UNIDAD II MAT1_CI-23 funciones

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y 
ESTADÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD DOS: 
FUNCIONES 
 
CICLO 01/2023 
 
 
 
 
 
 
 
CIUDAD UNIVERSITARIA 
 
UNIDAD II: 
FUNCIONES 
 
Tabla de contenido 
Tema 2.2: Concepto de Función: Dominio y Rango .................................................................................. 1 
2.1 Función Polinómica ....................................................................................................................................... 2 
Función Polinómica de Grado cero ................................................................................................................. 2 
Función Polinómica de Grado uno .................................................................................................................. 4 
La Línea Recta ......................................................................................................................................................... 6 
Pendiente de una recta como razón de cambio. ........................................................................................ 6 
Formas de la Ecuación de la Línea Recta ...................................................................................................... 9 
Relaciones Entre Rectas .................................................................................................................................... 13 
Función Polinómica de Grado Dos. ............................................................................................................... 17 
Formas de la Ecuación de la Parábola. ........................................................................................................ 19 
Parábola Vertical: ................................................................................................................................................ 19 
Parábola Horizontal ............................................................................................................................................ 22 
Función Polinómica de Grado Tres............................................................................................................... 27 
2.2 Funciones Racionales ................................................................................................................................ 29 
Funciones que contienen  n xP ................................................................................................................... 30 
2.3 Composición de Funciones. ..................................................................................................................... 31 
La Inversa de una Función. .............................................................................................................................. 34 
2.4 Función Seccionada ..................................................................................................................................... 37 
Función Valor Absoluto ..................................................................................................................................... 39 
2.5 Función Exponencial ................................................................................................................................... 42 
2.6 Función Logarítmica. .................................................................................................................................. 43 
 
1 
 
Tema 2.2: Concepto de Función: Dominio y Rango 
 
 
Sea R una relación de A con B, el dominio de R son los elementos de A que se relacionan con 
algún elemento de B, cuando se escribe “algún”, significa que se puede relacionar con uno o 
varios elementos de B. Cuando cada elemento de A se relaciona con un solo elemento de B, 
se dice que la relación es una función, nótese que en este caso el dominio de la relación es 
igual al conjunto de partida, puesto que todos los elementos de A se relacionan. 
 
Definición 2.1 Sea f una relación de A en B, se dice que f es una función si cumple 
las dos condiciones siguientes: 
i) Todos los elementos de A se relacionan 
ii) Cada elemento de A se relaciona con un solo elemento de B. 
En símbolos: se dice que la relación f de A en B, es una función, si  xfyByAx  :!  
Son ejemplos de la función, los siguientes: 
 
a) b) 
 
 
 c) 
 
 
Cuando RA  y RB  , se dice que la función es de variable real, y se representa de la 
manera siguiente: 
2 
 
 )(
:
xfyx
RRf


 
Donde: f Es el nombre de la función 
 R Es el conjunto de partida y de llegada 
 x Es la variable independiente 
 y Es la variable dependiente 
 )(= xfy Es la regla de correspondencia. 
 
Es común referirse a una función en forma abreviada como )(= xfy , es decir, solamente 
por medio de su regla de correspondencia, sobreentendiéndose que va de R en R, también 
se hace referencia a una función solamente por su nombre de f . 
 
2.1 Función Polinómica 
 
Hay diferentes tipos de funciones: polinómicas, racionales, exponenciales, etc. 
Se comenzará con el estudio de la función polinómica 
 
Definición 2.1.1 La función polinómica es aquella que tiene la forma 
  nnxaxaxaaxf  ...
2
210 con NnyRaaaa n ...,, 210 . 
El dominio de la función polinómica son todos los números reales, RD f = y el rango 
dependerá del grado de la función el cual es el mayor exponente de la variable, ejemplos 
son: 
 
a)   1 grado de, ,31 xxf  
b)   3 grado de,61045
32 xxxxxf  
c)   cero grado de,10xf 
d)   2 grado de,720
2xxf  
 
Función Polinómica de Grado cero 
 
3 
 
La función polinómica de grado cero es también conocida como la función constante y 
tiene la forma: 
  Raaxf  00 , 
 
La grafica es: 
 
 
 
El dominio es todos los números reales: RD f = y el rango es: { }0= aR f . 
Ejemplo 2.1.1 Graficar indicando su dominio y rango las funciones siguientes: 
 a)   5xf b)   3xf c)   1xf 
Solución 
a)   5xf 
 Para este caso se tiene que 5=0a , por lo tanto la gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
 5 ff RyRD 
 
b)   3xf 
4 
 
 Se tiene que 
3
0
a . Así su gráfica es: 
 
 
 
 3 ff RyRD 
 
 
c)   1xf 
 Ahora 1=0a , su gráfica es: 
 
 
 
1 ff RyRD 
 
Función Polinómica de Grado uno 
 
La función polinómica de grado uno es también conocida como función lineal, y tiene la 
forma: 
  xaaxf 10  
con Raa ∈, 10 , 0≠1a 
5 
 
 
El dominio de la función lineal son todos los números reales, y el rango también son todos 
los números reales; esto es: 
 
RRyRD ff  
Y su grafica es en línea recta. 
 
Ejemplo 2.1.2 Graficar indicando su dominio y rango, las funciones siguientes: 
 a) ( ) 3 2f x x  b) xxg 2-3=)( 
Solución 
 a) ( ) 3 2f x x  
Como se sabe que la gráfica es una línea recta, será suficiente dos valores para 
x. 
 
x f(x)=2+3x (x,y) 
0 
1 
f (0)=2+3(0)=2 
f(1)=2+3(1)=5 
(0,2) 
(1,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RRyRD ff  
 
b) xxg 2-3=)( 
6 
 
 
x g (x)=3-2x (x,y) 
0 
1 
g(0)=3-
2(0)=3 
g(1)=3-
2(1)=1 
(0,3) 
(1,1) 
 
 
 
 
RRyRD gg  
 
 
La Línea Recta 
Pendiente de una recta como razón de cambio. 
 
