0_Introduccion

Vista previa del material en texto

Notas de clase - Cálculo I
Primer cuatrimestre de 2022 - UNS
- Pablo Rocha -
Contenido
0. Introducción.
1. Números reales.
2. Funciones.
3. Sucesiones Númericas.
4. Ĺımite de Funciones.
5. Continuidad de Funciones.
6. Diferenciación.
7. Aplicaciones de la derivada.
8. Integración.
0. Introducción
En este curso estudiaremos funciones f : I ⊂ R→ R y los siguientes conceptos asociados a las mismas:
1. Ĺımite.
2. Diferenciación.
3. Integración.
Para ilustrar el concepto de ĺımite, sea f : I → R la función definida por f(x) = x
2 − 4
x− 2
donde
I = R \ {2}.
La función f claramente no esta definida en el punto x0 = 2, sin embargo podemos aproximarnos tanto como
queramos al punto x0 = 2 por puntos del conjunto I, anaĺıticamente esto significa que
(2− δ, 2 + δ) ∩ I 6= ∅, ∀ δ > 0.
Entonces tiene sentido preguntarse: a que valor ”tiende” f(x) cuando x ∈ I y ”tiende” a 2? Ya que
x2 − 4
x− 2
= x+ 2, ∀x 6= 2,
f(x) debeŕıa tender a 4 cuando x se aproxima a 2 y x 6= 2. La definición de ĺımite nos dirá que esto es aśı,
y escribiremos
lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= 4.
El concepto de diferenciación trata el problema de determinar la recta tangente a una curva plana en un
punto dado. Idealmente, en geometŕıa clásica, la recta tangente a una curva toca (localmente) a la misma
solamente en su punto de tangencia; a excepción, por ejemplo que dicha curva sea una recta, en tal caso la
1
2
recta tangente en cualquier punto será la recta misma. La siguiente figura ilustra este concepto para el caso
en que la curva es una circunferencia.
Figura 1
En este curso estamos interesados en determinar la recta tangente al gráfico de una función f : I → R
en un punto dado a ∈ I, donde I es, digamos, un intervalo abierto. Más precisamente, si el siguiente ĺımite
existe (el cual denotamos por f ′(a))
f ′(a) := lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
,
diremos que f es diferenciable en a, en tal caso la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto
(a, f(a)) viene dada por
y = f ′(a)(x− a) + f(a),
donde f ′(a) = tg(α) = lim
β→α
tg(β) es la pendiente de dicha recta tangente. La siguiente figura ilustra esto.
Figura 2
Por lo tanto el problema de determinar la recta tangente al gráfico de una función en un punto dado se
reduce a determinar si la función es diferenciable o no en dicho punto.
Ahora bien, si una función f : (a, b) → R es diferenciable en cada punto del (a, b), entonces tendremos
definida una función f ′ llamada función derivada de f . La utilidad de la derivada radica en que tener
información acerca de f ′ nos proporcionará información sobre nuestra función f . Por ejemplo, si f ′ > 0
3
sobre (a, b), entonces f es estrictamente creciente sobre (a, b). Esto, más el estudio de f ′′ (derivada segunda
de f), nos posibilatará realizar un gráfico más sofisticado de la función f bajo estudio. Otra aplicación de la
derivada es que permite abordar problemas en los cuales se desea maximizar o minimizar alguna variable.
La teoŕıa de integración estudia el problema de determinar el área bajo el gráfico de una función
f : [a, b]→ R.
Figura 3
Dada una función no negativa f : [a, b]→ R definimos la región Rf bajo el gráfico de la función f por
Rf = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ f(x), x ∈ [a, b]}.
Veremos que la región Rf tiene asociada un número real, el cual definiremos como su área, si y sólo si f es una
función integrable sobre el intervalo [a, b] (la definición de integrabilidad involucra un ĺımite generalizado) y
pondremos
área (Rf ) =
∫ b
a
f(x) dx.
Uno de los principales resultados del curso será la unificación del cálculo diferencial e integral; el cual
establece, en una de sus formulaciones, que si f ′ : [a, b]→ R es integrable sobre [a, b], entonces∫ b
a
f ′(x) dx = f(a)− f(b).
Grosso modo, la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Ya que el curso trata con funciones de una variable real, debemos empezar comprendiendo los números
reales y sus propiedades. Por ello, el primer tema del curso será el de los números reales.