14 2 Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas

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ÁREAS DE REGIONES PLANAS EN COORDENADAS CARTESIANAS 
Para encontrar el área de una región plana, nos ayudaremos de la interpretación 
geométrica de la integral definida, es decir: 
  = ( )
b
a
dxxf 
Fórmulas que se deducen de la ecuación anterior. 
  = - ( )
b
a
dxxf 
  = ( ) ( )( ) −
b
a
dxxfxg 
  = ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) −+−
c
b
b
a
dxxgxfdxxfxg 
  =  ( ) ( ) ( ) 
−
→==
b
a
b
a
b
a
dxxfLimdxxfdxxf

 22 0 
  =  ( ) ( ) ( ) 

−
→

−
==
b
b
a
dxxfLimdxxfdxxf
0
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Hallar C  0, 1 tal que el área bajo la misma gráfica de y = x2 desde 0 hasta C sea 
igual al área bajo la misma gráfica desde C hasta 1. 
Resolución 
A1 = 
c
dxx
0
2 A2 = 
1
2
c
dxx 
Por el enunciado igualamos A1 y A2 
A1 = A2 

c
dxx
0
2
 = 
1
2
c
dxx 
1
3
0
3
33
c
c
xx
= 
33
1
3
333 CC
−= 
3
1
3
2
3
=
C
 
2
13 =C 3
2
1
=C 
2. Hallar el área A de la región limitada por y = -x2 + 4x – 3 y las tangentes a esta 
curva en los puntos: (0, -3) y (3, 0) 
 
Resolución: 
y = -(x2 – 4x + 3) 
y = x((x - 2)2 – 1) f’(x) = -2x + 4 
y = 1 – (x - 2)2 
 (x - 2)2 = -(y - 1) 
la gráfica de una parábola 
La ecuación de la recta para (0, -3) 
y + 3 = f’(0) (x) 
y + 3 = 4x 
 y = 4x – 3 
La ecuación de la recta para (3, 0) 
y = f’(3) (x - 3) 
y = -2(x - 3) 
y = -2x + 6 
 
Punto de Intersección 
4x – 3 = -2x + 6 
 6x = 9 
 x = 
2
3 
A = ( ) ( ) ( ) ( ) −+−−+−+−+−−−
3
2
3
2
2
3
0
2 34623434 dxxxxdxxxx 
0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x=[0-1]
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
 
A = ( ) +−
3
2
3
2
2
3
0
2 96 dxxxdxx 
A = 
3
2
3
232
3
0
3
9
2
6
33 





+−+ x
xxx
 
A = 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )




















+−−





+−+
2
39
2
33
3
2
3
3933
3
3
3
2
3
2
3
2
3
3
 
A = 2.25 u2 
 
3. Hallar el área A de la región limitada por: y = ln2x, x = 0, x = 1 y el eje x. 
Resolución 
A = 
1
0
2ln dxx 
A = ln2 x x -  dx
x
x
x
ln
2 
A = x ln2 x – 2  dxxln 
A = 
1
0
 x))-ln x (x 2 x ln2(x 
A = 2u2 
 
4. Hallar el área A de la región limitada por la curva: y = 
x
x
4
ln
, y = x ln x 
Resolución 
A =  





−
1
2
1 4
ln
ln dx
x
x
xx 
I=   −=





−
2
1
ln
4
1ln
4
ln
ln
I
dx
x
x
I
dxxx
dx
x
x
xx 
I1 =   











−





=
x
dxxx
xdxxx
22
lnln
22
 
u = ln x xdx = dv 
du = 
x
dx
 v
x
=
2
2
 
I1 = − dxxx
x
2
1
ln
2
2
 
I1 = 2
2
4
1
ln
2
xx
x
− 
I2 = ( )( ) ( )  





−=
x
dx
xxxdx
x
x
lnlnln
ln
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y=ln(x)*ln(x)
 
 
u = ln x dv
x
dx
= 
du = 
x
dx
 ln x = v 
I2 = 2  = xdx
x
x 2ln
ln
 
I2 =  =
2
lnln 2 x
dx
x
x
 
I = 





−−
2
ln
4
1
4
1
ln
2
2
2
2 x
xx
x
 
A = 
1
2
1
22
2
ln
8
1
4
1
ln
2 





−− xxx
x
 
A = 





+−−−−





−− 2ln
8
1
1ln
8
1
16
1
2ln
8
1
1ln
8
1
1ln
8
1
4
1
1ln
2
1 222 
A = ( ) 22 2ln22ln23
16
1
u+−− 
 
