calculo-diferencial

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CURSO CERO 
DE 
MATEMÁTICAS 
 
 
 
Cálculo Diferencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dra. Mónica Cortés Molina - Dr. Fernando García Alonso 
Dr. José A. Reyes Perales - Dr. Ferran Verdú Monllor 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-2- 
RESUMEN TEORÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
 
Derivadas 
 
La derivada de una función se puede interpretar geométricamente como la pendiente de 
una curva y, físicamente como una razón “instantánea” de cambio. 
 
Interpretación geométrica - Tangente a una curva 
 
A principios del siglo XVII no se sabía cómo calcular la tangente a una curva en un 
punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y 
en geometría. 
Vamos a estudiar el concepto general de tangente a una curva en un punto dado. En 
general, no es un caso sencillo encontrar la pendiente de esta tangente. La razón es que, 
en principio, se necesita para esto otro punto, además del de tangencia. Supongamos 
que queremos encontrar la tangente a la curva de ecuación cartesiana y = f(x) en el 
punto (a, f(a)). La estrategia, utilizada primero por Pierre de Fermat y más tarde por 
Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes las pendientes de las 
cuales se pueden calcular directamente. En particular, consideramos la recta que une el 
punto (a, f(a)) con un punto próximo, (a+h, f(a+h)), de la gráfica de f. Esta recta se 
llama secante (recta que corta, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta 
secante es: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f a h f a f a h f a
a h a h
+ − + −
=
+ −
 
dicho número se suele decir cociente incremental de f en a. 
 
 
Notemos que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el 
punto (x, f (x)) esté muy próximo a (a, f (a)). Estas consideraciones llevan a definir la 
tangente de f en el punto (a, f (a)) como la recta que pasa por dicho punto y, en la cual, 
la pendiente es igual al límite: 
0
( ) ( )'(a) lim
h
f a h f af
h→
+ −
= 
 
supuesto, claro es, que dicho límite exista (sea finito). 
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-3- 
Recta tangente: ( ) '( )( )y f a f a x - a− = 
 
Interpretación física - Razón de cambio 
 
Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que 
relacionen una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que 
suele escribirse en la forma y = f (x). Si la variable independiente cambia de un valor 
inicial a a otro a+h, la variable y lo hace de f (a) a f (a+h). La razón de cambio medio 
de y = f (x) con respecto a x en el intervalo [a, a+h] es: 
Razón de cambio medio = ( ) ( )f a h f a
h
+ − 
 
Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más 
pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos denominar “razón de cambio puntual de 
y = f (x) con respecto a x en el punto a” como: 
0
( ) ( )lim
h
f a h f a
h→
+ − 
 
El ejemplo más conocido de lo que estamos diciendo es el de una partícula que se 
mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea f(t) la distancia 
de la partícula al origen en el tiempo t. La razón de cambio medio tiene en este caso una 
interpretación física natural. Es la velocidad media de la partícula durante el intervalo de 
tiempo considerado. 
 
Parece intuitivo que, en cada instante, la partícula se mueve con una determinada 
velocidad instantánea. Pero la definición corriente de velocidad es en realidad una 
definición de velocidad media; la única definición razonable de velocidad instantánea es 
como la razón de cambio puntual. Es importante darse cuenta que la velocidad 
instantánea es un concepto teórico, y una abstracción, que no corresponde exactamente 
a ninguna cantidad observable. 
 
Derivada de una función en un punto 
 
Notación. En lo que sigue las letras Y y J representan intervalos abiertos no vacíos de 
números reales. 
 
• Se dice que una función f : Y →R es derivable en un punto a Î Y, si existe el 
límite: 
0
( ) ( )'( ) lim
h
f a h f af a
h→
+ −
= 
 
• Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite: 
0
( ) ( )'( ) lim
h
f a h f af a
h−
−
→
+ −
= 
El valor de dicho límite se llama derivada por la izquierda de f en a. 
 
 
• Análogamente, se dice que f es derivable por la derecha en a, si existe el 
límite: 
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-4- 
0
( ) ( )'( ) lim
h
f a h f af a
h+
+
→
+ −
= 
 
El valor de dicho límite se llama derivada por la derecha de f en a. 
 
