Cl 7

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Unidad Temática 1: 
Unidad 3 
Distribución de Probabilidad 
Tema 9 
Distribución de Probabilidad 
Recordamos conceptos: 
Variable aleatoria: es aquella que se asocia un número o un dato 
probabilístico, como el resultado de un experimento aleatorio. 
 
Tipos de Variables: 
 Variable aleatoria cualitativa (nominal u ordinal) 
 Variable aleatoria cuantitativa (discreta) 
 Variable aleatoria cuantitativa (continua) 
 
MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUOS (clase pasada) 
 
Variable aleatorias cuantitativas continuas (proporcional o interválica) 
 Distribución Normal o Modelo de Gauss 
 



iX
z
Introducción: 
MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOS 
 
 El objetivo de éste capitulo de la estadística, es el de encontrar 
el Modelo Probabilístico que mejor describa a las variables cualitativas 
estudiadas en un experimento. 
 
 Por ejemplo: Caras de una moneda (C – S); Sexo (M – H); Caras 
del dado (1, 2, 3, 4, 5, y 6), etc. 
 
 Encontrar el Modelo probabilístico, significa encontrar una 
FUNCIÓN que pueda explicar a la variable aleatoria en estudio. 
 
Los más utilizados son los siguientes Modelos: 
 Distribución de Bernoulli 
 Distribución binomial 
 Distribución de Poisson 
Distribución de Probabilidad 
Distribución de Bernoulli 
Distribución de Probabilidad 
Distribución de probabilidad muy sencilla, con las siguientes 
características: 
 Se ejecuta una sola prueba, o lo que vale a decir una sola 
experiencia. 
 Dicha prueba tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso, 
y son mutuamente excluyentes uno de otro. 
 La probabilidad de éxito se la denota o describe con “p” y el 
fracaso con “q”. 
Ejemplo: 
 Se revisa un conjunto de 8 caninos con el objeto de observar si los 
mismos presentan (éxito) o no (fracaso) parásitos externos 
(pulgas). 
 Variable éxito = 1 
 Variable fracaso = 0 
 Se asigna con p a la probabilidad de éxito 
 Y con q = 1 - p a la probabilidad de fracaso 
Distribución de Bernoulli 
Distribución de Probabilidad 
La Tabla de Bernoulli, con los siguientes resultados: 
 
 
yi P (yi) Yi .P (yi) 
0 (fracaso) 0,25 0 
1 (éxito) 0,75 0,75 
Σ - 1 0,75 
Del experimento propuesto surge que 6 de los perros observados (n=8) 
están parasitados (75%), en tanto que el resto no presentaban pulgas: 
Cálculos de estadígrafos para ~Bernoulli: 
 E(Y) = p(yi) = 0,75 q = 1 – 0,75 = 0,25 
 
 μ(Y) = n.p = 8*0,75 = 6 
 
 σ2(Y) = n.p.q = 8*0,75*0,25 = 0,15 
 
 σ(Y) = n.p.q = 0,15 = 0,387 
Distribución Binomial 
Distribución de Probabilidad 
Supongamos que tomamos una muestra de n observaciones (Y1, Y2,… 
Yn), con el modelo de Bernoulli; es decir “éxito” o “fracaso”, pero cada 
dato observado (Yi) pueden tomar los dos valores de “1” éxito o “0” 
fracaso, en este caso la distribución es de tipo BINOMIAL, con las 
siguientes características: 
 Existe un número fijo o infinito de pruebas o experimentos. 
 Cada observación tiene solo dos resultados posibles; éxito o 
fracaso, que son mutuamente excluyentes, que representan el 
espacio muestral. 
 La probabilidad de éxito se describe por “p”, por lo tanto tendrá 
asociada una probabilidad de fracaso que será “q”. 
 Cada ensayo es estadísticamente independiente, es decir la 
ocurrencia de uno no influye sobre el otro. 
 Tiene asociados dos elementos a la distribución que son: el tamaño 
de la muestra “n” y el número de éxitos “x”. 
Distribución Binomial 
Ejemplo Lanzamiento de una moneda 
 
 
 
 
 
 
 
 Se lanza una moneda 1 vez (2 eventos o sucesos posibles) 
 éxito = cara fracaso = seca 
 
 
 
 
Evento (1c) p = 0,5 (1/2) 
Evento (1s) p = 0,5 (1/2) 
Distribución Binomial 
 Lanzamiento de una moneda 
 
 
 
 
 
 
 
 Se lanza una moneda dos veces (4 eventos o sucesos posibles) 
 
Evento (2c) p = 0,25 
 
 
Evento (1c1s o 1s1c) p = 0,5 o 
 
 
Evento (2s) p = 0,25 (1/4) 
 
