Densidad y Flujo Másico y Volumétrico

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR 
DIVISIÓN DE MATEMÁTICA Y FÍSICA 
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA 
Mecánica de los Fluidos I (MC-2312) 
 
Instructor: Freddy Maan 
Trimestre: Enero-Indeterminado 2019 
 
Introducción teórica: 
Densidad, flujo másico, flujo volumétrico 
 Una forma sencilla de definir la densidad es la relación entre la masa 
contenida y el volumen que esta ocupa. No obstante, puede ser un poco más 
complicado, en el sentido de que, si esta masa no está uniformemente distribuida en ese 
volumen, el cociente entre ambas magnitudes vendría representando una “densidad 
promedio”. Por este motivo, se define la densidad localizada. A partir del propio 
concepto de densidad, se hace un acercamiento infinito a la materia, hasta llegar a una 
porción infinitesimal de masa, que ocupa un volumen infinitesimal en el espacio. Al 
estar hablando de porciones “infinitamente pequeñas”, básicamente se anula la 
posibilidad de una distribución no uniforme, pues esencialmente se está abarcando un 
punto y su vecindad más próxima (sus alrededores más cercanos), llegando a lo 
siguiente: 
𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑉
 (1) 
Donde, como se ha mencionado en etapas previas del curso, la densidad, en 
general, depende del punto en el espacio y del instante de tiempo de los que se esté 
hablando, es decir: 
𝜌 = 𝜌(𝑟 ,𝑡) = 𝜌 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ,𝑡 (2) 
 Por poner un ejemplo de cómo la densidad puede cambiar en el espacio y 
en el tiempo, pensemos en el cuero cabelludo de un adolescente de sexo masculino. En 
principio, la cantidad de cabellos por unidad de superficie debería ser aproximadamente 
uniforme, sin importar la zona del cuero cabelludo que se observe, en este caso se está 
hablando de densidad superficial y no volumétrica, pero el ejemplo se ajusta a la idea a 
explicar. Pasados unos años, si ese individuo empieza a sufrir de alopecia, su “densidad 
capilar” tenderá a ser mayor en los laterales y parte trasera de su cabeza que en la parte 
superior de esta, y eso no solo implica un cambio de densidad en el espacio, sino que es 
consecuencia de un cambio de densidad en el tiempo. A medida que pasaron los años, la 
densidad capilar en la parte superior de su cuero cabelludo fue disminuyendo. Esta 
pérdida de densidad se debió a una caída de cabello que excedía a la regeneración de 
este. En otras palabras, una acumulación negativa (pérdida), ocasionada por un flujo 
saliente de cabello. 
 Al igual que en este ejemplo, la densidad en un fluido puede variar en el 
espacio y en el tiempo como consecuencia de un flujo másico. Retomando las 
expresiones anteriores, si se despeja de la siguiente forma de la ecuación 2: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 (3) 
Si, coloquialmente “dividimos” entre un diferencial de tiempo, se obtiene: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 (4) 
Esto quiere decir que si hay un fluido moviéndose, hay movimiento de masa, si 
hay masa moviéndose, su volumen también se desplaza, y sus flujos de masa y de 
volumen también pueden relacionarse mediante la densidad: 
𝑚 = 𝜌𝑉 (5) 
El flujo o caudal volumétrico también suele representarse como: 
𝑉 = 𝑄 (6) 
Por otro lado, determinemos si hay casos en los que la expresión 5 es más de lo 
que se ve a simple vista. Imaginemos que un fluido viaja a través de una tubería con 
sección transversal circular uniforme (la circunferencia tiene el mismo radio a lo largo 
de toda la tubería), que viaja axialmente a velocidad “u” (ver figura 1): 
 
Figura 1. Fluido viajando uniforme y unidireccionalmente a través de una tubería de sección 
circular 
Pensemos ahora en una única lámina del fluido (una sección circular ficticia que 
es la intersección de la tubería con un plano perpendicular a la dirección axial, ver 
figura 2): 
 
