solo II y III E) todos 
 
29. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto 
a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos 
revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que 
leen soloB y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos 
revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A? 
A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40 
 
30. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones 
con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no 
tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían 
cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 
señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no 
llevaron casaca? 
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 
 
31. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos 
trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no 
trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no 
trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, 
si 36 varones no trabajan? 
A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34 
 
32. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: 
Atletismo, Básquet y Fulbito. 
* Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. 
* Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. 
* Los que practican atletismo y fulbito son 7. 
* Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. 
* Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de 
los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. 
* 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. 
* Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. 
 ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno? 
 
A) 21 B) 17 C) 19 D) 2 E) 18 
 
33. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son 
abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. 
¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo 
son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son 
empresarios? 
A) 15 B) 10 C) 20 D) 24 E) 15 
 
34. En una encuesta a los estudiantes se determinó que: 
* 68 se portan bien 
* 160 son habladores 
* 138 son inteligentes 
* 55 son habladores y se portan bien 
* 48 se portan bien y son inteligentes 
* 120 son habladores e inteligentes 
* 40 son habladores, inteligentes y se portan bien. 
 
¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente? 
A) 10 B) 20 C) 40 D) 12 E) 8 
 
35. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 
básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no 
practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que 
practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas 
que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de 
(x y) es: 
A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16 
 
36. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad 
de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es 
el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física 
y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra 
es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni 
física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los 
que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 
personas le gusta solamente un curso y además el total de 
personas que gusta de al menos un curso es 36. 
A) 5 B) 8 C) 12 D) 4 E) 10 
 
37. De 60 personas se sabe: 
* 6 hombres tienen 20 años 
* 18 hombres no tienen 21 años 
* 22 hombres no tienen 20 años 
* Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 
años. 
¿Cuántas mujeres no tienen 20 años? 
A) 18 B) 20 C) 24 D) 22 E) 28 
 
 
 
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38. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que 
practican básquet 14 alumnos que practican fútbol, 11 alumnos 
que practican tenis, 6 alumnos que practican los tres deportes, 
2 alumnos que practican fútbol y básquet pero no tenis, 1 
alumno que práctica básquet y tenis pero no fútbol, 3 alumnos 
que practican solo tenis. 
 ¿Cuántos alumnos practican sólo un deporte? 
A) 7 B) 5 C) 15 D) 3 E) 12 
 
39. De un grupo de 45 cachimbos, se sabe que 14 alumnos no 
tienen 17 años, 20 alumnos no tienen 16 años, 8 alumnos y 3 
alumnas no tienen 16 ni 17 años. 
 ¿Cuántas alumnas tienen 16 ó 17 años? 
A) 6 B) 16 C) 27 D) 12 E) 3 
 
40. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de 
hombres es el doble del número de mujeres. 
De los hombres: 23 no usan reloj pero si tienen terno, y 42 
tiene reloj. 
De las mujeres: las que no usan minifalda son tantas como los 
hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen minifalda y reloj. 
 ¿Cuántas mujeres usan minifalda, pero no reloj? 
A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9 
 
41. Las fichas de datos personales llenados por 74 estudiantes que 
ingresaron a San Marcos, arrojaron los siguientes resultados: 
* 20 estudiantes son de Lima. 
* 49 se prepararon en academia. 
* 27 postularon por primera vez. 
* 13 de Lima se prepararon en academia. 
* 17 postularon por primera vez y se prepararon en 
academia. 
* 7 de Lima postularon por primera vez. 
* 8 de provincias que no se prepararon en academia 
postularon por primera vez. 
 
 Hallar respectivamente: 
I. ¿Cuántos alumnos de Lima que se prepararon en academia 
postularon por primera vez? 
II. ¿Cuántos alumnos de provincias que no se prepararon en 
academia postularon más de una vez? 
 
A) 5 y 12 B) 5 y 10 C) 3 y 10 
D) 4 y 10 E) 4 y 12 
 
42. De un grupo de músicos que tocan flauta, quena o tuba se sabe 
que la octava parte toca sólo flauta, la sétima parte toca sólo 
quena, la diferencia de los que tocan sólo flauta y los que tocan 
sólo quena es igual a la cantidad de músicos que tocan sólo 
tuba. 
 Si además 80 tocan por lo menos 2 de los instrumentos 
mencionados. 
 ¿Cuántos tocan sólo quena? 
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 
 
43. En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en la universidad 
A; 11 en la universidad B y 16 en la universidad C. 
 Si sólo 2 personas estudiaron en las universidades A, B y C. 
 ¿Cuántos estudiaron exactamente en una de estas 
universidades, considerando que todas las personas estudiaron 
al menos en una de dichas universidades? 
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 
 
44. En una encuesta hecha en una urbanización a un grupo de 
amas de casa sobre el uso de tres tipos de detergente (A, B y 
C) se obtuvieron los siguientes datos. 
 Del total: Usan sólo A el 15%; A pero no B el 22%; A y C 11%; 
B y C 13%. 
 La preferencia total de A era del 38%, la de C 26% y ninguna 
de las marcas mencionadas, el 42%. 
 
Se pregunta: 
A. ¿Qué tanto por ciento prefieren sólo B? 
B. ¿Qué porcentaje de amas de casa prefieren exactamente dos 
tipos de detergente respecto de las que no prefieren ninguna 
marca? 
 
