ESTADÍSTICA 2 MODULO 2

Vista previa del material en texto

Módulo 2 
Unidad 2 y 3 
Lectura 2 
Pruebas de Hipótesis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materia: Herramientas Matemáticas V – Estadística II 
Profesora: Mgter. Verónica Herrero 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 2  
 
 
Unidad 2: Prueba de Hipótesis 
 
2.1 Pruebas de Hipótesis - Fundamentos 
2.1.1 Concepto y estrategia general de las 
pruebas de hipótesis 
 
En algunas ocasiones, el estadístico debe proveer soporte para responder 
un interrogante sobre si es cierta o no determinada idea previa que 
tenemos, por ejemplo, sobre el valor de algún parámetro. 
 
Para poder dar respuesta, las pruebas de hipótesis tienen la siguiente 
lógica: si conocemos la distribución muestral de un estadístico que 
relacione el parámetro sobre el cual nos interesa comprobar una 
afirmación, con un estimador del mismo, podemos decidir que la 
afirmación es aceptable si en la muestra obtenemos un resultado 
razonablemente cercano al previsto en la afirmación. Si por el contrario, la 
evidencia de la muestra arroja un valor muy alejado, desconfiaremos de la 
validez de la idea supuesta sobre el valor del parámetro. Como puede verse, 
este tipo de razonamiento es de lo más habitual en la forma de proceder y 
tomar decisiones a diario: someter nuestras ideas a alguna evidencia 
(siempre parcial, limitada, accesible, como una muestra), y considerar 
válida la idea en el caso de que la información recogida parezca consistente 
con ella, y descartarla en caso contrario. 
 
Como permite ver esta estrategia, de lo más práctica por cierto, estamos 
dispuestos a asumir ciertos riesgos de equivocarnos, justamente por basar 
nuestra decisión en información parcial. La realidad podría ser diferente a 
la situación descripta por los datos que reunimos en nuestra muestra, y en 
definitiva, estar tomando una decisión equivocada acerca del valor del 
parámetro poblacional. De estos aspectos se trata la unidad que 
comenzamos a recorrer. 
 
 
Bibliografía Básica 
Para cumplir con los 
objetivos de la Unidad 2 
del programa, es necesario 
profundizar en los temas 
desarrollados en el 
Capítulo 11 del texto de 
Bibliografía Básica. 
(Berenson & Levine, 
1996), relacionándolos 
con los comentarios, 
ejemplos y 
recomendaciones de las 
lecturas del módulo. 
 
Capítulos: 11 (Apartados 
11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 
11.6, 11.7, 11.8, 11.9, 11.10, 
11.11, 11.12) 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 3  
 
Algunas analogías útiles para comprender esta 
metodología 
 
Antes de iniciar el abordaje estadístico de las pruebas de hipótesis, 
recorreré algunas comparaciones útiles que suelen presentarse en la 
literatura: 
 
1. Se desea informar sobre la presencia de alguien o algo en una 
habitación cerrada. Sólo podemos observar por la rendija de la 
puerta (la zona que nos permite observar sería nuestra muestra). Si 
alguien o algo es visible en ese sector, podemos tomar una decisión 
correcta. Si no aparece nada en la muestra, podría ser tanto que 
efectivamente no hay nadie en la habitación, como que, hay alguien 
o algo, pero se encuentra en una zona de la habitación no accesible 
desde nuestro punto de observación. Este es uno de los errores de 
las pruebas estadísticas que estudiaremos. 
 
 
Muestra: Observación por la 
cerradura de una habitación 
cerrada 
 
Error posible: 
- Considerar que no hay 
nada o nadie por no 
observarlo en la 
muestra. 
 
 
 
2. Otro ejemplo interesante es el vinculado con un juicio, donde se está 
analizando la culpabilidad o inocencia de un acusado de un crimen. 
El proceso trata de reunir pruebas para determinar la culpabilidad o 
inocencia del acusado. La decisión que se tome en base a la 
evidencia (muestral, de las pruebas), puede ser correcta, si se lo 
declara inocente y efectivamente no cometió el crimen. También es 
correcta si el acusado es culpable y el veredicto así lo determina. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 4  
 
 
Muestra: Evidencia reunida por la 
fiscalía (o por los querellantes, de 
acuerdo con las reglas del proceso 
legal); o las coartadas del acusado. 
 
Errores posibles: 
- Declarar culpable a un 
inocente. 
- Declarar inocente a un 
culpable. 
 
 
Sin embargo, hay dos situaciones que claramente reflejan errores 
(que nos harían pensar en “injusticias” en una situación de juicio): si 
el acusado es culpable y se lo declara inocente, como también si el 
acusado es inocente y se lo declara culpable). Los sistemas de 
justicia están diseñados de acuerdo a cuál de estos errores se desee 
minimizar, cuando por ejemplo, “nadie es culpable hasta que se 
pruebe lo contrario”, o cuando un acusado debe “demostrar su 
inocencia”. 
 
3. Como estudiantes (en su caso) y como docente en el mío, la 
situación que les mencionaré ahora, es una de las que más nos 
ocupa cotidianamente: establecer a través de un examen o 
evaluación, si los alumnos comprendieron o aprendieron una serie 
de temas. Permanentemente en el sistema educativo estamos 
emitiendo este tipo de juicios, basados en la evidencia de muestras 
(las evaluaciones mismas son muestras donde se han seleccionado 
temas del conjunto total de tópicos incluidos en el temario a evaluar, 
como también de ejercicios o competencias que resultan de interés). 
Por supuestos que si una evaluación aprueba a un alumno que 
efectivamente conoce / comprende los temas, estamos tomando una 
decisión correcta. Idénticamente, si se reprueba a quien no sabe los 
contenidos. Los problemas aparecen si un alumno que sabe los 
contenidos es reprobado en la evaluación, o bien, si se aprueba a 
quien realmente no los conoce. En este caso también los docentes 
suelen definir sus estrategias evaluativas de manera de minimizar el 
error que consideran más grave o dañino de los dos. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 5  
 
 
Muestra: la 
evaluación 
 
Errores posibles: 
- Aprobar a 
quien no sabe 
los contenidos 
- Reprobar a 
quien sabe los 
contenidos 
 
 
 
 
Hipótesis nula y alternativa 
 
La primera tarea consiste en definir de manera correcta cuál va a ser la 
hipótesis que queremos someter a contraste o prueba. 
 
Comenzaremos trabajando en este módulo con hipótesis referidas a valores 
de un parámetro poblacional en particular. 
 
En todos los problemas aparecen dos hipótesis contrapuestas: la hipótesis 
nula y la hipótesis alternativa. Cada una de ellas representa un estado de la 
naturaleza que involucra valores del parámetro poblacional. En la hipótesis 
nula siempre aparece un igual (ya sea un igual estricto o, un mayor o igual, 
o un menor o igual), referido a cierto valor del parámetro. La hipótesis 
alternativa de cada caso respectivo siempre es una negación de la hipótesis 
nula, de manera de resultar cierta siempre que sea falsa la hipótesis nula. 
La hipótesis alternativa nunca incluye el signo igual. 
 