Figura 2. Sección transversal viajando axialmente de un instante a otro 
Hay varias cosas que aclarar en este punto. Esta lámina circular (en rojo, solo se 
ve una línea, pues en teoría es un círculo, y lo que se presenta es una vista lateral, por lo 
que solo se observa su diámetro en rojo), inicialmente situada en la posición axial “A”, 
eso en un instante “t”. Luego, transcurrido un tiempo “Δt” pequeño, debido a que el 
fluido está viajando (y la lámina circular no es más que una sección del fluido), esa 
sección se trasladó axialmente una longitud “Δx”, también pequeña, de modo que la 
sección quedó ubicada en una nueva posición axial “B”. 
Nótese que se formó un cilindro de fluido entre las dos posiciones que adoptó la 
lámina circular entre los dos instantes de tiempo representados en la figura 2. Dicho 
cilindro encierra una cantidad de masa “Δm”, y por ende, una cantidad de volumen 
“ΔV”, y estas dos últimas magnitudes pueden relacionarse a través de la densidad de ese 
cilindro ficticio: 
𝜌 =
∆𝑚
∆𝑉
 (7) 
 Si se despeja la cantidad de masa encerrada en el cilindro: 
∆𝑚 = 𝜌∆𝑉 (8) 
Si se llama “𝐴𝑡” al área del círculo de la sección transversal, el volumen del 
fluido pasa a ser: 
∆𝑉 = 𝐴𝑡∆𝑥 (9) 
Se obtiene 
∆𝑚 = 𝜌𝐴𝑡∆𝑥 (10) 
Dividiendo ambos lados de la expresión entre el Δt transcurrido: 
∆𝑚
∆𝑡
= 𝜌𝐴𝑡
∆𝑥
∆𝑡
 (11) 
Tomando el límite cuando el diferencial de tiempo tiende a 0: 
lim
∆𝑡→0
∆𝑚
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
𝜌𝐴𝑡
∆𝑥
∆𝑡
 (12) 
Aplicando la definición de derivada: 
lim
∆𝑡→0
∆𝑚
∆𝑡
=
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 (13) 
De lo que se obtiene: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌𝐴𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 (14) 
Por otro lado, la tasa de cambio de la posición horizontal de la lámina no es más 
que la rapidez con la que esta se traslada, es decir: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑢 (15) 
𝑚 = 𝜌𝐴𝑡𝑢 (16) 
Por otro lado, de esta ecuación, también se desprende que el cambio de volumen 
en el tiempo, o caudal volumétrico es: 
𝑄 = 𝑉 = 𝐴𝑡𝑢 (17) 
Aunque cabe aclarar algo. La expresión 16 posee cierta generalidad, válida para 
cualquier movimiento de fluido en el que este se traslada de manera unidireccional y 
todos los puntos ubicados en la “lámina de fluido en movimiento” poseen la misma 
rapidez, la lámina empleada es una superficie plana, es decir que su vector normal es 
constante en toda la superficie, y más aún, la velocidad del fluido es paralela a dicho 
vector normal. Por otro lado, no es necesario que la tubería tenga sección transversal 
constante, pues, dado que el diferencial de tiempo transcurrido es muy pequeño, la 
forma del volumen obtenida siempre será la de un prisma, debido a que la lámina 
avanza muy poco en dicho tiempo, de modo que el área transversal de ese instante es 
prácticamente igual a la inicial. 
Ante todo esto, surge la duda ¿Existe una forma más general de trabajar con el 
flujo? Sí, efectivamente existe, y parte de un desarrollo sumamente similar al anterior. 
Supongamos que un fluido en movimiento está por atravesar la superficie S: 
 
Figura 3. Fluido con un campo de velocidades “u” a punto de atravesar una superficie “S” 
Si bien en la figura no se aprecia del todo, se toma una superficie “S” lo más 
genérica posible, es decir que no tiene ninguna forma específica, y además, es curva, es 
decir que, en general, cada punto de la superficie posee un vector normal diferente. En 
cuanto al fluido que está por atravesar la superficie, se dirá también que es lo más 
general posible, es decir que, en general, cada punto posee una velocidad distinta. 
Al tratarse de algo tan general, conviene empezar a hablar de nociones 
diferenciales. Imaginemos que un diferencial en particular de la superficie “S” está a 
punto de ser atravesado: 
 
Figura 4. a) Diferencial ubicado en la superficie, b) vista y dimensiones frontales del diferencial, 
c) vista lateral del diferencial, donde se aprecia una porción de fluido que atravesará al diferencial 
En la parte c) de la figura 4, puede apreciarse que se habla de una porción de 
fluido “lo suficientemente pequeña”, esto se reduce a 2 argumentos igualmente 
importantes. En primer lugar,debe ser una porción de fluido infinitamente pequeña para 
que la velocidad sea casi la misma en todos sus puntos, y lo segundo es que se va a 
atravesar un diferencial se superficie que, lógicamente, también es infinitamente 
pequeño. Nótese que la velocidad del fluido y el vector normal al diferencial de 
superficie no son paralelos, por otro lado, tómese la expresión 5: 
Veamos ahora el diferencial de volumen que se forma al transcurrir un 
diferencial de tiempo: 
 
