Algebra_Lineal_Stanley_Grossman_Sexta_Ed (1)

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`lgebra lineal
`lgebra lineal
sexta edición
Stanley I. Grossman S.
University of Montana 
University College London
Revisión y adaptación:
JosØ Job Flores Godoy
Universidad Iberoamericana
Revisión tØcnica:
�.�†�9�*�$�0���t���#�0�(�0�5�«���t���#�6�&�/�0�4���"�*�3�&�4���t���$�"�3�"�$�"�4���t���(�6�"�5�&�.�"�-�"�� 
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Abelardo Ernesto Damy Solís
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, campus Guadalajara
María Eugenia Noriega Treviæo
Universidad Autónoma de San Luis Potosí
María Asunción Montes Pacheco 
Universidad Popular Autónoma 
del Estado de Puebla
Irma Patricia Flores Allier
Instituto PolitØcnico Nacional
Dax AndrØ Pinseau Castillo
Universidad Católica de Honduras
Universidad Pedagógica Nacional de Honduras
Kristiano Racanello 
Fundación Universidad de las AmØricas, Puebla
Erik Leal Enríquez
Universidad Iberoamericana, Ciudad de MØxico
Universidad Autónoma Metropolitana
Azcapotzalco
Eduardo Soberanes Lugo
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Sinaloa
Martha Patricia MelØndez Aguilar
Instituto Tecnológico de Celaya
Israel Portillo Arroyo
Instituto Tecnológico del Parral, Chihuahua
IvÆn Castaæeda Leyva
Universidad de Occidente, unidad CuliacÆn
Director Higher Education: Miguel `ngel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón
Editor sponsor: Pablo E. Roig VÆzquez
Editor de desarrollo: Carlos Zœæiga GutiØrrez
Supervisor de producción: Zeferino García García
`LGEBRA LINEAL
Sexta edición
 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
 por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS ' 2008, respecto a la sexta edición en espaæol por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
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 Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe
 Delegación `lvaro Obregón
 C.P. 01376, MØxico, D.F.
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ISBN-10: 970-10-6517-4
ISBN-13: 978-970-10-6517-4
ISBN-10: 970-10-6773-8 (Quinta edición cambio de portada)
ISBN-13: 978-970-10-6773-4
Traducido y adaptado de la quinta edición en inglØs de ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS.
Copyright ' 2007, by Stanley I. Grossman S.
ISBN 0-03-097354-6
2345678901 09765432108
Impreso en MØxico Printed in Mexico 
Para Kerstin, Aaron y Erick
CONTENIDO
PREFACIO XIII
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1
1.1 Introducción 1
1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 2
1.3 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana 7
 Semblanza de. . . Carl Friedrich Gauss 21
 Introducción a MATLAB 28
1.4 Sistemas homogØneos de ecuaciones 36
1.5 Vectores y matrices 42
 Semblanza de. . . Sir William Rowan Hamilton 52
1.6 Productos vectorial y matricial 57
 Semblanza de. . . Arthur Cayley y el Ælgebra de matrices 71
1.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 87
1.8 Inversa de una matriz cuadrada 94
1.9 Transpuesta de una matriz 118
1.10 Matrices elementales y matrices inversas 124
1.11 Factorizaciones LU de una matriz 136
1.12 Teoría de grÆ�cas: una aplicación de matrices 152
 Resumen 159
 Ejercicios de repaso 164
2 D ETERMINANTES 168
2.1 De�niciones 168
2.2 Propiedades de los determinantes 182
2.3 Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia 198
 Semblanza de. . . Breve historia de los determinantes 203
2.4 Determinantes e inversas 204
2.5 Regla de Cramer (opcional) 212
 Resumen 217
 Ejercicios de repaso 218
3 VECTORES EN 2 Y 3 220
3.1 Vectores en el plano 220
3.2 El producto escalar y las proyecciones en 2 234
3.3 Vectores en el espacio 244
3.4 El producto cruz de dos vectores 254
 Semblanza de. . . Josiah Willard Gibbs y los orígenes del 
anÆlisis vectorial 259
3.5 Rectas y planos en el espacio 263
 Resumen 275
 Ejercicios de repaso 277
4 ESPACIOS VECTORIALES 281
4.1 Introducción 281
4.2 De�nición y propiedades bÆsicas 281
4.3 Subespacios 293
4.4 Combinación lineal y espacio generado 299
4.5 Independencia lineal 314
4.6 Bases y dimensión 332
4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas 
de una matriz 343
4.8 Cambio de base 366
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en n 387
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 411
4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 432
4.12 Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales: 
existencia de una base (opcional) 444
 Resumen 449
 Ejercicios de repaso 455
5 TRANSFORMACIONES LINEALES 458
5.1 De�nición y ejemplos 458
5.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y nœcleo 472
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 479
5.4 Isomor�smos 503
5.5 Isometrías 510
 Resumen 518
 Ejercicios de repaso 521
6 VALORES CARACTER˝STICOS, VECTORES CARACTER˝STICOS 
Y FORMAS CANÓNICAS 524
6.1 Valores característicos y vectores característicos 524
6.2 Un modelo de crecimiento de población (opcional) 546
6.3 Matrices semejantes y diagonalización 555
6.4 Matrices simØtricas y diagonalización ortogonal 567
6.5 Formas cuadrÆticas y secciones cónicas 575
6.6 Forma canónica de Jordan 586
6.7 Una aplicación importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales 595
6.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton 
y Gershgorin 607
 Resumen 615
 Ejercicios de repaso 620
VIII Contenido
 ApØndice 1 Inducción matemÆtica 622 
 ApØndice 2 Nœmeros complejos 630
 ApØndice 3 El error numØrico en los cÆlculos 
y la complejidad computacional 640
 ApØndice 4 Eliminación gaussiana con pivoteo 649
 ApØndice 5 Uso de MATLAB 656
 Respuestas a los problemas impares 658
 Capítulo 1 658
 Capítulo 2 683
 Capítulo 3 687
 Capítulo 4 701
 Capítulo 5 725
 Capítulo 6 734
 ApØndices 752
 ˝ndice 757
Contenido IX
CONTENIDO DE LOS 
PROBLEMAS CON MATLAB
Se enumeran los conjuntos de problemas de MATLAB y los temas de interØs especial.
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
 Introducción a MATLAB 28
 Tutoría de MATLAB 30
1.3 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana 31 
 Distribución de calor 33
 Modelo de insumo-producto de Leontief 34
 Flujo de tr�co 34
 Ajuste de polinomios a puntos 35
1.4 Sistemas homogØneos de ecuaciones 41
 Balanceo de reacciones químicas 41
1.5 Vectores y matrices 55
 Características de MATLAB. Introducción e�ciente de matrices dispersas 56
1.6 Productos vectorial y matricial 81
 Matriz triangular superior 83
 Matrices nilpotentes 83
 Matrices por bloques 84
 Producto exterior 84
 Matrices de contacto 84
 Cadena de Markov 84
 PROBLEMA PROYECTO: matriz de población 86
1.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 92
1.8 Inversa de una matriz cuadrada 113
 Tipos especiales de matrices l l 5
 Perturbaciones: matrices cercanas a una matriz no invertible 116
 Criptografía 117
1.9 Transpuesta de una matriz 122
 PROBLEMA PROYECTO: matrices ortogonales 123
1.10 Matrices elementales y matrices inversas 134
1.11 Factorizaciones LU de una matriz 150
2 D ETERMINANTES
2.1 De�niciones 179
 archivo tipo M, ornt.m ilustración de la orientación de vectores 
antes y despuØs de la manipulación de matrices 181
2.2 Propiedades de los determinantes 198
2.4 Determinantes e inversas 210
 PROBLEMA PROYECTO: encriptado y desencriptado de mensajes 211
2.5 Regla de Cramer 216
3 VECTORES EN 2 Y 3
3.1 Vectores en el plano 231
 archivo tipo M, lincomb.m ilustración de un vector como una 
combinación lineal de dos vectores no paralelos 233
3.2 El producto escalar y las proyecciones en 2 243
 archivo tipo M, prjtn.m ilustración
de la proyección de un 
vector sobre otro 243
3.4 El producto cruz de dos vectores 263
4 ESPACIOS VECTORIALES
4.2 De�nición y propiedades bÆsicas 288
 archivo tipo M, vctrsp.m ilustración de algunos axiomas en 
espacios vectoriales 288
4.3 Subespacios 299
4.4 Combinación lineal y espacio generado 305
 Visualización de las combinaciones lineales 305
 archivo tipo M, combo.m ilustración de las combinaciones 
lineales de dos vectores 305
 archivo tipo M, lincomb.m ilustración de un vector como 
combinación lineal por partes de tres vectores 307
 Aplicación 312
4.5 Independencia lineal 328
 Ciclos en digr�cas e independencia lineal 331
4.6 Bases y dimensión 341
4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las
 columnas de una matriz 358
 Aplicación geomØtrica del espacio nulo 359
 Aplicación del espacio nulo a sistemas de ecuaciones 360
 Exploración del rango de matrices especiales 363
 Rango y productos de matrices 363
 PROBLEMA PROYECTO: ciclos en digr�cas 364
 PROBLEMA PROYECTO: subespacio suma y subespacio intersección 365
4.8 Cambio de base 378
 Cambio de base por rotación en 2 382
 archivo tipo M, rotcoor.m ilustración de combinaciones 
lineales respecto a bases diferentes 383
 PROBLEMA PROYECTO: cambio de base por rotación en 3; rotaciones 
inclinar, desviar y rodar 385, 387
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en n 403
 Proyección sobre un plano en 3 405
 Matrices ortogonales: longitud y Ængulo 408
 Matrices de rotación 409
 Re�ectores elementales 410
 PROBLEMA PROYECTO: matrices de rotación; cambio de base en 3 411
Contenido de los problemas de MATLAB XI
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 424
 E�ciencia de combustible 426
 Manufactura: temperatura y fuerza 427
 archivo tipo M, mile.m datos en forma vectorial sobre el aæo
 y los tiempos rØcord de carreras de una milla 427
 Crecimiento de población 427
 Geología minera 429
 PROBLEMA PROYECTO: geología petrolera 429
4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 443
5 TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1 De�nición y ejemplos 467
 GrÆ�cas en computadora: creación de una �gura 467
 archivo tipo M, gra�cs.m gr�cas por computadora usando matrices 468
5.3 Representación matricial de una transformación lineal 500
 Proyecciones 500
 Re�exiones 501
 PROBLEMA PROYECTO: creación de grÆ�cas y aplicación
 de transformaciones 502
5.4 Isomor�smos 509
5.5 Isometrías 517
6 VALORES CARACTER˝STICOS, VECTORES CARACTER˝STICOS 
Y FORMAS CANÓNICAS
6.1 Valores característicos y vectores característicos 540
 Teoría de grÆ�cas 543
 Geología 545
6.2 Un modelo de crecimiento de población 551
 Poblaciones de pÆjaros 551
 Teoría de grÆ�cas 554
 PROBLEMA PROYECTO: gr�cas de mapas 555
6.3 Matrices semejantes y diagonalización 565
 Geometría 566
6.4 Matrices simØtricas y diagonalización 574
 Geometría 574
6.5 Formas cuadrÆticas y secciones cónicas 585
6.6 Forma canónica de Jordan 594
6.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton 
y Gershgorin 607 
 