La hipótesis nula es la idea previa sobre el valor del parámetro que se va a 
probar. La hipótesis alternativa (establecida siempre como lo opuesto a lo 
afirmado en la hipótesis nula) indica la conclusión que es verdadera si se 
lograr rechazar la hipótesis nula. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 6  
 
 
La hipótesis nula se representa simbólicamente de la siguiente manera: Ho. 
La hipótesis alternativa se indica con alguna de las simbologías: H1 ó Ha 
 
Veamos algunos ejemplos. 
 
Supongamos una prueba referida a la media poblacional µ: 
 
Ho: µ =15 
H1: µ ≠15 
 
Ho: µ ≥15 
H1: µ <15 
 
Ho: µ ≤15 
H1: µ >15 
 
n las pruebas de hipótesis, a través de la evidencia muestral, se decidirá 
rechazar la hipótesis nula si así permiten los datos analizados, o bien, no 
rechazarla. Observen atentamente que no decimos “aceptarla”, ya que no 
tenemosinformación suficientemente contundente, por el hecho de ser 
muestral y estar por tanto sometida a los riesgos vinculados con este tipo de 
información. Tal como indican Berenson y Levine: 
 
“La metodología de prueba de hipótesis está diseñada de modo que nuestro 
rechazo de la hipótesis nula esté basado en evidencias, aportadas por la 
muestra, de que es más probable de que nuestra hipótesis alternativa sea 
verdadera. Sin embargo, el hecho de no rechazar la hipótesis nula no es una 
prueba de que ésta sea verdadera”. 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 7  
 
Valor crítico del estadístico de la prueba 
 
Cuando describimos en términos generales el procedimiento lógico 
implicado en las pruebas de hipótesis indicamos que rechazaríamos la 
hipótesis nula si de la evidencia muestral resultara un valor muy alejado al 
hipotetizado, así como no la rechazaríamos en caso de obtener de la 
muestra un valor relativamente cercano al establecido en la Ho. 
 
Deberemos trabajar con las distribuciones correspondientes para establecer 
qué es demasiado cercano o demasiado alejado de la idea previa explícita en 
la hipótesis nula. 
 
El valor crítico definirá un punto de corte para tomar la decisión estadística, 
un valor que antes de considerar la información muestral, será el criterio 
para definir la regla de decisión, estableciendo qué valores se tomarán como 
cercanos al establecido en la hipótesis nula, y cuáles (por estar más allá del 
valor crítico) como demasiado alejados del establecido en la Ho. 
 
Determinación de las zonas de rechazo y no 
rechazo 
 
Los (o el valor crítico, según se trate de una prueba bilateral o unilaterial) 
del estadístico van a determinar las zonas de rechazo y no rechazo de la 
hipótesis nula en la distribución muestral del estadístico de prueba. 
 
Si el estadístico de prueba calculado en base a los datos de la muestra, cae 
en la zona de rechazo, se tomará esa decisión; y por el contrario, si el 
estadístico resulta más alejado del valor hipotético del parámetro (es decir, 
cae en la zona de rechazo), se tomara esta otra decisión estadística, vale 
decir, rechazar la hipótesis nula. 
 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 8  
 
Figura: Valores críticos y determinación de las zonas de rechazo y no 
rechazo en una prueba bilaterial 
 
 
 
 
 
 
 
La figura anterior, se muestra cómo se relacionan las zonas de rechazo en 
una prueba bilateral (donde aparece un signo de igualdad estricta en la 
hipótesis nula y una desigualdad en la hipótesis alternativa) con los valores 
críticos. 
 
2.2. Errores deTipo 1 y 2 
Riesgos considerados en las pruebas de hipótesis 
 
Como presentamos en las analogías a las pruebas de hipótesis, la decisión 
estadística tiene asociados riesgos o errores derivados de tomar una 
decisión incorrecta. 
 
Bibliografía Básica 
Recuerde revisar este tema 
en detalle en el texto de 
Berenson & Levine 
(1996). El punto 11.2.4 
complementa lo explicado 
en este apartado. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 9  
 
Se comete el error tipo I, cuando la hipótesis nula es cierta, pero se la 
rechaza (esto ocurre cuando la evidencia de la muestra indica que es 
inverosímil nuestra hipótesis, lo cual nos lleva a tomar esa decisión 
incorrecta). 
 
El error tipo II está implicado en el no rechazo de la hipótesis nula 
cuando ésta es falsa. Si bien debería ser rechazada, también a instancias de 
un valor muestral no tan alejado, se toma una decisión incorrecta. 
 
Veamos las situaciones posibles que pueden encontrarse en las decisiones 
de una prueba estadística: 
 
 Estado de la naturaleza 
Decisión Ho cierta Ho falsa 
No rechazar 
Ho 
Decisión correcta 
Probabilidad asociada: 
Coeficiente de 
confianza: 
1-α 
 
Decisión incorrecta 
Probabilidad asociada: 
Riesgo: 
β 
 
Rechazar Ho Decisión incorrecta 
Probabilidad asociada: 
Nivel de significación: 
α 
 
Decisión correcta 
Probabilidad asociada: 
Potencia de la prueba: 
1-β 
 
 
 
El coeficiente de confianza (1-α) indica la probabilidad de no rechazar la Ho 
cuando ésta es verdadera. 
 
El nivel de significación (α) es la probabilidad de cometer el error tipo I, es 
decir, de rechazar la Ho cuando ésta es verdadera. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 10  
 
 
El riesgo (β) es la probabilidad de cometer un error tipo II, o lo que es lo 
mismo, de no rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa. 
 
La potencia de la prueba (1-β) es la probabilidad de rechazar la Ho cuando 
ésta es falsa. 
 
Las probabilidades α y β están relacionadas, de manera que si una de ellas 
disminuye, la otra aumenta. Por ello, la manera de disminuir ambos riesgos 
es aumentar el tamaño de la muestra. 
 
2.3. Clasificación de las pruebas de 
hipótesis 
Como hemos explicado anteriormente, las pruebas de hipótesis pueden ser 
de uno o dos extremos (unilaterales o bilaterales). Esto dependerá del 
planteo de la hipótesis nula, en función del cuál, la zona de rechazo se 
ubicará en uno de los extremos o se distribuirá entre ambos. Este concepto 
se desarrollará mejor a medida que se presenten cada uno de los casos de 
pruebas de hipótesis. 
 
Pasos para realizar una prueba de 
hipótesis 
 
En todos los casos y ejercicios de pruebas de hipótesis se deben desarrollar 
ordenadamente los siguientes pasos: 
 
1. Establecer la hipótesis nula 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
3. Seleccionar el nivel de significación 
4. Definir el tamaño de la muestra 
5. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, se 
utilizará en la prueba 
6. Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de 
rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una la regla de 
decisión) 
Potencia de una 
Prueba 
Este punto del programa 
será tratado en detalle más 
adelante, juntamente con 
el desarrollo de la prueba 
de hipótesis de la media en 
la Unidad 3. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 11  
 
7. A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico 
muestral 
8. Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el 
estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales 
9. Tomar la decisión estadística en base a la regla de decisión 
10. Indicar la conclusión del problema 
 
Unidad 3: Pruebas de 
Estimadores 
 
3.1 Prueba respecto de una media 
3.1.1 Prueba de hipótesis para la media 
poblacional con varianza conocida 
Prueba z 
Dado que esta es la prueba más sencilla, es la que se utilizará para explicar 
el proceso general de prueba de hipótesis que complementa lo tratado en la 
Unidad 2, siguiendo el orden presentado en la Bibliografía básica. 
 
