Oscilación de un líquido en un tubo en U

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OSCILACIÓN DE UN LÍQUIDO 
EN UN TUBO EN U
RESISTENCIA LAMINAR
Resistencia laminar
La resistencia sobre la longitud ds es igual a t0pDds. Dividiendo
por la masa de la partícula rAds se convierte en 4t0/rD y la
ecuación de Euler se convierte en:
El esfuerzo cortante en la pared, de la ecuación de Poiseuille es:
Si se sustituye t0 en la ecuación de Euler se obtiene
Resistencia laminar
integrando con respecto a s
cambiando a derivadas totales y reemplazando v por dz/dt
como
Se supone una velocidad en la columna promedio
de dz/dt en toda la sección, por lo que al sustituir y
resolver ecuación anterior se obtiene:
siempre que
C1 y C2 son constantes de integración arbitrarias, estas se
evalúan a partir de valores de z y dz/dt a un tiempo dado. Para
que a y b sean distintas se les considera con signo contrario
delante del radical en la solución cuadrática, por lo tanto
para simplificar se asume
por lo que queda así
Ahora si se asumen como condiciones iniciales que t = 0, z = 0, dz/dt =
V0, entonces por sustitución se obtiene que C1 = -C2 y
Si se tiene que
se pude reemplazar este la ecuación 
lo que la convierte en
la cual al derivarse con respecto a t queda como
Ahora, si se establece que dz/dt = V0 para t = 0 y se reemplaza 
en la ecuación anterior se obtiene
ya que senh 0 = 0 y cosh = 1. De lo anterior se puede 
despejar C1 y llevarse a donde queda así
Esta ecuación describe el desplazamiento de z de uno de los meniscos de la
columna como función del tiempo, empezando con el menisco en z = 0 a t = 0
y sustituyendo con velocidad V0.
Consideremos ahora dos casos principales, supongamos que
En tal caso n es un número real y la viscosidad es tal que
amortigua el movimiento en un ciclo parcial y z no se torna
negativa nunca. Para encontrar el tiempo t0 en el que ocurre el
máximo valor z se deriva esta de la ecuación
con respecto a t y se iguala a cero.
o lo que es igual
Si se sustituye este valor de t en la ecuación 
genera el desplazamiento máximo Z.
El segundo caso se presenta cuando
y corresponde a dentro del radical n
donde
y n’ es un número real. Al sustituir n por in’ en la ecuación 
se genera una función real de la forma
esto se da ya que existe la igualdad
Esto tiene como consecuencia que el movimiento
resultante en z sea una oscilación alrededor de z = 0 con una
amplitud decreciente. El tiempo t0 para un desplazamiento
máximo o mínimo se obtiene de la ecuación
derivando z en función de t e igualando dz/dt = 0
Existe un número indefinido de valores t0 que satisfacen esta 
ecuación, y corresponden a todas las posiciones mínimas y máximas 
del menisco. Sustituyendo t0 en la ecuación 
se obtiene
m/n = 2
n = 1
m = 2
Vo(1) = 1,329
m/n' = 0,5
n' = 1
m = 0,5
Vo(2) = 0,352
Nota: existe un tercer caso en el que
se debe tratar por separado, se obtiene
La oscilación resultante es sólo un ciclo 
parcial y es un caso límite de