XII Contenido de los problemas de MATLAB
PREFACIO
Anteriormente el estudio del Ælgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos 
de matemÆticas y física principalmente, y tambiØn recurrían a ella aquellos que necesitaban 
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en Æreas tØcnicas como la estadística mul-
tivariable. Hoy en día, el Ælgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las 
computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemÆticas en Æreas que, por 
tradición, no son tØcnicas.
PRERREQUISITOS
Al escribir este libro tuve en mente dos metas. IntentØ volver accesibles un gran nœmero de 
temas de Ælgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan œnicamente cono-
cimientos �rmes del Ælgebra correspondientes a la enseæanza media superior. Como muchos 
estudiantes habrÆn llevado un curso de cÆlculo de al menos un aæo, incluí tambiØn varios ejem-
plos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. Éstos se indican con el símbolo 
C̀ LCULO . La sección 6.7 es opcional y sí requiere el uso de herramientas de cÆlculo, pero salvo 
este caso, el cÆlculo no es un prerrequisito para este texto.
APLICACIONES
Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del Ælgebra lineal en sus 
campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a dife-
rentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multiplica-
ción de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (pÆgina 62). Otros son un poco mÆs 
grandes; entre Østos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief (pÆginas 18 
a 19 y 103 a 106), la teoría de grÆ�cas (sección 1.12), la aproximación por mínimos cuadrados 
(sección 4.10) y un modelo de crecimiento poblacional (sección 6.2).
AdemÆs, se puede encontrar un nœmero signi�cativo de aplicaciones sugestivas en las sec-
ciones de MATLAB fi . 
TEOR˝A
Para muchos estudiantes el curso de Ælgebra lineal constituye el primer curso real de matemÆticas. 
Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cÆlculos matemÆticos sino tambiØn que 
desarrollen demostraciones. IntentØ, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la tØcnica y la teo-
ría. Todas las tØcnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que 
ilustran su utilización. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden probar 
utilizando resultados dados aquí. Las demostraciones mÆs difíciles se dan al �nal de las secciones 
o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que proporcionarÆ a los 
estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver problemas que surjan en sus Æreas de 
estudio como una mayor apreciación de la belleza de las matemÆticas. 
CARACTER˝STICAS
La sexta edición ofrece nuevas características, y conserva la estructura ya probada y clÆsica que 
tenía la quinta edición. Las nuevas características se enumeran en la pÆgina xv. 
XIV Prefacio
EJEMPLOS
Los estudiantes aprenden matemÆticas mediante ejemplos completos y claros. La sexta edición 
contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye todos los pasos algebraicos ne-
cesarios para completar la solución. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda 
didÆctica para facilitar el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorgó un nombre a 
los ejemplos con el objeto de que resulte mÆs sencillo entender el concepto esencial que ilustra 
cada uno. 
EJERCICIOS
El texto contiene cerca de 2 750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de matemÆticas, 
Østos constituyen la herramienta mÆs importante del aprendizaje. Los problemas conservan 
un orden de acuerdo con su grado de di�cultad y existe un equilibrio entre la tØcnica y las de-
mostraciones. Los problemas mÆs complicados se encuentran marcados con un asterisco (*) y 
unos cuantos excepcionalmente difíciles con dos (**). Éstos se complementan con ejercicios de 
problemas impares, incluyendo aquellos que requieren demostraciones. De los 2 750 ejercicios, 
alrededor de 300 son nuevos. Muchos de ellos han sido aportados por profesores destacados 
en su impartición de la materia. TambiØn hay varios problemas en las secciones de �Manejo de 
calculadora� y �MATLAB�. En dicha sección se hablarÆ mÆs sobre estas características. 
TEOREMA DE RESUMEN
Una característica importante es la aparición frecuente del teorema de resumen, que une temas 
que en apariencia no tienen nada en comœn dentro del estudio de matrices y transformaciones 
lineales. En la sección 1.2 (pÆgina 4) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones 
1.8 (p. 106), 1.10 (p. 128), 2.4 (p. 208), 4.5 (p. 320), 4.7 (p. 353), 5.4 (p. 506) y 6.1 (p. 535) se 
encuentran versiones cada vez mÆs completas de dicho teorema. 
AUTOEVALUACIÓN
Los problemas de autoevaluación estÆn diseæados para valorar si el estudiante comprende las 
ideas bÆsicas de la sección,
y es conveniente que se resuelvan antes de intentar los problemas 
mÆs generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opción mœltiple o 
falso-verdadero que requieren pocos o ningœn cÆlculo. Las respuestas a estas preguntas apare-
cen al �nal de la sección de problemas a la que pertenecen. 
M ANEJO DE CALCULADORA
En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras gra�cadoras disponibles, con las 
que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edición anterior, el texto 
incluye secciones de �manejo de calculadora� que tienen por objeto ayudar a los estudiantes 
a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edición se han actualizado estas secciones con 
uno de los modelos de vanguardia.
Cada sección comienza con una descripción detallada del uso de la Hewlett-Packard 
HP 50g para la resolución de problemas. Por lo general a estas descripciones les sigue una serie 
de problemas adicionales con nœmeros mÆs complicados que se pueden resolver fÆcilmente con 
calculadora. 
Prefacio XV
Sin embargo, debe hacerse hincapiØ en que no se requiere que los alumnos cuenten con una 
calculadora gra�cadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de 
calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor. 
RESÚMENES DE CAP˝TULO
Al �nal de cada capítulo aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados en 
el mismo. Incluye referencias a las pÆginas del capítulo en las que se encuentra la información 
completa. 
GEOMETR˝A
Algunas ideas importantes en Ælgebra lineal se entienden mejor observando su interpretación 
geomØtrica. Por esa razón se han resaltado las interpretaciones geomØtricas de conceptos im-
portantes en varios lugares de esta edición. Éstas incluyen:
�z��La geometría de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (p. 19)
�z��La interpretación geomØtrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 175, 257)
�z��La interpretación geomØtrica del triple producto escalar (p. 258)
�z��Cómo dibujar un plano (p. 267)
�z��La interpretación geomØtrica de la dependencia lineal en 3 (p. 317)
�z��La geometría de una transformación lineal de 2 en 2 (pp. 488-495)
�z��Las isometrías de 2 (p. 512)
SEMBLANZAS HISTÓRICAS
Las matemÆticas son mÆs interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histórico del tema. 
Para estimular este interØs se incluyen varias notas históricas breves, dispersas en el libro. Ade-
mÆs, hay siete semblanzas no tan breves y con mÆs detalles, entre las que se cuentan las de:
�z��Carl Friedrich Gauss (p. 21)
�z��Sir William Rowan Hamilton (p. 52)
�z��Arthur Cayley y el Ælgebra de matrices (p. 71)
�z��Breve historia de los determinantes (p. 203)
�z��Josiah Willard Gibbs y los orígenes del anÆlisis vectorial (p. 259)
�z��Historia de la inducción matemÆtica (p. 627)
CARACTER˝STICAS NUEVAS DE LA SEXTA EDICIÓN
Gracias a la participación de profesores y revisores, la nueva edición se ha enriquecido con 
diversos cambios, como son: 
�z��Secciones de manejo de la calculadora actualizadas.
�z��Las tutorías y problemas de MATLAB tambiØn se han actualizado, incluyendo ahora 
mayores referencias e incluso muchos de los códigos necesarios. 
�z��Gran cantidad de problemas nuevos, ademÆs de otros actualizados, que permitirÆn 
ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Por ende, la sección de respuestas al �nal 
del libro ha cambiado por completo.
XVI Prefacio
MATLAB fi
El texto cuenta con mÆs de 230 problemas opcionales para MATLABfi , muchos de los cuales 
tienen varios incisos, que aparecen despuØs de la mayoría de las secciones de problemas (MAT-
LAB fi es una marca registrada de The Math Works, Inc.). MATLABfi es un paquete poderoso 
pero amigable, diseæado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren cÆlculos 
con matrices y conceptos de Ælgebra lineal. Se puede ver mayor información sobre este progra-
ma en la sección de apØndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos y los 
problemas normales, exhortan al estudiante a explotar el poder de cÆlculo de MATLABfi y 
explorar los principios del Ælgebra lineal mediante el anÆlisis y la obtención de conclusiones. 
AdemÆs, se cuenta con varios incisos de �papel y lÆpiz� que permiten que el alumno ejercite su 
juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos. 
La sección 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLABfi ; antes de estos proble-
mas se presenta una introducción y una tutoría breve. Los problemas de MATLABfi en cada 
sección estÆn diseæados para que el usuario conozca los comandos de MATLABfi a medida 
que se van requiriendo para la resolución de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones 
y problemas proyecto que demuestran la relevancia del Ælgebra lineal en el mundo real; Østos 
pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos. 
Muchos de los problemas de MATLABfi estÆn diseæados para animar a los estudiantes 
a describir teoremas de Ælgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias matrices 
triangulares superiores y calcule sus inversas obtendrÆ la conclusión natural de que la inversa 
de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostración de este resul-
tado no es trivial, pero tendrÆ sentido si el estudiante �ve� que el resultado es aceptable. PrÆc-
ticamente todos los conjuntos de problemas de MATLABfi contienen algunos que llevan a 
resultados matemÆticos. 
Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora, se resalta aquí el hecho de que el 
material de MATLAB fi es opcional. Se puede asignar o no segœn el profesor lo considere con-
veniente. 
En lugar de colocar la sección de MATLAB a manera de suplemento, se decidió conser-
varlo dentro de los capítulos para que la integración fuera mayor y mÆs efectiva. AdemÆs, se ha 
cuidado que primero se enseæe a los estudiantes la manera de resolver los problemas �a mano�, 
comprendiendo los conceptos, para despuØs poder incorporar el uso de otras herramientas. 
`lgebra lineal conserva el diseæo de un libro para cubrirse en un semestre. Es de esperarse 
que, al utilizarlo, el material de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que comple-
mente el trabajo del salón de clase. 
NUMERACIÓN
La numeración de este libro es estÆndar. Dentro de cada sección, los ejemplos, problemas, teo-
remas y ecuaciones se encuentran numerados consecutivamente a partir del nœmero 1. Las refe-
rencias a los mismos fuera de la sección se llevan a cabo por capítulo, sección y nœmero. De esta 
forma, el ejemplo 4 en la sección 2.5 se denomina ejemplo 4 en esa sección, pero fuera de ella se 
habla del ejemplo 2.5.4. AdemÆs, con frecuencia se proporciona el nœmero de la pÆgina para que 
resulte sencillo encontrar referencias. 
ORGANIZACIÓN
El enfoque que se ha utilizado en este libro es gradual. Los capítulos 1 y 2 contienen el material 
computacional bÆsico comœn para la mayor parte de los libros de Ælgebra lineal. El capítulo 1 
presenta los sistemas de ecuaciones lineales, vectores y matrices. Cubre todo el material de sis-
Prefacio XVII
temas de ecuaciones antes de introducir los conceptos relacionados con matrices. Esta presen-
tación proporciona una mayor motivación para el estudiante y sigue el orden de la mayoría de 
los temarios del curso. TambiØn se incluyó una sección (1.12) en la que se aplican matrices a la 
teoría de grÆ�cas. El capítulo 2 proporciona una introducción a los determinantes e incluye un 
ensayo histórico sobre las contribuciones de Leibniz y Cauchy al Ælgebra lineal (sección 2.3)
Dentro de este material bÆsico, incluso hay secciones opcionales que representan un reto 
un poco mayor para el estudiante. Por ejemplo, la sección 2.3 proporciona una demostración 
completa de que det AB 5 detAdetB. La demostración de este resultado, mediante el uso de 
matrices elementales, casi nunca se incluye en libros introductorios. 
El capítulo 3 analiza los vectores en el plano y el espacio. Muchos de los temas de este capí-
tulo se cubren segœn el orden con el que se presentan en los libros de cÆlculo, de manera que es 
posible que el estudiante ya se encuentre familiarizado con ellos. Sin embargo, como una gran 
parte del Ælgebra lineal estÆ relacionada con el estudio de espacios vectoriales abstractos, los 
alumnos necesitan un acervo de ejemplos concretos que el estudio de los vectores en el plano y 
el espacio proporciona de manera natural. El material mÆs difícil de los capítulos 4 y 5 se ilustra 
con ejemplos que surgen del capítulo 3. La sección 3.4 incluye un ensayo histórico sobre Gibbs 
y el origen del anÆlisis vectorial. 
El capítulo 4 contiene una introducción a los espacios vectoriales generales y es necesa-
riamente mÆs abstracto que los capítulos anteriores. No obstante, intentØ presentar el material 
como una extensión natural de las propiedades de los vectores en el plano, que es en realidad la 