Prueba de hipótesis para la media poblacional 
Varianza conocida 
Prueba Z 
 
Supongamos que queremos someter a prueba una hipótesis referida a la 
edad de emigración promedio de los ciudadanos de determinado país. 
Expertos en la problemática de la emigración refieren que para la corriente 
migratoria que se analiza, la edad promedio es de 25 años. Se conoce que la 
varianza de esta variable es 3,5 años2. Se tomó una muestra de 24 
emigrantes seleccionados al azar en un período de 6 meses, y se obtuvo que 
la edad promedio era de 22 años. Con una significación α=0,05, ¿puede 
considerarse verdadera la hipótesis? 
 
En este caso estamos analizando una prueba bilateral, porque se trata de 
someter a prueba una igualdad estricta versus una desigualdad. 
Prueba de Hipótesis 
para una media 
Este punto del programa se 
desarrolla en la unidad 9 
del texto de Berenson & 
Levine (1996), dado que 
los autores toman este 
primer caso para explicar 
los aspectos generales del 
procedimiento de prueba 
de hipótesis. Tenga 
presenteque este 
procedimiento se replicará 
en cada una de las pruebas 
que siguen en el programa. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 12  
 
 
Sigamos cada uno de los pasos planteados: 
 
1. Establecer la hipótesis nula 
 
Ho: µ=25 años 
Es decir, la edad promedio al momento de emigrar es de 25 años. 
 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
 
Ho: µ ≠25 años 
Es decir, la edad promedio al momento de emigrar es distinta de 25 
años. 
 
3. Seleccionar el nivel de significación 
 
Se trabajará con α=0,05 
 
4. Definir el tamaño de la muestra 
La muestra de trabajo consta de 24 casos. 
 
5. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, se 
utilizará en la prueba 
 
Como se conoce la varianza, se trabajará con el estadístico Z: 
n
xZ
/σ
μ−
= 
 
6. Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de 
rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una la regla de 
decisión) 
 
Como se pidió trabajar con una significación de 0,05, los valores 
críticos de Z serán -1,96 y 1,96. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 13  
 
 
Así, quederá determinada la siguiente regla de decisión (indicada 
también en la siguiente figura): 
 
• Si el estadístico muestral resultante es inferior a -1,96, o si es 
mayor a 1,96, se rechazará la hipótesis nula. 
• Si el estadístico muestral es mayor a -1,96 y menor a 1,96, 
entonces, no se rechaza la hipótesis nula. 
 
 
Figura: Determinación de zona de rechazo y no rechazo, en la 
distribución normal estándar 
 
 
 -Z1- α/2=-1,96 0 Z1-α/2=1,96 
 
7. A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico 
muestral 
 
Bajo Ho cierta: 
n
xZ
/σ
μ−
= 
 
24/87,1
2522 −
=Z 
 
85,7−=Z 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 14  
 
 
8. Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el 
estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales 
 
El valor del estadístico muestral se ubica en la zona crítica o zona de 
rechazo. 
 
9. Tomar la decisión estadística en base a la regla de decisión 
 
Se debe rechazar la Ho. 
 
10. Indicar la conclusión del problema 
 
Con la evidencia muestral disponible no puede suponerse que la 
edad promedio de emigración es 25 años. 
 
 
Casos de pruebas de hipótesis: uno y dos extremos 
 
En los casos en los cuales queremos someter a prueba una hipótesis referida 
a la igualdad del parámetro a determinado valor, contra la hipótesis 
alternativa de desigualdad de ese valor. En ese caso, tanto si la evidencia 
muestral resulta en valores muy elevados o muy reducidos del parámetro, 
sospechamos de la veracidad de la hipótesis nula, y optaremos por 
rechazarla. Por lo tanto en estos caso, situamos la probabilidad de rechazar 
una hipótesis nula siendo cierta (significación) en los extremos superior e 
inferior de la distribución que estamos considerando. 
Este tipo de pruebas se conoce como prueba de dos extremos o de dos 
colas. En tales caso, el nivel de significación se reparte entre ambas colas 
(α/2 en cada una). 
 
 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 15  
 
Figura 
Prueba de dos colas (o dos 
extremos): 
Ho: θ=θ0 
H1: θ≠θ0 
Donde θ representa un 
parámetro cualquiera 
)ˆ(θf 
 
θ ˆ 
En el gráfico puede observarse cómo la significación se reparte entre los dos 
extremos. 
Fuente: Elaboración propia 
 
 
Cuando estamos sometiendo a prueba una hipótesis nula con una 
desigualdad contra su complemento, todo el riesgo se ubica en uno de los 
extremos. Estas son las pruebas de un extremo o una cola. 
 
Figura 
Prueba de una cola (o un 
extremo): 
 
Ho: θ≤θ0 
 
H1: θ>θ0 
 
 
 
 
 
 
)ˆ(θf 
 
θ ˆ 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 16  
 
 
 
 
Ho: θ≥θ0 
 
H1: θ<θ0 
 
 
 
 
Donde θ representa un 
parámetro cualquiera 
 
)ˆ(θf 
 
θ ˆ 
En el gráfico puede observarse cómo la significación se ubica en el extremo 
donde se ubican los valores muestrales que hacen sospechar de la veracidad 
de la hipótesis nula. 
Fuente: Elaboración propia 
 
Vinculación entre la prueba de hipótesis y la estimación por 
intervalos 
 
Tanto las pruebas de hipótesis como la estimación por intervalos se derivan 
de los conceptos que permiten hacer inferencia basados en una muestra. 
 
Un aspecto que suele generar confusión cuando se enfrenta por primera vez 
los procedimientos de prueba de hipótesis y estimación, es la equivalencia 
de los valores correspondientes a los límites de los intervalos de confianza y 
los valores críticos que delimitan las zonas de rechazo y no rechazo (en 
términos no estandarizados). 
 
En definitiva, los valores que forman parte del intervalo de valores que se 
estiman, también son los que hacen, numéricamente, aceptables la 
hipótesis nula. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 17  
 
 
Pese a esta especie de dualidad, los propósitos de ambos tipos de 
procedimientos son substancialmente diferentes en el marco de las 
correspondientes investigaciones que los enmarcan. 
 
Valor p 
 
Otra manera en la que puede abordarse y resolverse una prueba de 
hipótesis es determinar el nivel de significación que tiene asociado el valor 
resultante del estadístico con los datos muestrales. 
 
El valor p es la probabilidad de obtener un estadístico igual o mayor que el 
valor muestral, siendo la hipótesis nula cierta. 
 
