Hidraulica 4 Flujo Real en Tuberias. Segunda Parte

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Unidad IV.- Flujo Real en Tuberias. Segunda Parte
Introducción 
	En esta segunda parte de la Unidad IV usaremos los conceptos y ecuaciones para dar un paso adelante que lo llamaremos Análisis de Flujo Real en Tuberías. En esta segunda parte usaremos metodologías que nos proporciona la Hidráulica para manejar de una manera más eficiente el concepto de pérdidas de fricción y su aplicación a problemas reales de conducción de agua en nuestra realidad agropecuaria.
1.- Calculo de caudal y diámetro de tubería.
	En la parte 4.1 utilizamos la ecuación de Darcy y Weisbach, que sirve para cualquier fluído, para calcular las pérdidas de fricción por conducción de agua en una red de tuberías mediante la siguiente relación:
 
 en esta ecuación f factor de fricción sin unidades
		 L longitud en m; D diámetro de la tubería en m
	 V velocidad en m/s y g gravedad 9,81 m/s2
	 Esta ecuación nos permite por procedimiento iterativos es decir por un proceso de tanteo dirigido, no solo el valor de hf, sino también los valores del Caudal (Q), valores de Velocidad (V) o valores del Diámetro (D) de la tubería. No lo hacemos directamente con la ecuación, porque el valor de f factor de fricción a su vez fue a su vez estimado para un valor de V y de D en el Número de Reynold y el diámetro D en la rugosidad relativa. Es por eso que debemos usar otros procedimientos:
	1.1.- Caso tipo 1.- Este es el uso que le hemos dado a la ecuación de Darcy – Weisbach. Dado el tipo de fluído, el tipo de tubería, tamaño y plano de la red de tuberías el cálculo es directo, ya que f es único y sustituimos los valores en la ecuación:
 Ejemplo 1 .- Determine la perdida de fricción por una tubería de 30,5 metros de longitud y 10,16 cm de diámetro. La tubería es de hierro y fluye un caudal Q=0,029 m3/s de agua a 21 ° C. La viscosidad cinemática es 0,984 x 10 ⁻⁶. El valor de rugosidad e= 0,00026 m. 
· e/D = 0,00026 m/ 0,1016 m= 0,00256
· Velocidad= Q/Area= 0,029/(Pi*0,1016²/4)= 3,577
· Re=V*D/ν= 3,577*0.1016/(0,984 x 10 ⁻⁶)= 386621,99 = 3,9 x 10 ⁵
· f con el Grafico e/D= 0,00256 y Re=3,9 x 10 ⁵
f = 0,025 
hf= 0,025* 30,5 * (3,577²)/( 0,1016*2*9,81)= 4,894 m 
	1.2.- Caso tipo 2.- Dado el tipo de tubería, diámetro (D) y longitud de la tubería (L) y las pérdidas (hf). Determinar la descarga o caudal (Q) o la velocidad (V). En este caso tenemos que hacer un proceso iterativo (repeticiones) para en aproximaciones sucesivas obtener el valor buscado. En este caso podemos calcular e/D pero no Re ya que nos falta el valor de la velocidad y por lo tanto no sabemos el valor de f. 
	En general en este procedimiento hacemos sucesivas aproximaciones al valor de f hasta que logremos asegurarnos que en dos iteraciones el valor de f se mantiene. Para ello hacemos lo siguiente:
· Se calcula e/D
· Se asume que flujo es totalmente turbulento y se toma un valor de f
· Se resuelve V con la ecuación de pérdidas de fricción
· Se calcula Re con el anterior valor de V y se entra nuevamente al diagrama de Moody para el siguiente valor de f.
· Se repite el proceso hasta que no cambie el valor de f.
· Se obtiene el valor de Velocidad o el Caudal en la tubería.
Ejemplo 2.- Las perdidas por fricción en una tubería de 0,15 m de diámetro y longitud de 152, 4 m es igual a 9,1 m. El agua es de 15 ° C. La viscosidad cinemática es 1,131 x 10 ⁻⁶. El valor de rugosidad e= 0,000152 m. 
Primera Iteración
· Calculo e/D = 0,000152/0,15 m= 0,00101
· Entro al diagrama de Moody y tomo un valor de f =0,020
· Despejo la velocidad de la ecuación de pérdida de fricción
 