Figura 5. a) Situación en el instante “t”. b) Situación en el instante “dt” 
Es importante remarcar lo que ahí está ocurriendo. En el instante “t” el extremo 
“derecho” del fluido se encuentra adyacente a la superficie “dS”, pero no la ha 
atravesado aún. Debe remarcarse que la velocidad de esa porción de fluido (que es una 
porción bastante pequeña) no es paralela al vector normal de la superficie “dS”, como 
puede observarse en la figura 5.a. Al transcurrir un tiempo infinitamente pequeño “dt”, 
de modo que nos encontramos en el instante “t+dt”, el fluido se movió, y la capa de 
fluido que antes se encontraba adyacente a la superficie “dS” tuvo un desplazamiento 
paralelo a la velocidad (la cual poseía una inclinación respecto al vector normal), es 
decir que esta capa de fluido ahora es adyacente a otra superficie “ dS’ “, del mismo 
tamaño que la anterior. 
De esta forma, se genera un volumen de fluido entre las superficies “dS” y “ dS’ 
“. Este volumen abarca a todo el fluido que atravesó la superficie “dS” en el tiempo 
transcurrido “dt”, el fluido que se encuentra, este volumen se encuentra en la figura 5.b, 
donde se hable de volumen y no de área, pues es un ejercicio tridimensional, ya que el 
fluido es tridimensional y solo se está viendo un corte transversal (ver figura 4). El 
fluido que se encuentra más a la derecha, sobre la superficie ficticia “ dS’ “es aquel que 
se encontraba adyacente a la superficie “dS” en el instante inicial. 
Si volvemos a la expresión 3: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 (3) 
Por lo que bastaría derivar esta expresión en el tiempo para poder hablar del 
flujo másico, y para esto, primero debe hallarse una expresión más “conocida” para el 
diferencial de volumen, observando la figura 6 se aclara este panorama: 
 
Figura 6. a) Vista frontal del volumen. b) Vista lateral del volumen. c) representación vectorial 
de la vista lateral. d) Especificaciones vectoriales de la vista lateral. 
Cabe aclarar: 
𝑑𝑆 = 𝑑𝑆𝑛 = 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑛 (18) 
Por otro lado, en las figuras 6.b y 6.c queda claro que el área lateral viene dada 
por un paralelogramo, y en la figura 6.d puede apreciarse el ángulo que forman los 
vectores involucrados en dicho paralelogramo, pues el vector normal es perpendicular al 
vector 𝑑𝑦 , y a su vez el vector normal forma un ángulo 𝜃 con el vector 𝑑𝑟 . De los 
cursos de álgebra lineal, se sabe que el área de un paralelogramo puede hallarse 
mediante el módulo del producto cruz de los dos vectores no paralelos que representen 
lados del paralelogramo, es decir: 
𝐴𝑙𝑎𝑡 = 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑑𝑟 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑟 𝑑𝑦 sin 90º − 𝜃 (19) 
Ahora, cabe desarrollar la expresión del seno: 
sin 90º − 𝜃 = sin 90º cos 𝜃 − cos 90º sin 𝜃 (20) 
sin 90º − 𝜃 = cos 𝜃 (21) 
𝐴𝑙𝑎𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑦 cos 𝜃 (22) 
Para trabajar con estos valores absolutos, puede simplemente trabajarse con los 
diferenciales en forma escalar, pues son distancias, con respecto al coseno del ángulo, 
cabe destacar que el vector normal a la superficie suele escogerse de tal forma que 
“apoye” el movimiento del fluido, tal como puede apreciarse en la figura 5.a, pues como 
se sabe, toda dirección tiene dos sentidos, de modo que, al conocerse la dirección 
normal, el sentido se escoge de tal forma que el ángulo que formen el vector normal a la 
superficie y el vector velocidad sea lo más pequeño posible. De este modo, siempre se 
tendrá un ángulo igual o menor a 90º, es decir: 
cos 𝜃 ≥ 0 → cos 𝜃 = cos 𝜃 (23) 
𝐴𝑙𝑎𝑡 = 𝑑𝑟𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (24) 
De este modo, el volumen del fluido que atravesó la superficie “dS” en un 
intervalo de tiempo “dt” es: 
𝑑𝑉 = 𝐴𝑙𝑎𝑡 𝑑𝑧 (25) 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑟𝑑𝑦 cos 𝜃 𝑑𝑧 (26) 
Reagrupando términos: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑟 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (27) 
Sustituyendo la ecuación 18: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑟 𝑑𝑆 cos 𝜃 (28) 
Si se observa la figura 5.a, se aprecia que dado que el vector de desplazamiento 
“𝑑𝑟 es paralelo a la velocidad “u”, el ángulo que forman los vectores 𝑑𝑟 y 𝑑𝑆 también 
resulta ser 𝜃, el lado derecho de la ecuación 28 puede escribirse como un producto 
escalar: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑟 . 𝑑𝑆 (29) 
Sustituyendo en la expresión 3: 
𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑟 .𝑑𝑆 (30) 
Dividiendo ambos lados de la expresión entre un diferencial de tiempo, se tiene: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
 . 𝑑𝑆 (31) 
Por un lado, el flujo másico que se tiene es diferencial, pues se está considerando 
únicamente al fluido que atraviesa a un diferencial de área, es decir: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑑𝑚 (32) 
Por otro lado, se tiene, esencialmente, la velocidad del fluido, pues no es más 
que la rata de cambio de la posición del fluido en el tiempo: 
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
= 𝑢 (33) 
Obteniéndose: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑢 . 𝑑𝑆 (34) 
Como se dijo antes, un diferencial de flujo másico viene de considerar al fluido 
que atraviesa a un diferencial de área, si se integra esto en toda la superficie que está 
siendo atravesada, se tiene: 
𝑚 = 𝜌𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
 (35) 
De este modo se define el flujo másico que atraviesa una superficie, donde cabe 
remarcar, que, de manera general, tanto la densidad como el campo de velocidades es 
variable: 
𝜌 = 𝜌 𝑥 ,𝑦 ,𝑧,𝑡 𝑢 = 𝑢 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ,𝑡 (36) 
Velocidad media: 
Dado que en los cursos de mecánica de fluidos suelen estudiarse los flujos en 
tuberías, que son “aproximadamente uniformes respecto a la superficie que atraviesan” 
(es decir que, para un mismo instante de tiempo, distintos puntos de un fluido que están 
atravesando una misma superficie poseen velocidades muy similares entre sí), en lugar 
de hablarse de un campo de velocidades, se habla de una velocidad media única que es 
perpendicular a la superficie que el fluido atraviesa (es decir que es paralela al vector 
normal a la superficie). Para estudiar esto de una manera más detallada, analicemos qué 
ocurre si se toma la expresión 35 “simulando” que la velocidad es la misma para todos 
los puntos de la superficie que se está atravesando, y que además, en cada punto, la 
velocidad es perpendicular a la superficie en el punto que atraviesa, es decir: 
𝑢𝑀 = 𝑈𝑚𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝑑𝑈𝑚
𝑑𝑆
= 0 (37) 
Se tiene entonces: 
𝑚 = 𝜌𝑢𝑀 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
= 𝜌 𝑈𝑚𝑛 . 𝑑𝑆𝑛 
 