R. Weiers, en su texto de Estadística para los negocios, indica la siguiente 
analogía, en una prueba de salto en alto: 
 
“… equivale a que Ud. saltara tan alto como pudiera sin tener que pasar 
sobre una barra, y que luego los jueces le indicaran a qué altura la habría 
rebasado si la barra estuviera en el lugar” (pp. 432). 
 
Esta modalidad de resolución es de gran practicidad en el caso de contar 
con resultados procesados a través de software estadístico, que 
directamente aproximan numéricamente el cálculo de probabilidad 
implicado, arrojando para la muestra, el valor p (o p-valor como también se 
lo conoce). Simplemente el investigador compara esa significación con la 
que considera para su investigación (el valor α), y si el valor p supera al α, 
entonces no se rechaza la hipótesis nula, y en cambio, si α es mayor que p, 
entonces se rechaza la hipótesis nula. 
 
Obviamente, esta regla de decisión se relaciona con el hecho de que si la 
significación del estadístico muestral es mayor que α, entonces, ese valor se 
encuentra en la zona de rechazo, y viceversa. 
Siguiendo al texto de la materia, los pasos correspondientes a una prueba 
de hipótesis utilizando el valor p, se sintetizan de la siguiente manera: 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 18  
 
1. Establecer la hipótesis nula 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
3. Seleccionar el nivel de significación (α) 
4. Considerar el tamaño de la muestra 
5. Determinar la prueba y el estadístico que se utilizarán. 
6. Calcular el estadístico con los datos muestrales 
7. Estimar el valor p para el estadístico muestral 
a. Considerar la distribución bajo hipótesis nula cierta 
b. Utilizar un gráfico de la distribución y ubicar el valor del 
estadístico muestral calculado. 
c. Calcular la probabilidad deseada ayudado de las tablas o 
programa estadístico apropiado 
8. Comparar el valor p con α 
9. Tomar la decisión estadística 
10. Elaborar la conclusión 
 
 
Potencia de una prueba 
 
La potencia de la prueba es la sensibilidad que ésta tiene para detectar 
situaciones en las cuales corresponde rechazar la hipótesis nula por ser ésta 
falsa. 
 
Como mencionamos anteriormente,la potencia tiene una probabilidad 1-α, 
ya que es el complemento del riesgo β (asociado con el error tipo II, 
correspondiente a no rechazar Ho cuando ésta es falsa). 
 
En general, el cálculo de la potencia de una prueba es una tarea compleja, 
cuando puede llegar a calcularse. 
 
Intuitivamente se puede comprender que es más alta esta probabilidad a 
medida que más alejada está la hipótesis nula de la realidad: mientras más 
distanciado sea el valor que se postula en la hipótesis nula referido al 
parámetro, del que realmente tiene, es más probable que la evidencia 
muestral nos señale el error. Por el contrario, cuando el valor que se postula 
en la hipótesis nula está próximo (aunque no exacto) al verdadero, la 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 19  
 
evidencia muestral nos confundirá, ya que en muchos casos caerá el 
estadístico muestral en la zona de no rechazo. 
 
El siguiente ejemplo está elaborado teniendo en cuenta la distribución de la 
media muestral, en una prueba de hipótesis para la media poblacional. El 
sitio http://www.seeingstatistics.com/seeing1999/resources/opening.html 
permite ver cómo varía la potencia de la prueba para diferentes escenarios 
que suponemos referidos al verdadero valor de la media poblacional. 
 
Como permiten ver los paneles gráficos de las siguientes páginas, en los 
casos en los cuales el verdadero valor está alejado de lo hipotetizado, la 
probabilidad de rechazar la hipótesis nula es alta. La potencia de la prueba 
está identicada como el área sombreada de azul en cada una de las figuras. 
Las áreas sombreadas de rojo corresponden a la significación (que tiene una 
probabilidad α), y se grafican en la distribución que supone que la hipótesis 
nula es cierta. 
 
La probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo falsa se ilustra en la 
distribución correspondiente a cada verdadero valor alternativo (asociado 
con ese escenario en particular). 
 
En todos los casos, se supone en la hipótesis nula que la media poblacional 
es igual a 10. 
 
Figura: la potencia de la prueba 
Escenario 1: 
 
El verdadero valor de la 
media es 7,69. 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 20  
 
Escenario 2: 
 
El verdadero valor de la 
media es 7,89. 
 
 
Escenario 3: 
 
El verdadero valor de la 
media es 8,13. 
 
Escenario 4: 
 
El verdadero valor de la 
media es 8,38. 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 21  
 
Escenario 5: 
 
El verdadero valor de la 
media es 8,87. 
 
 
Escenario 6: 
 
El verdadero valor de la 
media es 9,13. 
 
 
Escenario 7: 
 
El verdadero valor de la 
media es 9,7. 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 22  
 
Escenario 8: 
 
El verdadero valor de la 
media es 10,02. 
 
 
Escenario 9: 
 
El verdadero valor de la 
media es 11,56. 
 
 
Escenario 10: 
 
El verdadero valor de la 
media es 12,12. 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 23  
 
Escenario 11: 
 
El verdadero valor de la 
media es 12,51. 
 
 
Escenario 12: 
 
El verdadero valor de la 
media es 12,98. 
 
 
 
Fuente. Elaboración propia con la herramienta de simulación provista por: 
http://www.seeingstatistics.com/seeing1999/resources/opening.html 
 
 
Reflexione sobre la información que proveen los gráficos. ¿Qué información 
le está faltando si Ud. quiere corroborar estos cálculos de probabilidades, 
considerando que se trata de una distribución normal? 
 
Sinteticemos la información del ejemplo, en una tabla donde se consignen 
los valores de la potencia. 
 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 24  
 
Tabla: Relación entre el verdadero del valor del parámetro y la potencia 
 
Escenario Verdadero valor de 
la media poblacional 
Potencia 
1 7,69 0,98 
2 7,89 0,96 
3 8,13 0,90 
4 8,38 0,80 
5 8,87 0,50 
6 9,13 0,32 
7 9,7 0,08 
8 10,02 0,05 
9 11,56 0,77 
10 12,12 0,96 
11 12,5 0,99 
12 12,98 1 
 
Fuente: Elaboración propia 
 
La relación descripta en la tabla anterior puede representarse en un gráfico 
que se denomina Curva de potencia. El gráfico presenta un mínimo en el 
valor correspondiente al que se postula en la hipótesis nula. La potencia en 
ese caso es igual a la significación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 25  
 
Curva de potencia 
 
 
Fuente: Elaboración propia 
 
3.1.2 Prueba de hipótesis para la media 
poblacional con varianza desconocida 
Prueba t 
 
Un docente sostiene la idea de que el promedio de horas de estudio de sus 
alumnos ha sido inferior a 3 horas diarias en la semana previa a una 
evaluación. A fin de comprobar su idea previa, realiza una breve encuesta 
anónima, y obtiene la siguiente información a partir de una muestra de 15 
alumnos tomados al azar del total (muy elevado) de los alumnos de las 10 
divisiones que tiene a su cargo: 
 
 
 
 
 
 
Prueba t para una 
media 
Esta prueba sigue el 
mismo procedimiento 
estudiado en la prueba z 
pero utilizando el 
estadístico t, tal como lo 
vimos en el módulo 1. 
Revise en detalle el tema 
en el capítulo 12 
(apartado 12.3) del texto 
de Berenson & Levine 
(1996). 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 26  
 
Alumno 
(muestra) 
Cantidad de horas 
que estudió en la 
semana previa a la 
evaluación 
1 3 
2 6 
3 7 
4 2 
5 1 
6 0,5 
7 1 
8 2 
9 2,5 
10 2 
11 1 
12 2 
13 3 
14 2 
15 0,5 
 
 
En este caso estamos analizando una prueba unilateral, porque se plantea 
una desigualdad. 
 
