2023-10-24 Uso de la derivada en problemas

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Problema 1) El Costo marginal de una empresa es 𝐶′(𝑞) = 𝑞2. El Ingreso marginal es $8100 
(cuando el precio es fijo el Ingreso marginal es una constante). 
a) Hallá la función Beneficio, sabiendo que el Costo de producir 30 unidades es $89000. 
b) Hallá el Beneficio máximo. 
c) Hallá el Costo, el Ingreso y el Beneficio de producir y vender 60 unidades. 
 
 
Taller sobre el uso de la derivada en problemas 
(MIEyA) 
 
Prof. Romina Petrolo. 
DATOS: C'(q)=q² 
I'(q)=8100
I(q)=700q
I'(q)=700
I(q)=4000q
I'(q)=4000
I(q)=p.q
I'(q)=p
I(q)=8100q
"antiderivamos"
C(q)=1/3.q³+CF
C(30)=89000
89000=1/3.30³+CF
89000=9000+CF
89000-9000=CF
80000=CF
C(q)=1/3.q³+80000
B(q)=I(q)-C(q)
B(q)=8100q-(1/3.q³+80000)
B(q)=-1/3q³+8100q-80000
RTA: La función Beneficio es B(q)=-1/3q³+8100q-80000
C(30)=89000
b) B(q)=-1/3q³+8100q-80000
B'(q)=0 para hallar máximos y/o mínimos porque la derivada en esos puntos 
 es 0 ya que coincide con la pendiente de la recta tangente 
B'(q)= -q²+8100
-q²+8100=0
-1q²=-8100
q²=-8100:(-1)
q= 8100
q1=-90 q2=90
Descartamos el -90 porque no
se puede producir una cantidad 
negativa de productos.
B(90)=-1/3.90³+8100.90-80000
B(90)= 406000
Rta: El beneficio máximo se consigue produciendo y vendiendo 90 
artículos y es un beneficio de $406000
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JUSTIFICO QUE SE TRATA DE UN MÁXIMO
 q [0;90) q=90 (90;+inf)
B'(q) B'(10)= + 0 B'(95)= -
B(q)
B'(q)= -q²+8100
c) 
I(60) =8100.60
I(60) = 486000
C(60) =1/3.60³+80000
C(60) = 152000
B(60) =-1/3.60³+8100.60-80000
B(60) = 334000
Rta: El ingreso de vender 60 artículos es de $486000, el costo de 60 artículos es $152000 y el beneficio de producir y vender esa cantidad es de $334000.
Problema 2) La función 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 36 indica el 
beneficio (en miles de pesos) que obtiene la fábrica de 
alfajores "Coquito" cuando produce y vende x toneladas de 
alfajores. 
La recta L de ecuación 𝑦 = −13𝑥 + 89 es la recta tangente a 
la función f en el punto (5; 𝑓(5)). 
a) Hallar los valores de a y b. 
b) ¿Cuál es el beneficio marginal de producir y vender 
cinco toneladas de alfajores? 
c) Determinen cuántas toneladas de alfajores debe 
producir y vender "Coquito" para maximizar el 
beneficio. 
 
 
 
Galletitas. En una fábrica de galletitas se sabe que el 𝐵’(𝑞) = 100𝑞 − 20 y que 𝐼′(𝑞) = 500𝑞, donde q 
representa toneladas de galletitas y donde el beneficio y el ingreso están representados en miles de 
pesos. 
a) Hallar la función Costo, Ingreso y Beneficio sabiendo que 𝐵(6) = 480? 
b) ¿Para qué cantidades de la producción la empresa obtiene un beneficio positivo? 
c) ¿Cuál es el Beneficio Marginal de producir 10 toneladas de galletitas? ¿Qué decisiones puede 
tomar la empresa a partir de esa información? Explicar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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f(x)=2/3x³-6x²+10x+10
f '(x)=2x²-12x+10
para hallar candidatos a máx y mín:
f '(x)=0
2x²-12x+10=0 
 
Como es una ecuación cuadrática,
uso la resolvente para hallar x
-(-12)+/- (-12)²-4.2.10
 2.2
x1= 5
x2= 1
a)
2 . 3 = 2
3
 x (-inf; 1) (1;5) (5;+inf)
 f´(x) f´(0) = + 0 f´(3)= - 0 f´(6)= +
 f(x)
f '(0)= 10
f´(1)= 0
f´(3)= -8
f´(5)= 0
f´(6)= 10
f'(x)=2x²-12x+10
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Intervalos de crec= (-inf;1) y (5 ;+inf)
Porque la derivada en esos intervalos
es positiva, por lo tanto, sus rectas
tangentes son crecientes y también 
lo es la función en ese tramo.
Intervalos de decrec= (1;5)
Porque la derivada en esos intervalos
es negativa, por lo tanto, sus rectas
tangentes son decrecientes y también 
lo es la función en ese tramo.
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Rta: El máximo de la función es (1;44/3)
y el mínimo de la función es (5;-20/3)
f (1) = 44/3
f (5) = -20/3
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