algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-167

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9.- Calcular:
1 1 1E = –––––––––– + –––––––––– + ––––––––––
b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2
si a + b + c = 0
Solución:
De la condición: b + c = -a
elevando al cuadrado:
b2 + 2bc + c2 = a2
b2 + c2 = a2 - 2bc (1)
También, pro la condición: c + a = -b
elevando al cuadrado:
c2 + 2ac + a2 = b2
c2 + a2 = b2 - 2ac (2)
De la misma manera: a + b = -c
elevando al cuadrado:
a2 + 2ab + b2 = c2
a2 + b2 = c2 - 2ab (3)
reemplazando (1), (2) y (3) en E:
1 1 1E = ––––––––––– + ––––––––––– + ––––––––––
a2 + 2bc - a2 b2 + 2ac - b2 a2 + 2bc - c2
1 1 1E = - –––– - –––– - ––––
2bc 2ac 2ab
dando común denominador:
-a - b - c -(a + b + c)
E = –––––––– = ––––––––––
2abc 2abc
por la condición:
0E = - –––––
2abc
E = 0
10.- Efectuar:
nE = ––––––––––––––––––––––––––––
n - 1
n + –––––––––––––––––––––––––
n - 2n - 1 + ––––––––––––––––––
n - 2 +
.
.
.
2
+ ––––––––––
1
2 + ––––––
1
1 + ––
2
Solución:
Tratando de hallar una ley de formación,
empezando por el final, sucesivamente se
obtiene:
1 1 2 1 + 11) –––––– = –– = –– = –––––– ; n = 1
1 3 3 1 + 21 + –– ––
2 2
2 2 6 3 2 + 12) –––––– = –– = –– = –– = ––––– ; n = 2
2 8 8 4 2 + 22 + –– ––
3 3
3 3 24 4 3 + 13) –––––– = ––– = ––– = –– = ––––– ; n = 3
6 30 30 5 3 + 23 + –– –––
8 8
4 4 20 5 4 + 14) –––––– = ––– = ––– = –– = ––––– ; n = 4
6 24 24 6 4 + 24 + –– –––
5 5
por lo anterior se deduce que:
n + 1E = –––––
n + 2
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:30 Página 179