Distribución Binomial 
Se lanza una moneda tres veces (8 eventos o sucesos posibles) 
 
Evento (3c) p = 0,125 (1/8) 
 
 
 
 
Evento (2c1s) p = 0,375 (3/8) 
 
 
 
 
Evento (2s1c) p = 0,375 (3/8) 
 
 
 
 
Evento (3s) p = 0,125 (1/8) 
Distribución Binomial 
Se lanza una moneda 1 vez (2 eventos o sucesos) 
 
 Evento (1c) p = 0,5 (1/2) 
 Evento (1s) p = 0,5 (1/2) 
Se lanza una moneda 2 veces (4 eventos o sucesos) 
Se lanza una moneda 3 veces (8 eventos o sucesos) 
C 
C 
C 
S 
S 
S 
CC 
CS 
SC 
SS 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
C 
C 
C 
S 
S 
S 
CCC 
CCS 
CSC 
CSS 
1/8 
1/8 
1/8 
1/8 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
SCC 
SCS 
SSC 
SSS 
1/8 
1/8 
1/8 
1/8 
EM = 2n 
 
21 = 2 
 
 
22 = 4 
 
 
 
 
23 = 8 
 
 
p = 0,5 X 0,5 = 0,25 
p = 0,5 X 0,5 X 0,5 
= 0,125 
Distribución Binomial 
Se lanza una moneda 4 veces 24 = 16 eventos posibles 
C 
S 
CCCC 
CCCS 
CCSC 
CCSS 
1/16 
1/16 
1/16 
1/16 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
CSCC 
CSCS 
CSSC 
CSSS 
1/16 
1/16 
1/16 
1/16 
SCCC 
SCCS 
SCSC 
SCSS 
1/16 
1/16 
1/16 
1/16 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
SSCC 
SSCS 
SSSC 
SSSS 
1/16 
1/16 
1/16 
1/16 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
C 
S 
4C: 1/16 
3C: 4/16 
2C: 6/16 
1C: 4/16 
0C: 1/16 
p = 0,5 X 0,5 X 0,5 X 0,5= 0,0625 
Distribución Binomial 
Para calcular las probabilidades para cualquier ejemplo aplicaremos la 
fórmula de la función de probabilidad para una variable aleatoria discreta 
con distribución Binomial: 
 
xnxxnx qp
xnx
n
qp
p
n
xf 








!!
!
)(
Podemos preguntarnos ¿Qué probabilidad tengo que al lanzar 4 
veces una moneda, 2 veces salgan caras? 
4C: 1/16 = 0,0625 
3C: 4/16 = 0,2500 
2C: 6/16 = 0,3750 
1C: 4/16 = 0,2500 
0C: 1/16 = 0,0625 
 
22 5,0.5,0.
!2!2
!4
)( xf
n= 4; x= 2; n-x= 2; p= 0,5; q = 0,5 
= 6 x 0,0625 = 0,375 
Distribución Binomial 
 
xnxxnx qp
xnx
n
qp
p
n
xf 








!!
!
)(
¿Qué probabilidad tengo de obtener 3 caras si lanzo 10 veces una 
moneda? 210 = 1024 eventos posibles 
10C: 1/1024 = 0,00098 
 