Una bebida gaseosa de 2.5 litros se vende a un precio de $1.30. Si una tienda vende una 
unidad tiene un ingreso de $1.30, si vende dos unidades el ingreso será $2.60. 
Se observa que al incrementarse la cantidad vendida de 1 a 2 unidades, el ingreso se 
incrementa de $1.30 a $2.60. 
Se representará por q la cantidad de unidades de bebida gaseosa y por R el ingreso que 
obtiene la tienda por la venta de q cantidad de bebida gaseosa, y sea q1=1  q2=2, y 
representemos la variación por ∆ (delta); esto es, la variación en la cantidad es: 
 ∆q = q2-q1 
= 2-1 
=1 
De manera similar la variación en el ingreso es: 
∆R= R2-R1 
=2.6-1.3 
=1.3 
Tómeseen cuenta que el ingreso varía, solamente si varia la cantidad vendida. 
La variación en la cantidad vendida es ∆q=1 
7 
 
Y la variación en el ingreso es: ∆R=1.30. 
Ahora, se planteará la variación del ingreso con respecto a la variación de la cantidad; es 
decir: 
3.1
1
3.1



q
R
 
Supongamos ahora que cantidad vendida varia de 1 a 3 unidades, entonces el ingreso 
variará de $1.30 a $3.90, en este caso: 
 
21312  qqq y 
60.230.190.312  RRR 
La variación de ingreso con respecto a la variación de la cantidad es: 
 
3.1
2
6.2



q
R
 
 
Considérese ahora una variación en las ventas de 3 a 10 unidades, entonces el ingreso varía 
de $3.90 a $13.00, teniendo una variación en la cantidad vendida: 
12 qqq  
7310  
La variación en el ingreso es: 
 12 RRR  
10.99.30.13  
La variación del ingreso con respecto a la variación de la cantidad vendida es: 
30.1
7
10.9



q
R
 
Se observa que 
q
R


 es siempre 1.30, esto es: 
30.1=
q
R


es la tasa de cambio del ingreso con respecto a la cantidad vendida. 
 
Construyendo la gráfica: 
8 
 
 
Cantidad 
Vendida 
q 
Ingreso 
R 
(q,R) 
0 
1 
2 
3 
4 
0 
1.30 
2.60 
3.90 
5.20 
(0,0) 
(1,1.30) 
(2,2.60) 
(3,3.90) 
(4,5.20) 
 
 
 
En la gráfica puede observase que q
R

 es el grado de inclinación de la recta; es decir, q
R

 es la 
pendiente de la línea recta, o bien, la variación en el ingreso (variable dependiente) con 
respecto a la variación en la cantidad vendida (variable independiente) es la pendiente de la 
recta. 
 
Definición 2.1.2 Sea la recta L que pasa por los puntos 
   yxPyxP y 222111 ,, , la 
pendiente de la recta L, que se denota por m, se define como: 
 xx
yy
x
y
m
12
12






 
 
Ejemplo 2.1.3 Determinar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos con 
coordenadas (2,1) y (4,5); además, graficar. 
 
Solución 
 Sean 
)5,4()1,2( 21
2211
PyP
yxyx
 y se tiene que: 
12
12
xx
yy
m


 
2
2
4
24
15



 
9 
 
 Así, la pendiente de la recta L es: 
 2m 
Para graficar una línea recta basta con dos puntos y luego usando una regla se 
traza la recta pasando por dichos puntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de la Ecuación de la Línea Recta 
 
Se ha estudiado que la gráfica de la función polinómica de grado uno, es una línea recta, 
ahora se estudiará la línea recta como lugar geométrico 
 
Definición 2.1.3 Una línea recta es la unión de un conjunto de puntos en una misma 
dirección. 
 
La ecuación de una línea recta es única, no puede tener dos o más, pero, se puede escribir 
de formas diferentes. De acuerdo a la forma en que se ha escrito la ecuación recibe un 
nombre particular: Ecuación de dos puntos, punto pendiente, pendiente intersección, 
simétrica y general. 
Es de hacer notar que cuando se tiene una forma de la ecuación de la línea recta y se realiza 
un cálculo en ésta, por sencillo que sea, cambia de forma y por lo tanto cambia de nombre. 
 Cada forma de la ecuación proporciona alguna información de la recta: 
 
 
Forma de la ecuación Información que proporciona 
Dos Puntos Dos puntos por donde pasa la recta 
Punto-pendiente Un punto y la pendiente de la recta 
10 
 
Pendiente-intersección La pendiente y la intersección de la 
recta con el eje y 
Simétrica Las intersecciones de la recta con el eje 
x y. 
General La forma polinómica de la ecuación de 
la recta. 
 
 
 
Ecuación Dos Puntos 
 
La ecuación dos puntos de la línea recta tiene la forma: 
 xx
xx
yy
yy 1
12
12
1 



 
 
Donde ),(),( 2211 yxyx  son las coordenadas de dos puntos por donde pasa la recta. 
 
 
Ejemplo 2.1.4 Escribir la ecuación dos puntos de la recta L que pasa por los puntos 
con coordenadas )4,3()5,1( y . 
Solución 
 x1 y1 x2 y2 
Sean    4,35,1 21 PyP , como la ecuación dos puntos tiene la forma: 
 xx
xx
yy
yy 1
12
12
1 



 sustituyendo se tiene: 
 
 1
13
54
5 


 xy Ecuación dos puntos. 
Ecuación Punto Pendiente. 
 
La ecuación punto pendiente de la línea recta tiene la forma: 
11 
 
 11 xxmyy  
Donde: m es la pendiente de la recta y 
),( 11 yx es un punto de la recta. 
 
Para el ejemplo 2.1.4 la ecuación punto pendiente es: 
 
 1
2
1
5 

 xy Ecuación punto pendiente 
 
 
Ecuación Pendiente Intersección 
 
La ecuación pendiente intersección de la línea recta tiene la forma: 
bmxy  
Donde: m es la pendiente de la recta y 
b es el valor donde la recta corta el eje y. 
 
Para el caso anterior, la ecuación pendiente intersección es: 
 
 Se tiene  1
2
1
5 

 xy 
 
2
1
2
1
5  xy 
 5
2
1
2
1
55  xy Sumando 5 
 
2
11
2
1
 xy Ecuación pendiente intersección 
 
Ecuación Simétrica o Canónica 
 
12 
 
La ecuación simétrica, también conocida como ecuación canónica de la línea recta tiene la 
forma: 
1
b
y
a
x 
Donde: a es la intersección de la recta con el eje x 
b es la intersección con el eje y. 
 
Para el caso anterior, se tiene: 
 
 
2
11
2
1
 xy multiplicando por 2 
 







2
11
2
1
22 xy 
 112  xy sumando x 
 112  xxyx 
Ecuación (*) 112  yx dividiendo por 11 
 
11
11
11
2

 yx 
 1
11
2
11

yx 
 1
2
1111

yx Ecuación Simétrica 
 
Ecuación General 
 
La ecuación general de la línea recta tiene la forma: 
0 CByAx 
 
Para el caso anterior, tomando la ecuación (*), se tiene: 
112  yx restando 11 
1111112  yx 
0112  yx Ecuación General. 
13 
 
Gráfica de la recta L: 
Como se sabe que pasa por los puntos con coordenadas    4,35,1 y se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nótese en la gráfica, que la recta corta el eje y en 5.5 y al eje x en 11, información que ya se 
sabía de la ecuación simétrica. 
Relaciones Entre Rectas 
Cuando se tienen dos o más rectas, se establecen algunas relaciones entre éstas: Paralelas y 
concurrentes, donde las concurrentes pueden ser perpendiculares y no perpendiculares. 
 
