algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-260

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Transformando las potencias:
1 - (w3)8 . w2 1 + (w3)75
E = [––––––––––––] [––––––––––––]1 - w 1 + (w3) . w2
como w3 = 1:
1 - w2 1 + 1 (1+w)(1 -w) 2
E =[––––––][––––––]=[–––––––––––](––––––)1 - w 1 + w2 (1 - w) 1 + w2
Como:
1 + w + w2 = 0 
1 + w = -w2
1 + w2 = -w
se tendrá: 
-w2 2
E = (–––) (–––)1 -w
E = 2w
8.- Calcular el valor de “n”, si:
(1 - w)2n = -2 187w
siendo w, w2 las raíces cúbicas completas de la
unidad.
Solución:
Desarrollando el cuadrado del primer miembro:
(1 + w2 - 2w)n = -2 187w (1)
Como 1 + w + w2 = 0:
1 + w2 = -w (α)
También: w7 = w
2 187 = 37 (β)
Sustituyendo (α) y (β) en (I):
(-w - 2w)n = -37w7
(-3w)n = (-3w)7
de aquí:
n = 7
9.- Si 1, w, w2 son las tres raíces cúbicas de 1, hallar el
valor de n que cumple con la siguiente identidad:
(1 + w) + (1 + w2)2 + (1 + w3)3 + (1 + w4)4 + …
+ (1 + w3n)3n = 584
Solución:
Como: 1 + w + w2 = 0
1 + w = -w2
1 + w2 = -w
y también: w3 = 1
w3k = (w3)k = 1
w3k+1 = (w3)k . w = w
w3k+2 = (w3)k . w2 = w2
Luego, el primer miembro puede escribirse cómo:
(-w2)+(-w)2+(1 + 1)3 + (1 + w)4 + (1 + w2)5
+ (1 + 1)6 +…+(1 + 1)3n = 584
-w2 + w2 + 23 + (-w2)4 + (-w)5 + 26+…+ 23n = 584
23 +w8 - w5 + 26 + … + 23n = 584
23 + w2 - w2 + 26 + … + 23n = 584
Se observa que, de dos en dos se elimina los tér-
minos, que son reducidos a w2; quedando sólo
potencias de 2 elevado a un múltiplo de 3. Luego
la expresión de primer miembro es:
23 + 26 + 29 + …… + 23n = 584
23(1 + 23 + 26 + … + 23n-3) = 584
Escribiendo como Cociente Notable:
1 - 23n
23(––––––) = 5841 - 23
8––– (1 - 23n) = 584
-7
1 - 23n = -511
512 = 23n
29 = 23n
- 272 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:41 Página 272