Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-138

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Capı́tulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
Estas tres opciones son las únicas posibilidades para las soluciones de un
sistema de este tipo: una, ninguna o infinitas.
Los sistemas reciben un nombre de acuerdo a la cantidad de soluciones que
posean: compatible determinado (solución única), compatible indeterminado
(infinitas soluciones), o incompatible (sin soluciones).
La resolución analı́tica de este tipo de sistemas es bastante sencilla, pues con-
siste esencialmente en transformar el sistema en una ecuación lineal de una sola
incógnita, resolverla y hallar con la solución obtenida el valor de la incógnita
restante. Para ello, veremos dos métodos que describiremos a continuación.
Ù Método de sustitución. Como su nombre lo indica, este método consis-
te en despejar una de las incógnitas de alguna de las dos ecuaciones, y sustituir
lo obtenido en la restante.
Para ilustrar el procedimiento, resolvamos algunos sistemas mediante este
método.
Ejemplo 116. Resolviendo por sustitución: solución única. Resolver median-
te sustitución el siguiente sistema, y luego clasificarlo según la cantidad de so-
luciones:
{
2x + 4y = −10
x − 5y = 2.
Solución: Observando el sistema, lo más simple es despejar x de la segunda
ecuación para obtener
x = 2 + 5y. (∗)
Ahora sustituimos esta expresión donde aparece x en la primera ecuación y re-
solvemos:
2(2 + 5y) + 4y = −10 ⇐⇒ 4 + 10y + 4y = −10 ⇐⇒ 14y = −14 ⇐⇒ y = −1.
Ya tenemos el valor para y, por lo que reemplazando en (∗) obtenemos
x = 2 + 5(−1) = −3.
Para verificar, podemos reemplazar estos dos valores en ambas ecuaciones y ver
que las igualdades se cumplen. Por lo tanto la solución al sistema es x = −3,
y = −1, y el sistema es compatible determinado (tiene solución única). E
Ejemplo 117. Resolviendo por sustitución: infinitas soluciones. Utilizar el
método de sustitución para resolver y clasificar el siguiente sistema:
{
2x − 3y = 1
−4x + 6y = −2.
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