 V² = hf*D*2g / (f*L) = 9,1*0,15*2*9,81/(0,020*152,4)= 8,787 V=2,964
· Calculo Re =V*D/ν= 2,964*0,15/1,131 x 10 ⁻⁶.= 393131,57 = 3,93 x 10 ⁵
· Entro nuevamente al Diagrama de Moody con e/D = 0,001 y Re= 3,93 x 10 ⁵ y obtengo f=0,020
Segunda Iteración
· Despejo la velocidad de la ecuación de pérdida de fricción
 
 V² = hf*D*2g / (f*L) = 9,1*0,15*2*9,81/(0,020*152,4)=8,787 V=2,964
· Calculo Re =V*D/ν= 2,964*0,15/1,131 x 10 ⁻⁶.= 393141,57 = 3,93 x 10 ⁵
· Entro nuevamente al Diagrama de Moody con e/D = 0,001 y Re= 3,93 x 10 ⁵ y obtengo f=0,020, si hacemos una nueva iteración el valor de f=0,020 se repite por lo tanto el valor de f es 0,020
· Por lo tanto el valor de V es 2,964 y por la ecuación de continuidad Q=Vel*Area=
Q= 2,964*(PI*0,15²/4)= 0,0523 m3/s
(Nota hay que hacer por lo menos 2 iteraciones despues de la inicial)
1.3.- Caso Tipo 3.- Dado el tipo de tubería, Longitud (L), Tipo de fluído, Caudal (Q) y pérdidas por fricción (hf) encontrar el Diámetro de la Tubería (D). En este caso como nos falta el diámetro no podemos calcular e/D ni Re, por lo tanto debemos empezar asumiendo un valor de f. El procedimiento general es el siguiente:
- Se asume un valor de f. No es muy crítico
- Con ese valor de f y usando la ecuación de hf y la continuidad se estima un valor del diámetro :
Q= Area* Velocidad ………..despejando V=Q/A y si lo elevamos al cuadrado V²= Q²/A², siendo 
A²= π²D⁴/ 4², entonces tendremos V²= Q²/ (π²D⁴/ 4²)
Y si sustituimos en la ecuacion de hf el valor de V²
hf = f * L * Q²* 16 / ( D * 2 *g *π² *D⁴) luego en esta despejamos el valor de D y simplificando tenemos :
D= ( 8 * f *L * Q²/ π²*hf *g)⅕ ( El D es la cantidad entre paréntesis elevado a la ⅕)
· Con el valor de D del paso anterior calculo la Velocidad mediante V=Q/A
· Con el valor de V y de D calculo el Re
· Con el valor de D calculo e/D
· Con los valores de e/D y Re vuelvo a entrar al Diagrama de Moody y encuntro un nuevo valor de f y repito el proceso.
Ejemplo 3.- Tuberia de acero comercial que conduce un Q=0,283 m3/s. Agua a 10 °C. Longitud 457 m y hf= 12,2 m. ν= 1,31 x 10 ⁻⁶. Determinar el diámetro de la tubería con e=0,0046 cm.
	Primera iteración
· Se asume un valor de f= 0,02
· Se calcula el D con la ecuación obtenida
D=(8*f*457*0,283²/ π²*12,2 *9,81)⅕ = ( 0,248 f)⅕. (Nota conviene escrirbirlo así para facilitar los calculos, ya que lo único que va ir cambiando es el valor de f)
D=(0,248 * 0,020)⅕= 0,346 ( Para elevar a 1/5 se escribe en la calculadora( 0,248*0,020)^(1/5))
· Calculo la V. V= Q/A= (0,283/(π*D²/4))= (0,283/ (π*0,346²/4))= 3,01
· Calculo Re= V*D/ν=3,01 * 0,346/(1,31 x 10 ⁻⁶) = 794967,11 = 7,9 x 10 ⁵
· Calculo e/D= 0,000046 m/ 0,346 m= 0,000133 
· Con los anteriores valores de e/D y Re entro nuevamente al gráfico y f= 0,014
 Segunda iteración
 Se calcula el D con la ecuación obtenida
D=(8*f*457*0,283²/ π²*12,2 *9,81)⅕ = ( 0,248 f)⅕. (Nota conviene escrrbirlo así para facilitar los calculos, ya que lo único que va ir cambiando es el valor de f)
D=(0,248 * 0,014)⅕= 0,322 ( Para elevar a 1/5 se escribe en la calculadora( 0,248*0,014)^(1/5))
· Calculo la V. V= Q/A= (0,283/(π*D²/4))= (0,283/ (π*0,322²/4))= 3, 475