Reglas de derivación 
 
Sean f, g: Y →R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones: 
 
1. La función suma f +g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean 
derivables; en tal caso, la derivada viene dada por: 
(f +g)′(a) = f ′(a)+g′(a) 
 
2. La función producto f · g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean 
derivables; en tal caso, la derivada será: 
(f · g)′(a) = f ′(a) g(a)+ f (a) g′(a) 
 
3. Si g(x) ≠ 0 para todo x Î Y, la función cociente f g es derivable en todo punto a 
Î Y en el que f y g sean derivables. En tal caso se verifica que: 
( )
'
2
'( ) ( ) ( ) '( )( )
( )
f f a g a f a g aa
g g a
  −
= 
 
 
 
 
 
Derivación de una función compuesta o regla de la cadena 
 
Sean f: Y →R y g: J →R con f(Y) ⊆ J, y sea p = g ◦ f : Y →R la función compuesta. 
Supongamos que f es derivable en a Î Y y que g es derivable en f (a). Entonces p es 
derivable en a y: 
p′(a) = g′( f (a)) f ′(a). 
 
En particular, si g es derivable en J, la función compuesta p = g ◦ f es derivable en todo 
punto de Y donde f sea derivable. 
 
 
Diferencial de una función en un punto 
 
Sea una función real de variable real, y 0
o
fx D∈ , se dice que f es diferenciable en 0x , si 
existe una aplicación lineal: 
0
0
( ) :
( )( )
df x
h df x h
→
→
 
 
tal que 
0 0 0
0
( ) ( ) ( )( )lim 0
h
f x h f x df x h
h→
+ − −
= . 
Dicha aplicación lineal, es única y se le llama diferencial de f en 0x . 
 
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Sea f una función real de variable real, y 0
o
fx D∈ , entonces: f es derivable en 0x si, y 
sólo si, f es diferenciable en 0x . Además: 0 0( )( ) ( )·df x h f x h′= . 
 
El número real 0 0( )( ) ( )·df x h f x h′= se escribe como 0( )·dy f x h′= . En el caso 
particular de ser ( )y f x x= = , como para todo 0x , 0( ) 1f x′ = , 0( )( ) 1·dx x h h= . En 
consecuencia, si para el caso general ( )y f x= se escribía 0( )( )df x h dy= , parece 
natural denotar 0( )( )dx x h por dx, luego dx = h. Obteniéndose, la notación habitual: 
0( )·dy f x dx′= 
 
Sea f una función real de variable real, y 0
o
fx D∈ entonces f es diferenciable en 
0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) h (h)x f x h f x f x h ε′⇔ + − = + donde ε es una función real de variable real 
tal que 
0
lim ( ) 0
h
hε
→
= . 
 
La diferencial en un punto 0x , es la aplicación lineal que mejor aproxima a 
0 0( ) ( )f x h f x+ − , en un entorno suficientemente pequeño de 0x . 
 
 
Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto 
 
La diferencial de una función en un punto es el incremento de la ordenada medido sobre 
la tangente a la curva representativa en ese punto. La diferencia entre la diferencial de la 
función dy, y el incremento de la función ∆y, se pone de manifiesto en las figuras 
siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabla básica de derivadas 
 
 
Función Derivada Función Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reglas básicas de derivación 
 
 
 
 
Suma 
 
Producto 
 
Cociente 
 
Regla de la cadena 
 
Función recíproca 
 
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Derivación logarítmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla de primitivas 
 
 
1) ∫ += Cxdx 2) ∫ += Ckxkdx, k es constante 
3) C
n
xfdxxfxf
n
n +
+
=′
+
∫ 1
)()()(
1`
 , 1−≠n 4) 
( ) ln ( )
( )
f x dx f x C
f x
′
= +∫ 
5) Cedxxfe xfxf +=′∫ )()( )( 6) Ca
adxxfa
xf
xf +=′∫ ln)(
)(
)( , 0>a 
7) ∫ +−=′ Cxfdxxfxf )(cos)(sen)( 8) ∫ +=′ Cxfdxxfxf )(sen)(cos)( 
9) ( ) tg ( ) ln cos ( )f x f x dx f x C′ = − +∫ 10) Cxfdxxfxf +=′∫ )(senln)(ctg)( 
11) Cxfdx
xf
xf
+=
′
∫ )(tg)(cos
)(
2 12) Cxfdxxf
xf
+=
−
′
∫ )(arcsen)(1
)(
2
 
