FORMULARIO_CALCULO VECTORIAL

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CALCULO VECTORIAL 
Vectores 
uuu nu
22
2
2
1
+++=  
Cosenos directores 
𝑐𝑜𝑠( 𝛼) =
𝑢1
‖𝑢‖
, 
 
𝑐𝑜𝑠( 𝛽) =
𝑢2
‖𝑢‖
, 
 
𝑐𝑜𝑠( 𝛾) =
𝑢3
‖𝑢‖
 
𝑐𝑜𝑠2( 𝛼) + 𝑐𝑜𝑠2( 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠2( 𝛾) = 1 
Rectas y planos en el espacio 
Ec. vectorial de la recta 
𝑟 = 𝑟0 + 𝑡𝑣 
Ec. simétrica de la recta 
𝒙 − 𝒙𝟎
𝒗𝟏
=
𝒚 − 𝒚𝟎
𝒗𝟐
=
𝒛 − 𝒛𝟎
𝒗𝟑
;  𝒄𝒐𝒏  𝒗𝟏𝒗𝟐𝒗𝟑
≠ 𝟎 
Ec. vectorial del plano 
𝒏 ⋅ (𝒓 − 𝒓𝟎) = 𝟎 
Ec. paramétricas del plano 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑣1 + 𝑠𝑢1 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑣2 + 𝑠𝑢2 
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑣3 + 𝑠𝑢3 
Ec. paramétricas de la recta 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑣1 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑣2 
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑣3 
Ec. escalar del plano 
𝑆𝑖 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 
𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0 
Dist. de un punto Q a un plano 
 
 
Dist. de un punto Q a una recta L 
 
 
Superficies 
Ec. de superficie de revolución 
x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z 
y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x 
x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y 
Superficies cuadráticas 
Derivadas 
Derivadas parciales de orden superior 
𝜕2
𝜕𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 
𝜕2
𝜕𝑦2
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑦
𝑓𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 
𝜕2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 
𝜕2
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
) =
𝜕
𝜕𝑦
𝑓𝑥 = 𝑓𝑥𝑦 
Diferencial total 
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦 
Regla de la cadena 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
 
Derivación implícita 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑧
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑧
 ; 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑦
𝐹𝑧
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑧
 
Gradiente 
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦) 
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦, 𝑓𝑧) 
Derivada direccional en dirección del vector 
unitario, en un punto 
𝐷𝑢𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑢 • 𝛻𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
 = (𝑢1, 𝑢2) ⋅ (𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)) 
Ec. del plano tangente a la superficie 
𝛻𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) • (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 0 
𝐷 = |𝑐𝑜𝑚𝑝𝑛(𝑃𝑄
→
)| =
|𝑃𝑄
→
𝑛|
|𝑛|
=
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 − 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
𝐷 =
|𝑃𝑄
→
× 𝑢|
|𝑢|
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 
Ec. de la recta normal a la superficie 
𝑥 = 𝑥0 + 𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 𝑡 
𝑦 = 𝑦0 + 𝐹𝑦(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 𝑡 
𝑧 = 𝑧0 + 𝐹𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 𝑡 
Ec. del plano tangente en el punto 
 
Ec. de la recta normal en el punto 
𝑥 = 𝑥0 − 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) 𝑡; 
𝑦 = 𝑦0 − 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) 𝑡; 
𝑧 = 𝑧0 +  𝑡 
Puntos críticos de funciones 
» f(x0,y0) Es un valor máximo de z=f(x,y) si 
D>0 y fxx(x0,y0)<0 
» f(x0,y0) Es un valor mínimo de z=f(x,y) si 
D>0 y fxx(x0,y0)>0 
» f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0 
Coordenadas cilíndricas y esféricas 
Cilíndricas (𝒓, 𝜽, 𝒛) 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠( 𝜃) 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)  
𝑧 = 𝑧 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 𝜃 = {
𝑡𝑎𝑛−1( 𝑦 𝑥)  𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 ≥ 0⁄
𝜋 + 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑦 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 0⁄
2𝜋 + 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑦 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 < 0⁄
 
𝑟 ≥ 0; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
Esféricas (𝝆, 𝜽, 𝝋) 
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛(𝜑) 𝑐𝑜𝑠( 𝜃) 
 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠( 𝜑) 
 𝜌 ≥ 0;  0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋;   0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2  
𝜑 = 𝑐𝑜𝑠−1( 𝑧/𝜌)  
𝜃 = {
𝑡𝑎𝑛−1( 𝑦 𝑥)  𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 ≥ 0⁄
𝜋 + 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑦 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 0⁄
2𝜋 + 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑦 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 < 0⁄
 
Cambio de variable 
Polares 
 
Cilíndricas 
 
Esféricas 
Longitud de arco 
 
 
Área de la superficie 
∬ 𝑑𝑆 = ∬ √1 + [𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)]
2 + [𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)]
2
𝑅
𝑑𝐴
𝑅
 