Sigamos cada uno de los pasos planteados: 
 
1. Establecer la hipótesis nula 
 
Ho: µ≥ 3 horas 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 27  
 
Note cómo se seleccionó la hipótesis nula. Si bien se sostiene que la 
cantidad de horas de estudio promedio fue inferior a esa cantidad, 
se utiliza en la hipótesis nula la afirmación complementaria porque 
incluye la igualdad. Y en particular, si se encuentra evidencia que 
permita refutar la hipótesis nula, haberla planteado de esta manera, 
nos permite un resultado más sólido. 
 
 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
 
Ho: µ<3 horas 
 
3. Seleccionar el nivel de significación 
 
Se trabajará con α=0,05 
 
 
4. Definir el tamaño de la muestra 
La muestra de trabajo consta de 15 casos. 
 
5. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, se 
utilizará en la prueba 
 
Como se desconoce la varianza, se trabajará con el estadístico t, con 
n-1 grados de libertad: 
 
ns
xt
/
μ−
= 
 
6. Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de 
rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una la regla de 
decisión) 
 
Como se pidió trabajar con una significación de 0,05, el valor crítico 
de t, con 14 grados de libertad es -1,7613 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 28  
 
Luego, quedará determinada la siguiente regla de decisión (indicada 
también en la siguiente figura): 
 
• Si el estadístico muestral resultante es inferior a -1,7613, se 
rechazará la hipótesis nula. 
• Si el estadístico muestral es mayor a -1,7613, entonces, no se 
rechaza la hipótesis nula. 
 
 
 
Figura: Determinación de zona de rechazo y no rechazo, en la 
distribución t 
 
 
 -t1-α; n-1=-1,7613 0 t 
 
7. A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico 
muestral 
 
Bajo Ho cierta: 
ns
xt
/
μ−
= 
 
15/866,1
337,2 −
=t 
 
315,1−=tMateria: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 29  
 
 
8. Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el 
estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales. 
 
El valor del estadístico muestral se ubica en la zona de no rechazo. 
 
9. Tomar la decisión estadística en base a la regla de decisión 
 
No se debe rechazar la Ho. 
 
10. Indicar la conclusión del problema 
 
Con la evidencia muestral disponible no puede descartarse que el 
promedio de horas de estudio haya sido mayor o igual a 3. 
 
 
3.2 Pruebas para diferencias de medias 
 
En muchas ocasiones necesitamos conocer si existe diferencia en las 
características de dos poblaciones de interés. 
 
Es habitual cuando se obtienen medidas de resumen de muestras 
correspondientes a dos poblaciones, preguntarse si realmente hay una 
diferencia significativa entre ellas, o bien, si podrían considerarse iguales, 
pese a la diferencia muestral observada (quizá derivada del azar). Para 
poder responder este tipo de preguntas, las pruebas de hipótesis vinculadas 
con dos medias, brindan una herramienta de gran aplicación en diversos 
usos de investigación y toma de decisiones. 
Pruebas para muestras independientes y dependientes: 
diferencias entre ambos tipos de muestras 
En el caso de las pruebas sobre diferencias de medias podemos enfrentar 
alguna de las siguientes situaciones, dependiendo qué tipo de diseño de 
investigación se utilizó: 
1. muestras independientes 
2. muestras relacionadas o apareadas 
 
Prueba para 
diferencias de medias 
Existen varias pruebas 
para contrastar hipótesis 
sobre diferencias de 
medias, teniendo en cuenta 
algunas condiciones. 
Tenga precaución en 
identificar 
correctamente cada 
caso. Estas pruebas se 
desarrollan en detalle en el 
capítulo 13 (Apartados 
13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.9) 
del texto de Berenson & 
Levine (1996). 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 30  
 
La selección del tipo de comparación que se realice está fundamentalmente 
asociada con el problema que se enfrente, y el tipo de dato que se disponga 
a partir de un experimento, observación o encuesta. 
 
Se dice que las muestras son independientes si la aparición o selección de 
un individuo en una muestra no tiene ninguna relación con la aparición o 
selección de ningún individuo o elemento en la otra muestra. Este caso se 
aplica cuando los individuos de cada una de las muestras pertenecen a dos 
poblaciones distintas, cuya diferencia de medias es el propósito principal de 
la prueba. 
 
Cuando las dos muestras se han construido de manera que la inclusión de 
un individuo en una de las muestras condiciona la selección de otro en la 
otra muestra considerado, o bien, se analiza repetidamente información 
(generalmente a lo largo del tiempo) sobre un mismo individuo, decimos 
que son muestras relacionadas o apareadas. 
 
En el caso de muestras independientes, consideraremos dos pruebas de 
hipótesis referidas a las diferencias entre medias de ambas muestras, 
teniendo en cuenta qué supuestos corresponda aplicar. 
 
 
Prueba de diferencia de medias para muestras independientes 
Caso de varianza conjunta 
 
Consideremos el siguiente problema: 
 
Una marca de combustibles ha desarrollado un nuevo combustible 
Premium que reemplazaría al que se produce actualmente, para lo cual 
quiere analizar si realmente hay una diferencia en cuanto a rendimiento. Se 
contrata a un experto en combustibles para determinar si existe alguna 
diferencia de estos combustibles de la marca, en el mismo modelo de 
automóvil. El combustible A, que se está evaluando para considerar su 
introducción en el mercado, se probó en 20 autos, y se calculó una media 
muestral de 14 km por litro (con una desviación estándar de 2 km por litro), 
mientras que el combustible B que se probó en 10 automóviles, produjo una 
media de rendimiento de 13,2 kilómetros por litro, con una desviación 
estándar de 2,1 km por litro. Suponiendo varianzas iguales, ¿existe 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 31  
 
evidencia de que el nuevo combustible, A, supera al que se produce en la 
actualidad? 
 
Veamos paso a paso cómo comprobamos esta hipótesis. 
 
 
1. Establecer la hipótesis nula 
 
Ho: μ1−μ2≤ 0 
 
Vamos a llamar muestra 1 a la correspondiente al nuevo 
combustible (A), y 2 a la del combustible que se produce 
actualmente. 
 
Dado que nos interesa ver si el nuevo combustible tiene más 
rendimiento que el actual, en la hipótesis nula planteamos el estado 
de la naturaleza que si se puede se descartará con evidencia 
muestral contundente. 
 