 Paralelas 
Relaciones 
entre rectas Perpendiculares 
 No Paralelas 
 o concurrentes 
 No Perpendiculares 
Rectas Paralelas 
 
Definición 2.1.4 Sea la recta L1 con pendiente m1 y la recta L2 con pendiente m2, se dice 
que la recta L1 es paralela a la recta L2, lo cual se escribe L1//L2, si 
tienen la misma pendiente, es decir, si m1=m2. 
 
14 
 
Ejemplo 2.1.5 Sea la recta L1 que pasa por los puntos con coordenadas (1,2) y (3,4), y 
sea la recta L2 que pasa por los puntos con coordenadas (-1,0) y (4,5). 
Determinar si la recta L1 es paralela a la recta L2 y graficar. 
 
Solución 
Para determinar si son paralelas, se calcula cada una de las pendientes, y si son 
iguales, se dice que son paralelas. 
 
Para la recta L1: 
 
 x1 y1 x2 y2 
Sean    4,32,1 21 PyP , entonces su pendiente es: 
1
2
2
13
24
12
12
1 






xx
yy
m
 
Así: 
11 m
 
 
Para la recta L2: 
 
 x1 y1 x2 y2 
Sean    5,40,1 21 PyP  , entonces su pendiente es: 
1
5
5
)1(4
05
12
12
2 






xx
yy
m
 
Así: 
 12 m 
 
Como m1=m2=1 se dic e que la recta L1 es paralela a la recta L2. 
Para graficar cada una de las rectas, se grafican los dos puntos y con auxilio de 
una regla se traza la línea recta. 
 
15 
 
 
 
Ejemplo 2.1.6 Sea la recta L1 con ecuación 13  xy , determinar la ecuación de la recta 
L2 que pasa por el punto con coordenadas (0,2) y es paralela a la recta L1. 
Solución 
Se requiere determinar la ecuación de la recta L2, la cual pasa por  2,01P ; si se 
conociera la pendiente de la recta L2, podría escribirse la ecuación punto 
pendiente. 
Como L1//L2 debe cumplirse que m1=m2. 
La ecuación de L1 es 13  xy , de aquí que m1=3 y por tanto m2=3. 
Así la ecuación de L2 es: 
  121 xxmyy  
  032 xy 
 xy 32  sumando 2 
 2322  xy 
 23  xy ecuación de la recta L2 
Rectas Concurrentes 
 
Si las pendientes de dos o más rectas son iguales, se dice que son paralelas, dichas rectas 
nunca se intersectan; por el contrario, cuando las rectas tienen pendientes diferentes estas 
sí se intersectan en un punto, en este caso se dice que las rectas son concurrentes. 
16 
 
Definición 2.1.5 Sea recta L1 con pendiente m1 y la recta L2 con pendiente m2, si m1≠m2, 
se dice que las rectas L1 y L2 son concurrentes, y si además, m1.m2 = -1 
se dice que la recta L1 es perpendicular a la recta L2, lo cual se escribe 
L1L2 
 
Ejemplo 2.1.7 Sea la recta L1 que pasa por los puntos con coordenadas (2,1) y )1,3(  , 
y la recta L2 que pasa por los puntos con coordenadas (-2,0) y (0,4). 
Determinar si las rectas L1 y L2 son concurrentes, si lo son, verificar si 
son perpendiculares. 
 
Solución 
Se calculará la pendiente de cada una de las rectas, si resultan diferentes diremos 
que son concurrentes y luego las multiplicaremos para ver si el resultado es -1, en tal 
caso diremos que las rectas son perpendiculares. 
 
Para la recta L1: 
 
 x1 y1 x2 y2 
Sean    1,31,2 21 PyP , entonces la pendiente es: 
2
1
2
23
11
12
12
1 








xx
yy
m
 
Así: 
21 m 
 
Para la recta L2: 
 
 x1 y1 x2 y2 
Sean    4,00,2 21 PyP  , entonces la pendiente es: 
2
2
4
)2(0
04
12
12
2 






xx
yy
m
 
Por tanto: 
 22 m 
17 
 
Como m1 = -2 ≠ m2 = 2 diremos que las rectas L1 y L2 son concurrentes 
¿Serán perpendiculares? 
m1.m2 = (-2) (2) = 4 ≠ -1 
Como el producto de las pendientes es diferente de -1, podemos afirmar que las 
rectas L1 y L2 no son perpendiculares. 
 
Ejemplo 2.1.8 Determinar la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto con 
coordenadas (2,3) y es perpendicular a la recta L2 con ecuación
34  xy . 
Solución 
 x1 y1 
La recta L1 pasa por  3,21P , hay que determinar su pendiente. 
Como L1L2 debe cumplirse que m1.m2 = -1 
 
De la ecuación de L2, 34  xy , se tiene que m2 = 4 
 
Así, 1. 21 mm 
   141 m Dividiendo por 4 
 
 
4
1
4
41 m Cancelando 
4
1
1 m 
Conociendo el valor de m1, se puede escribir la ecuación de L1 en su forma punto pendiente. 
 
  111 xxmyy  
  2
4
1
3  xy Ecuación de la recta L1. 
Función Polinómica de Grado Dos. 
 
La función polinómica de grado dos es también conocida como función cuadrática, y tiene 
la forma: 
 
2
210)( xaxaaxf  , con Raaa 210 , , 
18 
 
 02 a 
El dominio de la función Polinómica de grado dos es R y el rango dependerá de la función. 
Ejemplo 2.1.9 Sea 223)( xxxf  , graficar indicando su dominio y rango. 
Solución 
Se construye la tabla de valores para 223)( xxxf  
x f(x)=3+2x+x2 (x,y) 
-4 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
11 
6 
3 
1 
3 
6 
11 
(-4,11) 
(-3,6) 
(-2,3) 
(-1,2) 
(0,3) 
(1,6) 
(2,11) 
  ,2, RD ff R 
La gráfica de la función cuadrática es una parábola vertical, que se abre hacia arriba si 
02 a y se abre hacia abajo si 02 a , con vértice en el punto con coordenadas: 
 









a
a
a
a
a
V
2
2
1
0
2
1
4
,
2
 
Algunas personas son buenas recordando fórmulas, en este caso, se puede determinar el 
vértice: 
 Tenemos que 1 2 ,3 210  ayaa 
 
 
1
12
2
2
2
1 
a
a 
  
 
213
14
2
3
4
2
2
2
1
0

a
a
a 
 
19 
 
 Así el vértice es: V(-1,2) y como 012 a , se abre hacia arriba. 
 
