algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-188

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DESARROLLO DEL BINOMIO DE 
NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO
Y/O FRACCIONARIO
En este caso se utilizará:
n(n - 1)
(x + a)n = xn + nxn-1a1 + –––––––– xn-2a2
1 . 2
n(n - 1)(n - 2)
+ ––––––––––––– xn-3a3 + …
1 . 2 . 3
ya que la fórmula no tiene combinaciones.
Ejemplo.- Hallar los 5 primeros números en el
desarrollo de: (1 - x)-2
Solución:
Utilizando la fórmula:
(1 - x)-2 = (1)-2 + (-2)(1)-2-1(-x) 
(-2)(-2 - 1)
+ –––––––––– (1)-2-2 (-x)2
2
(-2)(-3)(-2 - 2)
+ ––––––––––––– (1)-2-3 (-x)3
2 . 3
(-2)(-3)(-4)(-2 - 3)
+ ––––––––––––––––– (1)-2-4 (-x)4
2 . 3 . 4
Luego efectuando operaciones:
(1 - x)-2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + …
PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL
BINOMIO:
1º El número de términos es infinito, y al desa-
rrollo se le conoce con el nombre de serie bi-
nómica de Newton.
2º Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un
número fraccionario y/o negativo, el valor de “x”
debe ser uno y además cumplir que x > a . Los
valores de a deben ser tales que: 0 < a < 1.
3º Los términos del desarrollo con respecto a sus
signos, no tienen ninguna relación.
4º Para extraer la raíz de un número con aproxi-
mación por la serie binómica de Newton, se
utiliza la siguiente relación.
1(1 + x)1/m = 1 + –– x
m
donde 0 < x < 1.
5º Para determinar el término general en el desarrollo,
se utiliza la siguiente fórmula.
Sea el binomio (x + a)n donde “n” es un número
fraccionario y/o negativo.
n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…(n - r + 1)
tr+1 = ––––––––––––––––––––––––––––– x
n-rar
r
donde:
tr+1 : es el término de lugar r + 1
n : es el exponente fraccionario y/o negativo del
binomio
x : es el primer término
a : es el segundo término
r + 1: es el lugar del término pedido.
EJERCICIOS RESUELTOS
_____
1.- Hallar 
5
√921,6
Solución:
Se debe escribir 921,6 como un número que
tenga raíz quinta exacta y ponerlo como una
suma o resta.
921,6 = 1 024 - 102,4 
_____
Notar que 
5
√1 024 = 4
Aplicando la fórmula para extraer la raíz con
aproximación, y operando sucesivamente:
x(1 + x)1/m = 1 + ––m
_____ ____________
5
√921,6 = 
5
√ 1 024 - 102,4 
1
_______________
––
102,4 
_____
1 5= √1 024(1 - –––––) = 5√1 024 (1 - ––)1 024 10
1 1 1= 4( 1 - –– . ––) = 4(1 - ––)10 5 50
= 4(1 - 0,02) = 4(0,98)
finalmente:
_____
5
√921,6 = 3,92
- 200 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:30 Página 200