AM1_TP geogebra tutorial

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GEOGEBRA 
tutorial de comandos específicos 
para Análisis Matemático 1 
 
 
UTN- Fac. Reg. Haedo 
ANALISIS MATEMATICO 1 
 
TRABAJO PRÁCTICO DE LABORATORIO DE INFORMATICA 
 
Objetivos del Laboratorio de Informática en Análisis Matemático 1 
• Propiciar el uso de las TIC y software de aplicación para potenciar el aprendizaje de 
conceptos, técnicas y modelos matemáticos propios de las funciones, el límite y la 
continuidad de funciones de variable real y sus aplicaciones. 
• Promover el aprendizaje autorregulado facilitando el empleo de diversos recursos 
bibliográficos y multimediales del Cálculo diferencial e Integral en la construcción de 
argumentos válidos y aceptables de las producciones escritas u orales. 
 
 
Software GeoGebra 
El GeoGebra es un software libre de matemática. Ofrece representaciones diversas de los 
objetos: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas, planillas y 
hojas de datos vinculadas. 
 
USO DE GEOGEBRA EN LABORATORIO DE AM1 
BREVE TUTORIAL 
 
Cómo usar y/o descargar GeoGebra 
 
Podemos descargarlo en el siguiente enlace (seleccionemos la opción correspondiente al dispositivo 
pc, tablet o móvil) : 
 
Descargas – GeoGebra 
 
Es posible que el programa nos pida que instalemos una aplicación que se denomina Java. Es necesario 
instalar esta aplicación para que el programa funcione. 
También podemos utilizar el programa en forma online en el siguiente link: 
Calculadora gráfica - GeoGebra 
El programa dispone de un manual tutorial de Comandos para su uso 
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos 
del cual se extrajo parte de este resúmen. 
Qué son las apariencias? 
Dependiendo de la parte de la matemática para la que quieras utilizar GeoGebra Clásico, podrás 
seleccionar una de las Apariencias predefinidas. 
Cada Apariencia muestra aquellas Vistas y componentes de la interfaz de usuario más 
relevantes para trabajar en el campo correspondiente de la matemática. 
GeoGebra Clásico proporciona la siguientes Apariencias: 
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/graphing?lang=es
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos
 Graficación Geometría Hoja de cálculo 
 CAS Gráficos 3D Probabilidades 
Cada Apariencia cuenta con su propia Barra de herramientas que contiene una selección 
de Herramientas y de Comandos así como también Operadores y Funciones predefinidas que te 
permitirán crear construcciones dinámicas con diferentes representaciones de los objetos 
matemáticos. 
Cómo cambiar la apariencia 
Puedes cambiar la Apariencia en cualquier momento abriendo el Menú con el botón que se 
encuentra en la esquina superior derecha de la ventana de GeoGebra Clásico y seleccionando la 
Apariencia deseada desde el menú Apariencias . 
Cómo añadir vistas 
Si quieres que se muestren más Vistas, una junto a la otra selecciona el botón Menú que se 
encuentra en la esquina superior derecha de la ventana de GeoGebra Clásico y elige las Vistas que 
desees añadir desde el menú Vistas. 
Instrucciones 
1. 
 
Selecciona el botón Menú que se encuentra en la esquina superior derecha de la 
ventana de GeoGebra Clásico. 
2. 
 
Abre el menú Apariencias. 
3. 
 
Selecciona Graficación del menú Apariencias para abrir esa apariencia. 
4. 
 
Selecciona el botón Menú nuevamente. 
5. 
 
Abre el menú Vistas. 
6. Selecciona todas las Vistas que quieras que se muestren. 
7. 
Prueba algunas de las Herramientas disponibles en las distintas Barras de 
herramientas. 
 
Nota: Si seleccionas una Herramienta, aparece una Pista de herramienta explicando 
cómo se utiliza la misma. 
Cómo Personalizar la Vista gráfica 
Puedes personalizar la Vista gráfica mostrando u ocultando los ejes coordenados o distintos 
tipos de cuadrícula. 
1. 
Usa el botón de la Barra de estilo que se encuentra en la esquina superior derecha de la 
Vista gráfica para abrir la Barra de estilo. 
2. 
 