· Calculo Re= V*D/ν=3,475 * 0,346/(1,31 x 10 ⁻⁶) = 917887,83 = 9,2 x 10 ⁵
· Calculo e/D= 0,000046 m/ 0,322 m= 0,000143 
· Con los anteriores valores de e/D y Re entro nuevamente al gráfico y f= 0,0145
Tercera Iteración
Se calcula el D con la ecuación obtenida
D=(8*f*457*0,283²/ π²*12,2 *9,81)⅕ = ( 0,248 f)⅕. 
D=(0,248*0,0145)⅕=0,324(Para elevar a 1/5 se escribe en la calculadora( 0,248*0,0145)^(1/5))
· Calculo la V. V= Q/A= (0,283/(π*D²/4))= (0,283/ (π*0,324²/4))= 3, 432
· Calculo Re= V*D/ν=3,432 * 0,324/(1,31 x 10 ⁻⁶) = 848946,35 = 8,5 x 10 ⁵
· Calculo e/D= 0,000046 m/ 0,324 m= 0,000142 
· Con los anteriores valores de e/D y Re entro nuevamente al gráfico y f= 0,0143
Este valor de f= 0,0143 es casi similar al anterior f=0,0145, entonces detenemos la búsqueda y el valor del diámetro de la tubería es igual D=0,324 m
2.- Sistemas de aducción por gravedad.- 
	En esta aplicación utilizaremos los conceptos de flujo real en tuberías para resolver un sistema de aducción por gravedad que es muy común en los sistemas de riego de los andes venezolanos en los cuales la aducción y luego la presión de los aspersores es completamente a gravedad. También este sistema se emplea en los acueductos donde la aducción es por gravedad parallevar el agua desde el sitio de captación hasta los puntos de tratamiento y consumo como es parte del Sistema Tule-Manuelote.
	El esquema general del sistema de aducción es el siguiente: Dos tanques de almacenamiento conectados por una tubería ya sea una sola o dos conectadas en serie o en paralelo.
2.1.- Solución analítica
Para este sistema podemos aplicar la ecuación de energía de Bernoulli:
 PA/ɣ +ZA + VA²/ 2g = PB/ɣ + ZB + VB²/ 2g + hf (A-B) + hl (A-B). 
	Sustituyendo los valores ya conocido nos quedaría la anterior ecuación:
 0 + ZA metros + 0 = 0 + ZB metros + 0 + hf (A-B) + hl (A-B). 
 Reagrupando los términos ZA-ZB= ΔH
 hf (A-B) + hl (A-B). = ZA –ZB = 95 metros – 90 metros = 5 metros
 hf (A-B) + hl (A-B) = 5 metros= ΔH
 Si sustituimos los valores por sus respectivas ecuaciones de flujo real en tuberías tendríamos
 f*L*V²/2g*D + K*V²/2g = ΔH
 Sacando factor común V²/2g en las dos ecuaciones y despejando V nos quedaría.
 [ f*L/D + K ] V²/2g = ΔH
 V = 2g* ΔH/ (f*L/D + K)
 Para resolver esta ecuación estaríamos en el Caso Tipo II en el cual por un proceso iterativo deberíamos encontrar el valor de f y así encontrar el valor de V (Velocidad). Esta forma es poco práctica para su cálculo y no nos permitiría manejar el sistema para diferentes valores de disponibilidad de energía. 
	2.2.- Solución gráfica
 Este método consiste en la elaboración de una curva que representa el funcionamiento de la tubería para diferentes valores de pérdidas de presión (hf +hl). Dicha curva se obtiene mediante el ploteo de los caudales versus la perdida de presión y el caudal de operación se obtiene en la intercepción de la curva con la energía disponible.
 Para la obtención de los valores para el dibujo de la curva del sistema necesitaríamos dos ecuaciones:
· Ecuación de Darcy
 
 En esta ecuación despejamos el valor de f factor de fricción 
 
· Ecuación de Colebrook- White 
 
 
Sustituyendo el valor de f en la ecuación de Colebrook-White y despejando Velocidad ( V)
 