forma en que surgió el tema. La sexta edición estudia las combinaciones lineales y el conjunto 
generado por ellas (sección 4.4) antes de la independencia lineal (sección 4.5) para explicar estos 
temas de manera mÆs clara. El capítulo 4 tambiØn incluye una sección (4.10) de aplicaciones 
interesantes sobre la aproximación por mínimos cuadrados. 
Al �nal del capítulo 4 agreguØ una sección (4.12) opcional en la que demuestro que todo 
espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los conjuntos ordenados y el lema de 
Zorn. Dicho material es mÆs complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir. 
Sin embargo, como el Ælgebra lineal a menudo se considera el primer curso en el que las demos-
traciones son tan importantes como los cÆlculos, en mi opinión el estudiante interesado debe 
disponer de una demostración de este resultado fundamental. 
El capítulo 5 continœa el anÆlisis que se inició en el capítulo 4 con una introducción a las 
transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Comienza con dos ejemplos que mues-
tran la manera natural en la que pueden surgir las transformaciones. En la sección 5.3 incluí una 
descripción detallada de la geometría de las transformaciones de 2 en 2, incluí expansiones, 
compresiones, re�exiones y cortes. Ahora, la sección 5.5 contiene un estudio mÆs detallado de 
las isometrías de 2. 
El capítulo 6 describe la teoría de los valores y vectores característicos o valores y vectores 
propios. Se introducen en la sección 6.1 y en la sección 6.2 se da una aplicación biológica deta-
llada al crecimiento poblacional. Las secciones 6.3, 6.4 y 6.5 presentan la diagonalización de una 
matriz, mientras que la sección 6.6 ilustra, para unos cuantos casos, cómo se puede reducir 
una matriz a su forma canónica de Jordan. La sección 6.7 estudia las ecuaciones diferenciales 
matriciales y es la œnica sección del libro que requiere conocimiento del primer curso de cÆlculo. 
Esta sección proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su forma canónica de 
Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la sección 6.8, introduje dos de mis resultados fa-
voritos acerca de la teoría de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de los círculos 
de Gershgorin. El teorema de los círculos de Gershgorin es un resultado muy rara vez estudiado 
en los libros de Ælgebra lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar los va-
lores propios de una matriz. 
En el capítulo 6 tuve que tomar una decisión difícil: si analizar o no valores y vectores pro-
pios complejos. Decidí incluirlos porque me pareció lo mÆs adecuado. Algunas de las matrices 
XVIII Prefacio
�mÆs agradables� tienen valores propios complejos. Si se de�ne un valor propio como un nœme-
ro real, sólo en un principio se pueden simpli�car las cosas, aunque esto sea un error. Todavía 
mÆs, en muchas aplicaciones que involucran valores propios (incluyendo algunas de la sección 
6.7), los modelos mÆs interesantes se relacionan con fenómenos periódicos y Østos requieren 
valores propios complejos. Los nœmeros complejos no se evitan en este libro. Los estudiantes 
que no los han estudiado antes pueden encontrar las pocas propiedades que necesitan en el 
apØndice 2.
El libro tiene cinco apØndices, el primero sobre inducción matemÆtica y el segundo sobre 
nœmeros complejos. Algunas de las demostraciones en este libro hacen uso de la inducción 
matemÆtica, por lo que el apØndice 1 proporciona una breve introducción a esta importante 
tØcnica para los estudiantes que no la han utilizado. 
El apØndice 3 analiza el concepto bÆsico de la complejidad de los cÆlculos que, entre otras 
cosas, ayudarÆ a los estudiantes a entender las razones por las cuales quienes desarrollan soft-
ware eligen algoritmos especí�cos. El apØndice 4 presenta un mØtodo razonablemente e�ciente 
para obtener la solución numØrica de los sistemas de ecuaciones. Por œltimo, el apØndice 5 
incluye algunos detalles tØcnicos sobre el uso de MATLABfi en este libro. 
Una nota sobre la interdependencia de los capítulos: este libro estÆ escrito en forma se-
cuencial. Cada capítulo depende de los anteriores, con una excepción: el capítulo 6 se puede 
cubrir sin necesidad de gran parte del material del capítulo 5. Las secciones marcadas como 
�opcional� se pueden omitir sin pØrdida de la continuidad. 
MATERIALES DE APOYO
Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseæanza-
aprendizaje, así como la evaluación de los mismos, los cuales se otorgan a profesores que adop-
tan este texto para sus cursos. Para obtener mÆs información y conocer la política de entrega 
de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. 
AGRADECIMIENTOS
Estoy agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escribía este libro. Parte del 
material apareció primero en Mathematics for the Biological Sciences (Nueva York, Macmillan, 
1974) escrito por James E. Turner y por mí. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso 
que me otorgó para hacer uso de este material. 
Gran parte de este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador asociado en la 
University College London. Deseo agradecer al departamento de matemÆticas de UCL por 
proporcionarme servicios de o�cina, sugerencias matemÆticas y, en especial, su amistad duran-
te mis visitas anuales. 
El material de MATLAB fi fue escrito por Cecelia Laurie, de la University of Alabama. 
Gracias a la profesora Laurie por la manera sobresaliente en que utilizó la computadora para 
mejorar el proceso de enseæanza. Éste es un mejor libro debido a sus esfuerzos. 
TambiØn me gustaría extender mi agradecimiento a Cristina Palumbo, de The MathWorks, 
Inc., por proporcionarnos la información mÆs reciente sobre MATLABfi . 
La efectividad de un libro de texto de matemÆticas depende en cierto grado de la exactitud 
de las respuestas. Ya en la edición anterior del libro se hicieron esfuerzos considerables para 
tratar de evitar los errores al mÆximo. Las respuestas fueron veri�cadas por varios profesores, 
entre los que cabe destacar la importantísima labor de Sudhir Goel, de Valdosta State College, 
y David Ragozin, de la University of Washington, quien elaboró el Manual de Soluciones del 
libro. Cecelia Laurie preparó las soluciones a los problemas de MATLABfi . En el caso de esta 
Prefacio XIX
nueva edición, las soluciones a los problemas nuevos estÆn elaboradas por los profesores que 
los aportaron. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos, la sección de respuestas al 
�nal del libro se modi�có casi por completo. 
Agradezco a aquellas personas que hicieron comentarios a la quinta edición. Todos ellos 
son muy valiosos. En esta edición fue posible incorporar muchos de ellos. 
Mi agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLABfi por la revisión 
de los problemas de MATLABfi :
Thomas Cairns, University of Tulsa
Karen Donelly, Saint Joseph�s College
Roger Horn, University of Utah
Irving Katz, George Washington University
Gary Platt, University of Wisconsin-Whitewater
Stanley I. Grossman
Missoula, Montana
Diciembre de 2007
La división de Ingenierías, MatemÆticas y Ciencias de McGraw-Hill agradece de manera muy 
especial a todos los profesores que han contribuido con este importante proyecto:
�z��AdÆn Medina, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Alfonso Bernal Amador, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Alfredo Gómez Rodríguez, Universidad Nacional Autónoma de MØxico, 
Facultad de Ingeniería
�z��AndrØs Basilio Ramírez y Villa, Universidad Nacional Autónoma de MØxico, 
Facultad de Ingeniería
�z��Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnológico de MazatlÆn 
�z��Arturo Fernando Quiroz, Tecnológico Regional de QuerØtaro 
�z��Arturo Muæoz Lozano, Universidad La Salle del Bajío 
�z��Arturo Valenzuela Valenzuela, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Aureliano Castro, Universidad Autónoma de Sinaloa, Escuela de Ingeniería
�z��Beatriz Velazco, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus CuliacÆn 
�z��Benigno Valez, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus CuliacÆn 
�z��Bertha Alicia Madrid, Universidad Iberoamericana, campus Cuidad de MØxico
�z��Carlos Camacho SÆnchez, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Carlos Garzón, Universidad Javeriana, Cali, Colombia 
�z��Carlos Rodríguez Provenza, Universidad PolitØcnica de QuerØtaro
�z��CØsar Meza Mendoza, Instituto Tecnológico de CuliacÆn
�z��Dinaky Glaros, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus CuliacÆn 
�z��Edgar HernÆndez López, Universidad Iberoamericana, campus León 
�z��Edith Salazar VÆzquez, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus Toluca 
XX Prefacio
�z��Edmundo Barajas Ramírez, Universidad Iberoamericana, campus León 
�z��Eduardo Miranda Montoya, Iteso 
�z��ErØndira Gabriela AvilØs Rabanales, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, campus Toluca 
�z��Erik Norman Guevara Corona, Universidad Nacional Autónoma de MØxico 
�z��Esperanza MØndez Ortiz, Universidad Nacional Autónoma de MØxico, 
Facultad de Ingeniería
�z��Fernando López, Universidad Autónoma de Sinaloa, Escuela de Ingenierías 
Químico Biológicas 
�z��Gabriel Martínez, Instituto Tecnológico de Hermosillo 
�z��Gerardo Campos Carrillo, Instituto Tecnológico de MazatlÆn 
�z��Gonzalo Veyro Santamaría, Universidad Iberoamericana, campus León 
�z��Guillermo Luisillo Ramírez, Instituto PolitØcnico Nacional, ESIME CulhuacÆn
�z��HØctor Escobosa, Instituto Tecnológico de CuliacÆn
�z��Hortensia BeltrÆn Ochoa, Instituto Tecnológico de Los Mochis 
�z��Irma Yolanda Paredes, Universidad de Guadalajara, Centro Universitario de Ciencias 
Exactas e Ingenierías 
�z��Javier Nœæez Verdugo, Universidad de Occidente, unidad Guamœchil 
�z��Jesœs Gamboa Hinojosa, Instituto Tecnológico de Los Mochis 
�z��Jesœs Manuel Canizalez, Universidad de Occidente, unidad MazatlÆn 
�z��Jesœs Vicente GonzÆlez Sosa, Universidad Nacional Autónoma de MØxico 
�z��Jorge Alberto Castellón, Universidad Autónoma de Baja California 
�z��Jorge Luis Herrera Arellano, Instituto Tecnológico de Tijuana 
�z��JosØ Alberto GutiØrrez Palacios, Universidad Autónoma del Estado de MØxico, 
campus Toluca, Facultad de Ingeniería 
�z��JosØ Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad CuliacÆn 
�z��JosØ Carlos Ahumada, Instituto Tecnológico de Hermosillo 
�z��JosØ Carlos Aragón HernÆndez, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��JosØ Espíndola HernÆndez, Tecnológico Regional de QuerØtaro 
�z��JosØ GonzÆlez VÆzquez, Universidad Autónoma de Baja California 
�z��JosØ Guadalupe Octavio Cabrera Lazarini, Universidad PolitØcnica de QuerØtaro 
�z��JosØ Guadalupe Torres Morales, Instituto PolitØcnico Nacional, ESIME CulhuacÆn 
�z��JosØ Guillermo CÆrdenas López, Instituto Tecnológico de Tijuana
�z��JosØ Luis Gómez SÆnchez, Universidad de Occidente, unidad MazatlÆn 
�z��JosØ Luis Herrera, Tecnológico Regional de San Luis Potosí
�z��JosØ NoØ de la Rocha, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Juan Carlos Pedraza, Tecnológico Regional de QuerØtaro 
�z��Juan Castaæeda, Universidad Autónoma de Sinaloa, Escuela de Ingenierías 
Químico Biológicas 
�z��Juan Leoncio Nœæez Armenta, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Juana Murillo Castro, UAS, Escuela de Ingeniería
�z��Leonel Monroy, Universidad del Valle, Cali, Colombia 
Prefacio XXI
�z��Linda Medina, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus Ciudad de MØxico
�z��Lorenza de Jesœs, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Lucía Ramos Montiel, Universidad Iberoamericana, campus León
�z��Lucio López Cavazos, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus QuerØtaro 
�z��Luis Felipe Flores, Instituto Tecnológico de Los Mochis
�z��Luis López Barrientos, EPCA 
�z��Marco Antonio Blanco Olivares, Tecnológico Regional de San Luis Potosí 
�z��Marco Antonio Rodríguez Rodríguez, Instituto Tecnológico de Los Mochis
�z��María Sara Valentina SÆnchez Salinas, Universidad Nacional Autónoma de MØxico 
�z��Maritza Peæa Becerril, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus Toluca 
�z��Martha GutiØrrez Munguía, Universidad Iberoamericana, campus León 
�z��Martín Muæoz ChÆvez, UNIVA 
�z��Michell Gómez, Universidad ICESI, Cali, Colombia 
�z��Miguel `ngel Aguirre Pitol, Universidad Autónoma del Estado de MØxico
�z��Nasario Mendoza Patiæo, Tecnológico Regional de QuerØtaro
�z��Norma Olivia Bravo, Universidad Autónoma de Baja California 
�z��Oscar Guerrero, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus CuliacÆn 
�z��Oscar RenØ Valdez Casillas, Universidad Nacional Autónoma de MØxico 
�z��Oswaldo Verdugo Verdugo, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Por�rio López, Universidad de Occidente, unidad Guamœchil 
�z��Ramón Duarte, Universidad Autónoma de Sinaloa, Escuela de Ingeniería
�z��Raœl Soto López, Universidad de Occidente, Unidad CuliacÆn
�z��Ricardo Betancourt Riera, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 
campus Hermosillo 
�z��Ricardo Martínez Gómez, Universidad Nacional Autónoma de MØxico 
�z��Roberto GuzmÆn GonzÆlez, Universidad Nacional Autónoma de MØxico
�z��Roberto Robledo PØrez, Instituto Tecnológico de León 
�z��Rosa María Rodríguez GonzÆlez, Universidad Iberoamericana, campus León 
�z��Rosalba Rodríguez ChÆvez, Universidad Nacional Autónoma de MØxico, 
Facultad de Ingeniería 
�z��Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnológico de CuliacÆn 
�z��Sithanatham Kanthimathinathan, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, campus QuerØtaro 
�z��Susana Pineda Cabello, Instituto PolitØcnico Nacional, ESIME CulhuacÆn
�z��Walter Magaæa, Universidad de Sanbuenaventura, Cali, Colombia 
 