13) Cxfdx
xf
xf
+=
−
′−
∫ )(cosarc)(1
)(
2
 14) Cxfdxxfxf +−=′∫ )(cot)(csc)( 2 
15) ∫ +=′ Cxfdxxfxfxf )(sec)(tg)(sec)( 16) ∫ +−=′ Cxfdxxfxfxf )(csc)(cot)(csc)( 
17) 
( )22
( ) 1 ( )
( )
f x f xdx arctg C
a aa f x
′  = + 
 +∫ 18) ( )22
( ) 1 ( )
( )
f x f xdx arcctg C
a aa f x
′  = − + 
 +∫ 
19) C
axf
axf
a
dxxf
xfa
+
+
−−
=′
−∫ )(
)(ln
2
1)(
)(
1
22 20) Caxf
axf
a
dxxf
axf
+
+
−
=′
−∫ )(
)(ln
2
1)(
)(
1
22 
21) 
( )
( )22
22
( ) ( )argsenh ln ( ) ( )
( )
f x f xdx C f x a f x C
aa f x
′  = + = + − + 
 −
∫ 
22) 
( )
( )2 2
2 2
( ) ( )argcosh ln ( ) ( )
( )
f x f xdx C f x f x a C
af x a
′  = + = ± − + 
 −
∫ 
 
 
Fórmulas de sustitución: ( )( ) ( ) ( )duugdxxfxfg ∫∫ =′ , donde el cambio de variable es 
( )xfu = . 
 
 
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Fórmula de integración por partes: ∫ ∫−= vduuvudv 
 
 
 
Primitivas racionales: ( )
( )
P x dx
Q x∫ 
 
1. Si P(x)=Q’(x) : ( ) ln | ( ) |
( )
P x dx Q x C
Q x
= +∫ 
 
2. Si Grado P(x) ≥ Grado Q(x): ( ) ( )( )
( ) ( )
P x r xdx C x dx
Q x Q x
 
= + 
 
∫ ∫ 
 
3. Si Q(x) tiene raíces reales: Descomponer ( )
( )
P x
Q x
 en fracciones simples e 
integrar. 
 
4. Si 2
1 dx
ax bx c+ +∫ y Q(x) tiene raíces complejas: Completar cuadrado e 
integrar. Será de tipo arctg. 
 
5. Si 2
mx n dx
ax bx c
+
+ +∫ y Q(x) tiene raíces complejas: Separar en 2, la primera 
será de tipo ln y la segunda corresponderá a un caso 4. 
 
6. Si Q(x) tiene raíces complejas múltiples: Aplicar HERMITTE. 
 
a. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x U x V xdx dx
Q x R x S x
= +∫ ∫ donde 
R(x): m.c.d. (Q(x) y Q’(x)). 
S(x): cociente de Q(x)/R(x). 
U(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más 
pequeño que R(x). 
V(x): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más 
pequeño que S(x). 
 
b. Derivar la expresión anterior y calcular los coeficientes 
indeterminados. 
 
c. Integrar ( )
( )
U x dx
S x∫ . 
 
 
 
 
 
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-9- 
 
Identidades trigonométricas: 
 
1) 1cos22 =+ xxsen 2) 
x
senxtgx
cos
= 3) 
senx
xx coscot = 
4) 
x
x
cos
1sec = 5) 
senx
x 1csc = 6) xxtg 22 sec1 =+ 
7) xx 22 csccot1 =+ 8) ( ) xsenxxsen cos22 = 9) xsenxx 22cos)2cos( −= 
10) 
xtg
tgxxtg 21
2)2(
−
= 11) ( )
2
2cos12 xxsen −= 12) 
2
)2cos(1cos2 xx += 
13) ( )( )x
xxtg
2cos1
2cos12
+
−
= 14) ( )
xtg
tgxxsen 21
22
+
= 15) ( )
xtg
xtgx 2
2
1
12cos
+
−
= 
 
 
 
Otras identidades: 
 
1) ( ) xsenyysenxyxsen coscos ±=± 2) ( ) senxsenyyxyx coscoscos =± 
3) ( )
tgxtgy
tgytgxyxtg
1
±
=± 4) ( ) ( )[ ]yxyxsenxseny +−−= coscos
2
1 
5) ( ) ( )[ ]yxsenyxsenysenx −++=
2
1cos 6) ( ) ( )[ ]yxyxyx −++= coscos
2
1coscos 
 
 
 
Primitivas trigonométricas: [ ]sen( ),cos( )R x x dx∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primitivas irracionales: 
Impar en sen(x) Impar en cos(x) Par en sen(x) y cos(x) Cambio general 
2
2
cos( )
sen( ) 1
1
1
x t
x t
dx
t
=
= −
−
=
−
 2
2
sen( )
cos( ) 1
1
1
x t
x t
dx
t
=
= −
=
−
 
2
2
2
tg( )
sen( )
1
cos( )
1
1
1
x t
tx
t
dtx
t
dx
t
=
=
+
=
+
=
+
 
2
2
2
2
tg
2
2sen( )
1
1cos( )
1
2
1
x t
tx
t
tx
t
dtdx
t
  = 
 
=
+
−
=
+
=
+
 
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Tipo Cambio 
 
R función racional 
m, n, , p, q enteros 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
Derivadas 
 
