RESUMEN TEMA 1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
RESUMEN DEL TEMA 1
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1.- INTRODUCCION: Uno de los temas centrales del algebra lineal es el de sistema de
ecuaciones lineales, ya que la mayoría de los problemas derivados de otros conceptos del algebra
lineal terminan con la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Esto hace que pueda
considerarse como un eje que atraviesa todo el programa de la asignatura y a lo largo de su
desarrollo lo vamos a corroborar.
Es muy probable que muchos de ustedes, con anterioridad, hayan tenido contacto con este tema
ya sea en sus estudios preuniversitarios como en alguna asignatura previa de su carrera al resolver
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas derivados de la resolución de distintas situaciones
problemáticas. Quizás aprendieron distintos procedimientos o métodos de resolución de tales
sistemas y mediante ellos hayan determinado si esos sistemas tenían o no solución y en el caso de
tenerla, determinaron el tipo de solución que tenía.
En el presente capítulo extenderemos el concepto ampliando la cantidad de ecuaciones y de
incógnitas y en particular generalizaremos un procedimiento ya estudiado como lo es el método de
eliminación, mediante la incorporación del algoritmo de Gauss. Este algoritmo permite resolver de
una manera más simple, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas con m,n números
naturales mayores que 1.
2- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Antes que nada recordemos lo que es una ecuación lineal con n incógnitas- que no es otra cosa
que el más elemental de los sistemas de ecuaciones lineales con n incógnitas- aquel que está formado
por una única ecuación con n incógnitas.
2.1.- Ecuación Lineal
2.1.1 Definición: Una ecuación lineal con n incógnitas x1,x2,x3, ,xn es una igualdad de la
forma:
a1x1  a2x2  a3x3   anxn  b 1
en la que todos y cada uno de los ai como también b son constantes conocidas y tanto ellas como
los x i pertenecen a algún cuerpo de números que en general y en nuestro curso, será el cuerpo de los
números reales, aunque también puede ser el cuerpo de los complejos.
Los ai se denominan coeficientes, b se denomina término independiente y los x i incógnitas o
variables. La ecuación será lineal cuando todas y cada una de las variables x i tengan exponente 1.
Ejemplo 1: Si en la 1 tomamos n  5, será i  1,2, , 5 y si adoptamos a1  1, a2  3,
a3  4, a4  2, a5  6, b  2 tendremos la ecuación x1  3x2  4x3  2x4  6x5  2
Ejemplo 2: Si en la 1 tomamos n  3, será i  1,2,3 y si adoptamos a1  2, a2  2, a3  1,
b  0 tendremos otra ecuación 2 x1  2x2  x3  0
2.1.2 Solución de una ecuación lineal en n variables
Resolver una ecuación como la 1, significa encontrar los valores de las incógnitas x i de modo
que reemplazados en la 1, la igualdad sea verdadera.
Así la solución de 1, si la hay, será una n  upla x1,x2,x3, ,xn ordenada de números en el
campo en el que estemos resolviéndola.
Si i  2 para encontrar la solución, será necesario expresar una de las variables en función de las
restantes. En consecuencia, habrá n  1 incógnitas que podrán tomar cualquier valor. A este tipo de
variables las denominamos variables libres o independientes, la variable restante que se expresa en
función de las variables libres, su valor, dependerá del valor que tomen éstas, motivo por el cual la
denominamos variable dependiente.
En vista de que en la solución de 1 hay variables que pueden asumir cualquier valor, y como
esos valores pueden adoptar los infinitos elementos del cuerpo de números, habrá infinitas
posibilidades de solución para la 1. En este caso decimos que la ecuación tiene infinitas
soluciones. Este es un aspecto importante que volveremos a analizar, cuando resolvamos un sistema
de ecuaciones lineales.
Puede suceder que en 1 ai  0 i y b  0, en este caso tendríamos una igualdad siempre falsa
para cualquier valor de las x i. En otras palabras no será posible encontrar valores de las incógnitas
de forma que la igualdad sea verdadera. En este caso decimos que la ecuación no tiene solución o
que es inconsistente. Este es otro aspecto que volveremos a recordar cuando resolvamos un sistema
de ecuaciones lineales.
2.2 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
2.2.1: Definición
Definimos a un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas al conjunto finito de m
ecuaciones de tipo 1 que se escribe de la forma:
I
a11x1  a12x2   a1nxn  b1
a11x1  a12x2   a1nxn  b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1x1  ai2x2   ainxn  bi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1  am2x2   amnxn  bm
Si en el sistema I es bi  0 i  1,2, ,m el sistema se denomina Sistema Homogeneo.
