16 1 Integrales impropias 2

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TEMA: Integrales Impropias
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Área de una región puede ser representada por una integral de la forma :
𝐴 = lim
𝑙→∞
න
𝑎
𝑙
1
𝑥
𝑑𝑥
Sabias que…
SABERES PREVIOS:
1
2
3
¿Qué es asíntota horizontal, asíntota vertical?
¿Cuál es el lim
𝑥→∞
1
𝑥
?
¿Qué es asíntota? 
4
¿Cuál es el lim
𝑥→1+
1
𝑥−1
?
43
responda:
Plantear una integral para calcular el área
21
CONTENIDO
• INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE
• INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE
La gráfica de la función 𝑦 =
1
𝑥2
tiene asíntota horizontal 𝑦 = 0, las cuales limitan una 
región
¿Cómo calculamos el área de la región color rojo?
ÁREAS DE REGIONES
𝐴 = න
1
∞
1
𝑥2
𝑑𝑥
Las integrales impropias surgen de la necesidad de saber si se
puede calcular el área encerrada entre una curva y su asíntota.
Según sea la asíntota, horizontal o vertical, se tendrá integrales
de primera especie o segunda especie respectivamente.
Integrales de primera especie
Si 𝑓 es continua en el intervalo ሾ𝑎, ۧ∞ , entonces ׬𝑎
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Si 𝑓 es continua en el intervalo ۦ−∞, ሿ𝑏 , entonces ׬−∞
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Si 𝑓 es continua en el intervalo ۦ−∞, ۧ∞ , entonces ׬−∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∞−׬
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
En los dos primeros casos, la integral converge si el límite existe. En caso
contrario, la integral impropia diverge.
En el tercer caso, la integral impropia diverge si alguna de las integrales de
la derecha diverge.
Calculemos el área de la región roja:
Ejemplo 1:
Calculemos el área de la región roja: 
𝐴 = න
1
∞
1
𝑥2
𝑑𝑥
= lim
𝑏→∞
න
1
𝑏
1
𝑥2
𝑑𝑥
= lim
𝑏→∞
− ቤ
1
𝑥
1
𝑏
= lim
𝑏→∞
−
1
𝑏
+ 1
𝐴 = 1 𝑢2
Calculemos la integral impropia:
𝐼 = න
1
∞
1
𝑥
𝑑𝑥
Ejemplo 2:
Calculemos la integral impropia:
𝐼 = න
1
∞
1
𝑥
𝑑𝑥
= lim
𝑏→∞
න
1
𝑏
1
𝑥
𝑑𝑥
= lim
𝑏→∞
ቚln 𝑥
1
𝑏
= lim
𝑏→∞
ln 𝑏 − ln 1
𝐼 = ∞ ¡La integral diverge!
Integrales de segunda especie
Si 𝑓 es continua en el intervalo ሾ𝑎, ۧ𝑏 y tiene discontinuidad infinita en 𝑏, entonces 
𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑐→𝑏−
𝑎׬
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Si 𝑓 es continua en el intervalo ۦ𝑎, ሿ𝑏 y tiene discontinuidad infinita en 𝑎, entonces 
𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑐→𝑎+
𝑐׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Si 𝑓 es continua en el intervalo 𝑎, 𝑏 excepto para algún 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 en que 𝑓 tiene una 
discontinuidad infinita, entonces ׬𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎׬
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
En los dos primeros casos, la integral converge si el límite existe. En caso
contrario, la integral impropia diverge.
En el tercer caso, la integral impropia diverge si alguna de las integrales de
la derecha diverge.
Calculemos el área de la región lila: 
Ejemplo 3:
Calculemos el área de la región lila: 
La función es discontinua en 𝑥 = 0
𝐴 = න
0
1
1
3 𝑥
𝑑𝑥
= lim
𝑐→0
න
𝑐
1
1
3 𝑥
𝑑𝑥
= lim
𝑐→0
3
2
ቤ
1
3
𝑥2 𝑐
1
= lim
𝑐→0
3
2
−
3
3
𝑐2
2
𝐴 =
3
2
𝑢2
Resolver las siguientes integrales impropias
𝐼 = න
0
2
1
𝑥3
𝑑𝑥
Resolver las siguientes integrales impropias
𝐼 = න
0
2
1
𝑥3
𝑑𝑥
𝐼 = ∞ ¡𝐼 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒!
Integrales impropias
Cuando investigamos si una integral dada es impropia o no, tenemos que
averiguar si la función integrando tiene discontinuidades infinitas en algún punto
del intervalo de integración.
න
−1
2
1
𝑥3
𝑑𝑥 = − ቤ
1
2𝑥2
−1
2
= −
1
8
+
1
2
=
3
8