1.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
( )
( ) ( ) ( )
( )2 3
62 3 4
2
3sin cos 5
) 3 5 ) ln ) sin
) ln 6 1 ) ln sin ) ln tan
) 3 ) ) ln 2 1x x x
a y x x b y x c y x
d y x x e y x f y x
g y h y e i y x+
= − + = =
= − + = =
= = = −
 
Solución: 
( ) ( )
( )
( ) ( )2 3
52 2 3
2
sin cos 2 4
3) 6 3 5 2 3 ) ln ) 4sin cos
2 6 1 2) ) cot ) 
6 1 cos sin sin 2
2430) 2 cos 3 ln 3 ) 3 cos sin ) ln 2 1
2 1
x x x
a y x x x b y x c y x x
x
xd y e y x f y
x x x x x
g y x x h y e x x i y x
x
+
′ ′ ′= − + − = =
−′ ′ ′= = = =
− +
′ ′ ′= + = − ⋅ = −
−
 
 
 
2.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
( )
( )
2
3 232
2
22 3
3 5
2
) ) 5 ) 
2 1
) 1 ) 5sin ) 6
3) sin ) ) 7
1
x x
x x x
e e x xa y b y x c y
x
d y x e y x f y x
g y x h y i y e
x
−
− −
+ −
= = − =
+
= + = = +
−
= = = ⋅
−
 
Solución: 
( )
( )
( )
( )
( )( )2
4 222
22
2 3
3 5
2 2
3 2) ) 6 5 ) 
2 1
5cos 2) ) ) 
2 5sin 3 61
1 3) cos ) ) 7 6 5 ln 7 1
2 1 1
x x
x x x
e e x x xa y b y x x c y
x
x xd y e y f y
x xx
xg y x h y i y e x
x x x
−
− −
− + −′ ′ ′= = − =
+
′ ′ ′= = =
++
−′ ′ ′= = = ⋅ − −
− −
 
 
 
3.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
( )
2 2
3 2
2
2
2
) ) log ) tan
1 3
3) sin ) ln ) arcsin
2 3
1) arctan 1 ) arccos ) arctan
x xa y b y c y x
x x
xd y e y x f y
g y x h y i y x
x
π
 = = = + − 
= = =
= + = =
 
Solución: 
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-12- 
( )
( ) ( )( )
( )
2
2 2 2 2
2 3
4
4 2 22
2 1 6 1) ) ) 6 tan 1 tan
(1 ) 3 ln10
1 2) 0 ) ) 
2 ln 9
2 1 1) ) ) 
2 2 2 1 arctan1
x x xa y b y c y x x x
x x x
xd y e y f y
x x x
xg y h y i y
x x x xx x
− −′ ′ ′= = = +
+ −
′ ′ ′= = =
−
′ ′ ′= = =
+ + +−
 
 
 
4.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones. 
( )
( )
2
2 2
2
1) arccos ) ) arctan
1
1) ln ) ln ) ln
1 1
) log tan ) ln ) ln
1
x
x
x
x
x
xa y e b y x x c y
x
x xd y e y f y xe
x x
eg y x h y x i y
e
−
−
− = = + =  + 
+
= = =
− +
= = =
−
 
Solución: 
( )
( )
22 2
2
4 2
2 1 1) ) ) 
11 4
4 1 1) ) ) 
1 2 1
4 1 1) ) 1 ln ) 
ln10 sin 2 1
x
x
x
e xa y b y c y
xe x x x
x x xd y e y f y
x xx x
g y h y x i y
x e
−
−
+ −′ ′ ′= = =
+− +
− −′ ′ ′= = =
− +
′ ′ ′= ⋅ = + =
−
 
 
 
5.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
( )
( )
( )
2 23
3 2 3
1) ) 2 ) 1 1
1
1 2 2) ln ) ) 
2 2 2 2
) cos ) sin ) sin cos
m
p
x
x x
a
n
xa y b y x x c y x x x
xx
x ed y e y f y a
xx
g y a bx h y x i y x x
= = + − = − + −
+
−
= = =
+
= − = = ⋅
 
Solución: 
( )( )
( )
( )
( )
1 3 2
1 23 2 2
2 1
1 2 2
3
1 1 1 3 2 1) ) ) 
21 3 1
1 3) ) ) ln
2 1 2
2cos) sin ) ) sin 4cos 1
3 sin
m
p
x
x x
a
n n
x m p x m x x xa y b y c y
xxx x x
e x a
d y e y f y x a a
x x
xg y bnx a bx h y i y x x
x
−
+
+
−
− + − + + −′ ′ ′= = + + =
+ −
−
′ ′ ′= = = ⋅
−
′ ′ ′  = − = = − 
 