2.2.2.-Solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
Resolver el sistema I significa encontrar los valores de las variables x i i  1,2, ,n de manera
que al reemplazarlos en todas y cada una de las m ecuaciones de I éstas se conviertan en
igualdades verdaderas. En otras palabras encontrar la solución de I es hallar valores x i  c i
i  1,2, ,n de manera que la n  upla de números c1,c2,c3, ,cn sea solución de todas y cada
una de las m ecuaciones de I.
Es decir que la n  upla de números c1,c2,c3, ,cn es solución del sistema I si al
reemplazar en todas y cada una de las ecuaciones los valores x1  c1, x2  c2, , xn  cn las
igualdades son todas verdaderas.
Al conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales lo denominamos el
Conjunto solución del sistema.
Dado un sistema tal como el I puede suceder dos cosas:
1. Que tenga solución (En este caso diremos que es Consistente)
2. Que no tenga solución (En este caso diremos que es Inconsistente)
En el primer caso, (el sistema es consistente) entonces: puede ocurrir que:
1.1) Tenga solo una solución (En este caso diremos que tiene solución única)
1.2) Tenga más de una solución (En este caso diremos que tiene infinitas soluciones).
Para poder determinar si tiene o no solución y en caso de tenerla, determinar si es única o si hay
más de una, no queda otra alternativa que resolver el sistema. La pregunta es ¿Cómo lo hacemos?.
Para responderla vamos a recordar un procedimiento que en la escuela media hemos utilizado para
resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, el método de eliminación.
Extenderemos luego este procedimiento para la resolución de un sistema de cualquier número de
ecuaciones y cualquier número de incógnitas, introduciendo un algoritmo que simplifica el método y
que se atribuye al matemático Gauss por lo que lleva su nombre.
Recordemos el método de eliminación para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas como el siguiente:
I
2x  3y  1
5x  4y  6
El método consiste en eliminar en una de las ecuaciones de I alguna de las incógnitas, a fin de
hallar la restante por despeje y luego por sustitución en la otra ecuación determinar la que se había
eliminado. De esta manera, habremos encontrado la solución del sistema.
Por ejemplo para eliminar la variable x bastaría lograr en cada una de las ecuaciones, que los
coeficientes respectivos de esa variable sean opuestos, de manera que si sumamos miembro a
miembro ambas ecuaciones podemos eliminar esta variable.
Esto se logra si multiplicamos la segunda ecuación por el coeficiente de x de la primera y a la
primera ecuación por el opuesto del coeficiente de x de la segunda ecuación. En el ejemplo queestamos considerando será:
25x  4y  26  10x  8y  12
52x  3y  51  10x  15y  5
Como podemos apreciar, en éstas dos últimas ecuaciones los coeficientes de x son opuestos por
lo que si las sumamos miembro a miembro, se obtiene una ecuación que solo contiene la variable y a
saber: 7y  7 de la que podemos despejar: y  77  1
Si reemplazamos este valor de y en la primera ecuación de I tenemos:
2x  31  1  2x  3  1  2x  1  3  2x  4  x  2
Gauss generalizó el método utilizando un algoritmo que trabaja sólo con los coeficientes de las
variables y el término independiente en cada una de las ecuaciones. Lo exponemos a continuación.
Para ello se considera cada una de las ecuaciones como una fila de números constituidos por los
coeficientes de las variables ordenadas y el término independiente y al conjunto de esas filas
ordenadas las denominamos matriz de los coeficientes (filas que contienen solo los coeficientes) y
matriz ampliada (filas a las que se agrega el término independiente). En el ejemplo tendremos:
2 3
5 4
matriz de coeficientes
2 3 1
5 4 6
matriz ampliada.
En este ordenamiento rectangular de números, la fila respectiva indica la ecuación y la columna
indica la variable o el término independiente cuando se trata de la última columna.
Escribamos las matrices ampliadas de los sistemas original I y equivalente II
2 3 1
5 4 6
I y
2 3 1
0 7 7
II
El algoritmo consiste en sistematizar las operaciones que se realizan para pasar de I a II.
Veamos cómo.se aplica al ejemplo que estamos considerando.
Para pasar de I a II se ha mantenido la primera fila (porque su ecuación tiene el coeficiente
de x (primera variable) no nulo y hemos modificado la segunda ecuación mediante operaciones
realizadas entre las ecuaciones iniciales. Asi hemos cambiado la fila 5 4 6 por su equivalente 0 7
7. Veamos cómo se obtiene cada uno de sus elementos:
El 0 resulta de la siguiente operación: 2  5  5  2  10  10  0
El 7 resulta de la siguiente operación: 2  4  5  3  8  15  7
El 7 resulta de la siguiente operación: 2  6  5  1  12  5  7
Es decir lo que en realidad hemos hecho es:
