Sistemas de Tuberías Ramificados

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Mecánica de Fluidos Sistema de Tubeŕıas Ramificadas 1
1. Los embalses 1 y 2 de la figura están conectados a un tanque que tiene en su superficie libre
una presión manométrica p = 50 psi. Se tienen los siguientes datos:
z1 = 650 ft L1 = 2000 ft D1 = 3 ft
( �
D
)
1
= 0.001
z2 = 600 ft L2 = 2500 ft D2 = 3 ft
( �
D
)
2
= 0.002
z3 = 50 ft L3 = 2200 ft D3 = 4 ft
( �
D
)
3
= 0.002
ν = 1.217x10−5 ft2/s
Halle los caudales en las tubeŕıas. Desprecie las pérdidas menores.
Solución: Antes de realizar cualquier cálculo es necesario establecer una dirección de flujo de
los tanques. Para ello la suponemos y calculamos los valores de los caudales en cada una de
ellas. Si obtenemos alguna respuesta con valor negativo quiere decir que la suposición inicial se
encontraba incorrecta (es decir, si decimos que el fluido sale de algún lugar, en realidad, está
entrando).
Para tener una idea de cómo plantear la dirección de flujo, calculemos la enerǵıa total de cada
tanque en la ”parte superior” de los mismos. Esto para tener que la velocidad de cada uno de
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ellos es nula (estado estacionario en la superficie libre) y la presión manométrica solo existe en
el tanque presurizado (tanque #3).
H1 =
υ21
2g
+
P1
γ
+ z1 pero, υ1 = 0 P1 = 0 z1 = 650 ft =⇒ H1 = 650 ft
H2 =
υ22
2g
+
P2
γ
+ z2 pero, υ2 = 0 P2 = 0 z2 = 600 ft =⇒ H2 = 600 ft
H3 =
υ23
2g
+
P3
γ
+ z3 pero, υ3 = 0 P3 = 50(12)
2 = 7200
lb
ft2
z3 = 50 ft =⇒ H3 = 165.42 ft
Luego, para nuestro caso, resulta obvio que el tramo de la unión y del tanque #3 el fluido va
hacia este último ya que posee la menor enerǵıa total del sistema. También resulta correcto
decir que el fluido sale del tanque #1 ya que tiene la mayor enerǵıa total del sistema. El
problema viene con la escogencia de la dirección de flujo del segundo tanque. Podŕıa el fluido
que viene del tanque #1 bifurcarse hacia el tanque #2 y #3, en vez de solo ir al tanque #3.
Aqúı supondremos, para este caso, que todos los flujos bajan hacia el tanque #3. Es decir, al
nodo J entran los flujos provenientes del tanque #1 y #2 y sale un único flujo dirigido hacia
el tanque #3.
Luego, planteamos las siguientes ecuaciones:
Balance de Enerǵıa de Bernoulli
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H1 = h1 +Hj (1)
H2 = h2 +Hj (2)
Hj = h3 +H3 (3)
Número de Reynolds
Re =
ρυD
µ
=
υD
ν
=
QD
Aν
=
QD
ν
πD2
4
=
4Q
πνD
=⇒ Re = 4Q
πνD
Re1 =
4Q1
πνD1
=
4
(π)(1.217x10−5 ft2/s)(3 ft)
Q1 = 34873.72Q1 [s/ft
3] (4)
Re2 =
4Q2
πνD2
=
4
(π)(1.217x10−5 ft2/s)(3.5 ft)
Q2 = 29891.76Q2 [s/ft
3] (5)
Re3 =
4Q3
πνD3
=
4
(π)(1.217x10−5 ft2/s)(4 ft)
Q3 = 26155.29Q3 [s/ft
3] (6)
Pérdidas por tramo de tubeŕıa
h = f
L
D
υ2
2g
= f
L
D
(
Q
A
)2
2g
= f
L
D
Q2
2gA2
= f
L
D
Q2
2g
(
πD2
4
)2 = f LD Q2
2g
π2D4
16
=
8fLQ2
π2D5g
h1 =
8f1L1Q
2
1
π2D51g
=
(8)(2000 ft)
π2(3 ft)5(32.19 ft/s2)
f1Q
2
1 = 0.2072 f1Q
2
1 [s
2/ft6] (7)
h2 =
8f2L2Q
2
2
π2D52g
=
(8)(2500 ft)
π2(3.5 ft)5(32.19 ft/s2)
f2Q