5. Hallar el área A de la región limitada por la curva: y = ln x, y = ln2 x 
Resolución 
Sus puntos de intersección son: 
 ln x = ln2 x 
 ln x – ln2 x = 0 
ln x (1 – ln x) = 0 
 1 – ln x = 0 
ln x = 0 ln x = 1 
 x = 1 x = e 
 
A = ( ) −
e
l
dxxx 2lnln 
I = 
2
2
1
lnln
I
dxx
I
dxx  − 
I1 = ( )( ) ( )  





−=
x
dx
xxxdxx lnln 
 u = ln x dv = dx 
du = 
x
dx
 v = x 
I1 = x ln x – x 
I2 = ( ) ( )
( ) −=
x
dxx
xxxdxx
ln2
lnln 22 
 u = ln2 x dv = dx 
 
 
du = 2 dx
x
xln
 v = x 
I2 = x ln2 (x) – 2  dxxln 
I2 = x ln2 x – 2ln x + 2x 
 I = x ln x –x – (x ln2 x – 2x ln x + 2x) 
A = 
e
l
 x)ln23x x lnx (3x 
A = 3e ln e – 3e – e ln2 – (3 ln l – 3 – ln2 l) 
A = 3e ln e – 3e – e ln2 e + 3 + ln2 l 
A = (3 - e)u2 
 
6. Sea A(n), n > -1, el área de la región limitada por: y = xn ln2 x, x = 0, x = 1 y el eje x, 
hallar A(n) 
Resolución 
A = ( )
1
0
2ln dxxxn
 
 I = ( ) dxxxn 2ln 
 u = ln2 x dv = xn dx 
du = 
x
dxxln2
 v = 
1
1
+
+
n
xn
 
I = ln2 x  











+
−





+
++
x
dxx
n
x
n
x nn ln2
11
11
 
I = 
1
2
1
ln
1
2
ln
1 I
dxxx
n
x
n
x nn

+
−
+
+
 
I1 =  dxxxn ln 
 u = ln x dv = xn dx 
du = 
x
dx
 v = 
1
1
+
+
n
xn
 
I1 = (ln x)  











+
−





+
++
x
dx
n
x
n
x nn
11
11
 
I1 = +
−
+
dxx
nn
x n
1
1
1
ln
 
I1 = 
( )2
11
1
ln
1 +
−
+
++
n
x
x
n
x nn
 
I = 
( ) 







+
−
++
−
+
+++
2
11
2
1
1
ln
11
2
ln
1 n
x
x
n
x
n
x
n
x nnn
 
I = 
( ) ( )3
1
2
1
2
1
1
2
1
ln2
ln
1 +
+
+
−
+
+++
n
x
n
xx
x
n
x nnn
 
 
 
A = 
( ) ( )
1
0
3
1
2
1
2
1
1
ln2
1
ln2
ln
1 







+
+
+
−
+
+++
n
xx
n
xx
x
n
x nnn
 
A = 
( ) ( )
0
1
2
1
1ln2
1ln
1
1
32
2 −







+
+
+
−
+ nnn
 
A = 
( )
2
3
1
2
u
n +
 
 
7. Calcular el área A de la región limitada por la curva xy = 20, x2 + y2 = 4 en el 
primer cuadrante 
 
Resolución: 
 
A =  

+−−
2
0 2
2 20
4
20
dx
x
dxx
x
 
A =  →
+−−
→
b
a
dx
xb
dxx
xa 2
2
2 20lim
4
20
0
lim
 
A = 
  →
+−
→
−
→
2 2
2
2 20lim
4
0
lim20
0
lim
a a
b
dx
xb
dxx
axa
 
A = 
b
a
a
x
b
x
arcsenxx
a
x
a
2
22
2
lim
ln20
2
44
0
lim
0
lim
ln20
→
+











+−
→
−
→
 
A = 20 ln 2 – 2 arc sen 





2
2
 
No consideramos el ultimo sumando porque el área sería infinito. 
 
