U12 pp 276 sistemas de numeración

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Sistema de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como: o
donde:
 es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, hexadecimal, etc.).
 es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el
binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
 son las reglas que nos indican qué números y qué operaciones son válidos en el sistema, y cuáles no. En un
sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, que la numeración romana requiere reglas
algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes, para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir
números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de
símbolos que se pueden representar en dicho sistema.
Definición
Clasificación
Sistema de enumeración
Sistemas de numeración posicionales
Teorema fundamental de la numeración
Ejemplo en el sistema decimal
Ejemplo en el sistema binario
Véase también
Referencias
Bibliografía
Se conoce como un sistema de numeración un conjunto finito de símbolos que se emplea con algún método para asignar
numerales , o símbolos numéricos, a los números. Hay diversos sistemas que han sido, o son actualmente empleados. Lo que
interesa son los principios y conceptos implicados que las particularidades sistémicas. El número de símbolos es finito, varía
desde dos hasta treinta o más en otros. 1 
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:
Índice
Definición
Clasificación
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_inferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicional
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_romana
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema
https://es.wikipedia.org/wiki/Sub%C3%ADndice
https://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_posicional
En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición
(columna) que ocupan en el número.
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo
utilizado, como de la posición que ese símbolo ocupa en el número.
Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales
poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 o 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en
algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.
Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba
de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con
la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los
usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20
(vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero (existen inscripciones datadas
hacia el año 36 a. C. que así lo atestiguan).
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si
un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y
que b unidades forman una unidad de orden superior.
Ejemplo en el sistema de numeración decimal
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si
queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto
añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una
unidad de primer orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.
De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos
(sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la
columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna
(centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.
El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a
la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y
se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por
hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas
de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema
binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema hexadecimal.
También los antiguos mayas tuvieron de numeración posicional el cual ya no se usa.
Sistema de enumeración
Sistemas de numeración posicionales
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_egipcia
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_babil%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Lengua_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeral_(ling%C3%BC%C3%ADstica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_romana
https://es.wikipedia.org/wiki/Mesoam%C3%A9rica
https://es.wikipedia.org/wiki/Cultura_maya
https://es.wikipedia.org/wiki/Azteca
https://es.wikipedia.org/wiki/Cifra_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_octal
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal
Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos
unas definiciones básicas:
, número válido en el sistema de numeración.
, base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
, un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
,: número de dígitos de la parte entera.
, coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su
parte fraccionaria.
,: número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de
base b es la siguiente:
El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que
ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base
(el número de símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.
 
 
 
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn-1 ... d2 d1 d0, toman el valor correspondiente a las
potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan
respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve
en el gráfico están colocados en las posiciones n-1..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.
Observar que las posiciones se numeran a partir de 0, desde derecha a izquierda, por lo que la uĺtima posición para un número de
n dígitos enteros, es n-1 y no n, ya que en ese caso sería de n+1 dígitos enteros. El uso de esta numeración a partir de 0 es de
utilidad, debido a que la potencia 0-ésima de cualquier número está definida como 1.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-
1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Teorema fundamental de la numeración
Ejemplo en el sistema decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:
Véase ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de
orden superior.
En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.
 
 
 
Siguiendo con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba, en este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso
del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo existen 2 símbolos {0,1} para construir todos
los números binarios.
En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de
un orden superior.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se han
agotado los símbolos disponibles para esa columna, y se deben poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, contando en binario, tras el número viene el , pero si se cuenta una unidad más se debe usar otra columna, resultando 
.
Se sigue contando , , , . Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha
agotado los símbolos disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también se agotan los
símbolos disponibles para esa columna, y se deben formar una unidad de tercer orden o . Así, en el sistema binario 
.
Ejemplos:
El número está formado por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos
tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la
izquierda) representa un valor de , el segundo de y el tercero de , dando como resultado el
valor del número: .
Sistema de numeración binario
Sistema de numeración decimal
Sistema de numeración octal
Sistema hexadecimal
Sistema duodecimal
Sistema alfanumérico
Base64
Numeración romana
Numeración egipcia
Numeración maya
Sistema sexagesimal
Ejemplo en el sistema binario
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_binario
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_octal
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_duodecimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_alfanum%C3%A9rico
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_alfanum%C3%A9rico
https://es.wikipedia.org/wiki/Base64
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_romana
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_egipcia
https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_maya
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal
1. John A. Peterson: Teoría de la aritmética, Limusa, Editores Noriega , México/ décima reimpresión
Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley,
1999. ISBN 0-471-37568-3.
D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, "Positional
Number Systems".
A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the
Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and
Chicago, 1997.
Hans J. Nissen, P. Damerow, R. Englund, Archaic Bookkeeping, University of Chicago Press, 1993, ISBN 0-226-
58659-6.
Denise Schmandt-Besserat, How Writing Came About, Universidad de texas, 1992, ISBN 0-292-77704-3.
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Referencias
Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0471375683
https://es.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Addison%E2%80%93Wesley&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=A.L._Kroeber&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/University_of_Chicago_Press
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0226586596
https://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_texas
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0292777043
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