 
 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-13- 
6.- Calcula las derivadas de funciones potenciales-exponenciales. Derivación 
logarítmica: 
tg ln(cos )
1
ln
) (sen ) ) 
) (sen ) ) 
x x
x
xx
a y x b y x
c y x d y x
= =
= =
 
Solución: 
( ) ( )
( ) ( )( )
2 tg ln(cos )
1
ln
1
ln cos
) sec ln(sin ) 1 (sen ) ) tan ln
ln sin(sen )) cot ) 1 ln ln
ln ln
x x
x
x xxx
x
a y x x x b y x x x
x
xxc y x d y x x x x x
x x x
−
 
′ = ⋅ + = − ⋅ + 
 
 
′ ′= − = + ⋅ + 
 
 
 
 
7.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
( )
sin
2
2
2 2 2 2 2
1 ln) 5ln ) 2 ln ) 
cos 1) ln 1 ) lntg ) arctg ln
2sen 2 2
1 cos) arcsen ) arctg ) arcsen
1cos
x xexa y x x b y x c y a
x x
x x a x ad y x x e y f y
x x x a
x x xg y x a x a h y i y a x a
a x a
= + = + − =
−   = + + = − + = +    +   
−   = − + = = − +   +   
 
Solución: 
( )sin
2
3
3 4 42
2 2
2 1 lnsin 5) cos ln ) ) ln
1 1 2) ) ) 
sin1
1) 2 ) ) 
2
x x xex xxa y x x x b y c y e a a
x x x
ad y e y f y
x x ax
a xg y a x h y i y
a x
− + ′ ′ ′= ⋅ + + = = 
 
′ ′ ′= = =
−+
−′ ′ ′= − = =
+
 
 
 
8.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
2 2 4 3
2
2 2 2
2
arcsin
2 2 2
3
cos 1 8 3 2 3) arccos ) ln tan ) arcsin 1
2sin 2 2 32 32
1 1 sin) ) ln ) ln
1 1 sin
1 1 1 1 1) ) ln ) 3co
3cos cos 51 1
a x
x
x
x a x x x x xa y b y c y x x
x a x
x a x x xd y e e y f y
a xa a x
eg y h y i y
x x e
⋅
− − + = = − = + − +  
+ − +
= = =
+ −+ −
+ −
= − = =
+ +
( )
( )
( ) ( )
2 3
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
s 5 cos
1) arcsin ) arcsin ) arcsin 1 2
1
1 1) arcsin ) ln ) ln ln
2 2 2 2 2 2
x x
x bj y k y x l y x x x
abx
x a m n x am y x x x x n y x a x x a ñ y x a
a x a
−
 
= = = − + −  +  
−   = − + − = − − + − = − +   +   
 
 
 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-14- 
Solución: 
( )
3 3
2 2
arcsin
2 2
3
3 2
4
2 2 2
2 2
2) ) cos ) arcsin
) ) ) sec
sin 1) ) ) sin cos
cos 1
1 1) ) ) 
1 2
) arcsin ) 
a x
x
aa y b y ec x c y x x
x a
ad y e e y f y x
x a x
xg y h y i y x x
x e
xj y k y l y
x a bx x x
m y x n y x a ñ
⋅
−′ ′ ′= = − =
+
′ ′ ′= = =
−
′ ′ ′= = =
+
−′ ′ ′= = =
+ − −
′ ′= = − 2 2) 
mx ny
x a
+′ =
−
 
 
 
Problemas geométricos 
 
1.- Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la 
circunferencia: 
2 2 4 2 11 0x y x y+ − + − = 
En el punto de abscisa x = 2 y la ordenada positiva. 
Solución: y = 3. 
 
 
2.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 
2sen( ) 4 16x xy y x+ = + , en el punto de abscisa x = 0 y ordenada positiva. 
Solución: 
Recta tangente: 2 16
xy − = 
Recta normal: 2 16y x− = − 
 
3.- Hallar la ecuación de una parábola de la forma 2y x bx c= + + que sea tangente a la 
curva 3( 1)y x= − en el punto de abscisa x = 1. 
Solución: b = -2, c = 1. 
 
 
4.- Determinar los puntos en los que la curva 3 2 6 1y x x x= + − + tiene tangente paralela 
a la recta 2 1y x= + . 
Solución: (-2, 9) y (4/3, -77/27). 
 
