funciones-exponenciales-y-logaritmicas

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FuncionesFunciones exponencialesexponenciales
yy logaritmicaslogaritmicas
FuncionesFunciones exponencialesexponenciales
yy logaritmicaslogaritmicas
1
Doc. Luis Hernando Carmona RDoc. Luis Hernando Carmona R
FuncionesFunciones ExponencialesExponenciales
22
EjemplosEjemplos::
xxf 2)( 
Es una función exponencial con base 2.
82)3( 3 f
Veamos con la rapidez que crece:
3
82)3( 3 f
10242)10( 10 f
824,741,073,12)30( 30 f
FuncionesFunciones ExponencialesExponenciales
La función exponencial con base a se
define para todos los números reales x por:
xaxf )(
donde 0;0  aa
4
donde 0;0  aa
Ejemplos de funciones exponenciales:
xxf 2)( 
xxh 3)( 
xxq 10)( 
Base 2 Base 3 Base 10
FunciónFunción ExponencialExponencial NaturalNatural
LaLa funciónfunción exponencialexponencial naturalnatural eses lala funciónfunción exponencialexponencial
xexf )(
con base ee. Es común referirse a ella como la función exponencial.
5
xexf )(
EjemploEjemplo::
ModeloModelo exponencialexponencial parapara lala diseminacióndiseminación de un virusde un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una
ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el
número de personas que ha sucumbido al virus se modela
mediante la función:
te
tv
97.012455
10000
)( 

6
te
tv
97.012455
10000
)( 

Contesta:
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un
día y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
SoluciónSolución::
EjemploEjemplo anterioranterior
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
8
1250
10000
12455
10000
)(
0



e
tv
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y
cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
7
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y
cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días Personas infectadas
1 21
2 54
5 678
SoluciónSolución::
EjemploEjemplo anterior (cont)anterior (cont)
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
2000
8
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego
se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
0 12
FuncionesFunciones LogarítmicasLogarítmicas
9
DefiniciónDefinición
de lade la funciónfunción logarítmicalogarítmica
• Sea a un número positivo con . La
función logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debe
elevar la base a para que de el número x.
1a
alog
xayx ya log
• Sea a un número positivo con . La
función logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debe
elevar la base a para que de el número x.
10
xayx ya log
xalog
ComparaciónComparación
Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
xa y 
Logarítmica: Exponencial:
yxa log
Exponente Exponente
11
xa y yxa log
Base Base
En ambas formas la base es la misma..
EjemploEjemplo
FormasFormas logarítmicaslogarítmicas yy exponencialesexponenciales
FormaForma LogarítmicaLogarítmica FormaForma ExponencialExponencial
5100000log10 
38log2 
100000105 
823 
12
38log2 
3
2
1
log2 
rs 5log
823 
8
132 
sr 5
PropiedadPropiedad de losde los logarítmoslogarítmos
Propiedad Razón
Se debe elevar a a la potencia 0
para obtener 1.
01log a
1log aa
© copywriter 13
Se debe elevar a a la potencia 1
para obtener a.
Se debe elevar a a la potencia x
para obtener .
es la potencia a la cual se
debe elevar a para obtener x.
xalog
1log aa
xa xa log
xa xa log
EjemploEjemplo
AplicaciónAplicación dede laslas propiedadespropiedades logarítmicaslogarítmicas
125
85log
15log
01log
12log
8
5
5
5
5 


 Propiedad 1
Propiedad 2
14
125
85log
15log
01log
12log
8
5
5
5
5 



Propiedad 3
Propiedad 4
EjemploEjemplo
GraficaciónGraficación dede funcionesfunciones logarítmicaslogarítmicas
xxf 2log)( 
Traza la gráfica de
Solución:
xxf 2log)( 
x
3
x2log
32
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x
como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus
logaritmos.
15
xxf 2log)( 3
2
1
0
-1
-2
-3
32
22
12
120 
12
22
32
FamiliaFamilia dede FuncionesFunciones
LogarítmicasLogarítmicas
xy 2log
xy 3log
xy 10log
xy 5log
16
LogarítmosLogarítmos ComunesComunes
VeamosVeamos logarítmoslogarítmos con base 10con base 10
Definición:
LogarítmoLogarítmo comúncomún
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se
denota omitiendo la base:
17
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se
denota omitiendo la base:
xx 10loglog 
De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
log 10 = 1
log 100 = 2
Cómo se calcula log 50?
No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 es
demasiado grande.
5010 y
18
250log1 
Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los
valores de manera directa de los logaritmos comunes.
Propiedades de los logarítmos naturales
Propiedad Razón
xe
xe
e
x
x




ln
ln
1ln
01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0
para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1
para obtener e.
19
xe
xe
e
x
x




ln
ln
1ln
01ln
ln x es la potencia a la cual e debe
ser elevada para obtener x.
Se tiene que elevar e a la potencia x
para obtener .xe
FuncionesFunciones LogarítmicasLogarítmicas
20
LeyesLeyes de losde los logarítmoslogarítmos
Leyes de los logarítmos
Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números
reales cualesquiera con .
Ley Descripción
1a
00  yBA
  ACA
BA
B
A
BAAB
a
c
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1