Campo vectorial 
 
 
𝑆𝑖 𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎  
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑖̂ + 𝑛𝑗,̂   𝑦  𝑐 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 
𝒓(𝒕) = 𝒙(𝒕)�̂� + 𝒚(𝒕)𝒋̂ ∴ 
∫𝐹 ⋅ 𝑑𝑟
𝐶
= ∫𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦
𝐶
 
𝑆𝑖 𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑖̂ + 𝑛𝑗̂ + 𝑃�̂� 𝑦 𝑐 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 
𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ + 𝑧(𝑡)�̂� ∴ 
∫𝐹 ⋅ 𝑑𝑟
𝐶
= ∫𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 + 𝑃𝑑𝑧
𝐶
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0), 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), −1) • (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 0 
∬ 𝑓(x,y)dxdy = ∬ 𝑓(rcos(θ),rsen(θ)) 𝑟 drdθ
𝑄𝑅
 
∭ 𝑓(x,y,z)dxdydz = ∭ 𝑓(rcos(θ),rsen(θ),z) 𝑟 drdθdz
𝑄𝑅
 
∭𝑓(x,y,z)dxdydz =
𝑆
∭ 𝑓(𝜌sen(φ)cos(θ), 𝜌sen(φ)sen(θ), 𝜌cos(φ))
𝑄
𝜌2sen(φ)𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 
∫𝑭 ⋅ 𝒅𝒓
𝑪
= ∫𝑭 ⋅ 𝑻𝒅𝒔
𝑪
= ∫ 𝑭(𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕), 𝒛(𝒕)) ⋅ 𝒓′(𝒕)𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
𝒔 = ∫ ‖𝑟′(𝑡)‖𝑑𝑡 = ∫ √[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2 + [𝑧′(𝑡)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 
Área de una superficie paramétrica 
∬ 𝑑𝑆 = ∬ ‖𝑟𝑢 × 𝑟𝑣‖
𝐷
𝑑𝐴
𝑆
 
𝑟𝑢 =
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝑖̂ +
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝑗̂ +
𝜕𝑧
𝜕𝑢
�̂�  
𝑟𝑣 =
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝑖̂ +
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝑗̂ +
𝜕𝑧
𝜕𝑣
�̂� 
F es conservativo si 
 
 
Divergencia de un campo vectorial 
𝑑𝑖𝑣𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑀
𝜕𝑥
+
𝜕𝑁
𝜕𝑦
+
𝜕𝑃
𝜕𝑧
 
Teorema de Green 
∫𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦
𝐶
= ∬ (
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑑𝐴
𝑅
 
∫𝐹 ⋅ 𝑑𝑟
𝐶
= ∬ (
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑑𝐴
𝑅
= ∬ 𝑟𝑜𝑡(𝐹) ⋅ �̂� 𝑑𝐴
𝑅
 
∫𝐹 ⋅ 𝑁 𝑑𝑠
𝐶
= ∬ 𝑑𝑖𝑣(𝐹) 𝑑𝐴
𝑅
 
Teorema de la divergencia de Gauss 
∬𝐹 ⋅ 𝑁 𝑑𝑆
𝑆
= ∭ 𝑑𝑖𝑣(𝐹)𝑑𝑉
𝑄
 
Teorema de Stokes 
∫𝐹 ⋅  𝑑𝑟
𝐶
= ∬(𝑟𝑜𝑡(𝐹)) ⋅  𝑁 𝑑𝑆
𝑆
 
 
Sea una curva 
Vector velocidad 
v(t) = r′(t) 
Rapidez 
‖v(t)‖ =
ds
dt
= ‖r′(t)‖ 
Vector aceleración 
a(t) = r ′′(t) = aTT(t) + aNN(t) 
Vector tangente unitario 
T(t) =
r′(t)
‖r′(t)‖
 
Vector normal 
N(t) =
T′(t)
‖T′(t)‖
 
Vector binomial 
B(t) = T(t) × N(t) 
Comp. de la aceleración 
aT = a(t) ⋅ T(t) =
v(t) ⋅ a(t)
‖v(t)‖
=
d2s
dt2
 
𝑎𝑁 = 𝑎(𝑡) ⋅ 𝑁(𝑡) = √‖𝑎(𝑡)‖
2 − 𝑎𝑇
2
=
‖𝑣(𝑡) × 𝑎(𝑡)‖
‖𝑣(𝑡)‖
= 𝐾 (
𝑑𝑠
𝑑𝑡
)
2
 
Curvatura 
K =
|y′′|
[1 + (y′)2]
3
2⁄
 
K =
|x′y′′ − y′x′′|
[(x′)2 + (y′)2]3 2⁄
 
K =
‖T′(t)‖
‖r′(t)‖
=
‖r′(t) × r′′(t)‖
‖r′(t)‖3
 
K =
a(t) ⋅ N(t)
‖v(t)‖2
 
Integral de línea 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2𝑑𝑡𝑗
𝑏
𝑎𝐶
 
 
 
𝑟𝑜𝑡(𝐹) = ||
�̂� �̂� �̂�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
|| = �̂� (
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑧
) − �̂� (
𝜕𝑃
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑧
) + �̂� (
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) = 0 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))√[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2 + [𝑧′(𝑡)]2𝑑𝑡
𝑏
𝑎𝐶