Ejemplo 2.1.10 Sea 
224)( xxf  , graficar indicando su dominio y rango. 
 
 
Solución 
Se construye la tabla de valores para 
224)( xxf  
X f(x)=4-2x2 (x,y) 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
-14 
-4 
2 
4 
2 
-4 
-14 
(-3,-14) 
(-2,-4) 
(-1,2) 
(0,4) 
(1,2) 
(2,-4) 
(3,-14) 
 
 4,,  RD ff R 
Formas de la Ecuación de la Parábola. 
 
La ecuación de una parábola es única, pero se puede escribir de varias formas. Hay dos 
formas de escribir la ecuación de la parábola que reciben nombres particulares: Ecuación 
General y Ecuación ordinaria. 
 
 
Parábola Vertical: 
 
Ecuación General: 0
2  DCyBxAx 
Ecuación Ordinaria donde (h, k) es el vértice y se abre hacia abajo: 
   kyphx  42 
20 
 
Ecuación Ordinaria donde (h, k) es el vértice y se abre hacia arriba: 
   kyphx  42 
 
 
 
 
 
Nótese que el término cuadrático lo tiene la variable x, por eso la parábola es vertical. 
 
Algoritmo para pasar de la ecuación general a la ecuación ordinaria de la parábola. 
 
1. Los términos que contienen la variable x se dejan en el miembro izquierdo y los que 
no, se pasan al miembro derecho 
DCyBxAx 2 
2. Se dividen ambos miembros por el coeficiente de 2x (A) y se simplifica. 
A
DCy
A
B xx

2 
3. Se completa cuadrados; esto es, se suma a ambos miembros: la mitad del nuevo 
coeficiente de x (término lineal), todo elevado al cuadrado. 
2
2
2
42 A
BA
B









 
2
2
2
2
2
44 A
B
A
B
xx
A
D
A
Cy
A
B 

 
4. El miembro izquierdo se escribe como el cuadrado de un binomio y en el miembro 
derecho se saca factor común el coeficiente de y. 















AC
B
C
D
y
A
B
x
A
C
42
22
 
 
21 
 
Ejemplo 2.1.11 Sea la parábola con ecuación general 0249123 2  yxx , escribir la 
ecuación ordinaria y graficar. 
Solución 
Se tiene 0249123 2  yxx 
Paso 1. 249123
2  yxx 
Paso 2. 
3
249
3
1223  
yxx 
8342  yxx 
Paso 3. Sumamos 4
2
4
2






 a ambos miembros: 
483442  yxx 
123442  yxx 
 
Paso 4.    432 2  yx Ecuación Ordinaria. 
El vértice es: V(2,4) y se abre hacia abajo. 
 
 
 
Algoritmo para pasar de la ecuación ordinaria a la ecuación general. 
22 
 
1. Se desarrolla el cuadrado de un binomio en el miembro izquierdo y el producto en el 
miembro derecho. 
2. Se pasan todos los términos al miembro izquierdo y se operan términos semejantes. 
 
Ejemplo 2.1.12 Sea la parábola con ecuación general    321 2  yx , escribir la 
ecuación ordinaria y graficar. 
Solución 
Tenemos    321 2  yx 
Paso 1. 6212
2  yxx 
Paso 2. 06212
2  yxx 
07222  yxx Ecuación General 
De la ecuación ordinaria se tiene que el vértice es V(-1,3) y se abre hacia arriba. 
 
 
Parábola Horizontal 
 
Ecuación General: 0
2  DCxByAy 
Ecuación Ordinaria donde (h, k) es el vértice y se abre a la derecha: 
    hxpky  42 
23 
 
 
 
Ecuación Ordinaria donde (h, k) es el vértice y se abre a la izquierda: 
   hxpky  42 
 
 
 
Nótese que el término cuadrático lo tiene la variable y; además, la parábola horizontal no es 
función. 
Ejemplo 2.1.13 Sea la parábola 06816244 2  xyy , escribir la ecuación ordinaria y 
graficar. 
Solución 
El proceso para escribir la ecuación ordinaria de una parábola horizontal, es similar 
al de la parábola vertical tomando en cuenta que esta vez el término cuadrático está 
en y. 
 Se tiene 06816244 2  xyy 
Paso 1. 6816244 2  xyy 
24 
 
Paso 2. 
4
6816
4
244 2 

 xyy
 
17462  xyy 
Paso 3.     93
2
6 2
2
 
 Para completar cuadrados sumaremos 9 a ambos miembros: 
9174962  xyy 
)2(4)3( 2  xy Ecuación Ordinaria. 
Se observa que el vértice es V(2,3) y se abre a la derecha 
Grafica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2.1.14 Sea la ecuación de la parábola )1(2)4(
2  xy , escribir la ecuación 
general y graficar. 
Solución 
El proceso es similar al de la parábola vertical: 
 Tenemos )1(2)4(
2  xy 
Paso 1. 22168
2  xyy 
Paso 2. 022168
2  xyy 
018282  xyy Ecuación General. 
 
De la ecuación ordinaria, se tiene que el vértice es: V(-1,4) y se abre a la izquierda 
25 
 
 
 
Ejercicios 
 
1. Para las ecuaciones siguientes, escribir la ecuación ordinaria de la parábola y 
graficar.a) 0134
2
 yxx 
b) 0146
2
 yxx 
c) 0628
2
 yxx 
d) 03468
2
 xyy 
e) 0722
2
 xyy 
f) 04
2
 xyy 
g) 0658
2
 yxx 
h) 03746
2
 xyy 
i) 0234
2
 yxx 
j) 02
2
 yx 
26 
 
k) 024
2
 xy 
 
2. Escribirla ecuación general y graficar, para las ecuaciones siguientes: 
 
a)    234 2  yx 
b)    323 2  xy 
c)    122 2  yx 
d)    341 2  xy 
e)    342 2  yx 
f)    132 2  yx 
g)    243 2  yx 
h)    524 2  yx 
i)    344 2  xy 
j)    321 2  xy 
k)   42 2  yy 
l)    254 2  yx 
 
27 
 
Función Polinómica de Grado Tres. 
 