73 5,0.5,0.
!7!3
!10
)( xf
n= 10; x= 3; n-x= 7; p= 0,5; q = 0,5 
= 120 x 0,00098 = 0,1172 
9C: 10/1024 = 0,00977 
……………………….… 
…………………………. 
…………………….…… 
0C: 1/1024 = 0,00098 
TIRAR 1 VEZ LA MONEDA
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
1C 0 C
R ESU LT A D OS POSIB LES
TIRAR 2 VECES LA MONEDA
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
2C 1C 0C
RESULTADOS POSIBLES
TIRAR 3 VECES LA MONEDA
0
0 ,0 5
0 ,1
0 ,15
0 ,2
0 ,2 5
0 ,3
0 ,3 5
0 ,4
3 C 2 C 1C 0 C
R ESU LT A D OS POSIB LES
TIRAR 4 VECES LA MONEDA
0
0 ,0 5
0 ,1
0 ,15
0 ,2
0 ,2 5
0 ,3
0 ,3 5
0 ,4
4 C 3 C 2 C 1C 0 C
R ESU LTA D OS POSIB LES
TIRAR 5 VECES LA MONEDA
0
0 ,0 5
0 ,1
0 ,15
0 ,2
0 ,2 5
0 ,3
0 ,3 5
5C 4 C 3 C 2 C 1C 0 C
R ESU LTA D OS POSIB LES
TIRAR 10 VECES LA MONEDA
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
10C 9C 8C 7C 6C 5C 4C 3C 2C 1C 0C
RESULTADOS POSIBLES
TIRAR 20 VECES LA MONEDA
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
2
0
C
1
9
C
1
8
C
1
7
C
1
6
C
1
5
C
1
4
C
1
3
C
1
2
C
1
1
C
1
0
C
9
C
8
C
7
C
6
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
C
0
C
RESULTADOS POSIBLES
μ = n.p = 1 . 0,5 = 0,5 μ = n.p = 2 . 0,5 = 1 μ = n.p = 3 . 0,5 = 1,5 
μ = n.p = 4 . 0,5 = 2 μ = n.p = 5 . 0,5 = 2,5 μ = n.p = 10 . 0,5 = 5 
μ = n.p = 20 . 0,5 = 10 
n= 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
1
0
M
9
M
8
M
7
M
6
M
5
M
4
M
3
M
2
M
1
M
0
M
RESULTADOS POSIBLES
n= 5
0
0 ,0 5
0 ,1
0 ,15
0 ,2
0 ,2 5
0 ,3
0 ,3 5
0 ,4
0 ,4 5
5M 4 M 3 M 2 M 1M 0 M
R ESU LTA D OS POSIB LES
n=4
0
0 ,0 5
0 ,1
0 ,15
0 ,2
0 ,2 5
0 ,3
0 ,3 5
0 ,4
0 ,4 5
4 M 3 M 2 M 1M 0 M
R ESU LTA D OS POSIB LES
Distribución Binomial 
n = …. x = …. p = 0,2 q= 1-p = 0,8 
 
xnxxnx qp
xnx
n
qp
p
n
xf 








!!
!
)(
Estimar la probabilidad de ocurrencia de obtener múltiplos de 5 
en una serie cualquiera de números con un p=0,2 (solo los 
números terminados en 0 ó 5 sobre 10 eventosposibles), para 
un n=10, será: 
n= 1
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1M 0 M
R ESU LT A D OS POSIB LES
n= 2
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
2M 1M 0M
RESULTADOS POSIBLES
n= 3
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
3 M 2 M 1M 0 M
R ESU LT A D OS POSIB LES
n= 20
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
20
M
19
M
18
M
17
M
16
M
15
M
14
M
13
M
12
M
11
M
10
M 9M 8M 7M 6M 5M 4M 3M 2M 1M 0M
RESULTADOS POSIBLES
Particularidad de la Función Binomial 
Distribución Binomial 
Configuración de la distribución binomial: 
I. Si p = q = 0,50 la distribución binomial siempre será simétrica, 
independientemente del tamaño de n . 
II. Si p ≠ q, la distribución será asimétrica, cuando p > q; la asimetría 
será a la derecha y cuando p < q; la asimetría será a la izquierda. 
III. Cuando el tamaño de la muestra n tiende al infinito, la distribución 
binomial toma forma simétrica o normal. 
Esta particularidad nos permite estimar la probabilidad de una variable 
binomial mediante la distribución Z 



iX
z
Distribución Binomial 
¿Qué probabilidad tengo de obtener 3 caras si lanzo 10 veces una 
moneda? 210 = 1024 eventos posibles 
 
73 5,0.5,0.
!7!3
!10
)( xf
n= 10; x= 3; n-x= 7; p= 0,5; q = 0,5 
= 120 x 0,00098 = 0,1172 



iX
z
 μ = n.p = 10*0,5 = 5 
 σ2 = n.p.q = 10*0,5*0,5 = 2,5 
 σ = n.p.q = 2, 5 = 1,58 
Se calcula el intervalo para el Xi = 3 
58,1
55,2
5,2

z = -1,58 
58,1
55,3
5,3

z = - 0,95 
P (Z -1,58) = …. 
P (Z -0,95) = …. 
P (Xi = 3 ) = …. 
Distribución de Poisson 
Distribución de Probabilidad 
Esta distribución resulta aplicable a procesos donde hay una observación 
por unidad de tiempo o espacio, por ejemplo: N° de llamadas 
recibidas por minuto, N° de microorganismos por cm3, N° de bovinos 
tuberculosos por cada 10 que van a faena. 
Cuando a la unidad de tiempo o espacio la subdividimos en muchas 
parte (n muy grande), y la probabilidad de que ocurra un evento 
(éxito) es muy pequeña, entonces estamos ante una distribución de 
Poisson. 
Condiciones que debe reunir: 
 Existe un número fijo e infinito de pruebas. 
 Cada una de ellas tiene solo dos resultados posibles; éxito o fracaso. 
 El tamaño de la muestra es muy grande. 
 La probabilidad de éxito es muy pequeña.