2
2 = 0.1199 f2Q
2
2 [s
2/ft6] (8)
h3 =
8f3L3Q
2
3
π2D53g
=
(8)(2200 ft)
π2(4 ft)5(32.19 ft/s2)
f3Q
2
3 = 0.05410 f3Q
2
3 [s
2/ft6] (9)
Factores de Fricción (Ecuación de Swamee)
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f =
0.25[
log
(
�
3.7D
+
5.74
Re0.9
)]2
f1 =
0.25[
log
(
0.001
3.7
+
5.74
Re0.91
)]2 = 0.25[
log
(
2.7027x10−4 +
5.74
Re0.91
)]2 (10)
f2 =
0.25[
log
(
0.002
3.7
+
5.74
Re0.92
)]2 = 0.25[
log
(
5.4054x10−4 +
5.74
Re0.92
)]2 (11)
f3 =
0.25[
log
(
0.002
3.7
+
5.74
Re0.93
)]2 = 0.25[
log
(
5.4054x10−4 +
5.74
Re0.93
)]2 (12)
Ecuación de Continuidad
Q1 +Q2 = Q3 (13)
Veamos que tenemos un sistema de ecuaciones no-lineales (la presencia de variables en el ar-
gumento del logaritmo decimal y de ecuaciones cuadráticas lo hace altamente no-lineal) de 13
ecuaciones con 13 incógnitas. Al ver esta dificultad, no queda más remedio que usar métodos
numéricos para hallar la solución ante tal monstruoso sistema de ecuaciones. En nuestro caso,
utilizamos el método de Newton para sistemas de ecuaciones no-lineales. Esto arroja la sigu-
iente solución:
f1 = 0.019698 f2 = 0.023465 f3 = 0.02345 Q1 = 226.82 ft
3/s Q2 = 238.45 ft
3/s
Q3 = 465.27 ft
3/s Re1 = 790993.27 Re2 = 7127721.93 Re3 = 12169207.39
h1 = 209.98 ft h2 = 159.97 ft h3 = 274.63 ft Hj = 440.03 ft
Aśı, los caudales son:
Q1 = 226.82 ft
3/s Q2 = 238.45 ft
3/s Q3 = 465.27 ft
3/s
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Cabe destacar que el uso de la ecuación de Swamee también se basó en la suposición que el
flujo dentro de las tubeŕıas fuese de régimen turbulento, como efectivamente resultó.
Es importante notar que la suposición fue correcta ya que todos los valores encontrados resul-
tados son positivos. En caso de que la suposición hubiese estado incorrecta el método numérico
no hubiese arrojado ráıces reales (vease que el caudal es una variable cuadrática). En ese
momento tendriamos que cambiar la dirección de los flujos y modificar (muy sutilmente) las
ecuaciones anteriores y proceder a resolver el sistema.
2. Considere los tres embalses interconectados que se ilustran. Se aplican los siguientes datos
adicionales:
z1 = 120 m L1 = 2000 m D1 = 1 m
( �
D
)
1
= 0.00015
z2 = 100 m L2 = 2300 m D2 = 0.60 m
( �
D
)
2
= 0.001
z3 = 30 m L3 = 2500 m D3 = 1.20 m
( �
D
)
3
= 0.002
ν = 1.519x10−6 m2/s
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Halle los caudales en las tubeŕıas. Desprecie las pérdidas menores.
Solución: Veamos que los tanques no se encuentran presurizados, entonces su enerǵıa total se
debe a la componente de enerǵıa potencial exclusivamente:
H1 = 120 m H2 = 100 m H3 = 30 m
De nuevo, los sentidos de flujo de los tanques #1 y #3 están determinados por el análisis del
anterior ejercicio. De la misma forma, supondremos que el tanque #2 entrega enerǵıa a la
uńıon, es decir, el flujo va hacia la unión.
Mostraremos otro procedimiento para la solución de este tipo de ejercicios. Este consiste en
un método iterativo de suposición de unas de las incógnitas para su posterior comparación.
