Guía de Torrealba y Clavijo dibujo mecanico

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Prólogo 
 
 
Esta guía está pensada para impartirse en los cursos de Diseño de Elementos de Máquinas que son parte 
del programa de materias de Ingeniería Mecánica y otras carreras en la Universidad Simón Bolívar. El objetivo de la 
misma es presentar la materia de una manera actualizada y resumida. Para ello, se escribe en el texto toda la teoría 
inherente a cada tema incluyendo la información que generalmente se imparte en los salones de clase. 
El curso de “Diseño de Elementos de Máquinas 2” suele ser el primero donde se le presentan al estudiante 
retos de diseño y no problemas convencionales. Asimismo, en este curso se plantea el diseño de detalle conociendo 
de antemano la idea general, la aplicación y hasta la forma general del mecanismo requerido. La idea es utilizar la 
teoría como una herramienta de cálculo para definir la forma, el tamaño y el material de los componentes mecánicos, 
con la finalidad de que no fallen bajo las condiciones de carga y entorno que se esperan durante el servicio. 
Esta guía cubre la teoría de diseño y selección de componentes individuales de máquinas, y es la 
continuación de la “Guía de Elementos de Máquinas (Parte 1)”, razón por la cual los temas comienzan del número 7 
en adelante. En particular, en esta parte se cubren los temas de Engranajes, Rodamientos y Correas, así como el 
tema de Transmisiones, partiendo de los elementos estudiados con anterioridad. 
La tendencia en este tipo de cursos es que los textos se conviertan en “recetario de cocina” de temas 
diversos, lo cual se piensa que no prepara al estudiante para resolver otros tipos de problemas que no estén en las 
“recetas”. Sin embargo, va a depender del enfoque dado por el profesor para que el curso no desemboque en ello. 
En la Universidad Simón Bolívar siempre se busca que el estudiante cada vez que se sienta a resolver un problema 
de elementos de máquinas, se enfrente a uno distinto, pues se trata de abarcar no sólo el detalle sino la solución en 
sí del problema mecánico. 
Como se mencionó anteriormente, la presente guía se dedica netamente a la teoría y los autores están 
conscientes de ello. Estamos seguros que las críticas a la misma por parte de los estudiantes vendrán por el hecho 
de que no hay problemas para poder estudiar la materia del curso, por lo que actualmente se está preparando el 
complemento de la misma con ejemplos concretos y problemas seleccionados de acuerdo al nivel que se quiere 
impartir en la Universidad Simón Bolívar. 
 
 
Caracas, Septiembre 2004 
Andrés G. Clavijo Vargas 
Rafael R. Torrealba Algarra 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
Índice 
 
