06_2023_2P_Analisis Matemático (72)_tema_2 CLAVES

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ANÁLISIS MATEMÁTICO (72) (Cátedra: Mutchinick, Paula) 
CLAVES DE CORRECCIÓN 2° PARCIAL 
 
 
13/06/2023 
TEMA 2 
Hoja 1 de 2 
 
 
Los siguientes ejercicios son a desarrollar, tendrás que resolverlo en el espacio debajo del enunciado. Tanto el resultado 
indicado en el recuadro como el procedimiento, analítico o gráfico, que condujo al mismo serán contemplados en el 
puntaje. Para obtener un punto por cada ejercicio, su resolución deberá ser completa, correcta y sin errores algebraicos ni 
procedimentales. 
Dada la función 𝑓(𝑥) = −𝑥. 𝑒𝑥: 
1) Determinar el valor de abscisa donde la función registra un máximo relativo y 
calcular dicho máximo. 
Para determinar el valor de x dónde la función registra el máximo se deriva la 
función y se iguala a cero: 𝑓’(𝑥) = 𝑒𝑥 (−𝑥 − 1) = 0. De allí se obtiene un 
único punto crítico (𝑥 = −1). Se debe estudiar el comportamiento, en cuanto 
a crecimiento, de la función antes y después de dicho valor. Cómo la función 
crece y decrece respectivamente, diremos que allí se registra el máximo. Dicho 
máximo es 𝑓(−1) =
1
𝑒
 . 
Rta. 1 
𝑥 = −1 
𝑓(−1) =
1
𝑒
 
2) Determinar el conjunto de crecimiento de la función. 
Para estudiar crecimiento se necesita la derivada primera y se debe plantear 
𝑒𝑥 (−𝑥 − 1) > 0. Es un producto en donde el factor 𝑒𝑥 es siempre positivo, 
por lo tanto la condición se reduce a: −𝑥 − 1 > 0. De aquí se llega al intervalo. 
Rta. 2) 
La función es creciente en (−∞, −1). 
 
3) Analizar la concavidad de la función. 
Para hallar los intervalos de concavidad es necesario analizar el signo de la 
derivada segunda 𝑓’’(𝑥) = 𝑒𝑥(−𝑥 − 2). Una vez planteadas las restricciones 
de mayor y menor se deducen los intervalos de concavidad positiva y negativa 
respectivamente. 
 
Rta. 3) 
La función es cóncava positiva en 
(−∞, −2) y cóncava negativa en 
(−2, +∞). 
Los siguientes ejercicios son para completar, deberás rellenar en el recuadro indicado únicamente tu respuesta, sólo se 
contemplará en el puntaje la respuesta del recuadro. Para obtener un punto por cada ejercicio, deberá estar consignada la 
respuesta correcta dentro del recuadro, o cualquier expresión algebraica equivalente. 
4) Calcular el siguiente límite: 𝐿 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
. 
Analizando el límite se observa una indeterminación cociente de infinitésimos, 
más conocida como 0/0. Para resolver por L’Hopital derivamos numerador y 
Rta. 4) 
 
𝐿 =
1
2
 
 
denominador obteniendo lo siguiente: 𝐿 = lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
. Desaparece la 
indeterminación y se obtiene el resultado. 
5) Usando propiedades de la integral definida, determinar el valor de 𝐼 =
∫ 𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, sabiendo que: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −2, ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 7,
𝑐
𝑎
𝑎
𝑏
 y 
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 5.
𝑏
𝑐
 
Usando las propiedades de la integral definida se pueden establecer que 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −2 
𝑏
𝑎
 
𝑎
𝑏
entonces ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 
𝑏
𝑎
. Por otra parte 
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 
𝑐
𝑎 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 7 + 5 = 12
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
. De lo que se deduce que 
𝐼 = 2 + 2.12 = 26 
Rta. 5) 
 
𝐼 = 26 
6) Escribir en el recuadro la integral que calcula el área comprendida entre las 
funciones f y g, que aparece sombreada en el siguiente gráfico: 
 
 
Para calcular la integral que calcula el área se deben definir los intervalos de 
integración considerando los cambios de comportamiento de las funciones f y g 
(cuando una es mayor que otra). En el primer intervalo de integración (1, 𝑎), la 
función 𝑔 > 𝑓 y en el segundo intervalo de integración (𝑎, 10), 𝑓 > 𝑔. Con esto 
planteamos que el área 𝐴 = ∫ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
10
𝑎
𝑎
1
. 
 
Rta. 6) 
𝐴 = ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑓(𝑥) −
10
𝑎
𝑎
1
𝑔(𝑥)]𝑑𝑥. 
 
7) Dada la siguiente función de ingreso marginal determinar la función de 
demanda: 
𝐼𝑚𝑎𝑟𝑔(𝑥) = 2000 − 20𝑥 − 3𝑥
2 
Para resolver este ejercicio se debe integrar la función de ingreso marginal para 
obtener el ingreso total 𝐼(𝑥) = 2000𝑥 − 10𝑥2 − 𝑥3. Luego sabemos que 𝐼(𝑥) =
𝑥. 𝐷(𝑥), por lo tanto 
𝐼(𝑥)
𝑥
= 𝐷(𝑥). 
Rta. 7) 
 
𝐷(𝑥) = 2000 − 10𝑥 − 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
En los siguientes ejercicios de opción múltiple debes indicar en el recuadro la letra que representa la única respuesta 
correcta, en mayúscula e imprenta. Para obtener un punto por cada ejercicio, deberá estar claramente indicada la letra de 
la única respuesta correcta. 
8) Sea 𝑓 una función continua y derivable en su dominio tal que 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 − {𝑎} y además se sabe que 
crece en ( −∞, 𝑎) y decrece en (𝑎, +∞ ). Determinar cuál de todas las opciones es verdadera. 
La única opción correcta es que no existe 𝑓(𝑎) dado que 𝑎 no pertenece al dominio de 𝑓 según lo expresa 
el enunciado. 
Rta. 8) 
C) No existe 
𝑓(𝑎). 
9) Dada la siguiente serie geométrica ∑
2𝑛−1
5𝑛
+∞
𝑛=0 , determinar cuál de las opciones es la correcta. 
Para resolver este ejercicio, teniendo en cuenta que es una serie geométrica, los primeros dos términos 
son 𝑎 y 𝑎. 𝑟, de esto se deduce que sus valores son 𝑎 =
2
9
 y 𝑟 =
2
3
. Como el módulo de 𝑟 es menor a 1, la 
serie converge y su suma es 𝑆 =
𝑎
1−𝑟
=
2
3
. 
Rta. 9) 
D) Converge y su 
suma es 
2
3
. 
10) Si el polinomio de Taylor de 𝑓(𝑥) de orden 5 alrededor de 𝑥0 = 2 es: 𝑃5(𝑥) = −8 + 3(𝑥 − 2)
2 +
3(𝑥 − 2)4 + (𝑥 − 2)5, determinar el valor de 𝑓𝐼𝑉(2). 
Para resolver este ejercicio se debe observar el término de orden 4 en 𝑃5(𝑥), dicho término es: 3(𝑥 − 2)
4 
y además, por definición: 3(𝑥 − 2)4 =
𝑓𝐼𝑉(2)
4!
(𝑥 − 2)4 entonces 3 =
𝑓𝐼𝑉(2)
4!
, de lo que se deduce 𝑓𝐼𝑉(2) =
72. 
Rta. 10) 
A) 𝑓𝐼𝑉(2) =
72