 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
 
H1: μ1−μ2> 0 
 
3. Seleccionar el nivel de significación 
 
Se trabajará con α=0,05 
 
 
4. Definir el tamaño de la muestra 
Las muestras de trabajo constan de 20 casos y 10 casos 
respectivamente. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 32  
 
 
 
5. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, se 
utilizará en la prueba 
 
El estadístico tiene distribución t, con n1+n2-2 grados de libertad: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−−
=
21
2
2121
11
)()(
nn
s
xxt
p
μμ
 
 
 
Donde, la varianza conjunta se construye de la siguiente manera a 
partir de las varianzas muestrales de cada muestra respectiva: 
 
)1()1(
)1()1(
21
2
22
2
112
−+−
−+−
=
nn
snsn
s p 
 
 
6. Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de 
rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una la regla de 
decisión) 
 
Como se pidió trabajar con una significación de 0,05, el valor crítico 
de t, con 28 grados de libertad es 1,701. 
 
Luego, quedará determinada la siguiente regla de decisión (indicada 
también en la siguiente figura): 
 
• Si el estadístico muestral resultante es mayor a 1,701, se 
rechazará la hipótesis nula. 
• Si el estadístico muestral es menor a 1,701, entonces, no se 
rechaza la hipótesis nula. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 33  
 
 
 
Figura: Determinación de zona de rechazo y no rechazo, en la 
distribución t 
 
 
 0 t=1,701 
 
 
 
7. A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico 
muestral 
 
Bajo Ho cierta: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−−
=
21
2
2121
11
)()(
nn
s
xx
t
p
μμ
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−−
=
10
1
20
11318,4
0)2,1314(t 
 
0162,1=t 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 34  
 
Donde 
 
)1()1(
)1()1(
21
2
22
2
112
−+−
−+−
=
nn
snsn
s p 
 
)110()120(
41,4)110(4)120(2
−+−
−+−
=ps 
 
1318,42 =ps 
 
 
8. Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el 
estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales 
 
El valor del estadístico muestral (t= 1,01602) se ubica en la zona de 
no rechazo. 
 
9. Tomar la decisión estadística en base a la regla de decisión 
 
No se debe rechazar la Ho. 
 
 
10. Indicar la conclusión del problema 
 
Con la evidencia muestral disponible no puede descartarse que el 
rendimiento del nuevo combustible sea igual o menor que el 
combustible actual. 
 
 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 35  
 
Prueba de diferencia de medias para muestras independientes 
Caso de varianzas separadas 
 
Cuando no podemos asumir que las dos poblaciones tienen iguales 
varianzas, adoptamos esta prueba. 
 
Vamos a desarrollar también un ejemplo en este caso. 
 
El dueño de una veterinaria desea comprobar si existe diferencia en la 
cantidad total de dinero gastada por mes entre los dueños de perros y los 
dueños degatos. Se consideró una muestra de individuos que sólo poseía 
una de estas mascotas, considerando animales (tanto perros como gatos) de 
un rango de peso de 3 a 5 kilos. En el caso de los dueños de gatos, se obtuvo 
una media muestral de $19,16 por semana, para una muestra de 26 casos, 
con una desviación estándar de $8,52. En la muestra de 37 dueños de 
perros se estimó que en promedio gastan $26,47 por semana, con una 
desviación estándar de $9,45. ¿Existe una diferencia significativa en el 
gasto promedio? 
 
 
 
1. Establecer la hipótesis nula 
 
Ho: μ1−μ2= 0 
 
 
Vamos a llamar muestra 1 a la correspondiente a los dueños de gatos 
y 2 a la muestra de dueños de perros. 
 
Planeamos una prueba bilateral ya que se desea saber si existe o no 
diferencia. 
 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
 
H1: μ1−μ2≠ 0 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 36  
 
 
3. Seleccionar el nivel de significación 
 
Se trabajará con α=0,05 
 
4. Definir el tamaño de la muestra 
Las muestras de trabajo constan de 26 casos de dueños de gatos y 37 
casos de dueños de perros. 
 
5. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, 
se utilizará en la prueba 
 
El estadístico tiene distribución t, con v grados de libertad: 
 
2
2
2
1
2
1
2121 )()(
n
s
n
s
xxt
+
−−−
=
μμ
 
 
 
Donde, v está dado por: 
 
11 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
v 
 
 
6. Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de 
rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una la regla 
de decisión) 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 37  
 
Aproximemos en primer lugar el valor de v: 
 
11 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
v 
 
137
37
6809,89
126
26
5904,72
37
6809,89
26
5904,72
22
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=v 
 
 
27,57=v 
 
Se procede a tomar la parte entera del valor obtenido de v: 57. 
 
 
Como se pidió trabajar con una significación de 0,05, los valores 
críticos de t, con 57 grados de libertad son -2 y 2. 
 
Luego, quedará determinada la siguiente regla de decisión (indicada 
también en la siguiente figura): 
 
• Si el estadístico muestral resultante es menor a -2 o mayor a 
2, se rechazará la hipótesis nula. 
• Si el estadístico muestral es mayor a -2 y menor a 2, 
entonces, no se rechaza la hipótesis nula. 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 38  
 
Figura: Determinación de zona de rechazo y no rechazo, en la 
distribución t 
 
 
Se sombrean en el gráfico las zonas de rechazo de la hipótesis. 
 
 
 
7. A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico 
muestral 
 
Bajo Ho cierta: 
 
2
2
2
1
2
1
2121 )()(
n
s
n
s
xx
t
+
−−−
=
μμ
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−−
=
37
6809,89
26
5904,72
0)47,2616,19(t 
 
20,3−=t 
 
 
8. Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el 
estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales 
 
El valor del estadístico muestral se ubica en la zona de rechazo. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 39  
 
 
9. Tomar la decisión estadística en base a la regla de decisión 
 
Se debe rechazar la Ho. 
 
10. Indicar la conclusión del problema 
 
Con la evidencia muestral disponible no puede sostenerse la idea de 
que los dueños de perros y gatos gastan lo mismo semanalmente en 
sus mascotas. 
 
 
 
Prueba de diferencia de medias para muestras relacionadas 
 
El caso de las muestras relacionadas es de amplia utilización cuando se 
necesita disponer de comparaciones entre sujetos con mínima variabilidad 
entre sí o en pruebas sucesivas repetidas (estudios “antes y después” sobre 
un mismo sujeto). 
 
 
En este caso, analizamos la diferencia específica para el par de 
observaciones apareadas, que denominaremos D. 
 
21 iii XXD −= 
 
Esta diferencia para cada par de datos que estamos estudiando representa 
las diferencias uno a uno. Por ejemplo, si es un estudio entre gemelos, en el 
cual a uno de los gemelos de cada conjunto de hermanos gemelos que se 
está estudiando se le aplicó un tratamiento, cuyo efecto se quiere 
comprobar, la diferencia D es la medida de la distancia en la variable de 
respuesta para ambos sujetos. Justamente lo que se pretende someter a 
prueba es la existencia o no de tal diferencia entre los sujetos que fueron 
sometidos a tratamiento y los que no, aún en estos casos, en los cuales los 
sujetos poseen mucha homogeneidad entre sí. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 40  
 
 
El promedio muestral de tales diferencias se obtiene considerando todas las 
D para los n pares de sujetos de estudio: 
 
n
D
D i∑= 
 
Denotaremos Dμ a la diferencia poblacional, que se somete a prueba. 
 