Prólogo...............................................................................................................1 
Índice..................................................................................................................2 
Engranajes.......................................................................................................10 
Engranajes Cilíndricos de Dientes Rectos......................................................... 10 
Generalidades ..................................................................................................... 10 
Nomenclatura y Fórmulas ................................................................................... 11 
Módulo................................................................................................................. 13 
Valores del Módulo Estandarizados .......................................................................... 13 
Valores del Paso Diametral Estandarizado ............................................................... 13 
Geometría de la Transmisión .............................................................................. 14 
Acción Conjugada...................................................................................................... 17 
Línea de Presión........................................................................................................ 18 
Relación de Contacto................................................................................................. 19 
Interferencia y Número Mínimo de Dientes en los Engranajes ................................. 22 
Diseño Rebajado..............................................................................................................23 
Diseño Corregido .............................................................................................................23 
Representación Gráfica de los Engranajes Rectos............................................. 25 
Fabricación de Engranajes.................................................................................. 27 
Conformado de Engranajes....................................................................................... 27 
Fundición .........................................................................................................................27 
Sinterizado .......................................................................................................................27 
Moldeo a Presión .............................................................................................................27 
Extrusión ..........................................................................................................................27 
Estirado en Frío................................................................................................................27 
Estampado.......................................................................................................................27 
Maquinado de Engranajes ......................................................................................... 27 
Procesos de Desbastado .................................................................................................27 
Fresado de Forma ....................................................................................................................27 
Generación por Cremallera.......................................................................................................28 
Conformación de Engranaje .....................................................................................................28 
Cabeza de Fresado ..................................................................................................................28 
Procesos de Terminado ...................................................................................................29 
Cepillado ...................................................................................................................................29 
Rectificado ................................................................................................................................29 
Bruñido......................................................................................................................................29 
Pulido y Rectificado ..................................................................................................................29 
Calidad del Engranaje................................................................................................ 29 
Diseño a Resistencia de Materiales .................................................................... 30 
Fuerzas en los Dientes de un Engranaje................................................................... 30 
 3 
Esfuerzos sobre los Dientes de los Engranajes ........................................................ 31 
Ecuación de Lewis ...........................................................................................................31 
Análisis de la Carga sobre el Diente según Lewis ...........................................................32 
Ecuaciones de la AGMA............................................................................................ 34 
Esfuerzos de Flexión........................................................................................................35Ka, Factor de sobrecarga o aplicación ......................................................................................35 
Kv, Factor dinámico ...................................................................................................................35 
Ks, Factor de tamaño ................................................................................................................37 
Km, Factor de distribución de carga ..........................................................................................37 
KB, Factor de espesor de borde ................................................................................................37 
KL, Factor de vida......................................................................................................................38 
KT, Factor de temperatura.........................................................................................................38 
KR, Factor de confiabilidad........................................................................................................38 
Sat, Esfuerzo permisible a flexión..............................................................................................38 
J, Factor geométrico de la resistencia a flexión ........................................................................39 
Esfuerzos Superficiales....................................................................................................41 
Cp, Coeficiente elástico .............................................................................................................41 
CF, Factor de acabado superficial .............................................................................................41 
CH, Factor de razón de dureza..................................................................................................41 
I, Factor geométrico a desgaste superficial .............................................................................42 
Sac, Esfuerzo permisible a desgaste..........................................................................................42 
Engranajes Cilíndricos de Dientes Helicoidales................................................ 43 
Generalidades ..................................................................................................... 43 
Geometría del Engranaje Helicoidal.................................................................... 45 
Relación de Contacto................................................................................................. 47 
Número Mínimo de Dientes en los Engranajes Helicoidales..................................... 47 
Línea de Presión........................................................................................................ 48 
Representación Gráfica de los Engranajes Helicoidales .................................... 49 
Diseño a Resistencia de Materiales .................................................................... 50 
Fuerzas en los Dientes de los Engranajes Helicoidales............................................ 50 
Ecuaciones de la AGMA............................................................................................ 51 
Esfuerzos de Flexión........................................................................................................51 
Esfuerzos Superficiales....................................................................................................51 
J, Factor geométrico de la resistencia por flexión.....................................................................51 
I, Factor geométrico a desgaste superficial ..............................................................................53 
Engranajes Cónicos ............................................................................................. 54 
Generalidades ..................................................................................................... 54 
Nomenclatura y Fórmulas ................................................................................... 55 
Geometría del Engranaje Cónico ........................................................................ 56 
Número Mínimo de Dientes en los Engranajes Cónicos ........................................... 56 
Representación Gráfica de los Engranajes Cónicos........................................... 57 
Diseño a Resistencia de Materiales .................................................................... 59 
Fuerzas en los dientes de un engranaje.................................................................... 59 
Ecuaciones de la AGMA............................................................................................ 61 
Esfuerzos de Flexión........................................................................................................61 
 4 
Esfuerzos Superficiales....................................................................................................61 
Kx, Factor de corrección en la forma del diente ........................................................................61 
Cxc, Factor de abombamiento ...................................................................................................61 
Cmd, Factor de montaje .............................................................................................................61 
TD, Torque de diseño del piñón.................................................................................................62 
N, Exponente de corrección......................................................................................................62 
J, Factor geométrico de la resistencia por flexión.....................................................................62 
I, Factor Geométrico de la Resistencia por Desgaste...............................................................63 
Tornillo Sinfín – Corona ....................................................................................... 65 
Generalidades ..................................................................................................... 65 
Ventajas ..................................................................................................................... 65 
Desventajas ............................................................................................................... 65 
Representación Gráfica del Tornillo Sinfín Corona ............................................. 66 
Nomenclatura y Geometría del Tornillo Sinfín-Corona ....................................... 67 
Relación de Transmisión ........................................................................................... 68 
Número Mínimo de Dientes en la Rueda................................................................... 68 
Diseño a Resistencia de Materiales .................................................................... 68 
Fuerzas en los Dientes del Tornillo Sinfín y la Rueda Helicoidal .............................. 68 
Eficiencia de la Transmisión ...................................................................................... 69 
Ecuaciones de la AGMA............................................................................................ 71 
Cm, Factor de corrección de razón.............................................................................................72 
Cv, Factor de velocidad .............................................................................................................72 
μ, Coeficiente de fricción (ft / min) ............................................................................................72 
Cs, Factor del material (para bronce según la AGMA)...............................................................72 
Rodamientos ...................................................................................................73 
Reseña Histórica ................................................................................................. 73 
Tipos de Rodamientos .........................................................................................74 
Rodamientos Rígidos de Bolas ........................................................................... 74 
Rodamientos de Bolas a Rótula .......................................................................... 74 
Rodamientos de Bolas con Contacto Angular..................................................... 74 
Rodamientos de Rodillos Cilíndricos................................................................... 75 
Rodamientos de Agujas ...................................................................................... 76 
Rodamientos de Rodillos a Rótula ...................................................................... 77 
Rodamientos de Rodillos Cónicos....................................................................... 78 
Rodamiento CARB .............................................................................................. 78 
Rodamientos Axiales de Bolas............................................................................ 80 
Rodamientos Axiales de Rodillos Cilíndricos ...................................................... 80 
Rodamientos Axiales de Agujas.......................................................................... 81 
Rodamientos Axiales de Rodillos a Rótula ......................................................... 81 
Fallas en Rodamientos......................................................................................... 85 
Causas de Fallas Prematuras en Rodamientos.................................................. 85 
Montaje deficiente ............................................................................................................85 
Lubricación insuficiente....................................................................................................85 
 5 
Contaminación .................................................................................................................85 
Sobrecarga ......................................................................................................................85 
Fatiga en Contacto Rodante................................................................................ 85 
Acumulación de esfuerzos residuales por variaciones sucesivas de la presión de 
contacto ........................................................................................................................................85 
Nucleación de grietas.......................................................................................................86 
Propagación de grietas ....................................................................................................86 
Materiales para Rodamientos .............................................................................. 86 
Aceros ................................................................................................................. 86 
Aceros de temple total .....................................................................................................86 
Aceros de cementación....................................................................................................86 
Aceros Inoxidables .............................................................................................. 86 
Cerámicas ........................................................................................................... 86 
Rodamiento completamente cerámico.............................................................................87 
Rodamiento híbrido..........................................................................................................87 
Rodamiento híbrido con una bola cerámica .....................................................................87 
Selección del Tipo de Rodamiento...................................................................... 87 
Selección del Tamaño del Rodamiento .............................................................. 87 
Capacidad de Carga Dinámica C........................................................................ 88 
Capacidad de Carga Estática Co......................................................................... 88 
Carga Dinámica Equivalente P............................................................................ 88 
Duración de un Rodamiento L............................................................................. 91 
Fórmula de la Vida Nominal L10 ................................................................................. 91 
Fórmula de la Vida Nominal Ajustada Lna.................................................................. 92 
Factor a1...........................................................................................................................92 
Factor a2...........................................................................................................................93 
Factor a3...........................................................................................................................93 
Factor a23 .........................................................................................................................93 
Fórmula de la Vida Nominal Ajustada Lnaa según la Teoría SKF .............................. 94 
Factor aSKF .......................................................................................................................94 
Factor de Ajuste ηc para la Contaminación......................................................................99 
Disposición de Rodamientos............................................................................... 99 
Fijación Axial de Rodamientos .......................................................................... 100 
Métodos de Fijación................................................................................................. 100 
Fijación Radial de Rodamientos........................................................................ 101 
Selección del Ajuste................................................................................................. 102 
Lubricación de Rodamientos............................................................................. 103 
Introducción a la Teoría de Lubricación ............................................................ 103 
Viscosidad................................................................................................................ 104 
Factores Determinantes de la Viscosidad......................................................................105 
Velocidad ................................................................................................................................105 
Carga ......................................................................................................................................105 
Temperatura ...........................................................................................................................105 
Regímenes de Lubricación ...................................................................................... 106 
 6 
Lubricación por capa límite ............................................................................................106 
Lubricación mixta (o parcialmente hidrodinámica) .........................................................106 
Lubricación hidrodinámica..............................................................................................107 
Lubricación elasto-hidrodinámica (EHL).........................................................................108 
Curva de Stribeck .................................................................................................... 108 
Lubricantes ........................................................................................................ 109 
Aceites ...........................................................................................................................109 
Grasas ...........................................................................................................................109Bases Lubricantes..........................................................................................................109 
Parafínicas ..............................................................................................................................109 
Nafténicas ...............................................................................................................................110 
Sintéticas ................................................................................................................................110 
Paquete de Aditivos .......................................................................................................110 
Para preservar las superficies.................................................................................................110 
Para mejorar el desempeño del lubricante .............................................................................110 
Para proteger al lubricante......................................................................................................110 
Lubricación con Grasa ............................................................................................. 110 
Factores de Selección de Grasas ..................................................................................111 
Viscosidad del aceite base .....................................................................................................111 
Consistencia ...........................................................................................................................111 
Campo de temperaturas .........................................................................................................111 
Protección anticorrosiva..........................................................................................................111 
Capacidad de carga................................................................................................................111 
Tipos de Grasas.............................................................................................................111 
Grasas cálcicas.......................................................................................................................111 
Grasas sódicas .......................................................................................................................112 
Grasas líticas ..........................................................................................................................112 
Clasificación de Grasas según la Temperatura y la Capacidad de Carga .....................112 
Grasas para bajas temperaturas (LT) .....................................................................................112 
Grasas para temperaturas medias (MT) .................................................................................112 
Grasas para altas temperaturas (HT) .....................................................................................112 
Grasas EP...............................................................................................................................112 
Grasas EM..............................................................................................................................113 
Clasificación de Grasas SKF..........................................................................................113 
Grasa LGMT 2 ........................................................................................................................113 
Grasa LGMT 3 ........................................................................................................................113 
Grasa LGEP 2.........................................................................................................................113 
Grasa LGEM 2 ........................................................................................................................113 
Grasa LGLT 2 .........................................................................................................................113 
Grasa LGHT 3.........................................................................................................................113 
Selección de Grasas SKF ..............................................................................................114 
Lubricación con Aceite............................................................................................. 115 
Selección de Aceites......................................................................................................115 
Obturaciones....................................................................................................... 117 
Selección de Obturaciones................................................................................ 117 
Tipos de Obturaciones ...................................................................................... 117 
Obturaciones Integradas.......................................................................................... 117 
Obturaciones Externas ............................................................................................ 117 
 7 
Obturaciones no rozantes ..............................................................................................117 
Tapas......................................................................................................................................118 
Laberintos ...............................................................................................................................118 
Obturaciones Taconite............................................................................................................118 
Obturaciones rozantes ...................................................................................................119 
Estoperas................................................................................................................................119 
Anillos en V .............................................................................................................................120 
Anillos de fieltro.......................................................................................................................121 
Anillos de doble labio ..............................................................................................................122 
Representación Gráfica de Rodamientos ......................................................... 123 
Correas...........................................................................................................124 
Generalidades ................................................................................................... 124 
Correas Planas.................................................................................................... 125 
Ventajas ................................................................................................................... 125 
Desventajas ............................................................................................................. 125 
Geometría de la Transmisión................................................................................... 125 
Teoría de Transmisión por Correa Plana ................................................................ 126 
Desarrollo del Modelo Matemático.................................................................................126 
Correas en V........................................................................................................ 132 
Ventajas ................................................................................................................... 133 
Desventajas ............................................................................................................. 133 
Geometría de la Transmisión................................................................................... 134 
Desarrollo del Modelo Matemático.................................................................................135Parámetros de Interés ............................................................................................. 136 
Potencia .........................................................................................................................136 
Fricción ..........................................................................................................................136 
Número de correas ........................................................................................................137 
Tensión centrífuga .........................................................................................................137 
Diferencia de tensiones..................................................................................................137 
Tensión en el lado tenso ................................................................................................138 
Tensión en el lado flojo ..................................................................................................138 
Tensión inicial ................................................................................................................138 
Factor de seguridad .......................................................................................................138 
Durabilidad de la Correa .......................................................................................... 139 
Correas Sincrónicas ........................................................................................... 141 
Ventajas ................................................................................................................... 141 
Desventajas ............................................................................................................. 141 
Selección de Correas ......................................................................................... 142 
Recomendaciones Generales ........................................................................... 142 
Tipos de Correas ............................................................................................... 143 
Pasos para la Selección de Correas ................................................................. 143 
Selección del tipo de correa...........................................................................................143 
Cálculo de la potencia de diseño ...................................................................................143 
Selección del diámetro de la polea ................................................................................145 
Cálculo de la longitud de la correa .................................................................................145 
 8 
Cálculo de la velocidad de la correa ..............................................................................146 
Cálculo de la potencia por correa...................................................................................147 
Determinación del número de correas ...........................................................................150 
Determinación del ancho de las poleas .........................................................................150 
Cálculo de la tensión inicial ............................................................................................150 
Cálculo de la tensión centrífuga .....................................................................................151 
Cálculo de la diferencia de tensiones.............................................................................151 
Cálculo de la tensión en el lado tenso............................................................................151 
Cálculo de la tensión en el lado flojo..............................................................................151 
Determinación del factor de seguridad...........................................................................152 
Cálculo de las tensiones pico.........................................................................................152 
Determinación del número de pasadas..........................................................................152 
Cálculo de la vida esperada...........................................................................................153 
Transmisiones...............................................................................................154 
Tipos de Transmisiones .................................................................................... 154 
Engranajes............................................................................................................... 154 
Correas .................................................................................................................... 155 
Otros Mecanismos ................................................................................................... 155 
Potencia en Ejes de Transmisión ...................................................................... 155 
Concepto de Potencia.............................................................................................. 155 
Unidades de Potencia.............................................................................................. 156 
Dinámica y Cinemática de la Transmisión ........................................................ 157 
Concepto de Transmisión ........................................................................................ 157 
Relación Cinemática de Transmisión ...................................................................... 157 
Relación Dinámica de Transmisión ......................................................................... 158 
Trenes de Engranajes......................................................................................... 159 
Trenes de Engranajes Compuestos No Revertidos .......................................... 159 
Trenes de Engranajes Compuestos Revertidos................................................ 160 
Trenes de Engranajes Epicíclicos o Planetarios ............................................... 161 
Sol..................................................................................................................................161 
Planeta...........................................................................................................................161 
Brazo..............................................................................................................................161 
Corona ...........................................................................................................................161 
Triángulos de Velocidades ................................................................................ 162 
Relaciones de Transmisión ............................................................................... 163 
Caso I....................................................................................................................... 164 
Caso II...................................................................................................................... 165 
Caso III..................................................................................................................... 166 
Sistemas Epicíclicos Compuestos..................................................................... 168 
Mecanismo Diferencial Fijo...................................................................................... 169 
Caso I.............................................................................................................................170 
Caso II............................................................................................................................171 
Caja Automática del Automóvil ................................................................................ 172 
Mecanismo Diferencial del Automóvil...................................................................... 175 
 9 
Generalidades................................................................................................................175Análisis del Diferencial ...................................................................................................176 
Casos Importantes .........................................................................................................177 
Caso I......................................................................................................................................177 
Caso II.....................................................................................................................................178 
Caso III....................................................................................................................................178 
Polipastos............................................................................................................ 181 
 