Usa el botón Ejes coordenados que se encuentra en la Barra de estilo para mostrar u 
ocultar los ejes coordenados. 
3. 
 
Selecciona el botón Cuadrícula y elige el tipo de cuadrícula que quieras mostrar en la 
 Vista gráfica. 
4. Usa el botón de la Barra de estilo nuevamente para cerrarla. 
Cómo Mover y acercar o alejar la Vista gráfica 
En ocasiones querrás mover o acercar/alejar la Vista gráfica para hacer que todos los objetos 
creados sean visibles en la pantalla. 
1. 
 
Selecciona la herramienta Desplaza Vista Gráfica y arrastra el fondo de la Vista 
gráfica. 
2. 
 
Usa la herramienta Aproximar para acercar tu construcción y poder ver más detalles. 
3. 
 
Usa la herramienta Alejar para alejar tu construcción y obtener una vista panorámica. 
4. 
 
Haz clic en el botón de la Barra de estilo y selecciona Volver a la configuración por 
 defecto para deshacer todos los cambios hechos sobre la Vista gráfica. 
 
 
 
 
Comandos y datos necesarios para utilizar Geogebra 
Para los ejercicios de esta unidad utilizaremos la calculadora que se encuentra en la parte inferior. 
 
Entrada Algebraica en la vista CAS 
La vista CAS permite utilizar el sistema CAS de GeoGebra (Computer Algebra System) para 
realizar cálculo simbólico. 
Ecuaciones 
Nota: Los comandos Resuelve y Soluciones resuelven una ecuación o un sistema de ecuaciones en los 
números reales de manera simbólica. Para resolver numéricamente, utiliza el Comando SolucionesN. 
Para resolver ecuaciones en los Complejos, utiliza el Comando SolucionesC. 
Los siguientes comandos solamente están disponibles en la Vista CAS. 
Resuelve( <Ecuación en x> ) 
Resuelve la ecuación dada para la variable principal y devuelve una lista con todas las 
soluciones. 
Ejemplo: 
Resuelve[x^2 = 4x] da por resultado {x = 4, x = 0}, que son las soluciones de la ecuación x2 = 
4x. 
Resuelve( <Ecuación>, <Variable> ) 
Resuelve la ecuación dada para la variable indeterminada indicada y da por resultado una lista 
con todas las soluciones. 
Ejemplo: 
Resuelve[x * a^2 = 4a, a] da por resultado {}, que son las soluciones de xa2 = 4a. 
Resuelve( <Lista de ecuaciones>, <Lista de Variables> ) 
Resuelve un sistema de ecuaciones para las variables indicadas y da por resultado una lista con 
todas las soluciones. 
Ejemplos: 
▪ Resuelve[{x = 4 x + y , y + x = 2}, {x, y}] da por resultado ( x = -1, y = 3 ), que es la única 
solución del sistema formado por las ecuaciones x = 4x + y y y + x = 2. 
▪ Resuelve[{2a^2 + 5a + 3 = b, a + b = 3}, {a, b}] da por resultado {{a = 0, b = 3}, {a = -3, b = 6}}. 
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Soluciones
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_SolucionesN
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_SolucionesC
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
Resuelve( <Ecuación>, <Variable> , <Lista de condiciones>) 
Resuelve una ecuación en las indeterminadas indicadas con una lista de condiciones y 
devuelve una lista con todas las soluciones. 
Ejemplos: 
▪ Resuelve[u *x < a,x, u>0] da por resultado {x < a / u}, la solución para u *x < a asumiendo 
que u>0 
▪ Resuelve[u *x < a,x, {u<0, a<0}] da por resultado {x > a / u}. 
Resuelve( <Lista de ecuaciones paramétricas>, <Lista de 
Variables> ) 
Resuelve un sistema de ecuaciones paramétricas para un conjunto dado de indeterminadas y 
devuelve una lista con todas las soluciones. 
Ejemplo: 
▪ Resuelve[{(x, y) = (3, 2) + t*(5, 1), (x, y) = (4, 1) + s*(1, -1)}, {x, y, t, s}] da por resultado {{x = 3, y = 
2, t = 0, s = -1}}. 
Nota: 
▪ El miembro derecho de las ecuaciones (en cualquiera de las sintaxis indicadas más 
arriba) puede omitirse. En caso de faltar dicho miembro, se considera como 0. 
▪ En ocasiones, puede ser necesario que realices ciertas manipulaciones para que el 
comando funcione. Por ejemplo Resuelve[TrigDesarrolla[sen(5/4 π + x) - cos(x - 3/4 π) = sqrt(6) * 
cos(x) - sqrt(2)]] . 
▪ Para funciones definidas por tramos, deberás utilizar el omando SolucionesN 
 