Capítulo
SISTEMAS DE ECUACIONES 
LINEALES Y MATRICES
1
1.1 INTRODUCCIÓN
Este libro trata del Ælgebra lineal. Al buscar la palabra �lineal� en el diccionario se encuentra, 
entre otras de�niciones, la siguiente: lineal: (del lat. linealis). 1. adj. Perteneciente o relativo a 
la línea.1 Sin embargo, en matemÆticas la palabra �lineal� tiene un signi�cado mucho mÆs am-
plio. Una gran parte de la teoría de Ælgebra lineal elemental es, de hecho, una generalización de 
las propiedades de la línea recta. A manera de repaso se darÆn algunos hechos fundamentales 
sobre las líneas rectas:
 i. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) estÆ dada por
m
y y
x x
5
2
2
2 1
2 1
55
�
�
y
x
 si x x1 2Z
 ii. Si x2 2 x1 5 0 y y2 � y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es inde�nida.
2
 iii. Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene una pendiente inde�nida) se puede des-
cribir al escribir su ecuación en la forma pendiente-ordenada y 5 mx 1 b, donde m es la 
pendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de y en el punto en el que la recta cruza 
el eje y).
 iv. Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
 v. Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax
1 by 5 c, (b � 0), entonces se puede 
calcular fÆcilmente, m 5 2 a/b. 
 vi. Si m1 es la pendiente de la recta L 1, m2 es la pendiente de la recta L 2, m1 � 0 y L 1 y L 2 son 
perpendiculares, entonces m2 5 2 1/m1.
 vii. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.
 viii. Las rectas paralelas al eje y tienen una pendiente inde�nida. 
En la sección que sigue se ilustrarÆ la relación que existe entre resolver sistemas de ecua-
ciones y encontrar los puntos de intersección entre pares de rectas. 
1 Diccionario de la Lengua Espaæola, vigØsima segunda edición, Real Academia Espaæola. Madrid: Espasa Calpe, 2001.
2 Inde�nida o in�nita, como tambiØn se le denomina en otros libros.
1.2 DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:
 