 10 
Tema 
6 
Engranajes 
 
Los engranajes sirven para transmitir potencia en una amplia variedad de aplicaciones. Su principal 
característica es el hecho de que no permiten deslizamiento entre los ejes acoplados, es decir, que garantizan 
siempre la rodadura entre éstos, y por esta razón su uso es tan altamente difundido. 
Los engranajes se usan en muchas aplicaciones, tales como cajas de transmisión para automóviles, 
artículos para el hogar e impresoras para computadoras; asimismo, tienen tiempos de vida muy grandes y pueden 
transmitir potencia con una eficiencia hasta del 98%. Cuando se diseña un engranaje y se representa en un plano, 
se usa un esquema simplificado. Los dibujos detallados de engranajes se elaboran cuando se diseña un engranaje 
especial o cuando es necesario mostrar los engranajes en un montaje. 
A continuación, nos ocuparemos de analizar y estudiar los diferentes tipos de engranajes. Se comenzará 
con los engranajes del tipo más simple -engranajes rectos-, para luego continuar con el estudio de los otros tipos 
existentes. 
 
Engranajes Cilíndricos de Dientes Rectos 
Generalidades 
Los engranajes rectos se emplean para transmitir potencia en ejes paralelos. Su contorno es cilíndrico y sus 
dientes están orientados de forma paralela al eje de rotación. Son relativamente fáciles de diseñar, dibujar e instalar, 
lo que los ha convertido en una de las formas más populares en el diseño mecánico. 
Sin embargo, este tipo de engranajes tiene una capacidad de manejo de carga baja, además de ser más 
ruidosos que otros tipos de engranajes. Pueden ser internos o externos. En la figura se muestran los dos tipos de 
engranajes rectos. 
 
 
Figura 6.1: Engranajes cilíndricos de dientes rectos externos 
 
 11 
 
Figura 6.2: Engranaje cilíndrico de dientes rectos internos 
 
Los engranajes, como muchos otros elementos de máquinas responden en su diseño a las normas 
establecidas por la AGMA (American Gear Manufacturing Association) y por la ANSI (American National Standard 
Institute). 
 
Nomenclatura y Fórmulas 
 
d
d
dd
d
p
ade
b
d
tp
a
 
 
Figura 6.3: Definiciones para engranajes rectos 
 12 
 
Término Símbolo Definición Fórmula 
Addendum a Distancia radial de paso hasta la parte superior del diente. P
ma 1== 
Deddendum de Distancia radial desde el círculo primitivo hasta la parte inferior del espacio del diente. mde ⋅= 4
5 
Círculo base Círculo a partir del que se genera la involuta del perfil. 
Diámetro Base db Es el diámetro del círculo que es tangente a la recta de presión 
θCosdd pb ⋅= 
Número de dientes z Número de dientes del engranaje 
Diámetro de 
Addendum da 
Diámetro del círculo de cabeza o addendum; igual al 
diámetro de primitivo, mas dos veces la cabeza o 
addendum. 
mdadd ppa ⋅+=⋅+= 22 
Círculo primitivo 
Círculo imaginario que define la circunferencia de 
rodadura real de una pareja de engranajes. Esta 
circunferencia tiene su centro en los centros de los 
engranajes acoplados y pasa por el punto de 
contacto de los dientes sobre la línea de centros de 
la pareja de engranajes. 
 