1 Verificar que el coeficiente de la primera variable de la primera fila sea no nulo (se lo
denomina pivot). Se copia la primera fila.
2 Para obtener la segunda fila se coloca 0 en su primer elemento (la operación realizada siempre
dará ese resultado).
3 Para cada uno de los elementos restantes, de la fila, se va multiplicando en cruz, primero el
pivot por el elemento respectivo y luego el primer elemento de la fila considerada por el elemento
respectivo de la primera fila, restando los productos se obtiene el nuevo elemento.
El proceso termina cuando hemos llegado a la última fila construyendo escalones cuya altura
solo cubra una fila (similar a lo que ocurre en una escalera).
Veamos ahora como generalizamos el algoritmo. Para ello vamos a darle nombre a las
operaciones que permiten encontrar el sistema equivalente. Las llamaremos operaciones
elementales entre filas y aseguramos (sin demostrarlo) que ellas no modifican la solución del
sistema. Estas operaciones son:
2.2.3 Operaciones elementales entre filas
Estas operaciones permiten encontrar ecuaciones equivalentes, por lo que aplicadas a un sistema,
permiten encontrar un sistema equivalente al sistema al cual se aplica las operaciones elementales.
Ya sabemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
1. Multiplicar una fila (ecuación) por una constante no nula.
2. Intercambiar dos filas (ecuaciones)
3. Sumarle a una fila (ecuación) un múltiplo de otra.
2.3.-Método de Gauss (Algoritmo de Gauss)
Supongamos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tal como el I. Entonces este
sistema tiene una matriz ampliada constituida por m filas.
Llamemos F1,F2, ,Fm a sus filas y aij a sus elementos y F1
 ,F2
 , ,Fm a las filas de la matriz
ampliada del sistema equivalente luego de haber aplicado las operaciones elementales que permiten
eliminar la primer variable en todas y cada una de las ecuaciones del sistema a excepción de la fila
pivot. Entonces si a11  0 será:
F i  F i si i  1 y F i  a11F i  ai1F1 si ai1  0  F i  F i si ai1  0
El procedimiento se repite recursivamente para ir eliminando la segunda, tercera,, n  1
incógnitas en las submatrices que resultan de no considerar la fila pivot y la columna en la que
hacemos ceros (columna correspondiente a la variable que se elimina) en cada paso del proceso.
Terminado el proceso de escalonamiento hemos obtenido la matriz ampliada del sistema
escalonado equivalente. La solución de este sistema se puede encontrar por despeje de la última
ecuación y sustitución en las ecuaciones restantes desde abajo hacia arriba. La solución encontrada
(en caso de existir) será la solución del sistema original ya que ambos son equivalentes.
Observación: El algoritmo de Gauss requiere que la fila pivot tenga su primer elemento ( pivot)
no nulo por lo que si la primera fila de la matriz ampliada no cumple con ello, se requiere
intercambio de filas. ¿Qué ocurre si todas las filas de la matriz ampliada tienen su primera
componente nula? (Esto ocurre por ejemplo en un sistema en cuyas ecuaciones no aparece la primer
variable). En este caso, lo que se hace es correrse hacia la derecha y considerar la variable que sigue
para tomar el elemento pivot.
Veamos que situaciones se pueden presentar al terminar el proceso de escalonamiento. Ellas
tendrán relación directa con las posibilidades de solución que puede tener el sistema.
Al terminar el proceso de escalonamiento puede suceder que algunas filas se anulen
completamente (fila donde todos sus elementos son ceros), ello significará que podemos prescindir
en el sistema escalonado, de dicha ecuación ya que es una identidad (igualdad siempre verdadera). Si
la matriz está escalonada estas filas deberán situarse al final.
También puede suceder que en alguna fila se anulen todos los coeficientes de las incógnitas, pero
no el término independiente. En este caso la ecuación correspondiente en el sistema escalonado sera
una igualdad siempre falsa. Ello nos indica que independiente de lo que suceda con las restantes
ecuaciones, el sistema no tiene solución, es decir es inconsistente, ya que una de sus ecuaciones no
admite solución.
Si al terminar el proceso de escalonamiento, no se ha producido inconsistencia en ninguna de las
filas, entonces podemos afirmar que el sistema tiene solución. En este caso pueden producirse dos
situaciones:
Suponiendo que en el sistema escalonado quedaron r ecuaciones no nulas tendremos:
Si r  n como la cantidad de incógnitas es también n entonces la última ecuación solo
contiene la variable xn, por lo que podemos encontrar su valor despejándola y luego por sustitución
reiterada (hacia atrás) en las ecuaciones restantes obtener el valor de las demás variables. En este