Funciones 
Comandos y datos necesarios para utilizarGeogebra 
Las funciones se pueden graficar escribiéndolas en la “Calculadora”. Una vez que fue escrita la podrás 
visualizar en la pantalla. 
• Ecuaciones 
Las Ecuaciones son ingresadas utilizando un signo de igual =, mientras que la entrada := indica 
una asignación. 
= 
Ingresa la ecuación 3x + 5 = 7 usando el signo de Igual en la Barra de Entrada y luego presiona la 
tecla Enter . 
 
Nota: Si se quiere mostrar la recta correspondiente en la Vista Gráfica, es debe hacer clic en el 
icono Mostrar / ocultar objeto que se encuentra al lado de la ecuación. 
:= Ingresa la función f(x) := 2 * x + 1 en la segunda línea de la Vista CAS y presiona la tecla Enter. 
 
• Automáticamente se grafica la función en la Vista Gráfica. 
• Si se define f(x) := 2 * x + 1 en la Vista CAS, luego se puede usar f(x) en todas las otras 
Vistas de GeoGebra. 
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_SolucionesN
 
Funciones definidas por tramos 
El comando Si puede ser utilizado para crear funciones definidas por tramos. Tales 
funciones pueden ser utilizadas como argumentos en cualquier otro comando que acepte 
funciones, tales como Derivada, Integral, y Interseca. 
Ejemplos: 
▪ f(x) = Si(x < 3, sen(x), x^2) da por resultado una función definida por tramos que 
asigna sen(x) para x < 3 y x2 para x ≥ 3. 
▪ f(x) = Si(0 <= x <= 3, sen(x)) da por resultado una función que asigna sen(x) para x entre 
0 y 3 (y no está definida para otros valores). 
Nota: Una sintáxis más corta para este último caso es f(x) = sen(x), 0 <= x <= 3 
▪ f(x) =Si(x<-1,x²,-1<=x<=1,1,-x²+2) da por resultado la función definida por 
tramos . 
Notas: 
▪ La derivada de Si(condición, f(x), g(x)) da por resultado Si(condición, f'(x), g'(x)). No realiza 
ningún tipo de evaluación en los puntos de cambio de definición. 
 
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Derivada
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Integral
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Interseca
 
 
Límite y continuidad 
En esta unidad buscamos que se comprendan los conceptos de límites gráficamente. Para la resolución 
de los ejercicios debemos realizar los siguientes pasos: 
1. Graficar la función para cual debemos calcular el límite. 
2. Visualizaremos la función gráficamente y analizaremos los límites por derecha y por izquierda para 
el punto dado. Si existen los límites laterales debemos analizar si valen lo mismo. 
3. Una vez que finalizamos comprobaremos si lo analizado es correcto con el comando 
a) LímiteDerecha( <Función>, <Valor> ): para verificar el límite lateral derecho. 
b) LímiteIzquierda( <Función>, <Valor> ): para verificar el límite lateral izquierdo. 
c) Límite( <Función>, <Valor numérico> ): para verificar si el límite existe. 
 