8. Calcular el área A de la región limitada por la curva y = 
2
16
x
, y = 17 – x2 en el 
primer cuadrante. 
 
Resolución: 
Curvas y = 
2
16
x
; y = 17 – x2 
x2 = - (y - 17) Parabola de 
V: (h1k) = 0.17 
* Hallando los puntos de intersección: 
x2 = 0161717
16 2 =+−−= yyy
y
 
 y = 16 
 y = 1 
 
 
 
Para y = 16  x =  1 
y = 1  x =  4 
 A = ( )
=
=
=





−−
4
1
2
2 16
17
x
x
dx
x
x 
A = ( ) 16
3
1
17
4
16
3
4
417
16
3
17
33
−+−+−=





+−
x
x
x 
A = 18 u2 
 
9. Calcular el área A de la región limitada por la curva y2 = 4x3, y = 2x2 
Resolución 
A =  



 −
1
0
22
3
22 dxxx 
A = 2  



 −
1
0
22
3
dxxx 
A = 2 
1
0
3
2
3
35
2






−
x
x 
A = 2 
15
2
3
1
5
2
=





− 
A = 0.13 u2 
 
10. Calcular el área A de xy = 4 2 , x2 + y2 – 6x = 0 (frontera izquierda); y = 0 y la 
recta y = 2x2- 
Resolución 
 
y = 
x
x4
 ; y = 26 xx − 
A =  







−−
2
0
26
4
dxxx
x
x
 
A = ( ) 







−−−
2
0
2
39
4
dxx
x
x
 
A = 
( )
2
0
2
3
3
963
2
1
ln24 










 −
+−−−
x
arcsenxxxx 
A = ( ) 



















−+−−−













−−+
3
3
90.3
2
1
0ln24
3
1
2
9
2
8
2ln24 arcsenarcsen 
A = 1
2
9
3
1
2
9
22ln24 −−





++ arcsenarcsen 
A = 1
2
9
3
1
2
9
22ln24 arcsenarcsen +++ 
 
 
A = 
22
9
3
1
2
9
22ln24

+++ arcsen 
A = 
4
9
3
1
2
9
22ln24

+++ arcsen 
11. Sea y = f(x) una función tal que, bajo su grafica y encima del eje x, determina una 
región (limitada lateralmente por la recta vertical que pasa por la abscisa x de área 
A, donde: 
A = A(x) = (1 + 3X) 2
1
 - 1, para x  0 
 
Calcular el valor medio de f(x) para x  1, 8 
 
Resolución: 
 
A(x) = ( )( ) ( ) =− dxxfdxxf 0 .............. (1) 
 
Derivando a ambos miembros: 
A’(x) = f(x)  f(x) = ( )( )131 2
1
−+ x
dx
d
 
f(x) = ( ) 2
1
31
2
3 −
+ x  f(x) = xx 31
2
3
+ 
 f(x) = 
x3123
+
 
 
Sabemos por el teorema del valor medio 
Si f(x)  1, 8   C  1, 8 tal que ( ) ( )( ) −=
8
1
18cfdxxf 
 f(c) = 
( ) ( ) ( ) ( )
7718
18
8
1
8
1
AAAf
xdxx −
==
−

 
→ Valor medio de f = f(c) = 
( )( ) ( )( )
7
1311831 2
1
2
1
−+−+
 
Valor medio de f = 
7
3
 
 
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y que biseca al área limitada por 
la curva: y = 6x – x2 y el eje x. 
 
Resolución: 
Como la recta pasa por el origen: 
Tiene la ecuación: y = mx donde m = pendiente 
y = 6x – c2 
(x - 3)2 = - (y - 9)  Puntos de Intersección 
6 – x2 = mx 
 x = 0  x = 6 – m 
 
 
( )
( ) ( )




−=−=
===
mmymx
Pyx
Si
66
0,000 1
 
 P2 = (6 – m, m (6 - m)) 
 Como y = mx biseca al Área 
 
A1 = A2: 
A1 = - ( )( )
−
−






+−−=−−
m
m
x
x
mx
dxxxmx
6
0
6
0
3
2
2
2
3
3
2
6 
A1 = ( )
( ) ( )
3
6
2
6
63
32
3
32
2
6
0
32
2 mm
mm
xmx
x
m
−
−
−
−−=





−−
−
 
A2 = m (6 - m)2 + ( ) ( )
− −
−+





−=−
6
6
2
6
6
3
22 6
3
36
m m
mm
x
xdxxx 
A2 = 18 – 72 – 3 (6 - m)2 + 
( )
3
6
3
m−
 
A1 = A2 
( ) ( )
( )
( )
( )
3
6
6354
3
6
6
2
63
3
2
3
22 m
m
m
m
m
m
−
+−−−=
−
−−−− 
( ) ( ) ( ) 0546
2
6
3
2
66
232
=+−−−−− m
m
mm 
Resolviendo: m = ( )x3 436− 
 
13. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: x2 = 9y – 81, x2 = 4y – 16, x2 = 
y – 1. La región no se interseca con el eje y. 
 
