Empuje de tierras

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EMPUJE DE TIERRAS
DENIS AVON
Tipos de empuje
H
hσ
H
hσ
H∆
Cuña de falla 
del suelo
H
hσ
H∆
Cuña de falla 
del suelo
H
PRESIÓN EN REPOSO
H
PRESIÓN ACTIVA
H
PRESIÓN PASIVA
VARIACIÓN DE LA PRESION LATERAL DE LA TIERRA A UNA CIERTA 
PROFUNDIDAD
)( pasivahσ
 blanda arcilla para 0.04 
suelta arena para 001.0=




 ∆
aH
H
 blanda arcilla para 0.05 
suelta arena para 01.0=




 ∆
pH
H
hσ
H
H∆
−
H
H∆
+
 blanda arcilla para 0.05 
)(activahσ
)(reposohσ
aH
H





 ∆
pH
H





 ∆
Empuje de reposo
H
q
φγ ,,c
z
σσ
vσ
Resistencia al corte del suelo
φσ tan'+= cs
zqv γσ +=
uK vh += '0σσ
reposo de empuje de ecoeficient=K
H
hσhσ
vσ
agua del poros depresión 
reposo de empuje de ecoeficient0
=
=
u
K
φsenK −=10
uzqKh ++= )'(0 γσ
uzKqKh ++= '00 γσ
Empuje de reposo
Si no hay nivel freático
uzqKh ++= )'(0 γσ
zKqKh γσ 00 +=
qK0
zK γ
Si hay nivel freático
1H
qK0
H
zK γ0
HK γ0
2
H
01E
3
H
02E
02010 EEE +=HqKE 001 =
2
002 2
1
HKE γ=
H
NF
2H
( )10 HqK γ+
( )210 'HHqK γγ ++ 2Hwγ
h'σ u
0
0201 32
E
H
E
H
E
yR
+
=
EJEMPLO
Para el muro de contención mostrado en la figura determine la fuerza lateral de la tierra en reposo 
por unidad de longitud de muro y determine la posición de la resultante
NF
m2
3=γ
2/6.1 mton
1
Diagrama de esfuerzos horizontales
1E
mtonxE /6.126.12
1
1 ==
my 67.323 3
1
1 =+=
mtonxE /8.436.12 ==
my 50.1
2
3
2 ==
( ) mtonxE /025.236.195.22
1
3 =−=
o
c
mton
30
0
/6.1 3
=
=
=
φ
γ
0',0',0En === hvz σσ
m3
o
sat
c
mton
30
0
/9.1 3
=
=
=
φ
γ
50.03011 020 =−=−= sensenK φ
2
2
/6.12.350.0'
/2.326.1',2En 
mtonx
mtonxz
h
v
==
===
σ
σ
2
2
2
/313
/95.29.550.0'
/9.5))0.19.1(3(2.3',5En 
mtonxu
mtonx
mtonxz
h
v
==
==
=−+==
σ
σ
2/95.2 mton
2/3 mton
2
3 4
1y 2E
2y
3E
3y
my 00.133
1
3 ==
mtonxE /5.4332
1
4 ==
my 00.133
1
4 ==
4321 EEEEE +++=
5.4025.28.46.1 +++=E
mtonE /925.12=
925.12
0.15.40.1025.25.18.467.36.1 xxxx
yR
+++
=
myR 516.1=
4E
Ejemplo: Para el muro mostrado, determine la fuerza lateral total de 
reposo y su ubicación
En z= 0 → 
2
hh 5.2)50*6.1 (5.0 σ ´σ mton=+==
En z= 3m → 
2
hh /9.4)3*6.15( 5.0 σ ´σ mton=+==
Nivel 
Freático
5t/m2
3m
6m
γ =1.6t/m3, Ø = 30º, c=0
γsat =1.8t/m
2, Ø = 35º, c=0
Arena
5.0301 0 =−= SenKo
43.0351 0 =−= SenKo
2/21.4)3*6.15( 43.0 σ ´σ mton=+==
Solución
Estrato 2
2
voh 28.6)6)18.1(3*6.15( 43.0 ́ σK ´σ mton=−++==
2
h 28.126*128.6 σ mton=+=
En z= 6m → 
2
hh /21.4)3*6.15( 43.0 σ ´σ mton=+==
 