Diámetro primitivo dp Diámetro del círculo primitivo del engranaje. P
zzmd p =⋅= 
Ángulo de presión θ 
Ángulo que determina la dirección de la fuerza entre 
dientes en contacto y que designa la forma del 
diente; también determina el tamaño del círculo 
base. 
 
Diámetro de 
deddendum dd 
Diámetro del círculo de raíz; igual al diámetro de 
primitivo menos dos veces la raíz. mdbdd ppd ⋅−=⋅−= 2
52 
Diámetro de trabajo dt Es la circunferencia en la que el círculo de addendum de la pareja es tangente. 
Módulo m Relación o razón entre el diámetro primitivo y el número de dientes de un engranaje. z
d
m p= 
Paso diametral P Relación igual al número de dientes en el engranaje por pulgada del diámetro primitivo. pd
zP = 
Paso circular p 
Distancia medida a lo largo del círculo primitivo de 
un punto de un diente al correspondiente punto del 
diente adyacente; incluye un diente y un espacio. 
m
z
d
p p ⋅=
⋅
= π
π 
P
p π= 
 
Tabla 6.1: Fórmulas para engranajes rectos 
 
 13 
Módulo 
Como se menciona en la tabla anterior, el módulo es un valor a través del cual se define el tamaño del 
diente del engranaje y busca estandarizar y normalizar los engranajes, se define como: 
z
d
m p= 
Donde: 
dp = Diámetro primitivo 
z = Número de dientes 
 
Valores del Módulo Estandarizados 
Los valores del módulo estándar se encuentran en la siguiente tabla en milímetros. Los valores preferentes, 
son aquellos que son más fáciles de conseguir en el mercado. Los de segunda opción, no son tan comunes, pero se 
puede hacer uso de ellos. 
Preferentes 2da. Opción 
1 1.25 
1.25 1.375 
1.5 1.75 
2 2.25 
2.5 2.75 
3 3.5 
4 4.5 
5 5.5 
6 7 
8 9 
10 11 
12 14 
16 18 
20 22 
25 28 
32 36 
40 
50 
 Tabla 6.2: Valores del módulo para engranajes rectos 
 
Valores del Paso Diametral Estandarizado 
El Sistema Americano contempla el uso del Pitch ó paso diametral. Como se mencionó anteriormente, su 
valor con respecto al módulo es: 
pd
zP = , dientes por pulgada 
 14 
 
Paso Grueso Paso Fino 
2 20 
2 ¼ 22 
2 ½ 24 
3 26 
4 28 
5 30 
6 32 
7 36 
8 40 
9 48 
10 64 
11 80 
12 96 
14 120 
16 150 
18 200 
Tabla 6.3: Valores del paso diametral para engranajes rectos 
 
Geometría de la Transmisión 
La transmisión de potencia y la operación silenciosa de un engranaje depende del uso óptimo de las formas 
geométricas disponibles. Muchos de los dientes de los engranajes rectos usan el perfil evolvente como forma 
geométrica básica. La evolvente es una línea curva formada por la traza espiral de un punto sobre una cuerda que 
se desdobla alrededor de una línea, círculo o un polígono. La evolvente de un círculo crea la curva suave necesaria 
en el diseño de un engranaje recto. El círculo es el círculo base del engranaje. Nóte que, en cualquier punto sobre 
la curva, una línea perpendicular a la curva será tangente al círculo base. 
 
 
Figura 6.4: Curva evolvente 
 
El dibujo de otro círculo base a lo largo de la misma línea de eje tal que la evolvente de los dos círculos 
sean tangentes a los círculos base son coincidentes. Esto sucede cuando dos dientes de engranaje entran en 
contacto, y también demuestra el principio cinemático del engranaje. 
 15 
 
Figura 6.5: Las tangentes a la curva evolvente demuestran el principio cinemático del engranaje 
 
Sólo la parte del diente que entra en contacto con un diente del otro engranaje es la que debe ser evolvente, 
de modo que los dientes de engranaje recto se producen como se muestra en la figura. 
 
 
Figura 6.6: Perfil de un diente de un engranaje recto 
 
Si se colocan engranados una cremallera y un engranaje, se puede observar que el contacto entre el diente 
del engranaje y el de la cremallera, poseen normales con ángulos distintos, haciendo que la fuerza entre dientes en 
estos instantes de contacto, cambie su dirección en todo momento, lo que provocaría discontinuidad en el 
movimiento con pequeñas aceleraciones. El perfil evolvente hace que la normal al diente sea siempre tangente a la 
circunferenciade base, siendo esta última definida por la línea de paso y el ángulo de presión, el cual debe ser igual 
para cualquier pareja de engranajes. Esto garantiza que las normales de contacto entre dientes, tengan siempre la 
misma dirección y se produzca así un movimiento totalmente continuo. 
 16 
 
Figura 6.7: Piñón y cremallera con dientes evolventes 
 
 
Figura 6.8: Piñón y corona con dientes internos 
 17 
Acción Conjugada 
La acción conjugada existe cuando dos superficies se comportan de tal manera, que producen una relación 
constante de velocidades angulares durante su funcionamiento. Así, como requisito básico, la geometría del diente 
debe garantizar igual relación de transmisión durante toda su interacción. 
La ley básica de acción conjugada establece que la normal a las superficies en el punto de contacto debe 
siempre cortar a la línea de centros en el punto P, llamado punto de paso (ver figura 6.9). 
La relación constante de velocidades se logra si las fuerzas de presión son perpendiculares a las caras en 
contacto. En este sentido, el perfil evolvente es una curva que cumple con esto, de modo que al usar dos porciones 
de perfil evolvente se consigue acción conjugada entre los engranajes. 
 
 
Figura 6.9: Acción de la evolvente 
 18 
Línea de Presión 
Es la línea sobre la que se realiza el contacto entre los dientes a lo largo del movimiento de la pareja del 
engranaje, es decir, el primer encuentro entre la pareja de dientes, se realiza en un extremo de dicha línea. Cuando 
el contacto pasa por la línea de centros, se ubica en la mitad de la línea de presión, y el último contacto o abandono 
de la pareja, ocurre al finalizar la línea de presión. 
Dependiendo de la norma con la que estén fabricados los engranajes, se pueden tener distintos ángulos de 
presión, afectándose con éste la eficiencia de la transmisión, la durabilidad de los dientes, etc. 
 
 
Figura 6.10: Acción entre dientes 
 
Si se observa la figura 6.10, el contacto se inicia en la intersección de la línea de presión con la 
circunferencia exterior del engranaje impulsado (punto a). Y termina en la intersección de la línea de presión con la 
circunferencia exterior del engranaje impulsor (punto b). 
Los ángulos de presión normalizados son 20º y 25º, antiguamente se usaba 14,5º como ángulo de presión. 
 
Figura 6.11: Perfil del diente del engranaje para diferentes ángulos de presión 
 
Del ángulo de presión y los diámetros de paso, depende la circunferencia de base y consecuentemente el 
perfil del diente. 
 19 
 
Figura 6.12: Los radios de los círculos de base y primitivo se relacionan con el ángulo de presión 
 
Relación de Contacto 
Cuando se tiene una pareja de engranajes acoplada, al engranaje conductor, que generalmente es el más 
pequeño, se le conoce como Piñón. Mientras que al conducido, se le llama Rueda o Engranaje. 
Como se mencionó anteriormente, en toda pareja de engranajes se busca garantizar un flujo suave y 
continuo de potencia. Para lograr esto, al menos un par de dientes deben estar en contacto siempre. Durante una 
parte del ciclo dos pares de dientes compartirán la carga. El segundo par de dientes tendrá que diseñarse de tal 
manera que tome su parte de la carga y esté preparado para tomar la carga completa antes que el primer par de 
dientes quede fuera de acción. 
Las variables que actúan en la relación de contacto son: 
- La línea de presión. 
- Los diámetros exteriores del piñón y del engranaje. 
- La forma del perfil activo. 
 