5.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función ln 1
xy
x
=
+ paralelas a la 
recta 4 1 0x y− + = . 
Solución: 
ln 2 1 ( 1)
2 4
y x+ = − y 
ln 2 1 ( 2)
2 4
y x− = + . 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-15- 
6.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva xy x= en el punto de abscisa x = 1. 
Solución: y x= . 
 
 
 
Variación de funciones (ritmos) 
 
1.- Un gas escapa de un globo esférico a razón de 2 3m por minuto. Halle la 
disminución de su superficie en la unidad de tiempo, cuando el radio es 12 m . 
Solución: 31 /
3
m min− . 
 
2.- De un embudo cónico sale agua a razón de 1 3cm por segundo. Sabiendo que el 
radio de la base es de 4 cm. y la altura de 8 cm., calcule el descenso del nivel en la 
unidad de tiempo en el instante en que la superficie libre se encuentra a una distancia de 
2 cm. de la base del embudo. 
Solución: 1 /
9
cm s
π
− . 
 
3.- Un líquido penetra en un tanque cilíndrico vertical de 6 m. de radio a razón de 
8 3 /m min . Halle la variación de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo. 
Solución: 2 /
9
dh m min
dt π
= . 
 
4.- Se forma un montículo cónico de arena cuya altura es constantemente igual a los 4/3 
del radio de la base. Halle: 
a) el incremento de volumen en la unidad de tiempo cuando el radio de la base es 
de 3 m., sabiendo además que éste aumenta a razón de 25 cm. cada minuto. 
b) el incremento del radio en la unidad de tiempo cuando éste es de 6 m. y el 
volumen aumenta a razón de 24 3m por minuto. 
Solución: a) 33 /dV m min
dt
π= b) 1 /
2
dr m min
dt π
= . 
 
5.- Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro barco 
B, situado a 32 millas al sur de A, lo hace hacia el este con una velocidad de 12 millas 
por hora. Halle: 
a) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de 
una hora de haberse iniciado el movimiento. 
b) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o se separan al cabo de 
dos horas de haberse iniciado el movimiento. 
c) El momento en que dejan de aproximarse y comienzan a separarse, así 
como la distancia a que se encuentran en dicho instante. 
 
Solución: a) Se aproximan a razón de 5.6 millas/h 
 b) Se separan a razón de 12 millas/h 
 c) Dejarán de aproximarse cuando 1.28t = h y D=19.2 millas. 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-16- 
6.- Un objeto de 5 m. de altura se encuentra justamente debajo de un foco de luz de la 
calle situado a 20 m. de altura. Suponiendo que el objeto se mueve a una velocidad de 4 
m. por segundo, calcule: 
a) la velocidad del extremo de la sombra. 
b) La variación de la longitud de la sombra por unidad de tiempo. 
 
Solución: a) 16 /
3
m s b) 4 /
3
m s . 
 
7.- Un globo se eleva desde un punto A de la Tierra a una velocidad de 15 /m s y su 
ascenso se observa desde otro punto B situado en la horizontal que pasa por A y a una 
distancia de este punto de 309 m. Halle la variación de la distancia del punto B al globo 
cuando la altura de éste es de 40 m. 
Solución: 12 /m s . 
 
 
8.- Si el radio de una esfera en el instante t, es r. Halle dicho radio cuando su 
incremento en una unidad de tiempo es igual numéricamente, al de la superficie. 
Solución: 1
8
cm
π
. 
 
9.- Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm. cada segundo, 
mientras que los otros 2, se acortan de manera que la figura resultante, en todo 
momento, es un rectángulo de área constante e igual a 50 2cm . Calcule la variación por 
unidad de tiempo del perímetro P cuando la longitud de los lados extensibles es de 
a) 5 cm. 
b) 10 cm. 
c) Halle las dimensiones del rectángulo cuando el perímetro deja de 
disminuir. 
Solución: a) -4 /cm s b) 2 /cm s c) 5 2 x y cm= = 
 
10.- Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150 m. Sabiendo que la cometa se 
aleja del muchacho a una velocidad de 20 /m s , halle la velocidad a la que suelta el hilo 
cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250 m. del muchacho. 
Solución: 16 /m s . 
 
 
11.- El efecto combinado de dos resistencias 1R y 2R conectadas en paralelo, es una 
resistencia R dada por 
1 2
1 1 1
R R R
+ = donde 1 2, y R R R se miden en ohmios. 1R y 2R 
están creciendo a razón de 1 y 1.5 ohmios por segundo, respectivamente. ¿ A qué ritmo 
está cambiando 1 2, cuando =50 y 75 ohmiosR R R = ? 
Solución: 0.6 / sΩ . 
 
