Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-134

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Capı́tulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
o equivalentemente, x1 y x2 son raı́ces de p (esto significa que estamos en el
caso ∆ ≥ 0). Luego, tanto (x − x1) como (x − x2) son factores de p. Más
precisamente, se tiene que p se factoriza como:
p(x) = a(x − x1)(x − x2).
Ejemplo 114. Factorizando un polinomio cuadrático. Utilizar la resolvente
para factorizar los polinomios
p(x) = x2 + x − 6 y q(x) = 2x2 − 20 − 6x.
Una vez obtenida la factorización, verificar que es correcta resolviendo el pro-
ducto para recuperar los polinomios dados.
Solución: Comencemos aplicando la resolvente para hallar las soluciones de
p(x) = 0:
x1,2 =
−1 ±
√
1 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6)
2 ⋅ 1
=
−1 ± 5
2
,
de lo que se infiere x1 = 2 y x2 = −3. Entonces, podemos factorizar p como
p(x) = (x − 2)(x + 3).
Para verificar, hacemos la distributiva y operamos:
(x − 2)(x + 3) = x2 + 3x − 2x − 6 = x2 + x − 6 = p(x). "
Con respecto a q, tenemos
x1,2 =
6 ±
√
(−6)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−20)
2 ⋅ 2
=
6 ± 14
4
,
lo que implica x1 = 5 y x2 = −2. Por lo tanto q se factoriza como
q(x) = 2(x − 5)(x + 2).
Realicemos la verificación:
2(x−5)(x+2) = 2(x2+2x−5x−10) = 2(x2−3x−10) = 2x2−6x−20 = q(x),"
por lo que la factorización obtenida es correcta. E
o Un error frecuente es olvidar el número a en la factorización anterior, y
escribir
q(x) = (x − 5)(x + 2). %
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