Figura 6.13: Definición de la relación de contacto 
 
Antes de continuar con la deducción de las ecuaciones, es necesario definir y recordar los siguientes 
parámetros: 
Lef = Longitud efectiva de la línea de acción de la fuerza. 
p = paso circular. 
Pb = paso base. 
 
 20 
El paso base es la proyección del paso circular en la línea de acción de la fuerza y se define como: 
θCosppb ⋅= 
Donde: 
z
Perímetro
z
d
p p =
⋅
=
π
 
 
El paso base determina la distancia necesaria para que haya contacto en solo un par de dientes, o sea, es 
el espacio ocupado por el diente de la rueda y el del piñón, sobre la línea de acción. La longitud efectiva de la línea 
de acción es la distancia a-b, por lo tanto, la distancia a-b debe superar el paso base por lo menos en un 20 - 40%. 
La AGMA recomienda que la relación de contacto para engranajes rectos, no sea menor de 1,2. 
2.1≥=
b
ef
c p
L
R 
Donde la ecuación para el cálculo de la relación de contacto de una pareja de engranajes rectos es la 
siguiente: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
⋅⋅
= θ
θπ
Sen
dDddDD
Cosd
zR ppbaba
p
c 22222
2222
 
 Donde: 
da = diámetro exterior del piñón 
Da = diámetro exterior de la rueda 
db = diámetro de la base del piñón 
Db = diámetro de la base de la rueda 
dp = diámetro primitivo del piñón 
Dp = diámetro primitivo de la rueda 
θ = ángulo de presión 
z = Número de dientes 
 
La deducción de dicha ecuación se encuentra a continuación, basado en la figura 6.14. 
θSen
d
l pao ⋅= 2
 
22
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= baac
dd
l 
θSen
D
l pdo ⋅= 2
 
22
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= badb
DD
l 
θSen
ddd
lll pbaaoacoc ⋅−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−=
222
22
 
θSen
DDD
lll pbadodbbo ⋅−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−=
222
22
 
Luego: 
boocbcef lllL +== 
θSen
dDddDD
L ppbabaef ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
22222
2222
 
 21 
a b o
c
d
D
2
b
D 
2
p
D
2
a
d
2
ad
2
p
d
2
b
θ
θ
θ
 
Figura 6.14: Acción entre dientes 
 
Al sustituir en la ecuación inicial, se tiene: 
b
ef
c p
L
R = 
Sabiendo que: 
θ
π
Cos
z
d
p pb ⋅
⋅
= 
 
Da como resultado la ecuación expuesta anteriormente: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
⋅⋅
= θ
θπ
Sen
dDddDD
Cosd
zR ppbaba
p
c 22222
2222
 
 
 
 22 
 
Interferencia y Número Mínimo de Dientes en los Engranajes 
La interferencia ocurre cuando el contacto entre dos dientes se produce fuera del perfil evolvente del mismo, 
esto suele suceder en la raíz. El diámetro base se caracteriza por variar dependiendo del número de dientes o 
módulo, si se mantiene fijo el diámetro primitivo. Cuando el diámetro de base es mayor al diámetro de raíz, y cuando 
el primer punto de contacto, definido por la intersección entre la línea de presión y la circunferencia exterior del 
engranaje impulsado, ocurre antes del punto de tangencia con la circunferencia de base, dicho punto de contacto 
esta fuera del perfil evolvente del engrane conductor. En este caso existe interferencia. 
Para evitar esto, se parte del caso límite que se muestra en la figura: 
alaf R
d
2 d2
p
b
a
b
o
d
c
 
Figura 6.15: Interferencia en la acción entre dientes 
 
afR La ≤ 
θCos
dd
L bpaf ⋅−= 22
 
pero: 
θCos
dd pb ⋅=
22
 
θ2
22
Cos
dd
L ppaf ⋅−= 
( )θ21
2
Cos
d
L paf −⋅= 
z
d
m p= ⇒ ( )θ21
2
Cos
d
m p −⋅≤ 
 23 
 θ2
2
Sen
d
z
d pp ⋅≤ 
θ2
2
Sen
z ≥⇒ 
 
Esta ecuación determina cual debe ser el número mínimo de dientes que debe tener un piñón para que no 
exista interferencia. Cualquier engranaje por debajo de este valor va a tener dientes con una zona evolvente y una 
zona no evolvente. 
Para un ángulo de presión normalizado de 20º, se tiene que el número mínimo de dientes es: 
1809.17 ≅=minz dientes 
Algunas veces es necesario fabricar engranajes con un número de dientes inferior al zmin y garantizar que no 
ocurra interferencia. Para esto se recurre a otros métodos, que se conocen como: 
 
Diseño Rebajado 
Se modifica el addendum o cabeza para que no exista contacto entre las porciones evolventes y no 
evolventes. Para esto se define un valor: 
minz
z
=α 
 
Luego los valores de la cabeza y la raíz se modifican por los siguientes: 
α⋅= ma 
α⋅⋅= mb
4
5 
 
Diseño Corregido 
En este caso, la modificación delpiñón y rueda se hace en el proceso de fabricación directamente. El 
proceso utilizado es el de generación por cremallera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.16: Conformación de dientes con una cremallera 
 
 
 24 
Para el piñón, se separa el círculo primitivo de la recta primitiva de la cremallera generatriz. 
 
Piñon
Cremallera δ
Círculo primitivo
del piñón
Línea primitiva
de la cremallera 
Figura 6.17: Diseño corregido para el piñon 
 
δ−= ma 
δ−⋅= mb
4
5 
 
Para la rueda, se acerca el círculo primitivo de la misma hasta que intercepte con la recta primitiva de la 
cremallera. 
Rueda
Cremallera
δ
Círculo primitivo
de la rueda
Línea primitiva
de la cremallera 
Figura 6.18: Diseño corregido para la rueda 
 
δ+= ma 
δ+⋅= mb
4
5 
 25 
Representación Gráfica de los Engranajes Rectos 
El dibujo del engranaje deberá mostrar las vistas frontal y de perfil, como se ilustra en la figura. 
ø 160 ø 20
50
ø 130
A
ACorte A-A
φ 210φ 220
 
Figura 6.19: Representación estándar de un engranaje recto 
 
En ella se presenta el método simplificado en el que, en la vista frontal, los diámetros externo y de raíz se 
representan como líneas continuas, y el diámetro primitivo aparece como la línea de eje. La vista de perfil muestra el 
diámetro de deddendum y el diámetro externo como una línea sólida, y el diámetro primitivo como una línea de eje. 
Por lo común, los dibujos de engranajes incluyen una tabla de información, denominada Datos de Corte, 
para manufactura. El dibujo del diente debe evitarse excepto cuando sea necesario por claridad, para dibujos de 
montaje o para localizar otros detalles del engranaje o tren de éstos. 
 
 26 
 
Figura 6.20: Dibujo detallado de una pareja de engranajes rectos en unidades inglesas 
 
Datos de Corte Rueda Piñón 
Número de dientes 24 12 
Paso diametral 4 4 
Diámetro primitivo 6 3 
 
 Rueda Piñón 
Número de pieza YSS624 YSS612 
Material Acero Acero 
Ancho de Cara 3.5 3.5 
Tabla 6.4: Valores de corte para una pareja de engranajes rectos en unidades inglesas 
 27 
Fabricación de Engranajes 
Existen varios métodos de fabricación de engranajes, divididos en dos clases: conformación y maquinado. 
El maquinado se divide además en operaciones de desbaste y de terminado. El conformado se refiere a la fundición 
directa, moldeo, estirado o extrusión de formas de dientes en materiales fundidos, en polvo o ablandados por calor. 
 