 El logarítmos de un producto de
números es la suma de los
logarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente de
números es la diferencia de los
logarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia de
un número es el exponente
multiplicado por el logarítmo de
número.
21
  ACA
BA
B
A
BAAB
a
c
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1







 El logarítmos de un producto de
números es la suma de los
logarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente de
números es la diferencia de los
logarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia de
un número es el exponente
multiplicado por el logarítmo de
número.
EjemploEjemplo
UsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
Evalúe cada expresión:
8log
3
1
)
5log80log)
32log2log)
22
44



c
b
a
22
8log
3
1
)
5log80log)
32log2log)
22
44



c
b
a
EjemploEjemplo
UsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
364log
)32.2(log
4
4


32log2log) 44 a
23
BAAB aaa loglog)(log)1 
Propiedad utilizada:
EjemploEjemplo
UsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
5log80log) 22 b
416log
5
80
log
2
2


24
BA
B
A
aaa logloglog)2 





Propiedad utilizada:
EjemploEjemplo
UsoUso dede laslas leyesleyes de losde los logarítmoslogarítmos parapara evaluarevaluar expresionesexpresiones
8log
3
1
) c
301.0
)2log()1log(
2
1
log
2
1
2
1
8
1
8
1
log
8log
3 3331
3
1
















25
301.0
)2log()1log(
2
1
log
2
1
2
1
8
1
8
1
log
8log
3 3331
3
1
















  ACA aca loglog)3 
Propiedad utilizada:
EjemploEjemplo
ExpandirExpandir expresionesexpresiones logarítmicaslogarítmicas
Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada
expresión.
 






3
63
5
2
ln)
log)
)6(log)
c
ab
c
yxb
xa
cba
cba
cab
yx
yx
x
ln
3
1
lnln
lnlnln
ln)ln(
log6log3
loglog
log6log
31
3
55
3
5
3
522





 Ley 1
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3
26
 






3
63
5
2
ln)
log)
)6(log)
c
ab
c
yxb
xa
cba
cba
cab
yx
yx
x
ln
3
1
lnln
lnlnln
ln)ln(
log6log3
loglog
log6log
31
3
55
3
5
3
5
22





 Ley 1
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3
EjemploEjemplo
CombinarCombinar expresionesexpresiones logarítmicaslogarítmicas
)1log(
2
1
log3)  xxa
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
213
213
)1(log(
)1log(log


xx
xx
)1ln(4ln
2
1
ln3) 2  ttsb
27
)1ln(4ln
2
1
ln3) 2  ttsb
  












42
3
42213
42213
1
ln
)1ln()ln(
)1ln(lnln
t
ts
tts
tts
CambioCambio de basede base
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
xy blog
xb y 
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
28
  xb aya loglog 
xby aa loglog 
b
x
y
a
a
log
log

FórmulaFórmula dede cambiocambio de basede base
b
x
y
a
a
log
log

Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmula
se convierte en:
1log aa
29
b
a
a
b log
1
log 
FórmulaFórmula dede cambiocambio de basede base
EvaluarEvaluar logarítmoslogarítmos con lacon la fórmulafórmula dede cambiocambio de basede base
20log)
5log)
9
8
b
a
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
77398.0
8log
5log
5log
10
10
8 
Nota: Se tiene la
misma respuesta si
se usa ó ln.
10log
30
20log)
5log)
9
8
b
a
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
36342.1
9ln
20ln
20log9 
EcuacionesEcuaciones ExponencialesExponenciales yy
LogarítmicasLogarítmicas
EcuacionesEcuaciones ExponencialesExponenciales yy
LogarítmicasLogarítmicas
31
EcuacionesEcuaciones
exponencialesexponenciales yy logarítmicaslogarítmicas
• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en el
exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en
cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
72 x
• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en el
exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en
cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
32
72 x
EcuacionesEcuaciones
exponencialesexponenciales yy logarítmicaslogarítmicas
7ln2ln
7ln2ln