La Función Polinómica de grado tres es también conocida como función cúbica, y tiene la 
forma: 
 
3
3
2
210)( xaxaxaaxf  , con Raaaa 3210 , , 
 03 a 
Se estudiará el caso en que: 0 21  aa , es decir, la función cúbica de la forma: 
 
3
30)( xaaxf  . 
La grafica tiene la forma: 
 
Si 03 a Si 03 a 
 
Como puede observarse en ambos gráficos, el dominio es R y el rango también R. 
Ejemplo 2.1.15 Sea la función
332)( xxf  , graficar indicando su dominio y rango. 
Solución 
Tenemos que 20 a por tanto, la grafica corta al eje y en 2. 
Determinemos donde corta el eje x (y=0): 
3320 x 
87.0
3
2
3
2
23 333 

 xxx 
28 
 
y como 033 a , la grafica es: 
 
 
RD f  
RR f  
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2.1.16 Sea 
341)( xxf  , graficar indicando su dominio y rango. 
 
Solución 
Se tiene que 10 a , por tanto la grafica de f corta al eje y en -1. 
Determinemos donde corta el eje x (y=0): 
3410 x 
14 3 x 
4
13 x 
63.0
4
1
3 x 
y como 043 a , la grafica es: 
 
 
 
 
 
29 
 
RD f  
RR f  
 
2.2 Funciones Racionales 
 
Una función de la forma 
 
 
 q
p
x
x
xf 
 , donde 
 p x
 y 
 q x son polinomios, se llama 
función racional. 
El dominio de la función racional es: 
}0)({  xqR 
Es decir, es todos los números reales menos aquellos valores de x que hacen cero el 
denominador, esto es, porque la división por cero no está definida. 
El rango de la función racional dependerá, cada vez, de su regla de correspondencia. 
Se estudiará el caso de determinar su dominio 
Ejemplo 2.2.1 Sea 
x
xx
xf
34
423
)(
2


 , determinar su dominio. 
Solución 
 El dominio es:  034  xR 
 034  x 
 43 x 
 3
4x 
 Así:  
3
4 RD f 
Ejemplo 2.2.2 Determinar el dominio de 
352
410
)(
2
3



xx
x
xf 
Solución 
 El dominio es:  03522  xxR 
 03522  xx 
    057  xx 
 0507  xx 
30 
 
 57  xx 
 Así:  5,7 RD
f
 
 
Funciones que contienen  n xP 
Analizaremos funciones cuya regla de correspondencia contiene expresiones de forma 
 n xP , donde  xP es un polinomio. 
Cuando n es impar no hay restricción, si  n xP aparece en el denominador, la restricción 
será que   0xP y, en caso de aparecer en el numerador no hay restricción. 
 
Ejemplo 2.2.3 Determinar el dominio de 3 2 123)(  xxxf 
Solución 
 Para este caso se tiene una raíz impar, por tanto el dominio es: RD f  
Ejemplo 2.2.4 Determinar el domino de 
5 42
12
)(



x
x
xf 
Solución 
En este caso se tiene una raíz impar en el denominador, por tanto el dominio es:
 042  xR 
 042 x 
 42 x 
 2
2
4 x 
 Así:  2 RD f 
Ejemplo 2.2.5 Determinar el domino de 63)(  xxf 
Solución 
En este caso se tiene una raíz par (n=2), entonces el discriminante (lo que esta 
dentro del radical) debe ser mayor o igual que cero. 
063 x 
63 x 
31 
 
3
6x 
2x 
Así, [,2[ fD 
Ejemplo 2.2.6 Determinar el domino de 
242
13
)(
2
2



xx
x
xf 
Solución 
En este caso se tiene una raíz par en el denominador, entonces el discriminante debe 
ser mayor que cero, no puede ser igual que cero, ya que, la división por cero no está 
definida. 
0242
2
 xx nótese que hay que resolver una desigualdad cuadrática. 
   046  xx 
0406  xx 
46  xx 
Se construye el cuadro de variación de signos. 
  -6 4  
x+6 - + + 
x-4 - - + 
(x+6)(x-4) + - + 
 
Como la desigualdad es mayor que cero, en el cuadro de variación se escoge el signo 
positivo. 
Así, el dominio de la función es: 
      ,46, fD 
 
2.3 Composición de Funciones. 
 
Supongamos que un conjunto de personas quiere viajar desde El Salvador a España, vuelo 
directo no hay, entonces deciden viajar vía Cuba, salen desde el aeropuerto El Salvador el 
conjunto de personas {Luís, Pedro, María, Julia, Ana, Eva} al llegar al aeropuerto de La 
Habana en Cuba, Luís y Maria se quedan en La Habana. 
32 
 
En La Habana están Juan y José que son dos cubanos que van para España también, éstos 
junto al resto, abordan otro avión con destino a Madrid, España. 
Luís y Maria que viajaron desde EL Salvador a la habana no nos interesan, Juan y José que 
viajaron desde La Habana a España tampoco nos interesan. 
Mostraremos interés en Pedro, Julia, Ana y Eva que viajaron, primero de El Salvador a Cuba 
y luego de Cuba a España, es decir viajaron desde El Salvador a España. 
 
 
Este es el concepto de la composición de funciones, una función g de A en B tal que 
 xgy  y luego una función f de B en C tal que   xgfy  
 
 
Definición 2.3.1 Sean f y g dos funciones de variable real, la función composición de 
f con g , que se denota por gf  , se define como: 
       fxgx DgDxxgfgf  :/)(. . 
 
Se estudiará el problema de determinar la función composición únicamente, sin determinar 
su dominio y rango. 
 
33 
 
Ejemplo 2.3.1 Sean las funciones de variable real 43)(  xxf y 2)(
2  xxg , 
determinar: a) gf  y b) fg  . 
Solución 
a) Para gf  : 
Tenemos que:    ))(( xgfgf x  
 4)(.3  xg 
 4)2(3 2  x 
 463 2  x 
 103 2 x 
 
Así:    103
2  xgf x 
 
b) Para fg  : 
Se tiene que    ))(( xfgfg x  
   2)( 2  xf 
   243 2  x 
 216249 2  xx 
 18249 2  xx 
 
Así:    18249
2  xxfg
x
 
Nótese que fggf ..  
Ejemplo 2.3.2 Sean las funciones de variable real 
3
)(


x
x
xf y 1)(  xxg . Determinar: 
a) gf  y b) fg  
Solución 
a) Para gf  : 
Se tiene que:    ))(( xgfgf x  
34 
 
 
 
  3

x
x
g
g
 
 
31
1



x
x
 
Así:   
31
1



x
x
gf x 
 
b) Para fg  : 
Se tiene que    ))(( xfgfg x  
 1)(  xf 
 1
3



x
x
 
Así:   1
3
)( 


x
x
xfg  
 La Inversa de una Función. 
 