Conformado de Engranajes 
Los dientes se forman todos a la vez, a partir de un molde o dado, en el cual se ha maquinado la forma de 
los dientes. La precisión de los dientes dependerá totalmente de la calidad del dado o molde, y en general es muy 
inferior a la que se logra del desvastado o terminado. La mayor parte de éstos métodos tienen costos de 
herramental elevados, lo que solo los hace adecuados en la producción de elevadas cantidades. 
Fundición 
Los dientes se funden en arena o en dados de diversos metales. Su ventaja es el bajo costo, ya 
que la forma del diente está incorporada al molde. Los dientes resultantes directamente de la fundición 
son de baja precisión y solo sirven para aplicaciones no críticas, como juguetes y pequeños aparatos 
domésticos. La fundición en moldes a presión proporciona un mejor acabado y mayor precisión que la 
fundición en arena, pero es más costosa. 
Sinterizado 
Metales en polvo se conforman a presión en un molde de metal en forma de engranaje, se retiran y 
se les da un tratamiento térmico (se sinterizan) para aumentar su resistencia. Estos engranajes de 
polvo de metal tienen una precisión similar a los engranajes fundidos a presión, pero sus propiedades 
mecánicas pueden controlarse mediante la mezcla de diversos polvos metálicos. 
Moldeo a Presión 
Se emplea en la fabricación de engranajes no metálicos en varios tipos de termoplásticos, como el 
nylon o el acetal. Se trata de engranajes de baja precisión de pequeñas dimensiones, pero tienen la 
ventaja de su bajo costo y tener la capacidad de operar a cargas ligeras sin lubricante. 
Extrusión 
Se emplea para formar dientes en varillas largas de acero, que después se cortan a longitudes 
útiles y se maquinan para elaborar las manzanas centrales, el chavetero, etc. En lugar de acero, 
comúnmente se extruyen materiales no ferrosos como las aleaciones de aluminio y de cobre. 
Estirado en Frío 
Los dientes se forman sobre varillas de acero al estirarlas a través de dados endurecidos. El 
trabajo en frío incrementa la resistencia, y reduce la ductibilidad. Estas varillas a continuación se cortan 
en longitudes útiles y las manzanas y chaveteros se maquinan. 
Estampado 
El material laminado se estampa en forma de dientes para fabricar engranajes de baja precisión a 
bajo costo y en altas cantidades. Tanto el acabado superficial como la precisión son deficientes. 
 
Maquinado de Engranajes 
La mayor parte de los engranajes metálicos de la maquinaria para la transmisión de potencia se fabrican 
mediante un proceso de maquinado, a partir de piezas en bruto fundidas, forjadas o roladas en caliente. Los 
procesos de desbaste incluyen el fresado de la forma del diente mediante cortadores de conformado, o la generación 
de la forma con un cortador de cremallera, un cortador conformador o una cabeza fresadora. Los procesos de 
acabado incluyen cepillado, bruñido, pulido, rectificado o esmerilado. 
Procesos de Desbastado 
Fresado de Forma 
Requiere un cortador de fresa conformado, como se muestra en la figura (identificado como 
1). El cortador debe estar fabricado con la forma del espacio del diente del engranaje para la 
geometría del diente, y para el número de dientes de cada engranaje en particular. 
 28 
El cortador giratorio se introduce en la pieza en bruto, cortando un diente a la vez. El 
engranaje en bruto a continuación es girado un paso circular, y se hace el corte del siguiente 
diente. Como se necesita una fresa de forma distinta para cada tamaño, el costo del herramental 
es elevado. 
 
Figura 6.21: Conjunto de herramientas de corte de engranajes 
 
Generación por Cremallera 
Es posible fabricar fácilmente un cortador de cremallera para cualquier módulo, ya que la 
forma de su diente es un trapezoide. La cremallera endurecida y afilada (ver No. 2 en la figura) a 
continuación pasa de adelante hacia atrás a lo largo del engranaje en bruto, y alimentado hacia 
adelante mientras gira alrededor del engranaje en bruto, para generar el perfil evolvente sobre el 
diente del engranaje. Para completar la circunferencia tanto la cremallera como el engranaje en 
bruto deben reposicionarse periódicamente, el cual llega a introducir errores en la geometría del 
diente, haciendo el procedimiento menos preciso que otros. 
Conformación de Engranaje 
Se utiliza una herramienta de corte con la forma de un engranaje (ver No. 3 en la figura), que 
es reciprocada axialmente sobre un engranaje en bruto, a fin de cortar el diente en tanto la pieza en 
bruto gira alrededor de la herramienta de conformado. Se trata de un proceso real de generación 
de forma en el hecho de que la herramienta en forma de engranaje corta en acoplamiento con el 
engranaje en bruto. Los engranajes internos se cortan siguiendo este método también. 
 
Figura 6.22: Un conformador de engranajes cortando un engranaje helicoidal 
 
Cabeza de Fresado 
Una cabeza fresadora, identificada como 4 en la figura anterior, es análoga a un macho de 
roscar. Sus dientes están formados de manera de coincidir con el espacio entre dientes y están 
interrumpidos por ranuras, para formar superficies de corte. Gira en un eje perpendicular al de la 
 29 
pieza del engranaje en bruto, cortando dentro del engranaje y girando para generar los dientes. Se 
trata del proceso de desbastado más preciso donde cada diente es cortado por varios de la cabeza 
fresadora, promediando cualquier error de la herramienta. Es uno de los métodos de más amplio 
uso en la producción de engranajes. 
Procesos de Terminado 
Cuandose requiere una precisión elevada, se llevan a cabo operaciones secundarias para los 
engranajes fabricados mediante cualquiera de los métodos de desbaste arriba citados. Las 
operaciones de acabado típicamente eliminan muy poco o ningún material, pero mejoran la precisión 
dimensional, el acabado superficial y/o dureza. 
Cepillado 
Es similar a la conformación del engranaje, pero se sirve de herramientas de cepillado 
precisas, a fin de eliminar pequeñas cantidades de material de un engranaje desbastado, para 
corregir errores de perfil, y mejorar el acabado. 
Rectificado 
Se usa piedra de rectificado contorneada, que es pasada sobre la superficie maquinada de 
los dientes del engranaje y controlada por computadora para eliminar pequeñas cantidades de 
material y mejorar el acabado superficial. También se aplica en engranajes endurecidos después 
de desbastados, con el objeto de corregir la distorsión debida al tratamiento térmico, así como 
obtener las otras ventajas arriba citadas. 
Bruñido 
Hace pasar un engranaje maquinado en bruto sobre un engranaje especialmente endurecido. 
Las elevadas fuerzas aplicadas sobre la interfaz del diente causan una fluencia plástica en la 
superficie del diente del engranaje, que a la vez mejora el acabado y endurece por trabajo la 
superficie, creando benéficos esfuerzos residuales a compresión. 
Pulido y Rectificado 
Ambos emplean un engranaje o una herramienta en forma de engranaje, con abrasivo para 
desbastar la superficie del engranaje por trabajar. En ambos casos, la herramienta abrasiva 
impulsa al engranaje en lo que representa una operación de puesta en servicio inicial acelerada y 
controlada a fin de mejorar el acabado superficial y la precisión. 
 