a x a y b
a x a y b
1 5
1 5
11 12 1
21 22 2
 (1)
donde a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son nœmeros dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde a 
una línea recta. Una solución al sistema (1) es un par de nœmeros, denotados por (x,y), que sa-
tisface (1). Las preguntas que surgen en forma natural son: ¿tiene este sistema varias soluciones 
y, de ser así, cuÆntas? Se responderÆn estas preguntas despuØs de ver algunos ejemplos, en los 
cuales se usarÆn dos hechos importantes del Ælgebra elemental:
Hecho A Si a 5 b y c 5 d, entonces a 1 c 5 b 1 d.
Hecho B Si a 5 b y c es cualquier nœmero real, entonces ca 5 cb.
El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correcta. 
El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante se 
obtiene una segunda ecuación vÆlida. Se debe suponer que c Z 0 ya que aunque la ecuación 
0 5 0 es correcta, no es muy œtil. 
 EJEMPLO 1 Sistema con una solución œnica
 
Considere el sistema
 x 2 y 5 7
x 1 y 5 5
 (2)
Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuación: 2x 5 12 (es decir, 
x 5 6). Entonces, si se despeja de la segunda ecuación, y 5 5 2 x 5 5 2 6 5 entonces y 5 2 1. 
Así, el par (6,2 1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontró la solución muestra que 
es el œnico par de nœmeros que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una solución œnica. 
 EJEMPLO 2 Sistema con un nœmero in�nito de soluciones
Considere el sistema 
 x 2 y 5 7
 2x 2 2y 5 14
 (3)
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos nœmeros, x y 
y, que satisfacen la primera ecuación tambiØn satisfacen la segunda, y viceversa. Para compro-
bar esto se multiplica la primera ecuación por 2. Esto estÆ permitido por el hecho B. Entonces 
x 2 y 5 7 o y 5 x 2 7. Así, el par (x, x 2 7) es una solución al sistema (3) para cualquier nœ-
mero real x. Es decir, el sistema (3) tiene un nœmero in�nito de soluciones. Para este ejemplo, los 
siguientes pares son soluciones: (7, 0), (0, 2 7), (8, 1), (1, 2 6), (3, 2 4) y (2 2, 2 9). 
 
 EJEMPLO 3 Sistema sin solución 
Considere el sistema 
 x 2 y 5 7
 2x 2 2y 5 13
 (4)
Si se multiplica la primera ecuación por 2 (que de nuevo estÆ permitido por el hecho B) se obtiene 
2x 2 2y 5 14. Esto contradice la segunda ecuación. Por lo tanto, el sistema (4) no tiene solución. 
2 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 3
��
��
��
����������1 ��������������5 ������
����������1 ��������������5 ������
��
��
��
����������1 ��������������5 ������
����������1 ��������������5 ������
��
��
��
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����������1 ��������������5 ������
���������
���������������������������
��������
�����������������������������	�
���������
�����
����������
���������
���������������������
����������������
�������������������������	�
���������
�����
����������
���������
���������������
���������������	�
�����������
�
��������������������
�����������	�
�����������������	�
���������
�����
����������
Solución œnica Sin solución Nœmero in�nito de soluciones
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente. 
GeomØtricamente es fÆcil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se 
repite que ambas ecuaciones del sistema (1) son de líneas rectas. Una solución a (1) es un pun-
to (x, y) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, entonces se 
intersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces nunca se intersecan (es decir, no tienen 
puntos en comœn) o son la misma recta (esto es, tienen un nœmero in�nito de puntos en co-
mœn). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientes de 1 y 2 1, respectivamente, por lo que no 
son paralelas y tienen un solo punto en comœn (6, 2 1). En el ejemplo 2, las rectas son paralelas 
(tienen pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 3, las rectas son paralelas y distintas. Estas 
relaciones se ilustran en la �gura 1.1.
Ahora se procederÆ a resolver el sistema (1) formalmente. Se tiene
 
a x a y b
a x a y b
1 5
1 5
11 12 1
21 22 2
 (1)
Si a12 5 0, entonces x 5 
b
a
1
11
 y se puede usar la segunda ecuación para despejar y. 
Si a22 5 0, entonces x 5 
b
a
2
21
 y se puede usar la primera ecuación para despejar y.
Si a12 5 a22 5 0, entonces el sistema (1) contiene sólo una incógnita, x. 
Así, se puede suponer que ni a12 ni a22 son cero.
Si se multiplica la primera ecuación por a22 y la segunda por a12 se tiene
 
 a11a22 x 1 a12a22 y 5 a22b1
 a12a21 x 1 a12a22 y 5 a12b2
 (5)
Antes de continuar se puede ver que los sistemas (1) y (5) son equivalentes. Esto quiere decir que 
cualquier solución del sistema (1) es una solución del sistema (5) y viceversa. Ello se concluye 
directamente del hecho B, suponiendo que c no es cero. DespuØs, si en (5) se resta la segunda 
ecuación de la primera, se obtiene
 (a11a22 2 a12a21)x 5 a22b1 2 a12b2 (6)
Es necesario hacer una pausa en este punto. Si a11a22 2 a12a21 � 0, entonces se puede dividir entre 
este tØrmino para obtener
 x
a b a b
a a a a
22 1 12 2
11 22 12 21
( )
5
2
2
 
Figura 1.1 
Dos rectas se intersecan 
en un punto, en ninguno o 
(si coinciden) en un nœmero 
in�nito de puntos. 
SISTEMAS 
EQUIVALENTES
4 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
A UTOEVALUACI ÓN
 I. De las siguientes a�rmaciones con respecto a la solución de un sistema de dos ecuacio-
nes con dos incógnitas, ¿cuÆl de ellas no es verdadera?
a) Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.
b) Su grÆ�ca consiste en el(los) punto(s) de intersección de las grÆ�cas de las ecua-
ciones.
c) Su gr�ca es la abscisa de las gr�cas de las ecuaciones. 
d) Si el sistema es inconsistente, no existe una solución.
 II. ¿CuÆl de las siguientes a�rmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dos 
ecuaciones lineales?
a) No existe una solución.
DespuØs se puede sustituir este valor de x en el sistema (1) para despejar y, y así se habrÆ en-
contrado la solución œnica del sistema.
Se ha demostrado lo siguiente:
 Si a11a22 2 a12a21 Z 0, entonces el
sistema (1) tiene una solución œnica
¿Cómo se relaciona esta a�rmación con lo que se analizó anteriormente? En el sistema (1) 
se puede ver que la pendiente de la primera recta es 2 a11/a12 y que la pendiente de la segunda es 
2 a21/a22. En los problemas 40, 41 y 42 se pide al lector que demuestre que a11a22 2 a12a21 5 0 si y 
sólo si las rectas son paralelas (es decir, tienen la misma pendiente). De esta manera se sabe que 
si a11a22 2 a12a21 Z 0, las rectas no son paralelas y el sistema tiene una solución œnica. 
Lo que se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores de 
este capítulo y los siguientes se harÆn generalizaciones de este teorema, y se harÆ referencia a 
Øl como el �teorema de resumen� conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan de-
mostrado todas sus partes, se podrÆ estudiar una relación asombrosa entre varios conceptos 
importantes de Ælgebra lineal. 
 TEOREMA 1 Teorema de resumen. Punto
de vista 1 
El sistema
a11x 1 a12y 5 b1
a21x 1 a22y 5 b2
de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y no tiene solución, tiene una solución œnica 
o tiene un nœmero in�nito de soluciones. Esto es:
 i. Tiene una solución œnica si y sólo si a11a22 2 a12a21 Z 0.
 ii. No tiene solución o tiene un nœmero in�nito de soluciones, si y sólo si
a11a22 2 a12a21 5 0.
Los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas se estudian en la sección 1.3 y se verÆ que 
siempre ocurre que no tienen solución, o que tienen una o un nœmero in�nito de soluciones.
 Problemas 1.2
1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 5
En los problemas 1 a 16 encuentre las soluciones (si las hay) de los sistemas dados. En cada caso 
calcule el valor de a11a22 2 a12a21.
 1. x 2 3y 5 4
2 4x 1 2y 5 6
 2. 5x 2 7y 5 4
2 x 1 2y 5 2 3
 3. 2x 2 y 5 2 3
5x 1 7y 5 4
 4. 2x 2 8y 5 5
2 3x 1 12y 5 8
 5. 10x 2 40y 5 30
 2 3x 1 12y 5 2 90
 6. 2x 2 8y 5 6
 2 3x 1 12y 5 2 9
 7. 6x 1 y 5 3
2 4x 2 y 5 8
 8. 5x 1 y 5 0
7x 1 3y 5 0
 9. 3x 1 y 5 0
2x 2 3y 5 0
 10. 4x 2 6y 5 0
2 2x 1 3y 5 0
 11. 5x 1 2y 5 3
2x 1 5y 5 3
 12. 4x 1 7y 5 3
7x 2 4y 5 3
 13. 2x 1 3y 5 4
3x 1 4y 5 5
 14. ax 1 by 5 c
ax 2 by 5 c
 15. ax 1 by 5 c
bx 1 ay 5 c
 16. ax 2 by 5 c
bx 1 ay 5 d
 17. Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para quØ valores de K el sistema 
tiene solución œnica; justi�que su solución.
 Kx 1 y 1 z 5 1
 x 1 Ky 1 z 5 1
 x 1 y 1 Kz 5 1
 18. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para quØ valores de K el sistema:
a) No tiene solución
b) Tiene soluciones in�nitas
c) Tiene solución œnica
b) La grÆ�ca del sistema estÆ sobre el eje y.
c) La grÆ�ca de la solución es una recta.
d) La grÆ�ca de la solución es el punto de intersección de dos líneas.
 III. ¿CuÆl de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecua-
ciones?
3 2 8
4 7
x y
x y
2 5
1 5
a) El sistema es inconsistente.
b) La solución es (2 1, 2).
c) La solución se encuentra sobre la recta x 5 2.
d) Las ecuaciones son equivalentes. 
 IV. De las siguientes ecuaciones que se presentan, ¿cuÆl de ellas es una segunda ecuación 
para el sistema cuya primera ecuación es x 2 2y 5 2 5 si debe tener un nœmero in�-
nito de soluciones?
a) 6y 5 3x 1 15 b) 6x 2 3y 5 2 15
c) y 5 
1
2
5
2
x2 1 d) 
3
2
3
15
2
x y5 1
 V. ¿CuÆl de las grÆ�cas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?
a) 3x 2 2y 5 7 b) x 2 2y 5 7
 4y 5 6x 2 14 3x 5 4 1 6y
c) 2x 1 3y 5 7 d) 5x 1 y 5 1
 3x 2 2y 5 6 7y 5 3x
6 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
 2x 2 y 2 Kz 5 0
 x 2 y 2 2z 5 1
 2 x 1 2y 5 K
19. Encuentre las condiciones sobre a y b tales que el sistema en el problema 14 tenga una 
solución œnica.
20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales que el sistema del problema 15 tenga un nœ-
mero in�nito de soluciones.
21. Encuentre las condiciones sobre a, b, c y d tales que el problema 16 no tenga solución.
En los problemas 22 al 29 encuentre el punto de intersección (si hay uno) de las dos rectas.
22. x 2 y 5 7; 2x 1 3y 5 1 23. 2x 2 2y 5 3; 3x 1 7y 5 2 1
24. y 2 2x 5 4; 4x 2 2y 5 6 25. 4x 2 6y 5 7; 6x 2 9y 5 12
26. 4x 2 6y 5 10; 6x 2 9y 5 15 27. 3x 1 y 5 4; y 2 5x 5 2
28. 2y 2 3x 5 0; 7y 2 5x 5 9 29. 3x 1 4y 5 5; 6x 2 7y 5 8
Sea L una recta y L ’ la recta perpendicular a L que pasa a travØs de un punto dado P. La dis-
tancia de L a P se de�ne como la distancia3 entre P y el punto de intersección de L y L ’ . En los 
problemas 30 a 36 encuentre la distancia entre la recta dada y el punto.
30. x 2 y 5 6; (0, 0) 31. 2x 1 3y 5 2 1; (0, 0)
32. 3x 1 y 5 7; (1, 2) 33. 5x 2 6y 5 3; (2, 165 )
34. 2y 2 5x 5 2 2; (5, 2 3) 35. 3y 2 7x 5 0; (2 1, 2 5)
36. 6y 1 3x 5 3; (8, 2 1)
37. Encuentre la distancia entre la recta 2x 2 y 5 6 y el punto de intersección de las rectas 
3x 2 2y 5 1 y 6x 1 3y 5 12. 
*38. Pruebe que la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta ax 1 by 5 c estÆ dada por
1 1
2
d
ax by c
a
5
1 2
11 b2
39. En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene 
60 cabezas y 200 patas, ¿cuÆntas aves y bestias viven en Øl?
40. Suponga que a11a22 2 a12a21 5 0. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuacio-
nes (1) son paralelas. Suponga que a11 Z 0 o a12 Z 0 y a21 Z 0 o a22 Z 0.
41. Si existe una solución œnica al sistema (1), muestre que a11a22 2 a12a21 Z 0.
42. Si a11a22 2 a12a21 Z 0 demuestre que el sistema (1) tiene una solución œnica. 
43. La compaæía Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerÆmica. Para cada taza o plato 
un trabajador mide una cantidad �ja de material y la pone en la mÆquina que los forma, 
de donde pasa al vidriado y secado automÆtico. En promedio, un trabajador necesita tres 
minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para el de un plato. El material 
3 Recuerde que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos en el plano xy, entonces la distancia d entre ellos estÆ dada por 
d x x y y5 2 1 21 2
2
1 2
2( ) ( ) .
para una taza cuesta ¢25 y el material para un plato cuesta ¢20. Si se asignan $44 diarios 
para la producción de tazas y platos, ¿cuÆntos deben fabricarse de cada uno en un día de 
trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exac-
tamente $44 en materiales?
44. Conteste la pregunta del problema 43 si los materiales para una taza y un plato cuestan ¢15 
y ¢10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo.
45. Conteste la pregunta del problema 44 si se gastan $25 en 8 horas de trabajo.
46. Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe 
y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una 
malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día, ¿cuÆntos 
helados con soda y cuÆntas malteadas vende? [Sugerencia: 1 cuarto 5 32 onzas, 1 galón 5 
4 cuartos.]
R ESPUESTAS A LA AUTOEVALUACI ÓN 
I. c) II. a) III. c) IV. a) V. b)
1.3 m ECUACIONES CON n INCÓGNITAS : 
ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN Y GAUSSIANA 
En esta sección se describe un mØtodo para encontrar todas las soluciones (si es que existen) 
de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Al hacerlo se verÆ que, igual que en el 
caso de 2 3 2, tales sistemas o bien no tienen solución, tienen una solución o tienen un nœmero 
in�nito de soluciones. Antes de llegar al mØtodo general se verÆn algunos ejemplos sencillos. 
Como variables, se usarÆn x1, x2, x3, etc., en lugar de x, y, z, . . . porque la generalización es mÆs 
sencilla si se usa la notación con subíndices.
 EJEMPLO 1 Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución œnica
Resuelva el sistema
 