 
 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-17- 
12.- Una escalera de 20 m. se apoya contra un edificio. Halle: 
a) la velocidad a la que se mueve el extremo superior cuando el inferior se aleja del 
edificio a una velocidad de 2 metros por segundo y se encuentra a una distancia 
de él de 12 metros. 
b) La velocidad a la que disminuye la pendiente. 
Solución: a) 3 /
2
m s b) 25 /
72
m s . 
 
13.- Se deja caer una piedra en un estanque en calma, lo que provoca ondas circulares. 
El radio del círculo exterior crece a un ritmo constante de 1 /m min . Cuando el radio es 
de 4 m. ¿A qué ritmo está cambiando el área total ( )A t de la región circular cubierta por 
las ondas? 
Solución:28 /m min.π 
 
 
Primitivas 
 
1.- Calcula las siguientes primitivas: 
4 2
2
3
22
2
2
) 3 ) (2 ) ) 
5
7) ) ) 
cos (5 )3 7
3) sen(2 ) ) ) 
4 sen
x
x
dxa x dx b x dx c
x
dx dxd e e dx f
xx
x x dxg x x dx h dx i
xx
+
−
−
 
− 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
Solución: 
3
5
3
2 5/2
3 2 1 5) ) ) ln
5 ln 2 3 2 5 5
7 7 1 1) arcsen ) ) tan(5 )
3 57 3
1 1) - cos(2 ) ) 6 ) -cotan( )
4 10
x
x
x xa x C b C c C
x
xd C e e C f x C
g x C h x x C i x C
−
+ + + +
+
 
+ + + 
 
+ − + +
 
 
 
2.- Calcula las siguientes primitivas: 
( )
2 2
2 22 2
2 2
) ) ) 
1 cos 1 sin cos6
) ) ) 
144
) ) ) 
33 2 9 4x x
dx dx dxa b c
x x xx x
dx dx xd e f dx
xx xx x
dx dx dxg h i
e ex x x
+ + −+ −
++−
−+ + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
Solución: 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-18- 
( ) ( )
( )
2
2 tan 2 1) arctan ) arcsen
2 52
2 4) ln tan ln 1 tan ) Realizar el cambio ; 
2 2 4
1 1) arctan ) 2 2arctan
4 8
1 1 3) 2 2 6ln 3 2 ) ln
3 9
x
x x
x xa C b C
x x xc C d x C
t x
e x C f x x C
x
eg x x C h
e e
−   + +     
−     − + + = − +     
     
+ + − +
−
+ − + + + +
21 9 4 3) ln
3
C
xi C
x
+
+ −
+
 
 
 
3.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas: 
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2
7) ) ) 
25 7 3 5
7 5) ) ) 
16 9 25 9 16
sin 1 tan sin) ) ) 
5cos 2 4 tan 2 5cos 2
ln 1
) ) ) cos sin
4 7
ln 1 s
) ) )
1cos tan 1
dx dx dxa b c
x x x
dx dx dxd e f
x x x
x x xg dx h dx i dx
x x x
xdxj dx k dx l x x dx
xx
xdxm n dx o
xx x
+ + −
− + +
+
+ − +
+
+
+
+−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( )
( )( )
2
2
32
in 2
1 sin
cos 2tan 1 ln) ) )
cos 2 3sin 2
x
dx
x
x dxx xp dx q r dx
x xx
+
+
+
∫
∫ ∫ ∫
 
Solución: 
2 2
3
1 7 7 1 5) arctan ) arctan ) ln
5 5 21 3 2 5 5
5 3 5) arcsin ) 7 ln 25 ) ln 3 4 16
3 4 3
1 1 2) ln 5cos 2 ) ln 4 tan 2 ) - 5cos 2
5 4 5
ln1) 4 7 ) ln
2 3
x x xa C b C c C
x
xd C e x x C f x x C
g x C h x C i x C
x
j x C k x C l
  −  + + +     +   
  + + + + + + + 
 
+ + − + + +
+ + + + ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
3
2
2
2
2 33
2
2) - cos
3
ln 1
) 2 tan 1 ) ) 2 1 sin
2
2 3sin 2 ln2 1) tan 1 ) ) 
3 6 2 3
x C
x
m x C n C o x C
x x
p x C q C r C
−
+
+
− + + + +
+
+ + + +
−
 
 
 