Supóngase que un grupo de salvadoreños {Luisa, Juan, Eva, José} abordan un avión en el 
aeropuerto El Salvador, con destino a los Ángeles, California, USA. Pero al llegar y 
registrarse con los agentes de migración, éstos deciden deportarlos a todos; es así como, los 
suben a otro avión, con destino a El Salvador terminando donde comenzaron, un avión los 
llevó y el otro los trajo. 
Ilustración 
 
Esta es la idea de la inversa de una función. 
35 
 
Definición 2.3.2 Sea f una función de A en B, la inversa de la función f , que se denota 
por 
1f , es una función que cumple: 
     Bxxff x1 
    Axxff x  1 
Se tiene que    xff x 1 y también    xff x  1 , pero son sx' distintas. 
Siguiendo el ejemplo ilustrativo ff 1 serían los salvadoreños que van a los Estados 
Unidos y son deportados a El Salvador. 
1ff  serían norteamericanos que viajan a El Salvador y son deportados a los Estados 
Unidos. 
 
Se estudiará el problema de dada una función en contra su inversa. 
 
Ejemplo 2.3.3 Sea   43  xf x determinar la inversa de la función f . 
Solución 
 Se tiene que    xff x 1 
   xxff  )(1 
   xf x 
 43 1 
  
3
41
x
f x Es la función inversa de   43  xf x 
Gráfica para   43  xf x , como es una función lineal su gráfica es una línea recta, con dos 
puntos se puede graficar. 
 
 
 
x f(x)=3x+4 f 1f 
0 
1 
4 
7 
(0,4) 
(1,7) 
(4,0) 
(7,1) 
 
36 
 
 
 
Ejemplo 2.3.4 Determinar la inversa de la función   4
2  xf x y graficar. 
Solución 
 Se sabe que:    xff x 1 
    xff x 1 
    xf x  4
21
 
    4
21  xf x 
   4
1  xf x 
 
Gráfica de f : 
 
x f(x)= x2-4 f 1f 
-2 
-1 
0 
1 
2 
0 
-3 
-4 
-3 
0 
(-2,0) 
(-1,-3) 
(0,-4) 
(1,-3) 
(2,0) 
(0,-2) 
(-3,-
1) 
(-4,0) 
(-3,1) 
(0,2) 
 
 
La gráfica de   4
2  xf x es una parábola vertical con vértice en 4y , la gráfica de 
  4
1  xf x es la parte positiva de una parábola horizontal abierta hacia la derecha, la 
parte negativa no se toma, se ha de indicar con Línea punteada, ya que al tomarse no sería 
función 
1f , nótese que 3x tendría dos imágenes 11  yy . 
 
37 
 
2.4 Función Seccionada 
 
En el mercado la tiendota el precio de un plátano depende de la cantidad que se compre, es 
de $0.25 si compra cinco o menos, de $0.20 si compra más de cinco hasta 25 y $0.15 si 
compra más de 25 plátanos. Como el ingreso es precio por cantidad y, si x es la cantidad de 
plátanos comprados el modelo matemático para el ingreso es: 
 
 









xsix
xsix
xsix
R x
25,15.0
255,20.0
50,25.0
 
 
Observemos que la función de ingreso, en este caso, tiene tres secciones: 
   50,25.01  xparaxR x 
   255,20.02  xparaxR x 
   xparaxR x  25,15.03 
Por esta razón diremos que, la función de ingreso, es una función seccionada. 
 
Definición 2.4.1 Una función se dice que es seccionada si su regla de correspondencia se 
define por partes; esto es: 
  
 
 
 










bnxasif
bxasif
bxasif
f
nxn
x
x
x
,
,
,
222
111

 
 
En una función seccionada su dominio es la unión de los dominios de las secciones. 
nffff
DDDD 
21
 
De manera similar el rango de la función seccionada es la unión de los rangos de las 
secciones. 
nffff
RRRR 
21
 
38 
 
Ejemplo 2.4.1 Sea  






1,1
1,2
xsix
xsix
f x graficar indicando su dominio y rango. 
Solución 
Para graficar una función seccionada, se grafican cada una de las secciones en un 
mismo plano. 
 Sea    1,, 1
2
1  Dfxf x utilizaremos una tabla de valores, donde x podrá tomar 
valores únicamente en el dominio de 1f 
 
 
x 21 )( xxf  (x,y) 
1 
0 
-1 
-2 
1 
0 
1 
4 
(1,1) 
(0,0) 
(-1,1) 
(-2,4) 
 
 
 
 
Sea   [,1],1 22  Dfxf x 
 
X f(x)=x+1 (x,y) 
1 
2 
2 
3 
(1,2) 
(2,3) 
 
Observando el 2Df , se tiene que 21 Df ; pero, se utiliza en la tabla, al graficarlo se coloca 
un 
punto hueco para indicar que no pertenece a la gráfica; no obstante, sirve para saber donde 
comienza la gráfica. 
Gráfica de  xf 
39 
 
 
 ?fD 
 21 fff
DDD  
      ,11,  
      ,11,  
    , 
Así: RD f  
21 fff
RRR  
 
 de la gráfica se observa que      ,2,0
21 ff
RyR 
 luego:      ,2,0 fR 
   ,0fR 
 
Función Valor Absoluto 
 
Definición 2.4.2 La función valor absoluto que se denota por  xf , se define como: 
40 
 
  
   
   





0,
0,
xx
xx
x fsif
fsif
f 
Se observa que la función valor absoluto es una función seccionada, la cual ya se estudió. 
 
Ejemplo 2.4.2 Sea   xf x  , graficar indicando su dominio y rango. 
Solución 
 Se tiene   xf x  , aplicando la definición de valor absoluto, se obtiene: 
 






0,
0,
xsix
xsix
xf x 
 
Graficando:     ,0, 11 fx Dxf 
x f(x)=x (x,y) 
0 
1 
0 
1 
(0,0) 
(1,1) 
 
 
Sea    0,, 22  fx Dxf 
 
 Grafica de   xf x  
 
x f(x)=-x (x,y) 
0 
-1 
0 
1 
(0,0) 
(-1,1) 
 
  ,0ff RRD 
Ejemplo 2.4.3 Graficar   423  xf x , indicando su dominio y rango. 
Solución 
41 
 
Se tiene   423  xf x , aplicando la definición de valor absoluto, se obtiene: 
 
 
 





023,423
023,423
423
xsix
xsix
xf x 
 






23,423
23,423
xsix
xsix
f x 
 






3
2
3
2
,23
,63
xsix
xsix
f x 
Sea 
    ,32,63 11 fx Dxf 
x f(x)=3x+6 (x,y) 
-⅔ 
0 
4 
6 
(-
⅔,4) 
(0,6) 
 
 
 
 
 