2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
 (1)
 Solución En este caso se buscan tres nœmeros x1, x2, x3, tales que las tres ecuaciones en (1) se satisfagan. 
El mØtodo de solución que se estudiarÆ serÆ el de simpli�car las ecuaciones como se hizo en la 
sección 1.2, de manera que las soluciones se puedan identi�car de inmediato. Se comienza por 
dividir la primera ecuación entre 2. Esto da
 
 x1 1 2x2 1 3x3 5 9
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
 (2)
Como se vio en la sección 1.2, al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correc-
ta. Esta nueva ecuación puede sustituir a cualquiera de las dos ecuaciones del sistema que se 
usaron para obtenerla. Primero se simpli�ca el sistema (2) multiplicando ambos lados de la 
primera ecuación de (2) por 2 4 y sumando esta nueva ecuación a la segunda. Esto da
1.3 m ecuaciones con n incógnitas 7
8 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
2 4x1 2 8x2 2 12x3 5 2 36
 4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
 2 3x2 2 6x3 5 2 12
La ecuación 2 3x2 2
6x3 5 2 12 es la nueva segunda ecuación y el sistema ahora es
 x1 1 2x2 1 3x3 5 9
 2 3x2 2 6x3 5 2 12
3x1 1 x2 2 2x3 5 4
Nota. Como se puede ver por el desarrollo anterior, se ha sustituido la ecuación 4x1 1 5x2 1 
6x3 5 24 por la ecuación 2 3x2 2 6x3 5 2 12. En este ejemplo y otros posteriores se sustituirÆn 
ecuaciones con otras mÆs sencillas hasta obtener un sistema cuya solución se pueda identi�car 
de inmediato. 
Entonces, la primera ecuación se multiplica por 2 3 y se suma a la tercera, lo que da por 
resultado:
 
 x1 1 2x2 1 3x3 5 9
 2 3x2 2 6x3 5 2 12
 2 5x2 2 11x3 5 2 23
 (3)
Observe que en el sistema (3) se ha eliminado la variable x1 de la segunda y tercera ecuaciones. 
DespuØs se divide la segunda ecuación por 2 3: 
 x1 1 2x2 1 3x3 5 9
 x2 1 2x3 5 4
 2 5x2 2 11x3 5 2 23
Se multiplica la segunda ecuación por 2 2 y se suma a la primera; despuØs se multiplica la se-
gunda ecuación por 5 y se suma a la tercera: 
 x1 2 x3 5 1
 x2 1 2x3 5 4
 2 x3 5 2 3
Ahora se multiplica la tercera ecuación por 2 1:
 x1 2 x3 5 1
 x2 1 2x3 5 4
 x3 5 3
Por œltimo, se suma la tercera ecuación a la primera y despuØs se multiplica la tercera ecuación 
por 2 2 y se suma a la segunda para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente al sis-
tema (1):
 x1 5 4
 x2 5 2 2
 x3 5 3
Ésta es la solución œnica para el sistema. Se escribe en la forma (4, 2 2, 3). El mØtodo que se usó 
se conoce como eliminación de Gauss-Jordan.4
Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en Øste:
 i. Se dividió la primera ecuación, entre una constante, para hacer el coe�ciente de x1 
igual a 1. 
 ii. Se �eliminaron� los tØrminos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los 
coe�cientes de estos tØrminos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuación por 
las constantes adecuadas y sumÆndola a la segunda y tercera ecuaciones, respectiva-
mente, de manera que al sumar las ecuaciones una de las incógnitas se eliminaba.
 iii. Se dividió la segunda ecuación entre una constante, para hacer el coe�ciente de x2 
igual a 1 y despuØs se usó la segunda ecuación para �eliminar� los tØrminos en x2 
de la primera y tercera ecuaciones, de manera parecida a como se hizo en el paso 
anterior. 
 iv. Se dividió la tercera ecuación entre una constante, para hacer el coe�ciente de x3 
igual a 1 y despuØs se usó esta tercera ecuación para �eliminar� los tØrminos de x3 
de la primera y segunda ecuaciones. 
Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir, 
cada sistema tenía el mismo conjunto de soluciones que el precedente. Esto es una consecuen-
cia de los hechos A y B de la pÆgina 2. 
Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conveniente introducir una notación que 
simpli�ca la escritura de cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Una 
matriz es un arreglo rectangular de nœmeros y Østas se estudiarÆn con gran detalle al inicio de 
la sección 1.5. Por ejemplo, los coe�cientes de las variables x1, x2, x3 en el sistema (1) se pueden 
escribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coe�cientes del sistema:
 5
2
A
2 4 6
4 5 6
3 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 (4)
Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m 3 n. El símbolo m 3 n se 
lee �m por n�. El estudio de matrices constituye gran parte de los capítulos restantes de este 
libro. Por la conveniencia de su notación para la resolución de sistemas de ecuaciones, las pre-
sentamos aquí.
Al usar la notación matricial, el sistema (1) se puede escribir como la matriz aumentada
 
