algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-384

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13.- Resolver el sistema:
log2 x + log4 y + log4 z = 2 (1)
log3 x + log9 z + log9 x = 2 (2)
log4 z + log16 y + log16 x = 2 (3)
Solución:
Las ecuaciones se pueden escribir:
log4 x
2 + log4 y + log4 z = 2 (1)
log9 y
2 + log9 z + log9 x = 2 (2)
log16 z
2 + log16 y + log16 x = 2 (3)
o también:
log4 x
2yz = 2 → x2yz = 16 (α)
log9 xy
2z = 2 → xy2z = 81 (β)
log16 xyz
2 = 2 → xyz2 = 256 (γ)
Multiplicando miembro a miembro (α), (β) y (γ):
x4 y4 z4 - (24) . (34) . (44)
Extrtayendo la raíz cuarta:
xyz = (2).(3).(4) … (φ)
Dividiendo (α) ÷ (φ):
2x = ––
3
Dividiendo (β) ÷ (φ):
27y = –––
8
Dividiendo (γ) ÷ (φ):
32z = –––
3
LOGARITMOS COMO PROGRESIONES
DEFINICIÓN
Dadas dos progresiones indefinidas, una geométrica
de razón “q” (q > 0 y q ≠ 1) que tiene como uno de
sus términos “1” y otra aritmética de razón “r” que
tiene como uno de sus términos a “0”, ordenadas de
tal modo que el “1” de la P.G. y el “O” de la P.A. se
correspondan. Logaritmo de un término de la P.G. es
el término que le corresponde en la P.A.
Así, las progresiones siguientes definen un sis-
tema de logaritmos:
decreciente creciente
: : … q-n… q-3 : q-2 : q-1 : 1 : q : q2 : q3 : q4 : … qn
: … -rn … -3r . -3r . r . 0 . r . 2r . 3r … nr…
decreciente creciente
donde: (1) logb q
n = nr
(2) logb q
2 = 2r ; etc.
Si se desea hallar el logaritmo de un número “N”
que no se encuentra en la P.G., por ejemplo que
está comprendido entre q4 y q5 (q4 > q5) bastará
interpolar el número necesario de tal manera que
aparezca en la P.G. el número “N” y en la P.A. el
correspondiente logaritmo.
BASE DEL SISTEMA DE LOGARITMOS
DEFINIDO POR UNA P.G. Y UNA P.A.
Sea: logb q
n = nr → qn = bnr
__
∴ b = 
r
√q
La base de todo sistema de logaritmos, en este
caso, es igual a la raíz de la “razón de la P.G.”,
cuyo índice es la “razón de la P.A.”
Ejemplo: 
Hallar la base del sistema de logaritmos definido
por las progresiones:
1 1: : … : ––– : –– : 1 : 9 : …
81 9
: … : -8 . -4 . 0 . 4 …
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α
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