Sea    32,,23 22 

fx Dxf 
42 
 
 
x 
f(x)=-
3x+2 
(x,y) 
-⅔ 
-1 
4 
5 
(-
⅔,4) 
(-1,5) 
  ,4ff RRD 
 
 
Grafica de   423  xf x 
 
2.5 Función Exponencial 
 
Definición 2.5.1 La función exponencial tiene la forma  
x
x af  , donde a es la base y 
x es el exponente, con 10  aa . 
Si 1a la gráfica tiene la forma: 
 
Si 10  a la gráfica tiene la forma: 
 
De esta forma el dominio de la función exponencial es: R y el rango es:  ,0 
43 
 
Ejemplo 2.5.1 Graficar la función exponencial  
xexf , indicando su dominio y 
rango. ℮ es una constante con valor ℮=2.718281828 
Solución 
 Se tiene que 1e a , por tanto la gráfica es: 
 
 
 
RD f  
  ,0fR 
 
Ejemplo 2.5.2 Graficar    
x
xf 2
1 , indicando su dominio y rango. 
Solución 
 Se tiene    
x
xf 2
1 , por tanto 10 2
1  a , y su grafica es: 
 
 
 
RD f  
  ,0fR 
 
2.6 Función Logarítmica. 
 
Se comenzará el estudio de la Función Logarítmica, abordando el problema siguiente: 
 
¿A qué exponente hay que elevar 2 para que dé 8? R/ 3 ya que 23=8 
¿A qué exponente hay que elevar 3 para que dé 81? R/ 4 ya que 34=81 
¿A qué exponente hay que elevar 2 para que dé 64? R/ 6 ya que 26=64 
 
44 
 
La respuesta a estas tres preguntas (3,4 y 6) es: “El exponente al cual hay que elevar una 
base para obtener determinado número”. A esto le llamaremos logaritmo. 
 
Definición 2.6.1 Se llama logaritmo de “y” base “a”, al exponente “x” que hay que elevar la 
base “a” para obtener “y”, lo cual se escribe como: yx alog 
Si yx alog , esto es verdadero si, y solamente si, ya
x  
Por ejemplos: 
 446log2  ya que 162
4  
  664log2 ya que 642
6  
 364log4  ya que 644
3  
 2100log10  ya que 10010
2  
Cuando la base del logaritmo es 10, se tiene que: 
yy loglog10  
Es decir, cuando se escribe log (y) se sobreentiende que la base es 10. A los logaritmos base 
10 se les conoce con el nombre de: logaritmos Comunes. 
Cuando la base del logaritmo es ℮ (la constante con valor 2.71828182), se usa la notación 
siguiente: 
 yLnye log 
Es decir, cuando se escribe Ln (y) se sobreentiende que la base es ℮, a estos logaritmos se 
les llama: logaritmos Naturales o Logaritmo Neperianos. 
 
Propiedades de los logaritmos 
1. MnM a
n
a loglog  
Ejemplo: 6)2(34log34log 2
3
2  
2. NMNM aaa loglog).(log  
Ejemplo: 6244log16log)416(log 222 x 
3. NM
N
M
aaa logloglog 





 
45 
 
Ejemplo: 24616log64log
16
84
log 222 




 
4. 
a
b
b
c
c
a
log
log
log  
Ejemplo: 3
2
6
4log
64log
64log
2
2
4  
 
Definición 2.6.2 Se llama función logaritmo o logarítmica de base ""a , a toda función de 
la forma: 
   xf ax log , con 10  aa . 
Si 1a entonces la gráfica tiene la forma: 
 
Si 10  a entonces la gráfica tiene la forma: 
 
Nótese que el dominio de la función logarítmica es: 
R y el rango es: R . 
La función logarítmica y la función exponencial. Son funciones mutuamente inversas; esto 
es, la inversa de la función exponencial es la función logarítmica, y, la inversa de la función 
logarítmica es la función exponencial; además: 
   xa xalog 
xa
xa 
log
 
46 
 
Ejemplo 2.6.1 Graficar   xf x 6log , indicando su dominio y rango. 
Solución 
Para este caso se tiene que 16 a , por tanto la grafica tiene la forma: RD f y RR f  
Ejemplo 2.6.2 Graficar   xf x
3
1log , indicando su dominio y rango. 
Solución 
 En esta ocasión se tiene que 10
3
1  a , por tanto la gráfica tiene la forma: 
 
 
 RD f 
RR f  
 
Graficar    84log2  xf x , Ejemplo 2.6.3 
indicando su dominio y rango. 
Solución 
 Se tiene la función    84log2  xf x , como la función logarítmica se definió para 
 Rx  0 en este caso será: 
084 x 
84 x 
4
8x 
2x 
47 
 
 Así   ,2fD 
 
Determinemos las intersecciones con los ejes. 
 
Con el eje x (y=0) 
  84284log0 02  xx 
 841  x 
 x481  
 x47  
 x 4
7 
 Con el eje y (x=0) 
   8log803log 22 y 
3y 
Así, la gráfica es: 
 
 
 
  ,2fD 
RR f  
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
GUÍA DE EJERCICIOS 
UNIDAD III: FUNCIONES 
 
Indicación: Resuelva cada uno de los ejercicios propuestos 
 
1. Determine el dominio de las siguientes funciones 
a) 
23 2 4
( )
4 3
x x
f x
x
 


 
b) 
3
2
10 4
( )
2 35
x
f x
x x


 
 
c) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 8 
d) 𝑓(𝑥) = √25 − 𝑥2 
e) 𝑓(𝑥) =
√3−𝑥
𝑥2−9
 
f) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
√𝑥−4
 
 
2. Encuentre Dominio y Rango para cada función, luego Grafíquela. 
 
a) ( ) 3f x x  
b) ( ) 4f x x  
c) 
4 2
( ) 1 2 2
3 2
si x
f x si x
si x
 

    
 
 
d) 
21 , 0
( )
3 1, 0
x si x
f x
x si x
  
 
 
 
e) 
2 4, 3
( )
2 , 3
x si x
f x
si x
  
 
 
 
f) 
2 , 2
( )
0 , 2
x si x
f x
si x

 

 
49 
 
g) 
6 7 , 0
( )
4 , 2
x si x
f x
x si x
 
 
  
 
 
3. Determine las pendientes de las líneas que unen cada pareja de puntos. 
 
) (2,1) (5,7)
) (2, 1) (4, 1)
) ( 3,2) ( 3,4)
) (5, 2) (1, 6)
) (3,5) ( 1,5)
a
b
c
d
e
 
 
 

 
 
4. Encuentre la ecuación de la línea recta que satisfacen las condiciones de cada uno de los 
ejercicios siguientes, dibuje la gráfica en cada caso. 
 