caso habremos encontrado un único valor para cada una de las variables x i i  1,2, ,n, y en
consecuencia podremos afirmar que el sistema es consistente con única solución.
Si r  n , tendremos que la última ecuación (o alguna de las r  1 ecuaciones) contiene más de
una incógnita, por lo que al realizar el despeje necesariamente se tendrá que expresar alguna de las
variables en función de las otras. Es decir habrá variables libres y en consecuencia el sistema será
consistente con infinitas soluciones.
La cantidad de variables libres que haya, será la diferencia entre la cantidad de incógnitas
del sistema original y el número de ecuaciones del sistema escalonado. Si llamamos N a la
cantidad de variables libres, este número será N  n  r.
En resumen, si en el sistema escalonado, ninguna de sus ecuaciones es una falsedad, tendremos
que el sistema es consistente:.
Si r  n, será N  0 y entonces el sistema será consistente con única solución.
Si r  n será N  n  r  0, entonces el sistema será consistente con infinitas soluciones.
Elegidas las variables libres, despejamoslas restantes (variables dependientes) en función de las
libres y encontramos la solución. Esta n  upla tendrá la particularidad de no estar numéricamente
determinada ya que sus componentes estarán en función de las variables libres, pero al ser solución
del sistema, si la reemplazamos en todas y cada una de las ecuaciones del sistema, se verificarán las
igualdades independientemente de los valores que podrían tomar las variables libres. Por esta razón
se la denomina solución general del sistema.
Si asignamos valores numéricos (particulares) a las variables libres y los reemplazamos en la
solución general del sistema obtenemos una solución particular del mismo. Como esto se puede
realizar indefinidamente (hay infinitos números reales para asignar), podemos afirmar que el sistema
tiene infinitas soluciones.
Así al proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el algoritmo de
Gauss, podemos resumirlo en los siguientes pasos:
1. Escribir la matriz ampliada del sistema.
2. Utilizar el algoritmo de Gauss para escalonar la matriz ampliada y encontrar el sistema
escalonado equivalente.
3. Si en el sistema escalonado, al menos una de sus ecuaciones es una inconsistencia (igualdad
siempre falsa), entonces podemos afirmar que el sistema es Inconsistente (no tiene solución).
Caso contrario podemos afirmar que es Consistente (tiene solución).
4. Si es consistente, hacemos la diferencia N  n  r siendo n : número de incógnitas del
sistema original y r : número de ecuaciones del sistema escalonado y N : número de
variables libres
i) Si N  0 (no hay variables libres) entonces el sistema tiene solución única.
ii) N  0 (hay variables libres) el sistema tiene infinitas soluciones.
Observación: Nunca puede ocurrir que luego del proceso de escalonamiento sea r  n, es
decir N  0. Si nos encontramos con esa situación es porque aun no hemos terminado el proceso
de escalonamiento, es decir, el sistema aun no está escalonado.
En el caso de que el sistema sea homogéneo siempre será consistente ya que al ser todos los
terminos independientes nulos en todas sus ecuaciones, en el proceso de escalonamiento nunca se
dará una inconsistencia. Además siempre tendrá al menos una solución, la nula. A la solución nula
suele denominarse solución trivial.
A los efectos de que quede claro el significado de matriz escalonada daremos la siguiente
definición:
Decimos que una matriz A esta en su forma escalonada o que es una matriz escalonada si
cumple:
1 Las filas nulas (si las hay) se ubican al final
2 En cada fila el primer elemento distinto de cero (denominado elemento principal ó cabeza de
escalón ó pivot) se ubica en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella
2.3.1.–Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (caso particular para m  2 y n  2)
a11x  a12y  b1
a21x  a22y  b2
donde a11,a12,a21,a22,b1 y b2 son números dados (constantes).
Dada una ecuación de la forma a11x  a12y  b1, si al menos una de las constantes a11,a12 es
distinta de cero, representa en 2 una recta.
Una solución del sistema es un par ordenado de números reales x,y que satisface cada una de
las ecuaciones del sistema, es decir una solución del sistema es un punto de 2 que pertenece a cada
una de las rectas, por lo que el conjunto solución del sistema será el conjunto de puntos comunes que
tienen ambas rectas.
Si analizamos geométricamente el problema, dadas dos rectas en el plano, puede suceder que:
1 Tengan un único punto en común. En este caso se dice que son secantes o que se cortan.
2 Tengan todos sus puntos en común. En este caso decimos que son paralelas iguales o
coincidentes.
3 No tengan puntos en común. En este caso decimos que son paralelas distintas.