La prueba se lleva a cabo con el mismo procedimiento utilizado 
previamente para los diversos casos de pruebas de hipótesis. 
 
Las hipótesis nula y alternativa en este caso serán: 
 
Ho: 0=Dμ 
H1: 0≠Dμ 
 
El estadístico de prueba será: 
 
n
s
Dt
D
D
2
μ−
= 
 
 
Este estadístico posee n-1 grados de libertad. 
 
Para el cálculo de la desviación estándar muestral se deberá considerar la 
siguiente fórmula: 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 41  
 
1
22
−
−
= ∑
n
DnD
s iD 
 
3.3. Pruebas de hipótesis para datos categóricos 
 
En muchas ocasiones el problema de decisión planteado tiene que ver con 
un valor asignado en la hipótesis a la proporción de individuos de la 
población que poseen cierta característica. 
 
Prueba de hipótesis para la proporción poblacional 
 
Debido a que el procedimiento no difiere respecto del ya desarrollado, 
simplemente en estos casos indicaremos cuál es el estadístico de prueba. 
 
En el caso de las pruebas para proporciones, el estadístico bajo hipótesis 
nula cierta se distribuye normal: 
 
n
PP
PpZ
)1( −
−
= 
 
Prueba para la diferencia de dos proporciones 
 
En el caso de las pruebas para diferencia de proporciones, para muestras 
independientes, el estadístico bajo hipótesis nula cierta se distribuye 
normal: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−−−
=
21
2121
11)1(
)()(
nn
pp
PPpp
Z 
 
Bibliografía Básica 
Recuerde estudiar esta 
prueba en detalle en el 
punto 15.1 del texto de 
Berenson & Levine 
(1996). Preste atención a 
los ejemplos allí 
presentados. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 42  
 
Donde: 
21
21 )(
nn
XXp
+
+
= 
 
 
3.4 Prueba de hipótesis para la varianza 
Prueba Chi cuadrado 
 
También es posible llevar a cabo hipótesis referidas a valores particulares 
de la varianza poblacional. 
 
En este caso, el único aspecto novedoso se relaciona con el estadístico 
muestral que incluye tanto a la varianza poblacional como a su estimador, 
la varianza muestral. 
 
Este estadístico posee distribución Chi cuadrado1, una variable aleatoria 
que presentaremos a continuación. 
2
2
2
1
)1(
σ
χ snn
−
=− 
 
Vamos a considerar el problema propuesto por Berenson y Levine, en la 
sección de ejercicios del tema (página 441, ejercicio 12.22). 
 
Problema: 
Un investigador de mercado está realizando un estudio encargado por una 
concesionaria de automóviles que tiene sucursales en todo el país, en 
relación con las reparaciones de autos. En particular tiene interés en 
averiguar cuál es el gasto promedio en reparaciones. Para estimar cuántos 
casos incluir en la muestra, debe considerar un valor de la desviaciónestándar. En base a su experiencia cree apropiado considerar una 
desviación estándar de $200 del gasto realizado en reparaciones. No 
                                                            
1 Esta distribución corresponde a una variable no negativa, cuya forma depende del 
parámetro grados de libertad que posea. Mientras más reducidos son los grados de libertad, 
más sesgada a la derecha es la forma de la distribución. 
Bibliografía Básica 
Recuerde estudiar esta 
prueba en detalle en el 
punto 12.5 (Capítulo 12) 
del texto de Berenson & 
Levine (1996). Preste 
atención a los ejemplos allí 
presentados y al modo de 
trabajar con la Tabla Chi-
Cuadrado. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 43  
 
obstante, decide corroborar su hipótesis a través de una encuesta piloto a 
25 dueños de automóviles. Una vez que lleva a cabo este estudio preliminar, 
resulta una desviación estándar de la muestra de $237,52. ¿Aún puede 
trabajar con su idea previa de la desviación estándar para calcular el 
tamaño muestral? 
 
Apliquemos una vez más los pasos de la prueba de hipótesis: 
 
 
1. Establecer la hipótesis nula 
 
Ho: σ2≠ 40.000 pesos2. 
 
Note que se estableció la hipótesis en términos de la varianza, y que 
se tuvo en cuenta la unidad de medida correspondiente también 
elevada al cuadrado. 
 
 
2. Establecer la hipótesis alternativa 
 
Ho: σ2≠ 40.000 pesos2 
 
 
3. Seleccionar el nivel de significación 
 
Se trabajará con α=0,10 
 
 
4. Definir el tamaño de la muestra 
 
La muestra de trabajo consta de 25 casos. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 44  
 
5. Establecer qué estadístico muestral, con distribución conocida, 
se utilizará en la prueba 
 
Se utilizará el estadístico Chi cuadrado presentado, con n-1 grados 
de libertad: 
 
2
2
2
1
)1(
σ
χ snn
−
=− 
6. Calcular el o los valores críticos, identificando así las zonas de 
rechazo y no rechazo (lo cual deriva en disponer de una la regla 
de decisión) 
 
Con una significación de 0,10, los valores críticos de la distribución 
Chi cuadrado, con 24 grados de libertad son: 13,848 y 36,415, 
respectivamente. 
 
Luego, quedará determinada la siguiente regla de decisión (indicada 
también en la siguiente figura): 
 
• Si el estadístico muestral resultante es inferior a 13,848 ó 
mayor a 36,415, se rechazará la hipótesis nula. 
• Si el estadístico muestral es menor a 13,848 ó mayor a 
36,415, entonces, no se rechaza la hipótesis nula. 
 
Figura: Determinación de zona de rechazo y no rechazo, en la 
distribución Chi cuadrado 
 
 
 χ2 24, 0,05=13,848 χ2 24, 0,95=36,415 
Tabla Chi-cuadrado 
Ud. cuenta con una tabla 
Chi-cuadrado disponible 
en los anexos del módulo. 
También hay una tabla al 
final del texto de Berenson 
y Levine (1996). Siga 
detenidamente la manera 
en que los autores realizan 
el procedimiento de 
resolución del ejemplo en 
el punto 12.5 del texto. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 45  
 
 
 
7. A partir de los datos muestrales, obtener el valor del estadístico 
muestral 
 
Bajo Ho cierta: 
 
2
2
2
1
)1(
σ
χ snn
−
=− 
 
 
40000
75,56415)24(2
24 =χ 
 
 
85,33224 =χ 
 
8. Verificar en qué zona (de rechazo o de no rechazo) cayó el 
estadístico de prueba obtenido con los datos muestrales 
 
El valor del estadístico muestral se ubica en la zona de no rechazo. 
 
9. Tomar la decisión estadística en base a la regla de decisión 
 
No se debe rechazar la Ho. 
 