Calidad del Engranaje 
El estándar de la AGMA define las tolerancias dimensionales para engranajes, así como un índice de 
calidad Qv cuyo rango va desde la mas baja (3) hasta la precisión más elevada (16). El método de manufactura 
esencialmente determina el índice de calidad del engranaje. 
Los engranajes conformados típicamente tendrán índices de calidad de 3-4. Los fabricados mediante 
métodos de desbastado como los mencionados arriba generalmente quedan clasificados dentro de un rango de 5 a 
7. Si los engranajes se terminan por cepillado o esmerilado, puede quedar en el rango de 8 a 11. El pulido o 
rectificado llegan a alcanzar índices de calidad superior. Obviamente, el costo del engranaje estará en función de la 
calidad. 
Otra forma de elegir un índice de calidad adecuado se basa en la velocidad lineal de los dientes en el punto 
de paso, que se conoce como velocidad de línea de paso. Falta de precisión en el espaciado de los dientes 
causarán impactos y las fuerzas de impacto se incrementan a velocidades mas elevadas. Los engranajes rectos se 
usan rara vez en aplicaciones donde las velocidades en la línea de paso son superiores a los 10000 ft/min, debido al 
ruido y vibraciones excesivas. En estos casos, son mucho más apropiados los engranajes helicoidales. 
 30 
 Diseño a Resistencia de Materiales 
Fuerzas en los Dientes de un Engranaje 
En los siguientes diagramas de cuerpo libre se observa cómo el piñón entrega torque a la rueda: 
F
F
F
F
r
t
r
t
θ
θ
θ
ω1
ω 2
r
r1
2
r1
r2
 
Figura 6.23: Fuerzas en un engranaje recto 
 
En el punto de tangencia, la única fuerza que puede transmitirse de un diente a otro, despreciando la 
fricción, es la fuerza F, que actúa a lo largo de la línea de acción. 
Esta fuerza se descompone en dos componentes, Fr que actúa en dirección radial y Ft en dirección 
tangencial. La magnitud de la componente tangencial Ft, se determina a partir de: 
11 pt rFT ⋅= ⇒ 
1
1
1
1 2
pp
t d
T
r
TF ⋅== 
Donde T1 es el torque del eje de entrada, o del eje del piñón, rp1 es el radio primitivo del piñón y dp1 es el 
diámetro primitivo correspondiente. 
La componente radial Fr es: 
θtg⋅= tr FF 
Y la fuerza resultante F es por lo tanto: 
θCos
F
F t= 
Observe que las ecuaciones anteriores se pudieron haber escrito para la rueda, en lugar de para el piñón, 
dado que en la rueda la fuerza F es igual pero en sentido contrario. Al ser iguales las fuerzas, los valores que se 
alteran van a ser el torque y la velocidad angular de la rueda o del eje de salida, pues van a depender del radio o 
diámetro de la rueda. 
2
2
22
p
tpt
d
FrFT ⋅=⋅= 
 31 
Dependiendo de la relación de contacto, los dientes, conforme giran a través del acoplamiento, pueden 
tomar toda o parte de la carga F en cualquier posición, desde la punta del diente hasta un punto cerca del círculo de 
la raíz. Obviamente, la peor condición de carga es cuando F actúa en al punta del diente. Entonces, su componente 
tangencial Ft tiene el mayor brazo de palanca posible actuando sobre el diente como viga en voladizo, de modo que 
el momento a flexión se hace máximo en la raíz del diente. 
Para una relación de contacto mayor a 1, existirá un punto de contacto de un sólo diente en alguna parte 
bajo la punta del diente, y esto creará el momento máximo a flexión en cualquier diente siempre que las precisiones 
del engranaje sean lo suficientemente buenas para permitir compartir la carga. Si los dientes son de baja calidad, 
entonces habrá carga en la punta con valor completo de F, independientemente de la relación de contacto. 
 
Esfuerzos sobre los Dientes de los Engranajes 
Al transmitir potencia por medio de una pareja de engranajes, entre los dientes se producen fuerzas que 
generan torque sobre los ejes que los soportan. La fuerza ejercida entre los dientes actúa sobre la línea de presión, 
ya que es sobre ésta que se produce el contacto. Como la línea de presión es normal al perfil del diente en cualquier 
punto, entonces la fuerza aplicada será normal a los perfiles evolventes de los dientes en contacto. Los esfuerzos 
que produce la fuerza de contacto entre los dientes, son de dos tipos: 
- Esfuerzos de flexión sobre la base del diente, similares a los que se generan sobre una viga en 
voladizo que pueden generan grietas y rupturas en la base de los dientes. 
- Esfuerzos de contacto de Hertz, generado en los distintos puntos instantáneos de contacto que 
pueden generar caries y desconchamientos sobre la cara de contacto de los dientes. 
 
Ecuación de Lewis 
La primera ecuación útil para el esfuerzo a flexión en un diente de engranaje fue planteada por W. Lewis en 
1892. Para el cálculo de los esfuerzos en los dientes, Lewis estimó las cargas activas sobre los mismos, 
considerando condiciones totalmente adversas y críticas, lo que implicaba siempre en un subredimensionamiento de 
los dientes manteniendo presente las siguientes consideraciones: 
- La carga aplicada en la punta del diente, comportándose como una viga en voladizo con su sección 
crítica en la raíz. 
- La componente radial de carga es despreciable. 
- La carga se distribuye uniformemente a lo ancho del diente. 
- Las fuerzas de fricción son despreciables. 
- La concentración de esfuerzos es despreciable. 
 32 
 
Análisis de la Carga sobre el Diente según Lewis 
 
Figura 6.24: Fuerzas en el diente 
Donde: 
θ = ángulo de presión 
F = fuerza sobre la línea de presión 
Fr = fuerza radial 
Ft = fuerza tangencial 
I
cM ⋅
=σ 
Donde: 
hFM t ⋅= 2
tc = 3
12
1 tbI ⋅⋅= 
3
12
1
2
tb
thFt
⋅⋅
⋅⋅
=σ 
2
6
tb
hFt
⋅
⋅⋅
=σ 
Por triángulos semejantes se tiene que: 
2
2
t
x
h
t
= ⇒ x
h
t
⋅= 4
2
 
Luego: 
xb
Ft
⋅⋅
⋅
=
4
6
σ 
 
La variable x de la última expresión, no representa nada físicamente, sólo es una variable que se obtiene 
mediante una relación puramente geométrica entre la altura y el ancho del diente en la base. 
 33 
Si se observa la última expresión del esfuerzo, vemos que la única variable geométrica del perfil del diente 
es x. Luego, como x relaciona h y t, y estas ultimas quedan definidas con el módulo o con el paso circular del diente, 
se define un factor de forma de Lewis, relacionando x y el paso circular convenientemente.Entonces: 
p
xy ⋅=
3
2 , factor de forma de Lewis 
Y al despejar el valor de x, queda: 
pyx ⋅⋅=
2
3 
 
Es de hacer notar que y puede ser graficado con el único conocimiento de la geometría de los dientes. 
Al sustituir x en la ecuación de esfuerzo, queda: 
pyb
Ft
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
2
34
6
σ 
pyb
Ft
⋅⋅
=σ 
pero, el paso circular se define como: 
mp ⋅= π 
 
Luego, cuando se sustituye en la ecuación de esfuerzo, se tiene: 
myb
Ft
⋅⋅⋅
=
π
σ 
yY ⋅= π 
 
Esto se hace con el objeto de no tener que utilizar el paso circular que no es una medida nominal al nombrar 
un engranaje. Por el contrario, el módulo si es una variable nominal del engranaje, por esto la ecuación final queda: 
mYb
Ft
⋅⋅
=σ , para el sistema modular 
 
Es de hacer notar que el factor de forma de Lewis Y es una función de la forma del diente, y por lo tanto 
varía con el número de dientes del engranaje, y el número de dientes de la pareja. De esta forma, queda 
automáticamente involucrada la relación de contacto. 
- La falla por fluencia ocurre cuando el mayor esfuerzo en los dientes sea igual o mayor que la 
resistencia a la fluencia o el límite de resistencia a la fatiga. 
- La falla superficial ocurre cuando el mayor esfuerzo de contacto supera la resistencia a la fatiga de 
la superficie. 
En las consideraciones siguientes, suponemos que sólo trabajaremos con un ángulo de presión y dientes de 
altura completa. 
Los valores del factor de forma de Lewis Y para un ángulo de presión de 20º, paso diametral unitario y 
tamaño de diente completo son los siguientes: 
 34 
 