Si escribimos lo anterior en términos de la solución del sistema tendremos que:
1 El sistema tiene solución única (las rectas son secantes)
2 E sistema tiene infinitas soluciones (Las rectas son paralelas iguales)
3 El sistema no tiene solución (Las rectas son paralelas distintas)
2.3.2.-Sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (caso particular para m  2 y n  3)
:
a11x  a12y  a13z  b1
a21x  a22y  a23z  b2
donde a11,a12,a13,a21,a22,a23,b1 y b2 son números reales dados
(constantes).
Una ecuación de la forma a11x  a12y  a13z  b1, si al menos una de las constantes a11, a12,
a13 es distinta de cero, representa en 3 un plano.
Una solución del sistema, es una terna ordenada de números reales x,y, z que satisface cada
una de las ecuaciones del sistema, es decir una solución del sistema es un punto de 3 que pertenece
a cada uno de los planos, por lo que el conjunto solución del sistema será el conjunto de puntos
comunes que tienen los dos planos.
Si analizamos geométricamente el problema, dados dos planos puede suceder que:
1 Tengan todos sus puntos en común. En este caso decimos que son paralelos iguales o
coincidentes.
2 Tengan infinitos puntos alineados en común (Se corten en una recta): En este caso decimos
que son secantes.
3 No tengan puntos en común. En este caso decimos que son paralelos distintos.
Para anlizar la solución del sistema, al ser un sistema que tiene más incógnitas que ecuaciones, si
tiene solución, tendrá infinitas soluciones o bien será inconsistente. Al realizar el proceso de
escalonamiento puede suceder que:
1 El sistema tiene infinitas soluciones con 2 variables libres (los planos son paralelos iguales).
2 E sistema tiene infinitas soluciones con 1 variable libre, los planos se cortan en una recta
(son secantes).
3 El sistema no tiene solución (los planos son paralelos distintos).
Ejemplo 1: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x  y  z  1
x  y  z  2
x  2y  z  0
i) Determina si es o no consistente.
ii) En el caso de que sea consistente, indica, justificando tu respuesta, el tipo de solución que
posee y determina la misma.
iii) Para el caso de infinitas soluciones encuentra la solución general y da una solución
particular.
2x  y  z  1
x  y  z  2
x  2y  z  0
. Cuya matriz ampliada asociada es:
2 1 1 1
1 1 1 2
1 2 1 0
Aplicamos el proceso de Gauss para encontrar el sistema escalonado equivalente
2 1 1 1
1 1 1 2
1 2 1 0
2 1 1 1
0 1 3 3
0 3 1 1
2 1 1 1
0 1 3 3
0 0 10 10
2 1 1 1
0 1 3 3
0 0 1 1
El sistema escalonado es:
2x y z  1
y 3z  3
z  1
El sistema es consistente (tiene solución) ya que ninguna de las ecuaciones del sistema
escalonado presenta una inconsistencia. Para determinar el tipo de solución debemos ver si hay o no
variables libres. Para ello recordemos que su número se consigue restando el número de incógnitas
del sistema y el número de ecuaciones del sistema escalonado. En el ejemplo es N  n  r 
3  3  0 variables libres, entonces podemos decir que el sistema tiene única solución.
Resolvemos el sistema escalonado equivalente para encontrar la solución. Esto se consigue
despejando de la última ecuación la incógnita z y luego por sustitución en las otras ecuaciones se
encuentra las restantes incógnitas x,y. Así tenemos:
z  1 sustituyendo en y  3z  3 tenemos: y  31  3  y  3  3  y  0.
sustituyendo los valores de z e y en 2x  y  z  1 tenemos 2x  0  1  1  2x  2  x  1.
Entonces la única solución es: x,y, z  1,0,1.
Como esta terna es también solución del sistema original, te invito a que reemplaces estos
valores en cada una de las ecuaciones del sistema original y verifiques que se cumplen todas las
igualdades.
2.4.-Método de Gauss-Jordan (Para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas con única
solución)
Este método consiste en realizar un doble escalonamiento. Luego de haberse aplicado el proceso
de escalonamiento de Gauss, a la matriz ampliada del sistema, se aplica nuevamente el proceso pero
ahora en forma inversa, es decir partiendo de la última ecuación y eliminando sucesivamente las
variables en las ecuaciones que se encuentran por arriba de la última. Esto permitirá obtener una
matriz de forma que sus filas sólo contenganuna de las variables en su primer miembro, de tal forma
que las variables en el sistema escalonado ya están determinadas (despejadas). Luego de terminado
el proceso la matriz de coeficientes del sistema se ha trasformado en la matriz identidad.
En el caso del ejemplo 1 después del escalonamiento habitual de Gauss la matriz ampliada
escalonada nos quedó:
2 1 1 1
0 1 3 3
0 0 1 1
Comenzamos por la última fila. El pivot a considerar es 1
Debemos hacer ceros encima del mismo y recalcular las otras componentes
de las filas hasta lograr que la matriz quede escalonada hacia arriba
2 1 1 1
0 1 3 3
0 0 1 1
F1
F2
F3