 En Vista CAS ComputaciónAlgebraicaSimbólica 
En esta vista se admiten literales en operaciones simbólicas y, a la descripta, se suma la siguiente 
sintaxis exclusiva; 
Límite[ <Expresión>, <Variable>, <Valor> ] 
Calcula el límite de la expresión multivariable dada para el valor fijado de la variable indicada. 
Así, Límite[f, v, t] establece el límite de f para el valor t de la variable v. 
Ejemplo: 
Límite[ñ sen(w)/w, ñ, 0] da 0 y Límite[ñ sen(w)/w, w, 0] da ñ 
Límite[ <Expresión>, <Valor> ] 
Da por resultado el límite de la expresión para el valor indicado, de su variable principal. 
Atención: La expresión puede ser una función multvariable y/o incluir literales. 
Nota: Límite[f(w), m] establece el límite de f para w tendiendo a m como ilustran los siguientes 
ejemplos. 
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos_Exclusivos_CAS_(C%C3%A1lculo_Avanzado)
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
Ejemplos: 
 
Límite[((ñ ü (1-cos(x)))/x^2)+ñ, 0 ] da el límite de: 
 mientras... 
Límite[((ñ ü (1-cos(x))) / x^2)+ñ, ñ, 0 ] da 0 
 
Límite[a sin(x)/x, 0] da a 
 
Límite[ñ sen(t)/t, 0] da ñ 
Límite[ cos(x)/x, 0] da por resultado el signo ? con el que en esta vista se indica que no está 
definido el límite en cuestión. 
LímiteDerecha[ <Expresión>, <Variable>, <Valor> ] 
Calcula el límite lateral derecho de la expresión multivariable dada para el valor fijado de la 
variable indicada. 
Así, LímiteDerecha[f, v, t ] establece el límite lateral derecho de f para el valor t de la 
variable v. 
Ejemplos: 
LímiteDerecha[abs(x) / ñ, ñ, 0] da ∞ (infinito) 
LímiteDerecha[ abs(ñ + x) / x, x, 0 ] da ∞ (infinito). 
LímiteDerecha[ <Expresión>, <Valor> ] 
Da por resultado el límite derecho lateral de la expresión dada para el valor indicado para su 
variable principal. 
Ejemplos: 
LímiteDerecha[y^x / x, 0] da 
LímiteDerecha[ ln(e^(abs(x))), 0] resulta ?, signo que indica que tal límite está indefinido para x 
tendiendo a -1. 
 
LímiteIzquierda[ < Expresión>, < Variable>, < Valor> ] 
Calcula el límite lateral izquierdo de la expresión multivariable dada para el valor indicado de 
la variable. 
Así, LímiteIzquierda[f, v, t] establece el límite lateral izquierdo de f para el valor t de la 
variable v. 
Ejemplos: 
LímiteIzquierda[x^y / y, y, 0] da - 
LímiteIzquierda[ln(cos(x)/x), 0 ] da por resultado el signo ? con el que en esta vista se indica que 
no está definido el límite en cuestión. 
LímiteIzquierda[ <Expresión>, <Valor> ] 
Da el límite lateral izquierdo de la expresión dada para el valor t indicado de la variable 
principal. 
Ejemplos: 
LímiteIzquierda[sqrt(2)^ñ / ñ, 0] da -∞ (-infinito) 
LímiteIzquierda[sen(π+y)^x / x, 0] da -∞ (infinito) mientras LímiteDerecha[sen(π+y)^x / x, 0] da ∞ 
(infinito). 
 
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
 
 
En las funciones por parte debemos seguir el mismo procedimiento pero debemos tener en cuenta que 
al verificar con los comandos debemos ingresar la parte de la función correspondiente según lo que 
estemos analizando. 
a) Si analizamos el límite por derecha, debemos ingresar la parte de la función que se acerca al punto 
que estamos calculando el límite por derecha. 
b) Si analizamos el límite por izquierda, debemos ingresar la parte de la función que se acerca al punto 
que estamos calculando el límite por izquierda. 
c) Cuando verifiquemos si el límite existe debemos ingresar la parte de la función donde está definido 
el punto para el cual estamos analizando el límite. 
 
