algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-199

Vista previa del material en texto

Solución:
Extrayendo la raíz cuadrada:
√4x30 - 4x18 + 12x15 + x6 + mx3 + 9 2x15 - x3 + 3
––––––––––––––
-4x30 2(2x15) = 4x15
–––––––––––––––––– ––––––––––––––
- 4x18 + 12x15 + x6 (4x15 - x3)(-x3)
+4x18 - x6 = -4x18 + x6
–––––––––––––––––––––– ––––––––––––––
+12x15 + mx3 + 9 (4x15- 2x3 + 3)(3) 
-12x15 + 6x3 - 9 = 12x15 - 6x3 + 9
––––––––––––––––––
0 (m + 6)x3 0
si la raíz es exacta, el polinomio resto debe ser
idénticamente nulo.
∴ (m + 6)x3 ≡ 0x3 
m + 6 = 0 
m = - 6
5.- Hallar “m” y “n” si la raíz cuadrada de:
4x4 + mx3 + nx2 + 24x + 16
es exacta.
Solución:
Aplicando el método de coeficientes indetermi-
nados; para tal efecto, como el polinomio es de
cuarto grado, su raíz cuadrada será de la forma:
ax2 + bx + c
luego por la propiedad de raíz cuadrada:
4x4 + mx3 + nx2 + 24x + 16 ≡ (ax2 + bx + c)3
4x4 + mx3 +nx2+ 24x +16 ≡ a2x4+ b2x2+ c2+ 2abx3
+ 2acx2 + 2bcx
4x4 + mx3 + nx2 + 24x +16 ≡ a2x4 + 2abx3
+ (b2+ 2ac)x2 + 2bcx + c2
identificando coeficientes:
a2 = 4 ⇒ a = ±2
2ab = m (1)
2ac + b2 = n (2)
2bc = 24 (3)
c2 = 4 ⇒ a = 4
Para a = 2, c = 4; sustituyendo en la ecuación (3):
b = 3
sustituyendo en (1) y (2):
m = 12 
n = 25
para: a = -2, c = -4; sustituyendo en (1), (2) y (3)
n = 25
b = -3
m = 12
Rpta.: m = 12 , n = 25
6.- Hallar m, n, p si la raíz cúbica de:
x6 + 6x5 + 9x4 - 4x3 + mx2 + nx + p
es exacta.
Solución:
Extrayendo la raíz cúbica:
3
√x6 + 6x5 +9x4 - 4x3 +mx2 +nx + p x2 + 2x - 1
––––––––––––––––
-x6 3(x2)2 = 3x4(divisor)
–––––––––––––– ––––––––––––––––
+ 6x5 + 9x4 - 4x3 (6x5) ÷ (3x4) = 2x
––––––––––––––––
-6x5 - 12x4 - 8x3 3(x2)2 (2x) = 6x5
––––––––––––––––––––––––
-3x4 - 12x3 + mx2 + nx + p 3(x2)(2x)2 = 12x4
+3x4 + 12x3 + 9x2 - 6x + 1 (2x)3 = 8x3
––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––
(m + 9)x2 + (n - 6)x + (p +1) (6x5 +12x4 
+ 8x3)(-1)
––––––––––––––––
(-3x4) ÷ (3x4) = -1
––––––––––––––––
3(x2 + 2x)2(-1)
= -3x4 - 12x3 -12x2
3(x2 + 2x)(-1)2
= 3x2 + 6x
(-1)3 = -1
––––––––––––––––
(-3x4 - 12x3 - 9x2 
+ 6x - 1)(-1)
Si la raíz cúbica es exacta el resto es un polinomio
idénticamente nulo, así:
(m + 9)x2 + (n - 6)x + (p + 1) ≡ 0x2 + 0x + 0
Á L G E B R A
- 211 -
Algebra 27/7/05 16:30 Página 211