Lo interesante de esta ecuación que no aparece el factor f y sabemos todo menos el valor de hf, que lo podemos ir asignando para obtener valores de la velocidad y con la ecuación de continuidad el valor de caudal (Q). Cuando diseñamos normalmente asumimos un valor de hf que nos lo dicta la estrategia general del diseño y con ese valor calculamos la velocidad (Caso II) o el Diámetro (Caso III) y podemos con esta solución gráfica estudiar un sistema de aducción para riego o para suministro de poblaciones por gravedad.
	Procedimiento General
· Se calcula la Hdisponible( Energía disponible) para el sistema usando la ecuación de Bernoulli. En nuestro ejemplo la Hdisponible = ΔH osea la diferencia entre ZA-ZB
· Para valores crecientes de pérdidas por fricción (hf) asumidos, menores e iguales a la Hdisponible se calcula el valor de la Velocidad (V) usando la ecuación anterior.
· Se calculan los valores de caudal (Q) para cada valor de velocidad usando la ecuación de continuidad Q=A*V.
· Se calculan las pérdidas menores o locales (hl) para cada valor de velocidad,
· Se calcula la perdida total hf + hl. El valor de hf fue asumido para iniciar los cálculos.
· Se grafican los valores colocando el Q en el eje de las X y las pérdidas totales en el eje de las Y.
Ejemplo 4.- Realice la curva de operación del sistema representado por dos tanques abiertos unidos por una tubería simple ( Ver gráfico a inicio de este punto de la guía de estudio). La ZA= 95 metros y ZB=90 metros. La tubería es de hierro galvanizado e= 0,0152 cm, Diametro= 0,20 m y la longitud L= 50 m. La viscosidad cinematica (vc)= 1x10 ⁻⁶. La tubería tiene 4 puntos de perdidas menores: Una salida de un tanque, una entrada al otro tanque y dos codos de 90 °.
Solución:
1.- Hdisponible = ΔH ΔH= ZA-ZB= 95 m – 90 m = 5 m
2.- Valores crecientes de hf 1, 2, 3 y 5. 
3.- Calculo de la velocidad
 3.1.- Para hf= 1 ( Siempre empezamos por hf=1)
 
 (Nota cuando aparezca el signo de raíz cuadrada usaremos la palabra RAIZ como se usa en varios paquetes de computación. Sacaremos el valor de hf de la raíz para facilitar el calculo)). Transformaremos la ecuación con cálculos parciales para favorecer su solución
 
 V= - 2*RAIZ( 2g*D/L)*RAIZ(hf) * log (( e/3.71*D) + (2.51*vc/(D*RAIZ(2g*D/L)*RAIZ(hf))))
 RAIZ (2g*D/L)= RAIZ (2*9,81*0.20/50)= RAIZ DW (La llamamos asi para facilitar el calculo)
 V= - 2*RAIZ DW*RAIZ(1) * log ( (0,00015/3.71*0,20) + (2.51 *1x10 ⁻⁶/(0.20*RAIZ DW *RAIZ(1)))
 Siguiendo nuestros cálculos tenemos
 RAIZ DW = 0,2801428. Así mismo 0,00015/(3.71*0,20)=0,00020216. De igual manera (2.51 *1x10 ⁻⁶/(0.20*RAIZ DW) = 4,479858 x 10 Resumiendo para hf=1
 V = -2 * 0,2801428 *RAIZ(1) * log ( 0.00020216 + 4,4799 x10 ⁻⁵/RAIZ (1))
(Nota importante: De la ecuación primera complicada se redujo a la anterior, resolviendo los cálculos de manera parcial. El valor log significa logaritmo decimal no es lo mismo que ln que es logaritmo neperiano. Cuando escribimos RAIZ (1) estamos calculando la raíz cuadrada de hf, que en este primer paso es igual a 1).
 V= 2,02 m 
 4.- Calculo el valor de Q=Area * Velocidad
 Area= π*D²/4= π*0,20²/4= 0,03142
 Q = Area * Velocidad = 0,03142*2,02 = 0,06346 m3/s = 63,46 litros/s
 5.- Calculo de las perdidas menores o locales
 Accesorios sumatoria de K= Una salida + Una entrada + 2 codos de de 90 °= 0,5+1+2*0,90= 3,3
 hl = Sum de K * V²/2g = 3,30 * (2.02²/2*9,81)= 0,686
 6.- Cálculo de perdida total
 Perdida Total= hf + hl = 1 + 0,686 = 1,686 m
 Repitiendo el análisis seguimos ahora para hf=2
 3.2.- Velocidad para hf=2. 
 Usando la ecuación simplificada de velocidad tenemos:
 V= -2 * 0,2801428 *RAIZ(2) * log ( 0.00020216 + 4,4799 x10 ⁻⁵/RAIZ (2))
 V= 2,87 m/s
 4.- Calculo el valor de Q=Area * Velocidad
 Area= π*D²/4= π*0,20²/4= 0,03142
 Q = Area * Velocidad = 0,03142*2,87 = 0,09039 m3/s = 90,39 litros/s
 
