SolucionParcial_2 Calculo_Integral_20162

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1. A).Use la definición de la integral definida (según Riemann) para calcular 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 donde 𝑓(𝑥) = 𝑥3, tomando una partición regular del intervalo [0, 4] 
y con 𝑡𝑖: Extremo derecho del i-ésimo subintervalo. 
 
Solución: Sea 𝑃 una partición regular de [𝑎, 𝑏] = [0, 4], entonces 
∆𝑥 = ∆𝑥𝑖 =
𝑏−𝑎
𝑛
=
4−0
𝑛
=
4
𝑛
 y como 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑥 =
4𝑖
𝑛
 luego 
𝑓(𝑡𝑖) = (
4𝑖
𝑛
)
3
=
64𝑖3
𝑛3
⇒ ∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = ∑
64𝑖3
𝑛3
 ∙ 
4
𝑛
𝑛
𝑖=1 =
256
𝑛4
∑ 𝑖3𝑛𝑖=1 =
256
𝑛4
∙
𝑛2(𝑛+1)2
4
 
=
64(𝑛2+2𝑛+1)
𝑛2
 Por lo tanto 
∫ (4 − 𝑥2)𝑑𝑥
2
0
= lim
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = lim𝑛→+∞
64𝑛2+128𝑛+64
𝑛2
= 64 
 
B). Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones tales que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
1
= 3, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
4
= −2, 
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
7
1
= 2. Calcule ∫ [5𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
1
7
. 
 
Solución: 
∫ [5𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
1
7
= 5 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
7
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1
7
= −5 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
1
− ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
7
1
 
= −5 [∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
4
1
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
4
] − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
7
1
= −5[3 − 2] − 2 = −7 
 
 
2. A). Calcular 
lim
𝑥→1
∫ 𝑥√1 + 𝑡2𝑑𝑡
𝑥
1
𝑥2 − 1
 
Solución: 
lim
𝑥→1
∫ 𝑥√1+𝑡2𝑑𝑡
𝑥
1
𝑥2−1
= lim
𝑥→1
𝑥 ∫ √1+𝑡2𝑑𝑡
𝑥
1
𝑥2−1
=
0
0
 Luego aplicando L’Hopital tenemos que 
 
lim
𝑥→1
∫ 𝑥√1 + 𝑡2𝑑𝑡
𝑥
1
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→0
𝑥√1 + 𝑥2 + 1 ∫ √1 + 𝑡2𝑑𝑡
𝑥
1
2𝑥
=
√2
2
 
 
 
B).Calcular la integral definida 
∫ √|𝑥| − 𝑥 𝑑𝑥
1
−1
 
Solución Como |𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 , entonces 
∫ √|𝑥| − 𝑥 𝑑𝑥
1
−1
= ∫ √−𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ √𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= ∫ √−2𝑥 𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 0 𝑑𝑥
1
0
 
= ∫ (−2𝑥)1/2 𝑑𝑥
0
−1
 Sea 𝑢 = −2𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥 ⇒ −
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 y así 
∫ √|𝑥| − 𝑥 𝑑𝑥
1
−1
= −
1
2
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢
0
2
=
1
2
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢
2
0
=
1
2
(
2
3
𝑢
3
2]
0
2
=
1
3
√23 =
2
3
√2 ≈ 0.94281 
 
 
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Instituto de Matemáticas 
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o 
Facultad de Química Farmacéutica 
2016-2 
 
 CALIFICACION 
ALUMNO: SOLUCIÓN Carné: 
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño 
Parcial # 2 Valor: 25% Fecha: 29 septiembre 
3. Verifique la validez del Teorema del valor medio para integrales y 
determine el valor de 𝑐 de la conclusión, para la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
 en [0, 2] 
Solución 
El dominio de 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
 es todos los reales, luego 𝑓(𝑥) es continua en 
todos los reales, en particular es continua en [0, 2]. 
Por lo tanto existe 𝑐 ∈ [0, 2] tal que ∫
𝑥
𝑥2+1
 𝑑𝑥
2
0
= 𝑓(𝑐)(2 − 0) 
Ahora Calculemos la integral indefinida. 
Sea 𝑢 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑢
2
= 𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫
𝑥
𝑥2+1
 𝑑𝑥 =
1
2
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
ln|𝑢| 
=
1
2
ln|𝑥2 + 1| Luego 
∫
𝑥
𝑥2+1
 𝑑𝑥
2
0
=
1
2
ln|𝑥2 + 1|]
0
2 =
1
2
ln 5 −
1
2
ln 1 =
1
2
ln 5, 
Además 𝑓(𝑐) =
𝑐
𝑐2+1
 lo que implica que 
1
2
ln 5 =
2𝑐
𝑐2+1
⇒ 
1
2
ln 5 𝑐2 +
1
2
ln 5 = 2𝑐 
⇒ 
1
2
ln 5 𝑐2 − 2𝑐 +
1
2
ln 5 = 0 ⇒ 𝑐 =
2±√4−(𝑙𝑛5)2
𝑙𝑛5
⇒ 𝑐 ≈ 0.5 y 𝑐 ≈ 1.98 
 
 
 
4. Analice la convergencia o divergencia de la integral impropia 
∫
𝑥
9 − 𝑥2
𝑑𝑥
3
0
 
En caso de ser convergente determine su valor 
 
Solución Primero calculemos la integral indefinida ∫
𝑥
9−𝑥2
𝑑𝑥 
Sea 𝑢 = 9 − 𝑥2 ⇒ 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 ⇒ −
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 luego, 
∫
𝑥
9−𝑥2
𝑑𝑥 = −
1
2
∫
𝑑𝑢
𝑢
= −
1
2
ln|𝑢| = −
1
2
ln|9 − 𝑥2|. Así 
∫
𝑥
9−𝑥2
𝑑𝑥
3
0
= lim
𝑏→3−
∫
𝑥
9−𝑥2
𝑑𝑥
𝑏
0
= lim
𝑏→3−
(−
1
2
ln|9 − 𝑥2|]0
𝑏 
= lim
𝑏→3−
(−
1
2
ln|9 − 𝑏2|) − (−
1
2
ln|9 − 02|) = +∞ +
1
2
ln 9 = +∞ 
Luego 
∫
𝑥
9−𝑥2
𝑑𝑥
3
0
 Diverge 
 
 
5. la convergencia o divergencia de la integral impropia 
∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2 − 1
+∞
1
 
En caso de ser convergente determine su valor 
Solución: 
∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
+∞
1
= lim
𝑎→1+
∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
𝑐
𝑎
+ lim
𝑏→+∞
∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
𝑏
𝑐
 
 = lim
𝑎→1+
𝑠𝑒𝑐−1𝑥]𝑎
𝑐 + lim
𝑏→+∞
𝑠𝑒𝑐−1𝑥]𝑐
𝑏 
 = lim
𝑎→1+
(𝑠𝑒𝑐−1𝑐 − 𝑠𝑒𝑐−1𝑎) + lim
𝑏→+∞
(𝑠𝑒𝑐−1𝑏 − 𝑠𝑒𝑐−1𝑐) 
 = 𝑠𝑒𝑐−1𝑐 − 𝑠𝑒𝑐−11 + 𝑠𝑒𝑐−1(+∞) − 𝑠𝑒𝑐−1𝑐 = 0 +
𝜋
2
=
𝜋
2
 
Luego 
∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
+∞
1
 Converge a 
𝜋
2