 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-19- 
4.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas: 
1
2
2
22 2 2 2 2 2
) ) ) 
1 arcsin
arctan) ) ) 
1
1) ) 
1
x
xdx aa b e x dx c dx
xx x
dx dx x xd e f dx
xb x a a x b
x dxg dx h
x x x
−
−
−
+− +
+
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
Solución: 
( )
1
2 2 2 2 2 2 2
3
2
) ln arcsin ) ) 2
ln
1 1 1) ln ) ln ) ln 1
2
4) 1 ) 4 1
3
x
x aa x C b e C c C
a
d bx b x a C e ax a x b C f x C
b a
g x C h x C
+ − + +
+ − + + + + + +
+ + + +
 
 
5.- Calcula las siguientes primitivas por partes: 
( )
2
3 2
2
3
) ) ln ) arcsin
) ) arctan ) cos
ln) 1 ) ln ) 
x
x ax
a xe dx b x x dx c x dx
d x e dx e x dx f e bx dx
xg x x dx h x x dx i dx
x
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
Solución: 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 2
2 2
2
2 2
3
2 5 72
3 32 2
2
ln
) ) 
3 9
3 3 3) arcsin + 1 ) 
2 4 4 8
cos sin1) arctan ln 1 + ) 
2
2 1 8 16 2 4) - 1 1 ) ln
3 15 105 3 9
ln 1) 
2
x x
x
ax
x x xa xe e C b C
x x xc x x x C d e C
e a bx b bx
e x x x C f C
a b
x x
g x x x C h x x x C
x
i
x
− + − +
 
− + − + − + 
 
+
− + +
+
−
− − − − + − +
− − 24
C
x
+
 
 
 
6.- Calcula las siguientes primitivas racionales: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
3 2 3 3
4 2 2 2
2
2 3 2 3 2
7 9 1 2 8) ) ) 
1 2 3 1 2 2
2 3 4 2 1) ) ) 
3 2 1 5 6
) ) ) 
3 3 3 21 1
x x x dxa dx b dx c
x x x x x x x x x
x x x x x xd dx e dx f dx
x x x x x
dx x dxg h dx i
x x x x x xx x
− +
− − − − − + +
+ + + − + +
+ + − − +
+ − − − +− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-20- 
Solución: 
( )
( )
2
2
2
11 1 1 3) ln 1 ln 2 ln ) ln
2 2 3 3
1 9 7) - ln 2 +ln ln 2
2 2 16 32 1) arctan + ln 2
213 7 2 1arctan
112 7
3 1 7 2) ln 1 ln 1 ) +5 13ln 2 +34ln 3
2 2 2 5
1 1) ln 1
4 2 1
xa x x x C b C
x x
c x x x x
x
d x x C
x C
x xe x x C f x x x C
g x
x
−
− + − + + − +
− −
−
− − + + +
−
+ +
+
+ +
− − + + + − − − +
− − − +
−
1 1 1 9ln 1 ) ln 1 ln 1 ln 3
4 8 4 8
1 1) ln ln 1 ln 2
2 2
x C h x x x C
i x x x C
+ + − − + + + +
− − + − +
 
 
7.- Calcular el área limitada por la función ( ) exf x = y el eje OX, entre las abscisas 
x = 0 y x = ln 2. 
Solución: 1 u2. 
 
8.- Hallar el área limitada por 2( )f x x= , la recta y = -x + 2 y el eje de abscisas. 
Solución: 5/6 u2. 
 
9.- Hallar el área comprendida entre la parábola 28 2x y y= + − y el eje OY, entre las 
ordenadas y = -1 e y = 3. 
Solución: 92/3 u2. 
 
10.- Calcular el área limitada por las funciones 2y x= e y = x. 
Solución: 1/6 u2. 
 
11.- Hallar el área comprendida entre 2( ) 4f x x= − y el eje OX, entre las abscisas 
x = -2 y x = 4. 
Solución: 64/3 u2. 
 
12.- Hallar el área limitada por 2( ) 6f x x x= − e 2g( ) 2x x x= − . 
Solución: 64/3 u2. 
 
13.- Hallar el área limitada por la parábola 2 4y x= y la recta 2 4y x= − . 
a) Integrando respecto a OY. 
b) Integrando respecto a OX. 
Solución: 9 u2. 
 
14.- Hallar el área de un círculo de radio r. 
Solución: π r2 u2. 
 
 
 
 
Curso cero de matemáticas Cálculo Diferencial 
-21- 
15.- Hallar el área del menor de los sectores que la recta x = 2 determina en el círculo 
2 2 25x y+ = . 
Solución: 
2 2525arcsen 2 21
5 2
π  − − 
 
u2.