x
x
72 x
33
7ln2ln
7ln2ln


x
x
807.2
2ln
7ln
x
Recuerde la regla 3
NormasNormas parapara resolverresolver ecuacionesecuaciones exponencialesexponenciales
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
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Ejemplo
Resolver una ecuación exponencial
Encuentre la solución de:
Solución:
73 2 x
7log)3log( 2 x
73 2 x Si verificas en tu calculadora:
73 2)228756.0( 
35
7log)3log( 2 x
7log3log)2( x
3log
7log
)2( x
228756.02
3log
7log
x
EjemploEjemplo
ResoluciónResolución dede unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial
Resuelva la ecuación:
Solución:
208 2 xe
208 2 xe
8
202 xe
Ojo:
El, ln e = 1
Si verificas en tu calculadora:
208
)458.0(2 e
36
8
202 xe
5.2lnln 2 xe
5.2ln2 x
458.0
2
5.2ln
x
208
)458.0(2 e
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial en formaen forma algebraicaalgebraica yy hazhaz
lala gráficagráfica
Resuelva la ecuación: AlgebraicamenteAlgebraicamente
Solución (1):
423  xe
423  xe
  4lnln 23  xe
  4lnln23  ex
37
  4lnln23  ex
1
4ln23  x
4ln32 x
807.0)4ln3(
2
1
x
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial en formaen forma algebraicaalgebraica yy hazhaz
lala gráficagráfica
Resuelva la ecuación:
Solución (2):
Se gráfican las ecuaciones, y
423  xe
xey 23 4y
4
3
2
1
0
4y
38
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
4y
xey 23
EjemploEjemplo
UnaUna ecuaciónecuación exponencialexponencial dede tipotipo cuadráticocuadrático
Resuelva la ecuación:
Solución:
062  xx ee
062  xx ee
06)( 2  xx ee
39
0)2)(3(  xx ee
03 xe o 02 xe
3xe 2xe
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuaciónecuación exponencialexponencial
Resuelva la ecuación:
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
03 2  xx exxe
0)3(  xxex
03 2  xx exxe
Se divide entre
xe
40
0)3(  xx
0x 03  x
3x
Las soluciones son:
EcuacionesEcuaciones LogarítmicasLogarítmicas
Una ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la
variable.
5)2(log 2 x
3023222 5 x
Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada
la de ecuación.
41
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada
la de ecuación.
5)2(log 22 2 x
522 x
30232 x
Los pasos se resumen a continuación.
Normas para resolver ecuaciones logarítmicas
1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación;
podría ser necesario combinar primero los términos
logarítmicos.
2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base
a cada lado de la ecuación).
3) Despeje la variable.
42
1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación;
podría ser necesario combinar primero los términos
logarítmicos.
2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base
a cada lado de la ecuación).
3) Despeje la variable.
EjemploEjemplo
ResolverResolver ecuacionesecuaciones logarítmicaslogarítmicas
De cada ecuación despeje x.
3)25(log)
8ln)
2 

xb
xa
8ln x
8ex 
2981x
43
3)25(log)
8ln)
2 

xb
xa
3225  x
825  x
17825 x
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuacionecuacion logarítmicalogarítmica
Resuelva la ecuación: 16)2log(34  x
SoluciónSolución: Se: Se aíslaaísla primeroprimero elel términotérmino logarítmicologarítmico.. EstoEsto permitepermite
escribirescribir lala ecuaciónecuación en formaen forma exponencialexponencial..
16)2log(34  x
416)2log(3 x
44
16)2log(34  x
416)2log(3 x
12)2log(3 x
4)2log( x
4102 x
100002 x
5000x
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuaciónecuación logarítmicalogarítmica dede maneramanera
algebraicaalgebraica yy gráficagráfica
Resuelva la ecuación (1): 1)1log()2log(  xx
  1)1)(2(log  xx
10)1)(2(  xx
1022  xx
45
1022  xx
0122  xx
0)3)(4(  xx
3,4  xx
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuaciónecuación logarítmicalogarítmica dede maneramanera
algebraicaalgebraica yy gráficagráfica
Resuelva la gráfica (2): 01)1log()2log(  xx
1)1log()2log(  xxy
4
3
2
1
0
46
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
EjemploEjemplo
ResolverResolver unauna ecuaciónecuación dede maneramanera gráficagráfica
Resuelva la ecuación: )2ln(22  xx
SoluciónSolución:: PrimeroPrimero sese muevenmueven todostodos loslos términostérminos a una un ladolado de lade la
ecuaciónecuación..
0)2ln(22  xx
LuegoLuego sese hacehace lala gráficagráfica:: )2ln(22  xxy
47
LuegoLuego sese hacehace lala gráficagráfica:: )2ln(22  xxy
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 64 3 2 1