A) 5 y 66,66...% B) 4 y 60% 
C) 8 y 26,66...% D) 5 y 73,33...% E) 6 y 65% 
 
45. Dados los conjuntos A y B donde : 
Entonces el conjunto contiene: 
 A) Una semirecta disjunta en el tercer cuadrante. 
B) Dos semirectas disjuntas en el cuarto cuadrante. 
C) No contiene ninguna semirecta disjunta. 
D) Contiene dos semirectas disjuntas, una en el segundo 
cuadrante y una en el primero. 
E) Dos semirectas disjuntas, una en el primer cuadrante y 
otra en el tercero. 
 
46. Si A = ]- ; 3]; B = ]5; + [; C = [-3; 7]. 
 Hallar (C – A) (C – B) 
 
A) ]- ; + [ B) ]-3; 7] C) ]3; -3] 
D) ]3; 5] E) [3; 5[ 
 
47. Si A = {1/2}; B = {2} y C = {1/5; 3}, además si tenemos la 
fracción 
2
a 3
a 1
 y hallamos el valor numérico “V” de la 
fracción cuando a = -2. Decir cuánto enunciados son 
verdaderos 
 V A 
 {V} (A C) 
 V (A – C) B 
 V (C – B) 
 
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 
 
48. Si x A, con A y B dos conjuntos cualesquiera arbitrarios: 
I. x (A B) 
II. x (A B) 
III. x (A – B) 
IV. x (A B) (A B) 
V. C Cx (A B ) 
 
Determinar la alternativa correcta: 
A) FVFVV B) VVFVF C) FVVVF 
D) FVFVF E) FVFFV 
 
49. Si A y B son los conjuntos tales que A B, A B , simplificar 
gráficamente la expresión: C(A B) (AB) 
 
A) A B) C) A B D) B E) A B 
 
 
 
 
 
 
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15
 
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50. Dados los conjuntos A {x Z / 3x 4 11} 
B {x Z / 2x 2 5} 
C {x Z / 4x 7 12} 
 
Entonces: 
A) B A B) A B C) A C 
D) C A E) B C 
 
51. Si A y B son dos conjuntos ¿Cuáles proposiciones son 
verdaderas y cuáles son falsas? 
 
I. C C(A B ) A B 
II. C C C(A B ) A B 
III. C C C C(A [B A ]) A B
 
 
A) FVV B) VVV C) VVF 
D) VFV E) VFF 
 
52. Dado el subconjunto A de los números naturales N. 
A = {y N/ y = 5 + x; x N} 
Marque la proposición verdadera 
 
A) Si, Z A Z – 9 N B) 3 A 
C) Si, m A m +8 A D) 6 A 
E) 1 A 
 
53. Dado el conjunto B={0, ,*, } ¿Cuál de las siguientes 
proposiciones es falsa? 
A) {0, *} {*} B) B C) 0 
D) {0} B E) B 
 
54. Hallar el supremo y el ínfimo del siguiente conjunto de números 
reales: 
3 5 9 17
1, , , , ; ...
4 8 16 32
 
A) 0; 1 B) 1; 33/64 C) 0; 33/64 
D) 33/64 E) 1; 0 
 
55. Sea: 
3x 7x 6
A x R : 0
x 1
 
La suma de los elementos de A es: 
 
A) 2 B) 9 C) -1 D) -3 E) 1 
 
56. Dado el conjunto: 
2A {x R / 1 x (9 / 25)} 
Hallar la suma de su supremo con su infinito si existe: 
 
A) 8/5 B) -1 C) 0 D) 4/5 
E) El conjunto A no tiene supremo ni infinito 
 
57. Señalar la proposición verdadera: 
A) Dado A N, tal que: A={1, 2, 3, 4}. El número de los 
subconjuntos no vacíos de a es 15 
B) Dados tres números naturales consecutivos nunca uno de 
ellos es múltiplo de 3 
C) La ecuación x + 3 = 0 tiene solución N 
D) Para todo número natural existe su inverso multiplicativo 
también el N 
E) La operación de diferencia es una operación cerrada en N 
 
58. Dadas las siguientes clases: 
U = {x/x sean los números naturales del 1 al 50} 
A = {4, 8, 12, 14, 28, 30} 
B = {3, 9, 14, 17, 24, 28} 
C = {1, 4, 12, 28, 36, 49} 
 
Determinar el resultado final de la siguiente fórmula: 
[(A C) B] (A B) 
 
A) U B) {4, 12} C) 
D) {1, 4, 14, 28} E) {14, 28} 
 
59. De 69 personas que asistieron a un complejo deportivo se supo 
que 29 practican atletismo, 32 practican básquet, 25 practican 
ciclismo; 7 atletismo y básquet, 12 practican atletismo y 
ciclismo, 11 practican básquet y ciclismo. ¿cuántas personas 
practican los 3 deportes, si 10 no practican ninguno de los 
deportes? 
 
A) 9 B) 11 C) 10 D) 12 E) 8 
 
60. De 212 deportistas, 60 practican el voley y ciclismo, 70 
practican ciclismo y tenis, 80 voley y tenis. Además 73 practican 
sólo uno de estos deportes. Determinar la suma del máximo y 
mínimo valor que puede tomar el número de deportistas que 
practican los 3 deportes. 
 
A) 95 B) 97 C) 98 D) 96 E) 93