Eo
yR
25.2 mton
1
3
2
4
29.4 mton
221.4 mton
228.12 mton
my
mtonE
E
R
o
o
39.3
57.60
3
6
*21.24
2
6
*26.25)
3
3
6(6.3)
2
3
6(5.7
57.6021.2426.256.35.7
2
6)21.428.12(
6*21.4
2
3)5.29.4(
3*5.2
=
+++++
=
=+++=
−
++
−
+=
Empuje activo de RANKINE
H
φγ ,,cz
σσ
vσ
φσ tan'+= cs
x∆
s
Estado de equilibrio plástico
2
45
φ
+
Línea de falla
H
hσhσ
vσ
Rotación del muro
σ
φ
O
c
KoσV σVσhσa
Empuje activo de RANKINE
φσ tan'+= css
φ
c
Estado de equilibrio plástico
2
av σσ −
( ) ( ) φφσφσ cos211 csensen va −−=+
( )
( ) ( )φ
φ
φ
φ
σσ
sen
c
sen
sen
va
+
−
+
−
=
1
cos
2
1
1
( )
( )φ
φ
sen
sen
ka
+
−
=
1
1
σ
φ
σVσa
φtan
c
2
av σσ +
2tan
2
av
av
c
sen
σσ
φ
σσ
φ
+
+
−
=
( ) avav sen
csen
σσφσσ
φ
φ
−=++
tan
2
avav sensenc σσφσφσφ −=++cos2
( )φsen+1
( ) ( )
( )( )
( )22
2
1
11
1
1
1
cos
φ
φφ
φ
φ
φ
φ
sen
sensen
sen
sen
sen +
+−
=
+
−
=
+
( )
( )
( ) a
k
sen
sen
sen
=
+
−
=
+ φ
φ
φ
φ
1
1
1
cos
avaa kck 2−= σσ
Alternativamente: ( )22 45tan φ−=ak
Empuje activo de RANKINE
Diagrama de presiones
avaa kck 2−= σσ
zv γσ =
akc2−
cz
02 =− aca kczk γ
c
k
c
z
γ
2
=
H
vak σ
akc2
- =
ava kck 2−σ
a
c
kγ
aaa kcHHkE 2
2
2
1 −= γ
Antes de formarse la grieta Después de formarse la grieta
( )( )aaca kcHkzHE 221 −−= γ
Ejemplo
Determine el empuje activo de Rankine por unidad de longitud del muro y la localización de la línea de acción 
de la resultante
406.0
251
251
1 =
+
−
=
sen
sen
ka
0=vσ
2m
0
3
25
0
/6.1
=
=
=
φ
γ
c
mt
NF
333.0
301
301
2 =
+
−
=
sen
sen
ka
En z=0 0=aσ
1.30ton/m21.07ton/m2
0
3
30
0
/9.1
=
=
=
φ
γ
c
mtsat
4m
2.36.12 == xvσEn z=2
30.1406.02.31 == xaσ
07.1333.02.32 == xaσ
8.6)0.19.1(42.3 =−+=vσEn z=6
26.2333.08.62 == xaσ
40.14 == xu
1.30ton/m21.07ton/m2
2.26ton/m2
+
4ton/m2
( ) 44407.126.2407.123.1 212121 xxxxEa +−++=
mtonEa /96.15=
m
xxx
yR 78.196.15
3/4*83/438.22/428.4)3/24(3.1
=
++++
=
Ejemplo: Determine el empuje activo y su ubicación
En z= 0 → 
248.2)80*8.1 (31.0 σ ´σ mtonhh aa =+==
2
v 66.6)9)19.1(3*8.18( 31.0 ́ σK `σ mtonh aa =−++==
En z= 3m → 
En z= 12m → 
2/15.4)3*8.18( 31.0 σ ´σ mtonhh aa =+==
Nivel 
Freático
8t/m2
3m
9m
γ =1.8t/m3, Ø = 32º, c=0
γsat =1.9t/m
2, Ø = 32º, c=0
Arena 31.0
321
321
=
+
−
=
Sen
Sen
Ka
Solución:
v 66.6)9)19.1(3*8.18( 31.0 ́ σK `σ mtonh aa =−++==
266.159*166.6 σ mtonha =+=
En z= 12m → 
 
248.2 mton
yR
Ea
3
1 2
4
215.4 mton
266.15 mton
my
mtonE
E
R
a
a
30.4
08.99
3
9
*79.51
2
9
*35.37)
3
3
9(50.2)
2
3
9(44.7
08.9979.5135.3750.244.7
2
9)15.466.15(
6*15.4
2
3)48.215.4(
3*48.2
=
+++++
=
=+++=
−
++
−
+=
Ejemplo: Determine el empuje activo después de que ocurre la grieta y 
su ubicación
En z= 0 → 
209.639.0*8*2)100*15 (39.0 σ mk�ha −=−+=
2/31.1739.0*8*2)4*1510( 39.0 σ mk�h =−+=
10t/m2
4m
γ =15KN/m3
Ø = 26º
c=8kN/m2
39.0
261
261
=
+
−
=
Sen
Sen
Ka
m
q
Ka
c
Z c 04.115
10
39.015
8*22
=−=−=
γγ
Solución:
En z= 4m → 
2/31.1739.0*8*2)4*1510( 39.0 σ mk�ha =−+=
99.0
3
)04.14(
62.25
2
)04.14(*)31.17( 2
=
−
=
=
−
=
R
a
y
mk�E
1.04m
209.6 mk�−
2/31.17 mk�
Ea
yR
Empuje activo de RANKINE para relleno inclinado
Relleno granular c=0
φγ ,
α
φαα
φαα
α
22
22
coscoscos
coscoscos
cos
−+
−−
=ak
zkaa γσ =
21 HkE γ=
Hz
H/3
α
Ea
2
2
1 HkE aa γ=
Valores de Ka
Empuje activo de RANKINE para relleno inclinado
Relleno con c≠0
( ) 1cos..cos8cos4coscoscos4.cos2cos2
cos
1 22
2
2222
2
' −














+





+−−





+= φφα
γ
φ
γ
φααφφ
γ
α
φ
sen
z
c
z
c
sen
z
c
ka
αγσ cos'aa zk=
a
c
k
c
z
γ
2
=
Valores de ak 'Valores de ak '