Primero, colocaremos todas las ecuaciones con la que se trabajaran:
Balance de Enerǵıa de Bernoulli
H1 = h1 +Hj (1)
H2 = h2 +Hj (2)
Hj = h3 +H3 (3)
Número de Reynolds
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Re1 =
4Q1
πνD1
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(1 m)
Q1 = 838209.0485Q1 [s/m
3] (4)
Re2 =
4Q2
πνD2
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(0.60 m)
Q2 = 1397015.081Q2 [s/m
3] (5)
Re3 =
4Q3
πνD3
=
4
(π)(1.519x10−6 m2/s)(1.20 m)
Q3 = 698507.5405Q3 [s/m
3] (6)
Pérdidas por tramo de tubeŕıa
h1 =
8f1L1Q
2
1
π2D51g
=
(8)(2000 m)
π2(1 m)5(9.8 m/s2)
f1Q
2
1 = 165.4223 f1Q
2
1 [s
2/m6] (7)
h2 =
8f2L2Q
2
2
π2D52g
=
(8)(2300 m)
π2(0.60 m)5(9.8 m/s2)
f2Q
2
2 = 2446.4467 f2Q
2
2 [s
2/m6] (8)
h3 =
8f3L3Q
2
3
π2D53g
=
(8)(2500 m)
π2(1.20 m)5(9.8 m/s2)
f3Q
2
3 = 83.0994 f3Q
2
3 [s
2/m6] (9)
Factores de Fricción (Ecuación de Swamee)
f1 =
0.25[
log
(
0.00015
3.7
+
5.74
Re0.91
)]2 = 0.25[
log
(
4.0541x10−5 +
5.74
Re0.91
)]2 (10)
f2 =
0.25[
log
(
0.001
3.7
+
5.74
Re0.92
)]2 = 0.25[
log
(
2.7027x10−4 +
5.74
Re0.92
)]2 (11)
f3 =
0.25[
log
(
0.002
3.7
+
5.74
Re0.93
)]2 = 0.25[
log
(
5.4054x10−4 +
5.74
Re0.93
)]2 (12)
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Ecuación de Continuidad
Q1 +Q2 = Q3 (13)
Usaremos el siguiente proceso iterativo:
(a) Supondremos una enerǵıa de la unión Hj (por inspección, se encuentra entre los 30 m y
100 m, según nuestra suposición de caudal) y los tres números de Reynolds (una buena
semilla es Re = 1x108).
(b) Calculamos los factores de fricción f1 , f2 , f3 con las ecuaciones (10), (11) y (12).
(c) Calculamos los caudales Q1 , Q2 , Q3 con las ecuaciones (1), (2) y (3), usando las ecua-
ciones (7), (8) y (9).
(d) Vemos si satisface la ecuación de continuidad Er = Q1 +Q2 −Q3 = 0.
(e) De no ser aśı, con los caudales de la parte (c), hallamos los números de Reynolds (ecua-
ciones #4, #5 y #6).
(f) Repetimos los anteriores pasos.
Se anexa la siguiente tabla con los siguientes resultados:
Hj [m] Re1 f1 Q1 [m
3/s] Re2 f2 Q2 [m
3/s] Re3 f3 Q3 [m
3/s] Er
31 1x108 0.0130 6.4375 1x108 0.0196 1.1983 1x108 0.0234 0.7167 6.9191
40 5090223 0.0133 6.0347 1563800 0.0199 1.1101 1495986 0.0236 2.2580 4.8869
50 4762343 0.0133 5.6410 1429116 0.0199 1.0128 2176307 0.0236 3.1968 3.4570
60 4410498 0.0133 5.2180 1280458 0.0200 0.9052 2690067 0.0235 3.9171 2.2061
70 4028510 0.0133 4.7582 1112288 0.0200 0.7831 3120510 0.0235 4.5244 1.0169
78 3695063 0.0133 4.3560 956928 0.0200 0.6698 3426213 0.0235 4.9570 0.0688
78.5 3633080 0.0134 4.3291 926923 0.0201 0.6620 3477008 0.0235 4.9829 0.0081
78.56 3626380 0.0134 4.3258 923651 0.0201 0.6610 3482406 0.0235 4.9860 0.0008
Podemos concluir que:
f1 = 0.0134 f2 = 0.0201 f3 = 0.0235 Q1 = 4.3258 m
3/s Q2 = 0.6610 m
3/s
Q3 = 4.9860 m
3/s Re1 = 3626380 Re2 = 923651 Re3 = 3482406
h1 = 41.4793 m h2 = 21.4850 m h3 = 48.5479 m Hj = 78.56 m
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Aśı, los caudales son, con un error menor al 0.1%:
Q1 = 4.3258 m
3/s Q2 = 0.6610 m
3/s Q3 = 4.9860 m
3/s
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