 
10. Indicar la conclusión del problema 
 
Con la evidencia muestral disponible no puede descartarse que la 
varianza sea igual a 40000 pesos2 (o que la desviación estándar sea 
igual a 200 pesos), tal como supone el investigador. 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 46  
 
 
La siguiente figura ilustra los casos de pruebas de hipótesis referidas 
a la varianza, para pruebas bilaterales y unilaterales. 
 
Figura 
Prueba bilateral 
 
Ho: σ2 = σ20 
 
H1: σ2 ≠ σ20 
 
 
 
 
 
Prueba 
unilateral 
 
Ho: σ2 ≤ σ20 
 
H1: σ2 > σ20 
 
 
 
 
�2 
Prueba 
unilateral 
Ho: σ2 ≥ σ20 
 
H1: σ2 <σ20 
 
 
�2 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 47  
 
Ejercitación 
 
Resuelva los siguientes ejercicios, si tiene dudas o consultas, envíelas a su 
tutor virtual. 
 
1. El siguiente caso ha sido tomado de un estudio real llevado a cabo en 
Estados Unidos. 
Tras lanzar una variedad de papas fritas reducidas en grasa, la 
empresa Pringles realizó un estudio para conocer si los 
consumidores las identificaban o no respecto de las papas normales. 
Se indagaron 44 participantes de un estudio, a quienes se les ofrecía 
dos tazas separadas de papas de la marca. En una de las tazas había 
papas normales y en la otra las reducidas en grasa. En promedio, si 
las papas hubieran tenido el mismo sabor, se espera que el 50% de 
los catadores hubiera identificado correctamente las papas 
normales. En el estudio, 25 catadores lograron identificarlas 
correctamente. 
¿Significa este resultado que las papas reducidas en grasa tienen un 
sabor distinto o la diferencia entre lo obtenido y el 50% esperado es 
sólo un valor al azar? 
Fuente: Introducción a la Estadística para Negocios. Ronald Weiers. 
(2005). 5ª Edición. 
a. ¿Qué prueba de hipótesis se lleva a cabo? 
b. Plantee las hipótesis nula y alternativa 
c. Complete los pasos de la prueba de hipótesis 
d. Responda la pregunta planteada. 
 
 
2. En un estudio reciente sobre audiencia televisiva, se reportó que los 
hombres jóvenes estadounidenses tienen una exposición promedio 
de 56,2 minutos a la televisión en las horas de máxima audiencia. 
Un experto europeo considera que en el Viejo continente la 
exposición es más elevada. Se toma una muestra de 1300 hombres 
en las mismas edades en Europa, y se detecta que en promedio ven 
50,5 minutos en ese horario. Si bien no se conocen las varianzas, se 
pueden considerar iguales, y en el estudio para Estados Unidos 
surgió una varianza muestral de 45 minutos2, mientras que en la 
muestra europea, alcanza unos 46 minutos2. 
a. ¿Qué prueba de hipótesis se lleva a cabo? 
b. Plantee las hipótesis nula y alternativa 
c. Complete los pasos de la prueba de hipótesis 
d. Elabore una conclusión 
 
Anexo de Ejercitación 
Además de estos ejercicios, 
Ud. encontrará en el anexo 
del módulo una guía de 
ejercicios y sus 
respectivas soluciones. 
Le recomendamos que 
realice toda la ejercitación 
posible para identificar con 
claridad las situaciones en 
las que se aplica cada 
prueba estudiada. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 48  
 
 
3. En la etiqueta de una bebida en base a frutas dice que en promedio 
contiene 1 gramo por litro o menos de grasa. Diseñe un experimento 
para poder realizar una prueba para comprobarlo. Establezca la 
probabilidad de cometer un error tipo II si el verdadero valor de la 
cantidad de grasa promedio es 2 gramos por litro (tenga en cuenta 
una desviación estándar de 0,25 gramos por litro, con una 
significación de 0,05, y una muestra de tamaño 20 unidades). ¿Y si 
es 1,5 el verdadero valor de la cantidad promedio de grasa? 
a. Responda las preguntas planteadas 
b. Grafique 
c. Elabore una conclusión 
 
 
 
4. El presidente de una compañía que fabrica electrodomésticos afirmó 
recientemente en una entrevista que al menos 85% de sus clientes 
hogareños están completamente satisfechos con el producto de su 
marca que compraron. ¿Qué tipo de prueba se debe realizar para 
corroborarlo? Establezca las hipótesis nula y alternativa. 
 
5. Al realizar las pruebas de alcoholemia, para determinar si un 
conductorbebió alguna bebida alcohólica por encima de los niveles 
permitidos, se está trabajando con una especie de prueba de 
hipótesis. Plantee las hipótesis. Indique cuáles serían el error tipo I y 
tipo II. ¿Cuál es uno de los problemas estadísticos que plantea este 
tipo de test? 
 
6. Según el gerente comercial de una moderna sala de cine, que desea 
terciarizar el servicio de venta de alimentos, los clientes gastan en 
promedio $20 en golosinas y pochoclo para consumir durante las 
películas, con una desviación estándar de $4. Estos gastos por 
cliente se distribuyen normal. Una posible concesionaria realiza un 
estudio basado en una muestra de 18 clientes, y en su estudio la 
media resulta de $16. Con un nivel de significación de 0,05, ¿Ud. 
creería la afirmación del gerente comercial? 
a. ¿Qué prueba se está llevando a cabo? 
b. Realice la prueba correspondiente 
c. Elabore una recomendación para la concesionaria 
interesada. 
 
7. Una máquina debe empaquetar automáticamente envases de 
especias con un contenido promedio de 70 gramos. Se realizó una 
muestra de 35 envases en la última semana y en promedio el peso de 
cada unidad es 65 gramos La desviación estándar muestral es de 1 
gramo. Con un nivel de significación de 0,01, ¿cree que la máquina 
está envasando de acuerdo con sus especificaciones técnicas? 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 49  
 
 
8. La edad promedio del parque automotor en el país es 8,4 años. Para 
una muestra aleatoria de 34 automóviles del estacionamiento de un 
hipermercado, la edad promedio es 9,7 años con una desviación 
estándar de 3.1 años. Con una significación de 0,05, ¿se puede 
afirmar que la edad promedio de los autos de ese supermercado es 
idéntica a la del total nacional? 
 
9. Se está analizando la producción de programas televisivos para las 
personas que esperan en las colas de las cajas de supermecados. 
Para establecer la duración de los programas, se consideró un 
supuesto acerca de la demora promedio en las cajas, que se supone 
de 8 minutos. Se realizó una muestra de 120 clientes, y la muestra 
resultante dio una media de 8,5 minutos, con una desviación 
estándar de 3,2 minutos. 
¿Cuál es le valor p? 
Elabore una conclusión. 
 
10. Se considera que entre los ejecutivos hay una proporción elevada de 
individuos diestros. Se conoce que el 85% de la población en general 
es diestra. En una muestra de 300 ejecutivos se detectó que el 96% 
era diestro, ¿podemos considerar que el porcentaje de diestros es 
superior entre los ejecutivos? 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía Lectura 2 
Berenson & Levine (1996). Estadística para administración y 
economía. Sexta Edición. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. México. 
 
 
 
www.uesiglo21.edu.ar