2
2 4 6
4 5 6
3 1 2
18
24
|
|
| 44
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 (5)
Ahora es posible introducir cierta terminología. Se ha visto que multiplicar (o dividir) 
los dos lados de una ecuación por un nœmero diferente de cero da por resultado una nueva 
4 Recibe este nombre en honor del gran matemÆtico alemÆn Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y del ingeniero alemÆn 
Wilhelm Jordan (1844-1899). Vea la semblanza bibliogrÆ�ca de Gauss en la pÆgina 21. Jordan fue un experto en inves-
tigación geodØsica tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. Su trabajo sobre la solución de sistemas de ecuaciones 
apareció en 1888 en su libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodesia). 
ELIMINACIÓN DE 
GAUSS-JORDAN
MATRIZ
MATRIZ DE 
COEFICIENTES
MATRIZ 
m 3 n
MATRIZ 
AUMENTADA
1.3 m ecuaciones con n incógnitas 9
10 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
ecuación equivalente. MÆs aœn, si se suma un mœltiplo de una ecuación a otra del sistema se 
obtiene otra ecuación equivalente. Por œltimo, si se intercambian dos ecuaciones en un sistema 
de ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a 
los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se denominan 
operaciones elementales con renglones. 
Para resumir, las tres operaciones elementales con renglones aplicadas a la matriz aumen-
tada que representa un sistema de ecuaciones son:
Operaciones elementales con renglones
 i. Multiplicar (o dividir) un renglón por un nœmero diferente de cero.
 ii. Sumar un mœltiplo de un renglón a otro renglón.
 iii. Intercambiar dos renglones. 
El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simpli�car una matriz 
aumentada se llama reducción por renglones. 
 NOTACIÓN 
 1. Ri 	 cRi quiere decir �reemplaza el i-Øsimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por 
c�. [Para multiplicar el i-Øsimo renglón por c se multiplica cada nœmero en el i-Øsimo renglón 
por c.]
 2. Rj 	 Rj 1 cRi signi�ca sustituye el j-Øsimo renglón por la suma del renglón j mÆs el renglón 
i multiplicado por c. 
 3. Ri 
}
 Rj quiere decir �intercambiar los renglones i y j�.
 4. A 	 B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas 
que representan tienen la misma solución. 
En el ejemplo 1 se vio que al usar las operaciones elementales con renglones i) y ii) varias veces, 
se puede obtener un sistema cuyas soluciones estØn dadas en forma explícita. Ahora se repiten 
los pasos del ejemplo 1 usando la notación que se acaba de introducir: 
2 4 6
4 5 6
3 1 2
18
24
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
|
|
|
RR11		
1111
22 11
22 22 44
RR
RR RR
 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
4 5 6
3 1 2
9
24
42
|
|
|
		 22 RRRR
RR RR RR
11
33 33 1133		 22
 	
� 1 2 3
0 3 6
0 5 11
9
12
23
2 2
2 2
2
2
|
|
|��
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
�
�
RR RR22
11
33 22
		
1 2 3
0 1 2
0 5 11
9
4
232 2
|
|
|
��
�
�
�
�
�
�
�
 	
RR RR RR
RR RR RR
11 11 22
33 33 22
22
55
		
		
22
11
1 0 1
0 1 2
0 0
2
2 11
1
4
3
|
|
| 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
1 0 1
0 1 2
0 0 1
|
|
|
2
 	
RR RR33 33		 22
11
4
3
1 0 0
0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
RR RR RR
RR RR RR
11 11 33
22 22 3322
		
		
11
22
00 0 1
4
2
3
|
|
|
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
De nuevo se puede �ver� de inmediato que la solución es x1 5 4, x2 5 2 2, x3 5 3. 
REDUCCIÓN 
POR RENGLONES
 EJEMPLO 2 Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
nœmero in�nito de soluciones
Resuelva el sistema
2x1 1 4x2 1 6x3 5 18
4x1 1 5x2 1 6x3 5 24
2x1 1 7x2 1 12x3 5 30
 Solución Para resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1, esto es, primero se escribe el sistema 
como una matriz aumentada:
2 4 6
4 5 6
2 7 12
18
24
30
|
|
|
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
DespuØs se obtiene, sucesivamente,
 	
�
�
�
�
�
�
RR RR11
11
22 11
		
1 2 3
4 5 6
2 7 12
9
24
30
|
|
| ��
�
�
�
 	
RR RR RR
RR RR RR
22 22 11
33 33 11
44
22
		
		
22
22
1 2 3
0 3 6
0 3 6
2 2
|
|
|
99
12
12
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
0 1 2
0 3 6
9
4
 	
RR RR22
11
33 22
		
|
|
| 112
1 0 1
0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
RR RR RR
RR RR RR
11 11 22
33 33 22
22
33
		
		
22
22
2
22
0 0 0
1
4
0
|
|
|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Esto es equivalente al sistema de ecuaciones
 x1 2 x3 5 1
 x2 1 2x3 5 4
Hasta aquí se puede llegar. Se tienen sólo dos ecuaciones para las tres incógnitas x1, x2, x3 y 
existe un nœmero in�nito de soluciones. Para comprobar esto se elige un valor de x3. Entonces 
x2 5 4 2 2x3 y x1 5 1 1 x3. Ésta serÆ una solución para cualquier nœmero x3. Se escribe esta 
solución en la forma (1 1 x3, 4 2 2x3, x3). Por ejemplo, si x3 5 0, se obtiene la solución (1, 4, 
0). Para x3 5 10 se obtiene la solución (11, 2 16, 10), y por ello para cada valor de x3 habrÆ una 
solución distinta. 
 EJEMPLO 3 Sistema inconsistente 
Resuelva el sistema
 
 2x2 1 3x3 5 4
2x1 2 6x2 1 7x3 5 15
x1 2 2x2 1 5x3 5 10
 (6)
 Solución La matriz aumentada para este sistema es
0 2 3
2 6 7
1 2 5
4
15
10
2
2
|
|
|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
El elemento 1,1 de la matriz no se puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0 por cual-
quier nœmero real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operación elemental con 
1.3 m ecuaciones con n incógnitas 11
12 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
renglones iii ) para obtener un nœmero distinto a cero en la posición 1,1. Se puede intercambiar 
el renglón 1 con cualquiera de los otros dos; sin embargo, al intercambiar los renglones 1 y 3 
queda un 1 en esa posición. Al hacerlo se obtiene lo siguiente:
0 2 3
2 6 7
1 2 5
4
15
10
1 2 5
22
2
2|
|
|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
R R1 3�Q 22
2
6 7
0 2 3
10
15
4
1 2|
|
|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
R R R2 2 12		 22
55
0 2 3
0 2 3
10
5
4
2 2 2
|
|
|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Es necesario detenerse aquí porque, como se ve, las œltimas dos ecuaciones son
2 2x2 2 3x3 5 2 5
 2x2 1 3x3 5 4
lo cual es imposible (si 2 2x2 2 3x3 5 2 5, entonces 2x2 1 3x3 5 5, no 4). Así no hay una 
solución. Se puede proceder como en los œltimos dos ejemplos para obtener una forma mÆs 
estÆndar:
1 22
 	
R R2
1
2 2
		
55 10
0 1
0 2 3 4
3
2
5
2
|
|
|
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
R R R
R R
1 1 2
3 3
2
2
		
		
11
22 RR2
 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 0 8 15
0 1
0 0 0 1
3
2
5
2
|
|
| 2
Ahora la œltima ecuación es 0x1 1 0x2 1 0x3 5 2 1, lo cual tambiØn es imposible ya que 0 Z 2 1. 
Así, el sistema (6) no tiene solución. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.
 DEFINICIÓN 1 Sistemas inconsistentes y consistentes 
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución. Se 
dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente. 
Se analizarÆn de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1 se comenzó con la matriz de coe�-
cientes
A1
2 4 6
4 5 6
3 1 2
5
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
En el proceso de reducción por renglones, A1 se �redujo� a la matriz
R1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
En el ejemplo 2 se comenzó con
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A2
2 4 6
4 5 6
2 7 12
5
y se terminó con
�
�
�
�R2
1 0 1
0 1 2
0 0 0
5
2
��
�
�
�
�
�
En el ejemplo 3 se comenzó con 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A3
0 2 3
2 6 7
1 2 5
5 2
2
y se terminó con
R3
3
2
1 0 8
0 1
0 0
5
00
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Las matrices R1, R2, R3 se llaman formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices A1, 
A2 y A3 respectivamente. En general, se tiene la siguiente de�nición:
 DEFINICIÓN 2 Forma escalonada reducida por renglones y pivote 
Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las 
siguientes condiciones:
 i. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la par-
te inferior de la matriz.
 ii. El primer nœmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier 
renglón cuyos elementos no todos son cero es 1.
 iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el 
renglón de abajo estÆ mÆs hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.
 iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en el resto de 
sus elementos. El primer nœmero diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama 
pivote para ese renglón. 
Nota. La condición iii ) se puede reescribir como �el pivote en cualquier renglón estÆ a la dere-
cha del pivote del renglón anterior�.
 EJEMPLO 4 Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
Las siguientes matrices estÆn en la forma escalonada reducida por renglones:
i. 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 ii. 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 iii. 
1 0 00 5
0 0 1 2
�
��
�
��
 iv. 
1 0
0 1
�
��
�
��
 v. 
1 0 2 5
0 1 3 6
0 0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
Las matrices i y ii tienen tres pivotes; las otras tres matrices tienen dos pivotes. 
1.3 m ecuaciones con n incógnitas 13
14 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
 DEFINICIÓN 3 Forma escalonada por renglones 
Una matriz estÆ en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i), 
ii) y iii ) de la de�nición 2. 
 EJEMPLO 5 Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:
 i. 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
0 1 5
0 0 1
 ii. 
�
�
�
�
�
�
�
1 1 6 4
0 1 2 8
0 0 0 1
2
2 ���
�
iii. 
�
��
�
��
1 0 2 5
0 0 1 2
 iv. 
�
��
�
��
1 2
0 1
 v. 
�
�
�
1 3 2 5
0 1 3 6
0 0 0 0
��
�
�
�
�
�
�
Nota. Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es œnica. Es decir, 
una matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a mÆs de una matriz en forma escalonada 
por renglones. Por ejemplo
A5
2 21 3 2 5
0 1 3 6
0 0 0 0
1 2 1 1
0 1 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
R R R1 1 2		 22 66
0 0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 B
muestra que las dos matrices anteriores, ambas en forma escalonada por renglones, son equiva-
lentes por renglones. Así, cualquier matriz para la que A es una forma escalonada por renglo-
nes, tambiØn tiene a B como forma escalonada por renglones. 
Observación 1. La diferencia entre estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos. 
En la forma escalonada por renglones, todos los nœmeros abajo del primer 1 en un renglón 
son cero. En la forma escalonada reducida por renglones, todos los nœmeros abajo y arriba del 
primer 1 de un renglón son cero. Así, la forma escalonada reducida por renglones es mÆs exclu-
siva. Esto es, en toda matriz en forma escalonada reducida por renglones se encuentra tambiØn 
la forma escalonada por renglones, pero el inverso no es cierto. 
Observación 2. Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglo-
nes o a la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones. 
Esta reducción se vio al obtener la forma escalonada reducida por renglones en los ejemplos 
1, 2 y 3. 
Como se vio en los ejemplos 1, 2 y 3, existe una fuerte relación entre la forma escalonada 
reducida por renglones y la existencia de la solución œnica para el sistema. En el ejemplo 1 
dicha forma para la matriz de coe�cientes (es decir, en la primeras tres columnas de la matriz 
aumentada) tenían un 1 en cada renglón y existía una solución œnica. En los ejemplos 2 y 3 la 
forma escalonada reducida por renglones de la matriz de coe�cientes tenía un renglón de ceros 
y el sistema no tenía solución o tenía un nœmero in�nito de soluciones. Esto siempre es cierto 
en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo nœmero de ecuaciones e incógnitas. Pero antes 
de estudiar el caso general se analizarÆ la utilidad de la forma escalonada por renglones de una 
matriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo 1 reduciendo la matriz de coe�cientes a esta 
forma.
 EJEMPLO 6 Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
Resuelva el sistema del ejemplo 1 reduciendo la matriz de coe�cientes a la forma escalonada
por renglones.
 Solución Se comienza como antes:
2 4 6
4 5 6
3 1 2
18
24
4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2
|
|
|
R11
1
2 1
		 R
 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
4 5 6
3 1 2
9
24
42
|
|
|
2 2 4		R R R22 11
3 3 13R R R		 22
 	