𝑆
= 𝜌𝑈𝑚𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑈𝑚 𝜌𝑑𝑆
 
𝑆
 (38) 
En otras palabras: 
𝑚 = 𝑈𝑚 𝜌𝑑𝑆
 
𝑆
 (39) 
Ahora, profundizando más aún, la velocidad media no solo es constante respecto 
a la superficie y perpendicular a esta. Su característica principal es que el flujo másico 
asociado es exactamente igual a aquel obtenido de emplear el campo de velocidades 
exacto, al igualar los flujos másicos de las expresiones 35 y 39, se obtiene: 
𝑈𝑚 𝜌𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝜌𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
 (40) 
Obteniéndose: 
𝑈𝑚 =
 𝜌𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
 𝜌𝑑𝑆
 
𝑆
 (41) 
De modo que es algo bastante similar a un promedio ponderado o a un valor 
promedio de la función, que se estudian en Mecánica de Materiales I y en Matemáticas 
II respectivamente. 
Por otro lado, si se quiere poner esto en términos del caudal, o flujo volumétrico, 
cabe destacar las expresiones 29 y 31: 
𝑑𝑉 = 𝑑𝑟 . 𝑑𝑆 → 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
. 𝑑𝑆 = 𝑢 . 𝑑𝑆 (42) 
Recordando que se trataba únicamente de una porción infinitesimal del flujo 
volumétrico total, se tiene: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑑𝑉 = 𝑑𝑄 = 𝑢 . 𝑑𝑆(43) 
Entonces: 
𝑉 = 𝑄 = 𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
 (44) 
Retómese la expresión 41: 
𝑈𝑚 =
 𝜌𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
 𝜌𝑑𝑆
 
𝑆
 (41) 
Si se tiene un flujo uniforme (que la densidad en un mismo instante de tiempo es 
la misma para todos los puntos), resulta: 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
=
𝜕𝜌
𝜕𝑦
=
𝜕𝜌
𝜕𝑧
= 0 (45) 
𝑈𝑚 =
𝜌 𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
𝜌 𝑑𝑆
 
𝑆
=
 𝑢 . 𝑑𝑆 
 
𝑆
 𝑑𝑆
 
𝑆
 (46) 
Considerando que la integral en una superficie de un diferencial de superficie es 
la superficie o área de esta, se tiene: 
 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑆 = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 = 𝐴 (47) 
𝑈𝑚 =
𝑄
𝐴
 → 𝑄 = 𝑈𝑚𝐴 (47)