No. de dientes Y No. de dientes Y 
12 0.245 28 0.353 
13 0.261 30 0.359 
14 0.277 34 0.371 
15 0.290 38 0.384 
16 0.296 43 0.397 
17 0.303 50 0.409 
18 0.309 60 0.422 
19 0.314 75 0.435 
20 0.322 100 0.447 
21 0.328 150 0.460 
22 0.331 300 0.472 
24 0.337 400 0.480 
26 0.346 cremallera 0.485 
Tabla 6.5: Valores del factor de Lewis dependiendo del número de dientes 
 
Las desventajas en el uso de esta ecuación son las siguientes: 
- Sólo se considera la flexión en el diente y se desprecia la compresión debida a la fuerza radial. 
- Los dientes no comparten la carga y la fuerza máxima se aplica sobre la punta del diente. 
El estudio de los dientes en movimiento, nuestra que las cargas más altas se presentan en la parte media 
del diente, por lo tanto el esfuerzo máximo probablemente se producirá mientras un sólo par de dientes soporta la 
carga completa en un punto donde otro par se encuentra a punto de hacer contacto. 
La ecuación de Lewis ya no se aplica en su forma original, pero es la base para una versión moderna de la 
AGMA, que se basa no sólo en el trabajo de Lewis sino también en el de muchos otros. Los principios de la 
ecuación de Lewis siguen siendo válidos, pero han sido corregidos con factores adicionales para tomar en cuenta 
mecanismos de falla que sólo posteriormente fueron comprendidos. El factor Y ha sido reemplazado por un nuevo 
factor geométrico J, que incluye los efectos de la concentración de esfuerzos en la raíz. En el tiempo de Lewis la 
concentración de esfuerzos todavía estaba por ser descubierta. 
 
Ecuaciones de la AGMA 
Esta ecuación sólo es válida para ciertas hipótesis respecto a la geometría del diente y del acoplamiento del 
engranaje: 
- La relación de contacto se encuentra entre 1 y 2. A pesar de la deseabilidad teórica de elevar las 
relaciones de contacto, dado que las distribuciones de la carga real entre dientes está sujeto a 
factores de precisión y rigidez, lo que hace que el problema sea indeterminado. 
- No hay interferencia en el acoplamiento y no permite ningún tipo de corrección, bien sea a través 
del diseño corregido o el rebajado. Si para efectos de espacio se requiere de números menores de 
dientes, entonces deberá recurrirse a dientes de cabeza desigual y el método AGMA aplicado 
mediante el factor J apropiado en la ecuación. 
- Ningún diente es puntiagudo. 
- Existe un juego diferente de cero. Esta hipótesis reconoce que los engranajes que no tienen juego 
no funcionarán libremente entre sí, debido a excesiva fricción. 
- Los radios de raíz son estándar, se suponen lisos y producidos por un proceso generatriz. En este 
caso, se toman en cuenta los factores de concentración de esfuerzos en la base, trabajo hecho por 
Dolan y Broghammer. 
- Se desprecian las fuerzas de flexión. 
 
 35 
Esfuerzos de Flexión 
Rt
Lat
Bmsva
t
KK
KSKKKKK
mJb
F
⋅
⋅
≤⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
 
 Donde: 
Ft = Fuerza Tangencial 
b = Ancho del engranaje 
J = Factor geométrico de la resistencia por flexión 
m = Módulo 
Ka = Factor de sobrecarga o aplicación 
Kv = Factor dinámico 
Ks = Factor de tamaño 
Km = Factor de distribución de carga 
KB = Factor de espesor de borde 
Sat = Esfuerzo permisible a flexión 
KL = Factor de vida 
KT = Factor de temperatura 
KR = Factor de confiabilidad 
 
Ka, Factor de sobrecarga o aplicación 
En el modelo de carga que se analiza en clase, se supone que la carga transmitida es uniforme a lo largo 
del tiempo. Este factor toma en cuenta que las cargas aplicadas en los dientes del engranaje no son uniformes, 
varían con el tiempo. 
 Máquina Impulsora 
Máquina Impulsada Uniforme Impacto moderado Impacto severo 
Uniforme 
(motor eléctrico, turbina) 1.00 1.25 1.75 o superior 
Impacto ligero 
(motor multicilindro) 1.25 1.50 2.00 o superior 
Impacto medio 
(motor de un solo cilindro) 1.50 1.75 2.25 o superior 
Tabla 6.6: Factores de aplicación Ka 
Kv, Factor dinámico 
El factor dinámico toma en cuenta las cargas en dientes de engranajes generadas internamente y que son 
inducidas por errores en la exactitud de los engranajes que pueden dar lugar que el factor sea mayor que 1.0. Este 
factor toma en cuenta las cargas por vibraciones que son mayores a medida que el engranaje es fabricado con poca 
precisión. 
B
t
v A
VA
K ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
= 
Donde: ( )BA −⋅+= 15650 
( ) 667.01225.0 vQB −⋅= 
para 115 ≤≤ vQ 
 36 
 
Aplicación Qv 
Transmisión del tambor de mezclador de cemento 3-5 
Horno de cemento 5-6 
Transmisiones de acerías 5-6 
Cosechadoras de maíz 5-7 
Grúas 5-7 
Prensa troqueladora 5-7 
Transportador de minas 5-7 
Máquina de cajas de papel 6-8 
Mecanismo medidor de gas 7-9 
Taladro mecánico pequeño 7-9 
Lavadora de ropa 8-10 
Impresora 9-11 
Mecanismo de computadora 10-11 
Transmisión de auto 10-11 
Transmisión de antena de radar 10-12 
Transmisión de propulsión marina 10-12 
Transmisión de motor de aeronave 10-13 
Giroscopio 12-14 
Tabla 6.7: Números de calidad de engranajes AGMA 
 
Velocidad de paso [fpm] Qv 
0-800 6-8 
800-2000 8-10 
2000-4000 10-12 
Más de 4000 12-14 
Tabla 6.8: Números de calidad de engranajes recomendados para la velocidad en la línea de paso 
 
 
Figura 6.25: Factor dinámico Kv 
 37 
 
Ks, Factor de tamaño 
Refleja la no-uniformidad de las propiedades en el material. La AGMA no ha establecido valores estándar, 
por lo que se sugiere que Ks = 1.0. 
 
Km, Factor de distribución de carga 
Cualquier desalineación axial o desviación axial en la forma del diente hará que la carga transmitida no 
quede uniformemente distribuida sobre el ancho de la cara del diente del engranaje. Una regla práctica útil es 
mantener el ancho de la cara b de un engranaje recto dentro de los límites: 
mbm ⋅≤≤⋅ 168 
con un valor nominal de b = 12m 
 
Ancho de la cara b 
in [mm] Km 
< 2 (50) 1.6 
6 (150) 1.7 
9 (250) 1.8 
>20 (500) 2.0 
Tabla 6.9: Factores de distribución de carga Km 
 
KB, Factor de espesor de borde 
Toma en consideración situaciones en las que un engranaje de gran diámetro fabricado con aro y alma en 
lugar de ser un disco sólido, a veces tiende a fallar por fractura radial en el aro. La AGMA define: 
t
R
B h
tm = 
 Donde: 
mB = Razón de respaldo 
tR = Espesor del aro 
ht = Alto del diente 
 
Si 2.15.0 ≤≤ Bm entonces 4.32 +⋅= bB mK 
Si mB > 1.2 entonces KB = 1.0 
Si Disco Sólido entonces KB = 1.0 
 
Figura 6.26: Parámetros para el factor de espesor de borde