algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-110

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Aplicando el Teorema del resto:
x - 3 = 0
x = 3
Sustituyendo en el dividendo:
R =(3 - 5)3 (3 + 4)(27 - 9 -17)n = (4)(7)(1)n = 28
Como previamente se dividió, dividendo y divi-
sor entre el producto (x-5) (x+4), para obtener el
resto verdadero se tendrá que multiplicar el resto
28 por (x-5) (x+4), así:
R.verdadero = 28(x - 5)(x + 4)
efectuando:
R = 28x2 - 28x - 560
14.- Hallar el resto en:
x102 - x51 -x4 + 2––––––––––––––––
x2 - x + 1
Solución:
Multiplicando el dividendo y divisor por (x+1) se
obtiene:
(x102 - x51 - x4 + 2)(x + 1)
––––––––––––––––––––––
(x2 - x + 1)(x + 1)
efectuando:
x103 - x52 - x5 + 2x + x102 - x51 - x4 + 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x3 + 1
descomponiendo parcialmente en potencias de “x3”:
(x3)34(x) - (x3)17(x) - (x3)(x2) + 2x + (x3)34
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3 + 1
- (x3)17 - (x3)(x) + 2
–––––––––––––––––
aplicando Teorema del resto:
x3 + 1 = 0
∴ x3 = -1
R = (-1)34 (x) - (-1)17(x) - (-1)(x2) + 2x 
+ (-1)34 - (-1)(x) + 2 - (-1)17
R = x + x + x2 + 2x + 1 + x + 2 + 1
R = x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
Como se ha multiplicado dividendo y divisor por
(x + 1), se tendrá que dividir por este mismo
valor el resto para obtener el verdadero.
El resto verdadero será:
(x + 1)(x + 4)
R. verdadero = –––––––––––––
(x + 1)
R. verdadero = x + 4
15.- Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) se
obtiene un resto que es 3; al cociente se divide
entre (x + 1), el resto es 5; al nuevo cociente se
divide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el resto
de la división P(x) entre (x - 1)(x + 1)(x + 2)
Solución:
Datos:
i) P(x) ÷ (x - 1) = q(x), R = 3
ii) q(x) ÷ (x +1) = q1(x), R = 5
iii) q1(x) ÷ (x + 2) = q2(x), R = 8
Operando para resolver el ejercicio:
Por el dato (1):
P(x) = (x - 1) q(x) + 3 (α)
Por el dato (2):
q(x) = (x + 1) q1(x) + 5 (β)
Por el dato (3):
q1(x) = (x + 2) q2(x) + 8 (γ)
Sustituyendo (γ) en (β):
q(x) = (x + 1) [(x + 2) q2(x)+8] + 5 
q(x) = (x + 1) (x + 2) q2(x) + 8(x + 1) + 5 (φ)
Sustituyendo (φ) en (α):
P(x) = (x - 1) [(x + 1)(x + 2) q2(x)
+ 8(x + 1) + 5] + 3
- 122 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:04 Página 122