Podemos utilizar los límites para calcular las asíntotas de una función. Para los puntos 4 y 5 vamos a 
analizar este concepto gráficamente. Para ello: 
a) Graficaremos la función dada. 
b) Analizaremos donde puede haber asíntotas. 
c) Verificaremos con el comando: Asíntota( <Función> ) 
 
 
 
Derivadas 
En Vista CAS ComputaciónAlgebraicaSimbólica 
En esta vista se admiten literales en operaciones simbólicas y, excepto las aplicadas a curvas 
paramétricas, cada una de las variantes previas. 
Derivada( <Expresión> ) 
Da por resultado la derivada de la expresión respecto de la variable principal. 
Ejemplos: 
▪ f_1(x):=Derivada[sen(x + π)²] da por resultado la función f1(x):=2cos(x) sen(x) y la grafica 
▪ f_2(x):=Derivada[sen(x + ñ π)²] da por resultado la función f2(x):=2cos(x + ñ π) sen(x + ñ π) 
Solo expone el resultado dado que no puede ser graficado hasta que no se le asigne valor al 
literal ñ 
▪ Derivada[t^3] da 3 t2 
Derivada(<Expresión>, <Variable>) 
Da por resultado la derivada de la expresión con respecto a la variable indicada. 
Ejemplos: 
▪ Derivada[t^ñ, t] da ñ t{ñ - 1} 
▪ Derivada[t^ñ, ñ] da tñ ln(t) 
Derivada(<Expresión>, <Variable>, <Orden de la Derivada (número o valor 
numérico)> ) 
Da por resultado la derivada de la expresión del orden indicado con respecto a la variable 
indicada. 
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos_Exclusivos_CAS_(C%C3%A1lculo_Avanzado)
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Curvas
https://wiki.geogebra.org/es/Curvas
https://wiki.geogebra.org/es/Funcioneshttps://wiki.geogebra.org/es/Vista_Gr%C3%A1fica
https://wiki.geogebra.org/es/Funciones
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_Gr%C3%A1fica
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
Ejemplos: 
Derivada[ñ x^2] da por resultado 2 ñ x. 
 
Siendo f(x):=ñ x^3 ... 
Derivada[f(x)] da por resultado 3 ñ x² 
Derivada[f(x), ñ] da por resultado x³ 
Derivada[f(x), x, 2] da por resultado 6 ñ x. 
 
Extremos relativos y Absolutos 
En esta unidad analizaremos los extremos de una función. Para ellos: 
1. Graficar la función. 
2. Analizar si existen extremos absolutos en el intervalo dado. 
3. Usar los siguientes comandos para verificar lo analizado: 
a) Máximo( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo> ) 
b) Mínimo( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo> ) 
 
 
Para el segundo punto, graficaremos la derivada de la función y analizaremos cómo debe ser la función 
a partir de visualizar los intervalos menores que cero y los mayores que cero. Luego graficaremos la 
función para verificar. 
 En la Vista ComputaciónAlgebraicaSimbólica 
Sin admitir literales, el comando obra como ya se ha descripto. 
Para algunas variantes es viable operar con el comando encerrándolo entre llaves { } para que el resultado sea 
una lista. 
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos_Espec%C3%ADficos_CAS_(C%C3%A1lculo_Avanzado)
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Listas
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
Atención: En esta vista se ofrece solo el primer extremo numéricamente encontrado en 
lugar de establecerlos o listarlos exhaustivamente. 
Nota: Para el registro gráfico de un punto extremo calculado en esta vista, se debe tildar el 
redondelito que encabeza la fila correspondiente. 
Ejemplos: 
 
Extremo[(x⁴ - 3x³ - 4x² + 4) / 2] da por resultado, con decimales según redondeo, (-0.68, 1.65) el 
primero del conjunto {(-0.68, 1.65), (0, 2), (2.93, -16.05)} de extremos 
 
Empleando las llaves para obtener la lista del conjunto de extremos: 
{Extremo[(x⁴ - 3x³ - 4x² + 4) / 2]} da por resultado, con decimales según redondeo, la lista de 
extremos {(-0.68, 1.65), (0, 2), (2.93, -16.05)} 
 
