2022-02-17 Interpretando problemas sobre Derivadas No nos vayamos por la tangente

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Problema 1. Una científica está probando la acción de un nuevo medicamento sobre una 
bacteria causante de una enfermedad grave. A partir de los datos recolectados, ha establecido 
que, una vez suministrado el fármaco, el número de bacterias 𝑁 en el organismo varía con el 
tiempo 𝑡 (medido en horas) según la función 𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎. 
a. ¿Cuándo empieza a notarse el efecto del fármaco? 
b. ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima? 
c. La investigadora concluyó que el medicamento no es efectivo ya que pierde su efecto 
en algún momento. ¿Es cierta su afirmación? Expliquen su respuesta. En caso afirmativo, 
indiquen cuándo ocurre eso. 
Resolución: 
Si el fármaco comienza a hacer efecto, esperamos ver que el número de bacterias disminuye 
con el tiempo. En términos matemáticos, esto implica estudiar cómo es el gráfico de la 
función, específicamente ver: intervalos de crecimiento, de decrecimiento, y la existencia de 
máximos y/o mínimos. Para ello, analizamos el signo de la derivada de 𝑁(𝑡). Vamos a 
averiguar primero los puntos críticos de la función, es decir, buscamos los ceros o raíces de la 
derivada: 
𝑵(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕𝟑 − 𝟓𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒕 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 
𝑵′(𝒕) = 𝟔𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝟐𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝟎 = 𝟔𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝟐𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎𝟎 
Si aplicamos la fórmula resolvente (escribir las cuentas en el examen), obtenemos que 𝑡1 = 5 y 
𝑡2 = 12. Estos valores son puntos críticos, POSIBLES MÁXIMOS Y/O MÍNIMOS. Vamos a aplicar 
el criterio de la primera derivada para clasificar los puntos críticos. 
Debemos tener en cuenta el dominio de la función N. Como 𝑡 representa tiempo medido en 
horas, los intervalos en los cuales vamos a estudiar el signo de 𝑁′ son los siguientes: 
 [𝟎, 𝟓) 𝟓 (𝟓, 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 (𝟏𝟐, +∞) 
𝑵′ 𝑵′(𝟎)
= 𝟑𝟔𝟎𝟎 
𝑵′ es positiva 
𝑵′(𝟓) = 𝟎 
𝒕 = 𝟓 es PC 
𝑵′(𝟏𝟎) = −𝟔𝟎𝟎 
𝑵′ es negativa 
𝑵′(𝟏𝟐) = 𝟎 
𝒕 = 𝟏𝟐 es PC 
𝑵′(𝟐𝟎)
= 𝟕𝟐𝟎𝟎 
𝑵′ es positiva 
𝑵 𝑵 es creciente En 𝒕 = 𝟓, 𝑵 
alcanza un 
máximo 
𝑵 es decreciente En 𝒕 = 𝟏𝟐, 𝑵 
alcanza un 
mínimo 
𝑵 es creciente 
 
 
Espacio Estudiar Matemática (EEM) 
Taller “Interpretando problemas sobre Derivadas” 
No nos vayamos por la tangente 
 
 
a. ¿Cuándo empieza a notarse el efecto del fármaco? 
 
A partir del análisis anterior, como en 𝑡 = 5 la función 𝑁(𝑡) alcanza un máximo y luego 
comienza a decrecer, podemos afirmar que el efecto del fármaco se nota a partir de las 5 
horas de iniciada la investigación. 
 
b. ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima? 
 
En 𝑡 = 12 la función alcanza un mínimo, por lo tanto, a las 12 horas de iniciada la 
investigación hay una cantidad mínima de bacterias, y es en este momento en el que el 
medicamento hace su mayor efecto. 
 
OBSERVACIÓN: 
 
𝑁(12) = 20. (12)3 − 510. (12)2 + 3600. (12) + 2000 = 6320 
El punto mínimo de 𝑁(𝑡) es el (12, 6320). 
 
Como vemos, la cantidad de bacterias “malas” en 𝑡 = 12 no es 0, que sería lo deseable. 
 
c. La investigadora concluyó que el medicamento no es efectivo ya que pierde su efecto en 
algún momento. ¿Es cierta su afirmación? Expliquen su respuesta. En caso afirmativo, 
indiquen cuándo ocurre eso. 
 
Como mencionamos antes, a partir de 𝑡 = 12 la función 𝑁(𝑡) crece y no deja de hacerlo, 
por ende, concluimos que a las 12 horas el fármaco pierde su efecto. 
 
 
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Problema 2. Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥. ¿Cuántas rectas tangentes al gráfico de la función 
𝑓 resultan paralelas a la recta 𝑦 = 15𝑥 − 7? Hallá las ecuaciones de éstas, especificando los 
puntos de tangencia. 
 
ANTES DE EMPEZAR: 
¿Qué datos se necesitan y cómo se halla 
la recta tangente a una función en un 
punto? 
¿Qué condición debe cumplirse para que 
dos rectas sean paralelas entre sí? 
¿Se puede anticipar cuántas rectas 
tangentes son paralelas a la recta dada? 
 
Resolución: 
La pendiente de la rectas buscadas es 15 , ya que esas rectas tangentes deben ser paralelas a la 
recta 𝑦 = 𝟏𝟓𝑥 − 7. 
Debemos buscar los valores de 𝑥 en los cuales las rectas tengan esa pendiente. Por lo tanto, 
debemos resolver la siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Para determinar completamente las ecuaciones de las rectas necesitamos hallar los puntos de 
tangencia, para lo cual evaluamos en 
Entonces resulta que: 
• la recta 1 que es tangente a 𝑓 en 𝑥 = −2 pasa por el punto (−2 ; 𝑓(−2)) = (−2; −14). 
• la recta 2 que es tangente a 𝑓 en 𝑥 = 2 pasa por el punto ( 2; 𝑓(2)) = (2; 14). 
 
Hallamos la ordenada al origen de cada recta: 
• 𝑅1: 
 
 
 
 
 
• 𝑅2: 
 
 
 
 
Finalmente, las rectas pedidas son: 
• 𝑅1: 𝑦 = 15𝑥 + 16 
• 𝑅2: 𝑦 = 15𝑥 − 16