algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-254

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Ejemplo:
Z1Hallar: ––– , siendo: Z1 = a + biZ2
Z2 = c + di
∴
Z1 a + bi c - di (ac + bd) + (bc - ad)i––– = (––––––)(–––––) = ––––––––––––––––––Z2 c + di c - di c2 - d2i2
Z1 (ac + bd) + (bc - ad)i ac + bd bc - ad––– = –––––––––––––––– = (––––––)+(–––––)iZ2 c2 + d2 c2+d2 c2 +d2
o, también en forma polar:
Z1 r(cos θ + i sen θ) cos θ1 - i sen θ1––– = –––––––––––––––– . –––––––––––––––
Z2 r1(cos θ1 + i sen θ1) cos θ1 - i sen θ1
Z1 (cos θ cos θ1 + sen θ sen θ1)––– = [––––––––––––––––––––––––––Z2 cos θ1 cos θ1 + sen θ1 sen θ1
+ i (sen θ cos θ1 - cos θ sen θ1) –––––––––––––––––––––––––––]
Z1 r ––– = –– [(cos θ cos θ1 + sen θ sen θ1) Z2 r1
+ i(sen θ cos θ1 - cos θ sen θ1)]
Z1 r ––– = –– [(cos (θ - θ1) + i sen (θ - θ1)]Z2 r1
PROPIEDADES
1º El módulo del cociente es igual al cociente de
los módulos del dividendo y el divisor.
2º El argumento del cociente es igual a la diferen-
cia entre los argumentos del dividendo y el
divisor.
POTENCIA DE UN COMPLEJO.- La potencia de un
complejo puede ser: otro complejo, un número real o
un imaginario puro.
Para efectuar la operación se aplica el desarrollo del
Binomio de Newton; para potencias elevadas, es con-
veniente potenciar en forma polar.
[r(cos θ + i sen θ)]n = rn(cos θ + i sen θ)n
= rn(cos θ + i senθ)
. (cos θ+ i sen θ)(cos θ + i sen θ)
…(cos θ+ i sen θ)
= rn[cos (θ + θ + θ + … + θ)
1442443
n
+ i sen (θ + θ + … + θ) ]1442443
n
[r(cos θ + i sen θ)]n = rn(cos nθ + i sen nθ)
PROPIEDADES
1º El módulo de la potencia es la potencia del
módulo de la base.
2º El argumento de la potencia es el argumento de
la base multiplicado por el exponente.
RAÍZ DE UN COMPLEJO.- La raíz de un complejo es
otro complejo, puro o real. Para extraer la raíz de
índice elevado, se opera con la forma polar:
_______________
n
√r (cos θ + i sen θ) = r1(cos θ1 + i sen θ1) (I)
Elevando a la potencia “n” para calcular r1 y + θ1,
en función de r y θ que se conoce.
El primer miembro de (I) se puede escribir así:
r[cos(θ + 2kπ) + i sen(θ + 2kπ)]
n= r1(cos nθ1 + i sen nθ1)
para que los complejos sean iguales.
n1) r1 = r
__
∴ r1 = 
n
√r
2) θ + 2kπ = nθ1
θ + 2kπ∴ θ1 = –––––––n
Sustituyendo los valores de r1 y θ1 en (I):
_______________ __
θ + 2kπn√r(cos θ + i sen θ) = 
n
√r [cos (–––––––)n
θ + 2kπ
+ i sen (–––––––)]n
donde k = 0,1,2,3,…, n - 1; ya que se debe obtener
“n” raíces.
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α
α α
Algebra 21/7/05 15:55 Página 266