Integrales 
Integral( <Función> ) 
Da como resultado la integral indefinida con respecto a la variable principal. 
Ejemplo: Integral(x^3) devuelve . 
Integral( <Función>, <Variable> ) 
Da como resultado la integral con respecto a la variable indicada. 
Ejemplo: Integral(x³+3x y, x) devuelve + x² y . 
Integral( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del 
intervalo> ) 
Da como resultado la integral definida en el intervalo [Extremo inferior del intervalo , Extremo 
superior del intervalo] con respecto a la variable principal. 
Nota: Este comando también sombrea el área entre la gráfica de la función y el eje x. 
Integral( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo 
superior del intervalo>, <Evaluar o no ((true)/(false))>) 
Da como resultado la integral definida en el intervalo [Extremo inferior del intervalo , Extremo 
superior del intervalo] con respecto a la variable principal y sombrea la región relacionada 
si Evaluar o no tiene como valor true (verdadero. En caso de que Evaluar o no sea false (falso) 
la región relacionada se sombrea, pero el valor de la integral no se calcula. 
Sintaxis CAS 
En la Vista CAS las variables indeterminadas también son permitidas 
como entradas. 
Ejemplo: Integral(cos(a t), t) da por resultado . 
Además, el siguiente comando solamente está disponible en 
la Vista CAS: 
Integral( <Función>, <Variable>, <Extremo inferior del 
intervalo>, <Extremo superior del intervalo> ) 
Da como resultado la integral definida en el intervalo [Extremo inferior del intervalo, Extremo 
superior del intervalo] con respecto a la variable indicada. 
Ejemplo: Integral(cos(t), t, a, b) da por resultado . 
 
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_Gr%C3%A1fica
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Men%C3%BA_de_Opciones#Redondeo
https://wiki.geogebra.org/es/Listas
https://wiki.geogebra.org/es/Men%C3%BA_de_Opciones#Redondeo
https://wiki.geogebra.org/es/Listas
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
IntegralEntre( <Función>, <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del 
intervalo> ) 
Da por resultado el valor de la integral definida de la diferencia f(x)-g(x) entre las dos 
funciones indicadas, en el intervalo comprendido entre los valores Extremo inferior del 
intervalo y Extremo superior del intervalo. 
Ejemplo: 
IntegralEntre[ sen(x), cos(x), pi / 4, pi * 5/4 ] da por resultado . 
 
IntegralEntre( <Función>, <Función>, <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final> ) 
Da por resultado el valor de la integral definida de la diferencia f(x)-g(x) entre las dos 
funciones dadas, con respecto a la variable indicada, en el intervalo comprendido entre los 
valores Valor inicial y Valor final. 
Ejemplo: 
IntegralEntre[ a sen(t), a cos(t), t, pi / 4, pi * 5/4 ] da por resultado . 
 
Para las integrales definidas, en especial para el cálculo de áreas bajo curva y eje x o entre curvas; 
existen varios comandos que se pueden utilizar, todos ellos con diferentes parámetros a introducir. 
 
Obtengamos la región con el comando: 
Integral( <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo> ) 
 
 
Para los ejercicios de esta unidad lo primero que debemos hallar son los intervalos de integración para 
ello debemos resolver la ecuación que surge de igualar ambas funciones y con dichos valores utilizar 
el comando: 
IntegralEntre(<Función>, <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del 
intervalo>) 
 
debemos calcular sólidos de revolución y para ello utilizaremos una Applet creada, en donde se 
ingresan los datos e inmediatamente se visualiza el cuerpo y se obtiene su capacidad. 
Calculadora de sólidos de revolución 
1. Trabajar desde el siguiente enlace: https://www.geogebra.org/m/yerbN2pG 
2. Este applet permite visualizar el sólido de revolución generado al rotar una región plana alrededor 
del eje x y calcular su volumen: 
a) Ingresá la función f(x) a rotar y los valores a y b entre los cuales se quiere delimitar. 
b) Si el sólido tiene cavidades o huecos, tildá la casilla correspondiente e ingresá la función g que 
define su cavidad. 
 
Para visualizar el sólido, clic en la casilla correspondiente e incrementar los valores del deslizador. 
 
 
Polinomios de Aproximación para una Función 
PolinomioTaylor( <Función>, <número o valor numérico de x>, <Orden (número o valor 
numérico)> ) 
Crea el desarrollo de la serie de potencias del orden dado, en torno al valor de x indicado. 
Así, PolinomioTaylor[ f, a, n] crea la serie de orden n en torno a x = a para f(x). 
Ejemplo: 
 