a) Pasa a través del punto (2,1) y tiene pendiente 5 
b) Pasa por (1, 2) y tiene pendiente -3 
c) Pasa a través del punto (3,4) y tiene pendiente cero 
d) Pasa a través de los puntos (3, 1) y (4,5) 
e) Tiene pendiente -2 y ordenada al origen 5 
f) Tiene pendiente 
1
3
 y ordenada al origen -4 
 
5. Resuelva: 
 
a) Determine la ecuación de la recta que pasa por ( 2,1) y es paralela a la recta 3 2 0x y   
b) Determine la ecuación de la recta que pasa por (1,3) y es paralela a la recta 2 3 0x y   
c) Determine la ecuación de la recta que pasa por (2,1) y es perpendicular a la recta 0x y  
d) Determine la ecuación de la recta que pasa por ( 1,2) y es perpendicular a la recta 
2 3 4 0x y   
e) Determine la ecuación de la recta que pasa por (3,4) y es perpendicular a la recta 2x  
f) Determine la ecuación de la recta que pasa por (0, 1) y es paralela a la recta que pasa por 
 2,2 y  3,1 
g) Determine la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y es perpendicular a la recta que pasa 
por  1, 2  y  2,1 
 
 
6. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares 
50 
 
) 2 3 6;3 2 6
) ; 1
) 2 3; 2 3
) 4 2 1; 2 2
a x y x y
b y x x y
c y x x y
d x y y x
   
  
   
   
 
 
7. Para las ecuaciones siguientes, escriba la ecuación ordinaria de la parábola y grafique 
a) 
0134
2
 yxx 
b) 
0146
2
 yxx 
c) 
0628
2
 yxx 
d) 
03468
2
 xyy
 
e) 
0722
2
 xyy
 
f) 
04
2
 xyy
 
g) 
0658
2
 yxx 
h) 
03746
2
 xyy
 
i) 
0234
2
 yxx 
j) 
02
2
 yx 
k) 
024
2
 xy
 
 
8. Determine la ecuación general y graficar las siguientes parábolas 
a)    234 2  yx 
b)    323 2  xy 
c)    122 2  yx 
d)    341 2  xy 
e)    342 2  yx 
51 
 
f)    132 2  yx 
g)    243 2  yx 
h)    524 2  yx 
i)    344 2  xy 
j)    321 2  xy 
k)   42 2  yy 
l)    254 2  yx 
 
9. Trace la gráfica de las siguientes funciones. 
 
 
) ( ) 2xa f x  
 
2) ( ) logb f x x 
1
) ( )
2
x
c f x
 
  
 
 
1
) ( )
4
x
d f x
 
  
 
 
 
1) ( ) 3xe f x  2) ( ) log ( 3)f f x x  5) ( ) log ( 3)g f x x  1
3
) ( ) logh f x x 
 
 
 
10. Evaluar: 
 
a) Sea ( ) 2 1f x x  , determine: (0), (3), ( 4)f f f  
b) Sea 2( ) 5 3f s s  , determine: 
2
(4), ( 2),
3
f f f
 
 
 
 
c) Sea 2( ) 2 1f x x x   , determine:  (1), ( 1),f f f x h  
d) Sea 
4
3( )f x x , determine: 
1
(0), (64),
8
f f f
 
 
 
 
 
11. Para las siguientes funciones, encuentre los dominios de ; ; * ; /f g f g f g f g  , 
a) ( ) 4 ( ) 1f x x g x x   
b) ( ) 3 ( ) 2f x x g x x   
c) 
2 2( ) 2 ( ) 1f x x g x x   
 
52 
 
12. Encuentre la composición de funciones f g y g f para: 
a) 3 2( ) ( ) 1f x x g x x x    
b) 2 3( ) ( ) 2 4f x x g x x x    
c) 
1
3 3( ) ( ) 2 4f x x g x x   
d) 3 2( ) ( )f x x g x x x   
13. Determine la inversa de las siguientes funciones: 
a) 2( ) 2f x x 
b) ( ) 2 1f x x  
c) ( ) 4 3f x x   
d) 
3
( )
4
x
f x

 
e) ( ) 2 5f x x  
f) 
2 1
( )
6
x
f x

 
g) ( ) 2 3f x x  
 
14. Traslade cada ecuación exponencial dada a la forma logarítmica. 
a) 3 2 = 9 
b) 3 4 = 81 
c) 3 -3 = 
27
1
 
d) 4=8 3
2
 
e) 9
3
1 2 =





 
 
15. Cambie la ecuación logarítmica a la forma exponencial. 
 
a) log2 16 = 4 
b) 3
8
1
log 2 





= 
c) 
2
3
216log 36 = 
d) 
3
2
25log125 = 
e) 3125log5 = 
 
53 
 
16. Encuentre el valor de la incognita según sea el caso de las siguientes ecuaciones logarítmicas 
 
a) 3log5 =x 
b) 3log3 =x 
c) 3125log =x 
d) 1log 11 =x 
e) 532log =x 
f) 
4
3
4log =x 
g) x=27log
3
 
h) 4log 2 =x 
i) x=
4
25
5
2
log 
j) 328log =x 
k) 4
81
1
log 





=a 
l) 
2
3
log 4 =x 
m) 24log 3 =)x(  
n) 5log3log2 33 =x 
p) 3log12log32xlog 666  =)( 
q)   )x(=x 2log
2
3
23log2log
2
1
555  
r)   2
25
12
1log22xlog2 +
x
+=+ 





 
s) 472xlog1loglog 333 =)()+x(+  
 
17. Encuentre el valor de “x” según sea el caso de las siguientes ecuaciones exponenciales 
 
a) 5
xx 2
 = 25 
b) ( 2 )2x ( 4 ) x – 3 – ( 64 ) x – 1 
c) 4x+1 = 
2x
2
1






 
d) 2x – 4 = 8 
e) 2 2x – 2 x+1 – 8 = 0 
f) log2 x + log2 ( x + 2) = 3 
 
54 
 
18. Aplicando propiedades de los logarítmos, desarrolle las siguientes expresiones 
 
a) log (
√𝑎3𝑏
√𝑐2𝑑
3 ) 
b) log (
𝑥2
√𝑥−3
3 (𝑥+𝑦)2
) 
c) log𝑎((𝑥 + 𝑦)
3(𝑥 − 𝑧)) 
d) log𝑒(√𝑒7𝑥
3
) 
 
19. Aplicando propiedades de los logarítmos, para expresar las siguientes expresiones como un solo 
argumento 
 
a) 
2
5
log(𝑚) + 4 log(𝑛) 
b) log(3) + log(𝑦) − log(𝑥) 
c) 1 − log4(𝑚 − 1) − log4(𝑚 + 1) 
d) 2𝑥 + log2(3)