 5.- Calculo de las perdidas menores o locales
 Accesorios sumatoria de K= Una salida + Una entrada + 2 codos de de 90 °= 0,5+1+2*0,90= 3,3
 hl = Sum de K * V²/2g = 3,30 * (2.87²/2*9,81)= 1,3854
 6.- Cálculo de pérdida total
 Pérdida Total= hf + hl = 2 + 1,38 54 = 3,3854 m
 Repitiendo el análisis para hf=3 y hf=5 podemos finalmente establecer los datos necesarios para construir el gráfico de operación del sistema.
 __hf(m)_________V(ms)_____________Q(m3/s)________hl(m)_________hf+hl(m)_
 1 2,02 0,063 0,69 1,69
 2 2,87 0,090 1,39 3,39
 3 3,53 0,111 2,10 5,10
 ___5___________4,57______________ 0,144___________3,51__________8,51___
Esta data fue generada igualmente usando la hoja de calculo EXCEL y así poder realizar el grafico respectivo.
	 Analisis de Flujo Real Tuberias 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Caso 1 Tubería Simple
	 
	 
	 
	
	Za
	95
	
	Accesorios
	K
	
	Zb
	90
	
	1 Entrada
	0,50
	
	Hdisponible
	5
	
	1 Salida
	1,00
	
	Diámetro
	0,2
	
	2 codos 90
	1,80
	
	Longitud
	50
	
	
	 
	
	e
	0,000152
	 
	Sumatoria K
	3,30Hf
	1
	2
	3
	5
	
	Velocidad
	2,017
	2,872
	3,528
	4,568
	
	Caudal (Q)
	0,063
	0,090
	0,111
	0,144
	
	Hl
	0,685
	1,388
	2,095
	3,513
	
	hf+hl
	1,685
	3,388
	5,095
	8,513
	
	
	
	
	
	
	
	DATOS GRAFICO
	 
	 
	 
	 
	 
	Caudal litros/seg
	0
	63,000
	90,000
	111,000
	144,000
	Perdida Total metros
	0
	1,685
	3,388
	5,095
	8,513
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Trabajo Practico 4.2.
Utilizando los conceptos relativos al análisis de flujo real en tuberías realice las siguientes determinaciones: 
Problema 1.- Una tubería de 12 pulgadas de acero comercial conduce agua a una temperatura de 15 °C ( vci = 1,14 x 10⁻⁶).La longitud de la tubería es 11 _ _ m. Encontrar el caudal que pasa por esa tubería si las pérdidas son iguales 52_ _ mm.
Problema 2.- Encontrar el diámetro de una tubería de hierro galvanizado el cual conduce un caudal de 0,2_ _ m3/s de agua a 10 °C (vci 1.31 x 10⁻⁶) y una pérdida de 12,_ _ 4 metros en una longitud _ _ 4 metros.
 Problema 3.- Para el siguiente sistema de aducción de gravedad realice la curva de operación con la siguiente información. ZA= 85 m y ZB= 79 m. Longitud de la tubería de conducción de acero comercial es 2_ _ m y el diámetro de la tubería es 1 _ mm. La tubería tiene 4 puntos de perdidas menores: Una salida de un tanque, una entrada al otro tanque un codo de 45 y otro de 90 °. Viscosidad cinemática para agua a 25 °C es 8,94 x 10⁻⁷, 
 3.2.- Utilizando el grafico elaborado en el punto anterior. Determine
 3.2.1.-¿ Cual es el caudal si las pérdidas totales son iguales 4,5 metros?
 3.2.2.- ¿Cuales son las perdidas totales si la tubería conduce el 60m % del máximo caudal posible en la tubería.?
 
 
 
Caudal - P. Total
Perdida Total metros	0	63	90	111	144	0	1.685287465543736	7	3.3884813352557721	5.0951599730070161	8.5133199689487586	Caudal
P. Total