2 1 0 2
0 1 0 0
0 0 1 1
F1

F2

F3


2 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 1
F1

F2

F3



1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
F1

F2

F3

En el proceso de escalonamiento hemos realizado las siguientes operaciones elementales:
Para pasar de la 1er matriz a la 2da: F3
  F3 y F2
  3F3  F2 y F1  F3  F1
Para pasar de la 2da matriz a la 3ra: F3
  F3
 y F2
  F2
 y F1
  F1
  F2
Para pasar de la 3ra matriz a la 4ta: F3
  F3
 y F2
  F2
 y F1
  12 F1

El sistema escalonado es
x  1
y  0
z  1
Como en el sistema escalonado hay tantas ecuaciones como variables tiene el sistema original,
entonces no hay variables libres (N  0), entonces el sistema tiene única solución. Además vemos
que en cada una de las ecuaciones ya quedan despejadas las incógnitas, cuyos valores en este caso
son:
x  1, y  0, z  1. La única solución es x,y, z  1,0,1 tal como habíamos encontrado
anteriormente usando el método de Gauss.
2.5.-Sistema de ecuaciones lineales con parámetros
Antes de abordar los sistemas lineales con parámetros, recordemos en qué consiste resolver una
ecuación con una incógnita y uno o más parámetros (que no es otra cosa que el más elemental
sistema con parámetros).
Por ejemplo pensemos en la ecuación en la incógnita x y los parámetros a y b : ax  b 1
Resolverla significa encontrar el valor de la incógnita x. Como los valores de a y b son números
reales pero que no son conocidos (determinados), debemos analizar todos los posibles valores para a
y b. Para ello, debemos considerar dos situaciones:
1. Si a  0  a1  x  ba1. Es decir la ecuación tiene única solución b.
2. Si a  0  0x  b. En esta última igualdad necesitamos considerar dos situaciones:
i Si b  0  0x  0 es Verdadero x  . Entonces la ecuación tiene infinitas soluciones.
ii Si b  0  0x  b es Falsa x  . Entonces la ecuación no tiene solución.
Como hemos podido observar, resolver la ecuación 1 consiste en determinar los valores de los
parámetros a y b que hacen que la 1 se transforme en una ecuación que:
Tiene solución única Si a  0,b.
Tiene infinitas soluciones. Si a  0  b  0.
No tiene solución. Si a  0  b  0.
Cualquier otra ecuación en una variable y con parámetros puede escribirse como la 1, haciendo
uso de las propiedades de los números reales. En consecuencia cada vez que debamos resolver una
ecuación con parámetros, terminaremos haciendo un análisis similar al realizado para ella.
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1:
Analiza los valores del parámetro k para los distintos tipos de solución de la siguiente ecuación:
k2x  k  x  1 I
Veamos como llevamos a la ecuación I a la forma de la ecuación 1
k2x  k  x  1  k2x  x  k  1  k2  1x  k  1  k  1k  1x  k  1 1
Si hacemos k  1k  1  a y k  1  b tendremos que la ecuación dada se puede escribir de
la forma: ax  b
Siguiendo el análisis realizado anteriormente para ella tendremos:
Si k  1k  1  0.
Para encontrar los valores de k para los que k  1k  1  0, encontramos primero los valores
de k para los que k  1k  1  0. Recordemos que un producto es nulo cuando alguno de los
factores es nulo. En consecuencia
k  1k  1  0  k  1  0  k  1  0  k  1  k  1
Por lo tanto k  1k  1  0. k  1  k  1 por lo que:
1. Si k  1  k  1 la 1 tiene única solución. Esta resulta de despejar x de la 1. Es decir:
x 
k  1
k  1k  1
 x  1
k  1
cancelamos k  1 gracias a que k  1
Así si .k  1  k  1. la única solución de I es x  1
k  1
y el conjunto solución es
CS  1
k  1
/ k  1  k  1
2 k  1k  1  0  k  1  k  1 entonces tenemos:
i) Si k  1 reemplazado en 1 tenemos que 1  11  1x  1  1  0x  0. Igualdad
verdadera x 
En consecuencia la 1 tiene infinitas soluciones. Es decir:
Si k  1 entonces la I tiene infinitas soluciones, la solución general será x  y el conjunto
solución: CS  .
ii) Si k  1 reemplazado en 1 tenemos que 1  11  1x  1  1  0x  2.
Igualdad falsa x  . En consecuencia la 1 no tiene solución. Es decir:
Si k  1 entonces la I no tiene solución en consecuencia el conjunto solución es: CS  
Hemos analizado todos los valores posibles para k, en consecuencia, podemos concluir que:
Si k  1  k  1 la I tiene única solución.
Si k  1 entonces la I tiene infinitas soluciones.
Si k  1 entonces la I no tiene solución.
Al resolver un sistema con parámetro, debemos tener presente que en realidad no se trata de un
sistema, sino de una familia de sistemas que se convierte en un sistema determinado, cuando le
asignamos un valor numérico al ( los) parámetro (s). Por lo tanto cada sistema así determinado será
consistente o inconsistente y en el caso de consistencia tendrá única solución o infinitas soluciones.
Así que, resolver un sistema con parámetros, es encontrar el conjunto de valores del (de los)
parámetro (s) que nos diferencian los conjuntos de sistemas que son consistentes e
inconsistentes y en el caso de los primeros los subconjuntos de sistemas que tienen única
solución y los que tienen infinitas soluciones. En otras palabras, es determinar para que valore(s)
del (de los) parámetro (s) la familia de sistemas se transforma en sistemas que son inconsistentes,
consistentes con única solución o consistentes con infinitas soluciones.
Por lo tanto lo único que tenemos que saber y tener en cuenta al resolver este tipo de problemas
es: el concepto de solución de un sistema y las condiciones necesarias y suficientes para tener los
distintos tipos de solución.
En cuanto al proceso de resolución, el procedimiento de escalonamiento de Gauss es similar al
de cualquier sistema, con el cuidado de que si tenemos que tomar un parámetro como pivot,
debemos condicionarlo para que no sea nulo, teniendo presente que, a partir de allí, el proceso tiene
validez solo para esa condición. En consecuencia no será válido analizar para esos valores del
parámetro la solución del sistema en el sistema escalonado, ya que muchas veces esa condición no es
una condición de solución, sino solo condición de escalonamiento.
El tipo de solución para este valor particular, deberá analizarse antes de haberse impuesto tal
condición al mismo y asi determinar si es o no una condición de solución, de lo contrario, podemos
encontrarnos con la sorpresa de que la respuesta que damos, no condice con la realidad del
problema. Esto lo pondremos de manifiesto en alguno de los ejemplos a desarrollar.
Como regla práctica conviene, de ser posible, evitar tomar un parámetro como pivot, el
intercambio de filas es un recurso que puede ser útil para ello. En el caso de no tener más alternativa
que tomar el parámetro como pivot, solo debemos recordar lo expresado anteriormente.
Ejemplo 1
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables x,y, z con parámetro k .Analiza
que valores debe tomar el parámetro para las distintas posibilidades de solución.
(I)
kx  y  z  1
x  ky  z  k
x  y  kz  k
Su matriz ampliada es
k 1 1 1
1 k 1 k
1 1 k k
Para aplicar el algoritmo de Gauss, vemos que el primer elemento de la primera fila es el
parámetro k, si queremos tomarlo como pivot deberíamos poner la condición k  0. Sin embargo
eso podemos evitarlo intercambiando la fila 1 por la 2. Esto es permitido ya quees una opreración
elemental que no modifica la solución del sistema. Hagámoslo y realicemos el primer paso del
procesos de Gauss
k 1 1 1
1 k 1 k
1 1 k k

