2022-08-11 Preparación de examen final MIEyA Parte 3

Vista previa del material en texto

Resolvemos los problemas que quedaron del último encuentro del 01/11/22: 
Problema 2) 
 
 
Taller de preparación de exámenes finales 
MIEyA 2022 – Tercer encuentro 
 
Prof. Romina Petrolo. 
Intersecto para hallar límites de integración
x²-6x+10=2x+3
x²-6x+10-2x-3=0
x²-8x+7=0
Uso resolvente para hallar x
x1=1
x2=7
( 2x+3-(x²-6x+10) )dx = (-x²+8x-7) dx = -1/3 x³ +4x² -7x = (-1/3 . 7³ + 4. 7² -7.7) - (-1/3 .1³ + 4. 1² -7.1) =
Área= 36
Problema 3) 
 
 
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Función g(x)
Ordenada: 9
Punto= (3;24)
y=mx+b
y=mx+9
24=m.3+9
24-9=3m
15:3=m
5=m
y=5.x+9
¡Problemas nuevos! 
Problema 1) Dada la curva 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 y dada la recta L=12-32, que es tangente a la 
curva en x=4, hallar los extremos locales de g(x). 
 
L=12x-32
Voy a buscar el valor de a
 
g(x)=ax²-12x+16
(4; y)
y=12x-32
y=12.4-32
y=16
Tengo el punto de tangencia completo (4;16)
Lo uso para encontrar a de g(x) porque comparten el punto!!
16=a.4²-12.4+16
0=16a-48
48=16a
48/16=a
3=a
g(x)=3x²-12x+16
g'(x)=6x-12=0
 6x=12
 x=12:6
 x=2
(máx y min)
Busco extremos locales de la función g(x)
Como es una función cuadrática solamente tiene un extremo local, que es un mínimo debido a que
la función es cóncava hacia arriba, siendo este el mínimo.
Para el completar las coordenadas del punto me falta y
g(2)=3.2²-12.2+16
g(2)=4
RTA: La función tiene solamente un mínimo en el punto (2;4)
Problema 2) Sean las funciones 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 y 𝒈(𝒙) = −
𝟏
𝟑
𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃. 
a) Calculá la recta tangente al gráfico de 𝒇(𝒙) en 𝒙 = 𝟓. 
b) Halla los valores de a y b sabiendo que la recta tangente al gráfico de 𝒈(𝒙) en 𝒙 = 𝟑 es 
𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟕. 
c) Calculá un valor 𝒙𝟎 de modo que la recta tangente al gráfico de f(x), en dicho valor 
tenga la misma pendiente que la recta tangente al gráfico de g(x) en 𝒙𝟎. ¿Es {único o 
hay otro? 
 
Highlight
a) f(x)=1/2x²-2x+5
Recta tangente en x=5
f '(x)= x-2
f '(5)=m= 5-2
f '(5)= 3
m=3
y=mx+b
y=3x+b
Para conseguir el valor de y reemplazo en f(x) original
f(5)=1/2.5²-2.5+5
f(5)= 15/2 Punto=(5;15/2)
Reemplazo en la ecuación de la recta:
15/2=3.5+b
15/2=15+b
15/2-15=b
-15/2=b
Armo la recta tangente: y=3x-15/2
b) g(x)=-1/3x³+ax²+b
TG y=-3x+17 en x=3
IDEAS VALIOSAS!!
1) comparten el punto.
2) la derivada de g en x=3 coincide con la pendiente de la recta tangente.
1) Como comparten el punto
puedo reemplazar 3 en la tangente
y conseguir el valor de y
y=-3.3+17= 8
Punto de tangencia: (3;8)
 
2) g'(3)=-3 (pendiente de la tangente)
g'(x)= -x²+2ax
g'(3)= -(3)²+2.a.3 = -3
 -9+6a = -3
 6a=-3+9
 a=6:6
 a=1 
Hasta ahora tengo:
g(x)=-1/3x³+1x²+b uso el punto: (3;8)
8=-1/3.3³+3²+b
8=-9+9+b
8=b
RTA: a vale 1 y b vale 8
c) para hallar la pendiente de la tangente de f, derivo y reemplazo con x ---> f '(x)= x-2
para hallar la pendiente de la tangente a g, derivo y reemplazo con x ----> g'(x)= -x²+2x
Como quiero que las pendientes sean iguales, igualo las derivadas
y despejo los valores de x que cumplen con la condición.
f'(x)=g'(x)
x-2=-x²+2x
x-2+x²-2x=0
x²-x-2=0
Resolvente
x1= -1
x2= 2
Verifico en geogebra: calculo las tangentes a las funciones en esos puntos y deben ser paralelas
g(x)=-1/3x³+x²+8
g'(x)=-x²+2x
Problema 3) 
 
Problema 4) 
 
 
 
x
 
 
 
 
 
f '(x)=g'(x)