PolinomioTaylor[x^2, a, 1] da por resultado: 
9 + 6 (x - 3) o, de ingresarlo como; 
Simplifica[PolinomioTaylor[ x^2, 3, 1]] , da 6 x - 9, la serie de potencias de x2 para x = 3 hasta el 
orden 1. 
 En la Vista ComputaciónAlgebraicaSimbólica 
A la anterior, se añade la siguiente alternativa, exclusiva de esta vista y se admiten literales en 
operaciones simbólicas. 
PolinomioTaylor( <Expresión>, <número o valor numérico de x>, <Orden (número o 
valor numérico)> ) 
Crea el desarrollo de la serie de potencias del orden indicado, en torno al valor fijado para la 
expresión dada. 
PolinomioTaylor( <Expresión>, <Variable>, <Valor de la Variable>, <Orden (valor 
numérico)> ) 
Crea el desarrollo de la serie de potencias del orden dado para la Expresión respecto de 
la Variable, en torno al punto en que toma el valor indicado. 
Ejemplos: 
 
http://en.wikipedia.org/wiki/es:Serie_de_Taylor
http://en.wikipedia.org/wiki/es:Serie_de_Taylor
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos_Espec%C3%ADficos_CAS_(C%C3%A1lculo_Avanzado)
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAShttp://en.wikipedia.org/wiki/es:Serie_de_Taylor
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
PolinomioTaylor[x^2, ñ, 1] da: 
ñ2 + 2 ñ (x - ñ), la serie de potencias de desarrollo al orden 1 de x2 en x = ñ. 
 
Variantes exclusivas de la Vista CAS: 
 
PolinomioTaylor[x^3 sin(y), x, 3, 2] da por resultado: 
27sen(y) + 27sen(y) (x - 3) + 9 sen(y) (x - 3)2, la serie de potencias hasta el orden 2, 
de x3 sin(y) con respecto a x, en x = 3 
 
PolinomioTaylor[x^3 sin(y), y, 3, 2] da: 
 
o 
sen(3) x³ + cos(3) x³ (y - 3) - (sen(3) x³) / 2 (y - 3)² 
o, de ingresar Simplifica[PolinomioTaylor[x^3 sin(y), y, 3, 2]] da 
 
o 
 
la expansión de la serie de potencias con respecta a y de x3 sin(y) en y = 3 hasta orden 2 
 
Empleando literales; 
 
PolinomioTaylor[x^3 sin(y), y, ñ, 2] da por resultado: 
 
Nota: El número n para indicar el orden debe ser un entero mayor o igual que cero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://wiki.geogebra.org/es/Vista_CAS
https://wiki.geogebra.org/es/Archivo:Taylor2.PNG
https://wiki.geogebra.org/es/Archivo:Taylo%C3%B1.PNG
PLANILLA REGISTRO TP DE LABORATORIO 
 
UTN- Facultad Regional Haedo – Departamento de Materias Básicas 
 
ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 : CÁTEDRA …………….. 
 
CURSO: ……… 
 
DOCENTES: …………………………………………………………………………………………………… 
 
ALUMNO: ………………………………………………………………………………………… 
 
TRABAJO PRÁCTICO DE INFORMÁTICA (UNIDADES 1 Y 2) 
 
EJERCICIOS ASIGNADOS: ………………………… 
FECHA PRESENTACIÓN: ……………………… 
FECHA APROBACIÓN ESCRITA EN TALLER: ………………… 
FIRMA Y ACLARACIÓN DEL DOCENTE QUE APRUEBA EL COLOQUIO: 
…………………………..……………………………………………………… 
 
TRABAJO PRÁCTICO DE INFORMÁTICA (UNIDADES 3 Y 4) 
 
EJERCICIOS ASIGNADOS: ………………………… 
FECHA PRESENTACIÓN: ……………………… 
FECHA APROBACIÓN ESCRITA EN TALLER: ………………… 
FIRMA Y ACLARACIÓN DEL DOCENTE QUE APRUEBA EL COLOQUIO: 
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TRABAJO PRÁCTICO DE INFORMÁTICA (UNIDAD 5 ) 
 
EJERCICIOS ASIGNADOS: ………………………… 
FECHA PRESENTACIÓN: ……………………… 
FECHA APROBACIÓN ESCRITA EN TALLER: ………………… 
FIRMA Y ACLARACIÓN DEL DOCENTE QUE APRUEBA EL COLOQUIO: 
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