�
�
�
�
�
�1 2 3
0 3 6
0 5 11
9
12
23
2 2
2 2
2
2
|
|
| ��
�
�
�
 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
R R2
1
3 2
		
1 2 3
0 1 2
0 5 11
9
4
232 2
|
|
|
Hasta aquí, este proceso es idØntico al anterior; pero ahora sólo se hace cero el nœmero (2 5) 
que estÆ abajo del primer 1 en el segundo renglón:
R33 3 2 35		 	 	R R R R1
2 2
 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
0 1 2
0 0 1
9
4
3
|
|
|
22 33
 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2 3
0 1 2
0 0 1
9
4
3
|
|
|
La matriz aumentada del sistema (y los coe�cientes de la matriz) se encuentran ahora en 
la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que x3 5 3. DespuØs se usa la 
sustitución hacia atrÆs para despejar primero x2 y despuØs x1. La segunda ecuación queda x2 1 
2x3 5 4. Entonces x2 1 2(3) 5 4 y x2 5 2 2. De igual manera, de la primera ecuación se obtiene 
x1 1 2(2 2) 1 3(3) 5 9 o x1 5 4. Así, de nuevo se obtiene la solución (4, 2 2, 3). El mØtodo de 
solución que se acaba de emplear se llama eliminación gaussiana.
Se cuenta con dos mØtodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:
i. Eliminación de Gauss-Jordan
 Se reduce por renglón la matriz de coe�cientes a la forma escalonada reducida por 
renglones usando el procedimiento descrito en la pÆgina 9.
ii. Eliminación gaussiana
 Se reduce por renglón la matriz de coe�cientes a la forma escalonada por renglones, 
se despeja el valor de la œltima incógnita y despuØs se usa la sustitución hacia atrÆs 
para las demÆs incógnitas. 
¿CuÆl mØtodo es mÆs œtil? Depende. Al resolver sistemas de ecuaciones en una computadora 
se pre�ere el mØtodo de eliminación gaussiana porque signi�ca menos operaciones elementales 
con renglones. De hecho, como se verÆ en el apØndice 3, para resolver un sistema de n ecuacio-
nes con n incógnitas usando la eliminación de Gauss-Jordan se requieren aproximadamente 
n3/2 sumas y multiplicaciones, mientras que la eliminación gaussiana requiere sólo n3/3 sumas y 
multiplicaciones. La solución numØrica de los sistemas de ecuaciones se estudiarÆ en el apØndi-
ce 4. Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones de 
una matriz (una de Østas se estudia en la sección 1.8). En estos casos la eliminación de Gauss- 
Jordan es el mØtodo preferido. 
SUSTITUCIÓN 
HACIA ATR`S
ELIMINACIÓN 
GAUSSIANA
1.3 m ecuaciones con n incógnitas 15
16 CAP˝TULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Ahora se observa la solución de un sistema general de m ecuaciones con n incógnitas. La 
mayor parte de las soluciones de los sistemas se harÆ mediante la eliminación de Gauss-Jordan 
debido a que en la sección 1.8 esto se necesitarÆ. Debe tenerse en mente, sin embargo, que la 
eliminación gaussiana suele ser un enfoque mÆs conveniente.
El sistema general m 3 n de m ecuaciones con n incógnitas estÆ dado por
 
a x a x a x a x b
a x a x a
n n11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23
1 1 1 1 5
1 1
�!
xx a x b
a x a x a x a x b
n n
n n
3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 5
1 1 1 1 5
�!
�!
� " � "� " � " � " � " � "
�!a x a x a x a x bm m m mn n m1 1 2 2 3 31 1 1 1 5
 (7)
En el sistema (7) todos los coe�cientes a y b son nœmeros reales dados. El problema es encontrar 
todos los conjuntos de n nœmeros, denotados por (x1, x2, x3, . . . xn), que satisfacen cada una de 
las m ecuaciones en (7). El nœmero aij es el coe�ciente de la variable x j en la i-Øsima ecuación. 
Es posible resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas haciendo uso de la elimi-
nación de Gauss-Jordan o gaussiana. Enseguida se proporciona un ejemplo en el que el nœmero 
de ecuaciones e incógnitas es diferente. 
 EJEMPLO 7 Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
 Resuelva el sistema
 x1 1 3x2 2 5x3 1 x4 5 4
2x1 1 5x2 2 2x3 1 4x4 5 6
 Solución Este sistema se escribe como una matriz aumentada y se reduce por renglones:
1 3 5 1
2 5 2 4
4
6
1 3 5 1
0 1 8 2
2
2
2
2
|
|
|
|
�
�
�
�
�
� 
 	
R R R2 2 12		 22 44
22
�
�
�
�
�
�
1 3 5 1
0 1 8 2
4
2
2
2 2
 	
�
�
�
�
�
�
R R R R2 2 1 1		 	 	22 |
|
2222 3 2R
 	
�
�
�
�
�
�
1 0 19 7
0 1 8 2
2
22 2
2|
|
Hasta aquí se puede llegar. La matriz de coe�ciente se encuentra en forma escalonada y redu-
cida por renglones. Es evidente que existe un nœmero in�nito de soluciones. Los valores de las 
variables x3 y x4 se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces x2 5 2 1 8x3 1 2x4 y x1 5 
2 2 2 19x3 2 7x4. Por lo tanto, todas las soluciones se representan por (2 2 2 19x3 2 7x4, 2 1 8x3 
1 2x4, x3, x4). Por ejemplo, si x3 5 1 y x4 5 2 se obtiene la solución (2 35, 14, 1, 2). 
Al resolver muchos sistemas, es evidente que los cÆlculos se vuelven fastidiosos. Un buen mØ-
todo prÆctico es usar una calculadora o computadora siempre que las fracciones se compliquen. 
Debe hacerse notar, sin embargo, que si los cÆlculos se llevan a cabo en una computadora o cal-
culadora pueden introducirse errores de �redondeo�. Este problema se analiza en el apØndice 3.
 EJEMPLO 8 Un problema de administración de recursos
Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que 
alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio 
de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de 
la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. 
Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1 
unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporcionan al lago 25 000 unidades 
del alimento 1, 20 000 unidades del alimento 2 y 55 000 del 3. Si suponemos que los peces se 
comen todo el alimento ¿cuÆntos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
 Solución Sean x1, x2 y x3 el nœmero de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si utilizamos 
la información del problema, se observa que x1 peces de la especie 1 consumen x1 unidades del 
alimento 1, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades del alimento 1 y x3 peces de la espe-
cie 3 consumen 2x3 unidades del alimento 1. Entonces, x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000 5 suministro 
total por semana de alimento 1. Si se obtiene una ecuación similar para los otros dos alimentos 
se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
 x1 1 3x2 1 2x3 5 25 000
 x1 1 4x2 1 x3 5 20 000
2x1 1 5x2 1 5x3 5 55 000
DespuØs de resolver se obtiene
1 3 2
1 4 1
2 5 5
|
|
|
225 000
20 000
55 000
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 	
R R R
R R R
2 2 1
3 3 12
		
		
22
22
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2
0 1 1
0 1 1
25 000
5 000
5 000
2
2
2
|
|
|
R R1 1		 22 33 2
3 3 2
R
R R R		 11
 	
�
�
�
�
�
1 0 5
0 1 1
0 0 0
40 000
5 000
0
2 2
|
|
|
��
�
�
�
�
Por consiguiente, si x3 se elige arbitrariamente, se tiene un nœmero in�nito de soluciones dada 
por (40 000 2 5x3, x3 2 5 000, x3). Por supuesto, se debe tener x1 $ 0, x2 $ 0 y x3 $ 0. Como x2 
5 x3 2 5 000 $ 0, se tiene x3 $ 5 000. Esto signi�ca que 0 # x1 # 40 000 2 5(5 000) 5 15 000. 
Por œltimo, como 40 000 2 5x3 $ 0, se tiene que x3 # 8 000. Esto signi�ca que las poblaciones 
que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son
x1 5 40 000 2 5x3
x2 5 x3 2 5 000
5 000 # x3 # 8 000
Por ejemplo, si x3 5 6 000, entonces x1 5 10 000 y x2 5 1 000.
Nota. El sistema de ecuaciones tiene un nœmero in�nito de soluciones. Sin embargo, el proble-
ma de administración de recursos tiene sólo un nœmero �nito de soluciones porque x1, x2 y x3 
deben ser enteros positivos y existen nada mÆs 3 001 enteros en el intervalo [5 000, 8 000]. (Por 
ejemplo, no puede haber 5 237.578 peces.)
 AN`LISIS