1 k 1 k
k 1 1 1
1 1 k k

1 k 1 k
0 1  k2 1  k 1  k2
0 1  k k  1 0
k1
Observando la última matriz, vemos que aun no esta escalonada, por lo tanto debemos continuar
el proceso , pero nuevamente el primer elemento de la fila pivot está en función del parámetro.
Aunque si observamos la segunda y tercera fila (cada una por separado), vemos que sus elementos
tienen un factor común que es 1  k. En consecuencia si imponemos la condición que
k  1,podemos aplicar otra de las operaciones elementales multiplicando tanto la segunda como la
tercera fila por 1
1  k (o lo que es lo mismo dividir ambas por 1  k. Si hacemos esto nos queda:
1 k 1 k
0 1  k 1 1  k
0 1 1 0
Intercambiando la fila 2 con la 3 y escalonando luego

1 k 1 k
0 1 1 0
0 1  k 1 1  k

1 k 1 k
0 1 1 0
0 0 k  2 1  k
El sistema escalonado será
(II)
x  ky  z  k
y  z  0
k  2z  k  1
Ahora podemos realizar el análisis para condicionar el parámetro a fin de lograr que la ecuación
tenga, en cada caso la condición solicitada.
Recordemos que antes de realizar el análisis de solución en el sistema escalonado debemos ver si
en algun paso del proceso tuvimos que imponer condiciones al parámetro para poder seguir
escalonando. Si es asi debemos analizar que ocurre con la solución del sistema en el paso previo para
ese valor del parámetro y asi determinar si esa condición es una condición de solución o solo de
escalonamiento.
En el proceso impusimos la condición k  1. Reemplacemos k  1 en la matriz ampliada del
sistema antes de imponer esa condición y continuemos con el proceso de escalonamiento para ver
que ocurre con la solución del sistema:
Es decir hacemos k  1 en
1 k 1 k
0 1  k2 1  k 1  k2
0 1  k k  1 0
tenemos:
.
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
que ya esta en la forma escalonada por lo que el sistema equivalente en este
caso es:
x  y  z  1
Como podemos ver es consistente y la cantidad de variables libres es N  3  1  2, por lo que
si k  1 el sistema tiene infinitas soluciones.
Ahora podemos analizar la solución en el sistema escalonado II teniendo en cuenta que el
mismo vale si k  1.
Veamos cuando el sistema tendrá solución única. Para ello debe ser un sistema consistente y
ademas N  0 en consecuencia en el sistema escalonado no debe quedar ninguna inconsistencia y no
debe anularse ninguna ecuación ya que al tener el sistema 3 incógnitas debe haber 3 ecuaciones para
que la diferencia sea nula. Analizando las ecuaciones del sistema escalonado, deberá ser k  2.
Además debe cumplirse k  1 que como vimos anteriormente, para el valor k  1 el sistema tiene
infinitas soluciones, por lo que es condición de solución para el caso de única solución.
Asi que:
Si k  2  k  1 el sistema tendra solución única
Si k  2 al reemplazar en el sistema escalonado (II) tenemos:
x  2y  z  2
y  z  0
0z  1
Como podemos ver la 3ra ecuación es una inconsistencia así que el sistema es inconsistente si
k  2
Si k  1 ya vimos que el sistema es consistente con infinitas soluciones.
2.6.-Aplicaciones (de los sistemas de ecuaciones lineales para resolver situaciones
problemáticas)
Muchos de los problemas de la vida real y de las demás ciencias se pueden resolver mediante un
sistema de ecuaciones lineales que modeliza el problema. En realidad la mayoría de los problemas
no son del tipo lineal, pero a los efectos prácticos se los simplifica encontrando un modelo lineal que
permita encontrar una solución para los mismos. De alli que los sistemas de ecuaciones lineales sean
de mucha utilidad y en consecuencia la necesidad de saber resolverlos.
Ejemplo 1: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1  1,5 y
P2  2,1
Recordemos que la ecuación explícita de una recta en el plano (espacio 2 es de la forma:
y  mx  b
Como la recta que buscamos debe pasar por los puntos dados, éstos deben verificar su ecuación.
Si reemplazamos los valores x,y para cada uno de esos puntos tenemos:
Para P1  1,5: 5  m  b y Para P2  2,1: 1  2m  b
Como ambas igualdades deben cumplirse simultaneamente para que ambos puntos pertenescan a
la recta, tenemos que la solución del problema será la solución del sistema:
m  b  5
2m  b  1
Si lo resolvemos por Gauss tenemos:
1 1 5
2 1 1

1 1 5
0 3 9
. El sistema escalonado es:
m  b  5
3b  9
Cuya solución será: b  3 y m  2 y por lo tanto la solución del problema será la recta cuya
ecuación es: y  2x  3
Ejemplo 2: En un laboratorio se colocan en un tubo de ensayo tres tipos de bacterias A,B,C, las
que se alimentarán con tres tipos de nutrientes I, II y III. Si por día las bacterias consumen
respectivamente 2, 2 y 4 unidades del alimento I, 1, 2 y 0 del alimento II y 1, 3 y 1 del alimento III,
y se les proporciona por día 2300 unidades del alimento I, 800 unidades del alimento II y 1500
unidades del alimento III. ¿Cuál es la cantidad de bacterias de cada tipo que pueden coexistir en el
tubo consumiendo todo el alimento?
De la lectura del problema podemos determinar que sus incógnitas son las cantidades de
bacterias de cada tipo que pueden vivir en las condiciones dadas. Demosle un nombre a cada una de
ellas:
Sea x : cantidad de bacterias del tipo A; y : cantidad de bacterias del tipo B y z : cantidad de
bacterias del tipo C.
Ahora debemos plantear en función de los datos del problema las ecuaciones que resultan de las
condiciones dadas. Para ello hacemos el balance para cada uno de los tipos de alimentos ya que la
cantidad disponible de cada uno debe ser consumida totalmente por las tres bacterias que deben
convivir. Por lo tanto si multiplicamos la cantidad de bacterias de cada tipo por lo que consume cada
una de ellas y sumamos deberiamos obtener la cantidad de alimento a consumir.
Alimento tipo I : 2x  2y  4z  2300
Alimento tipo II : x  2y  0z  800
Alimento tipo III : x  3y  z  1500
Como la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de incógnitas del problema, podemos
decir que el problema puede ser determinado y que el sistema que lo modeliza (resuelve) sera:
2x  2y  4z  2300
x  2y  800
x  3y  z  1500
Te invito a que lo resuelvas y expongas la solución.
Ing Augusto A. Estrada V.