Resolución: 
Se sabe que todas las curvas son parábolas. 
x2 = 9y – 81 
x2 = 9(y - 9) 
Vértice 0, 9 
Cóncavo hacia abajo 
x2 = 4y – 16 
x2 = 4(y - 4) 
 
Vértice 0, 4 
x2 = y – 1 
Vértice 0, 1 
 
Los puntos de intersección entre las curvas se hallan igualando las ecuaciones: 
- Punto de intersección entre x2 = 9y – 81  x2 = 4y – 16 
9y – 81 = 4y – 16 → y = 13 → x =  6 
 
 
 
- Punto de intersección entre x2 = 4y – 16  x2 = y – 1 
4y – 16 = y – 1 → y = 5 → x =  2 
 
- Punto de intersección entre x2 = 9y – 81  x2 = y – 1 
9y – 81 = y – 1 → y = 10 → x  3 
 
 Del gráfico podemos ver que el área es igual A: 
   











+++











+−+=
3
2
6
3
222
2 4
4
9
9
4
4
1 dx
xx
dx
x
x 
    +−−
3
2
3
2
6
3
6
3
22 5
36
5
3
4
3
dxdxxdxdxx 
 −−−
6
3
6
3
3
3
2
3
2
3
5
336
5
3
34
3
x
x
x
x
 
 +−−= 15
4
35
3
4
19
 
=
28u 
 
Pero como la gráfica es simétrica: 
A1 = 2 = 16 u2 
 
14. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: x1/2 + y1/2 = 1; el eje x y el eje 
y. 
Resolución: 
 
1=+ yx x  0 y  0 
 
xy −= 1 
 y = (1 - x ) 
 A = ( ) −
1
0
2
1 dxx 
 x = u2 Si → x = 1 → u = 1 
dx = 2u du Si → x = 0 → u = 0 
 
A = ( ) +
1
0
2
21 duuu 
A = 2 ( ) −+
1
0
23 2 duuuu 
A = 2   −+
1
0
1
0
1
0
23 42 duuduuduu 
 
 
A = 2 
1
0
3
1
0
4
1
0
2
3
4
4
2
2
uuu
−+ 
A = 1 + 
3
4
2
1
− 
A = 2
6
1
u 
 
15. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: x = y3 – 3y2 + 2y + 2, x = 2y2 – 
4y + 2, y = 0, y = 3. 
Resolución: 
Hallando los puntos de intersección: 
 y = 0 , x = 2 
y3 – 3y2 + 2y + 2 = 2y2 – 4y + 2  y = 2, x = 2 
y = 3, x = 8 
 
 Los puntos son: (2, 0) (2, 2) (8, 0) 
A = ( )( ) ( ) ( )( )  ++−−+−++−−++−
2
0
3
2
232223 223242242223 dyyyyyydyyyyyy 
A = 
3
2
2
43
2
0
2
34
3
43
5
3
3
5
4 





−−+





+− y
yy
y
yy
 
A = 4 - 124
3
40
27
4
81
4512
3
40
++−−−++ 
A = 
12
37
 
 
16. Calcular el área A de y3 = x2 (parábola semicubica) y la cuerda que une los puntos 
(-1,1) y (8,4) 
Resolución 
 
A = 
−






−
+
8
1
3/2
3
4
dxx
x
 
A = ( )
−
−+
8
1
3/234
3
1
dxxx 
A =   
− − −
−+
8
1
8
1
8
1
3/2
3
4
3
1
dxxdxxdx 
A = 
8
1
3/58
1
8
1
2
5
3
3
4
23
1
−−−
−+
xxx
 
A = 
5
99
3
36
6
63
−+ 
A = 
5
99
6
135
− 
 
 
A = 
30
81
 
A = 
10
27
 u2 
 
17. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: y = sen2x, y = cos2x, x = 0, x= 
Resolución 
 
A = 8 ( ) −
4
0
22cos

dxxsenx 
 
A = 8 

0
2cos xdx 
A = 4u2 
 
18. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: y = ex y = 
( )21
1
x+
 eje y, x = 1. 
Resolución 
 
A = 
   +++ −−−
 


0
2 3
2
.......|||||| dxsenxedxsenxedxsenxe xxx
 
Para los intervalos de: 
 → 2 
3 → 4 
5 → 6  
 . . |sen x | = - sen x 
 . . 
A =    −+− −−−
 


0
2 3
2
......|||||| dxsenxedxsenxedxsenxe xxx 
 
−−− −−= dxxexedxsenxe xxx coscos|| 
  


 −−−= −−−− dxsenxesenxexedxsenxe xxxx cos|| 
( ) +−= −− senxxedxsenxe xx cos
2
1
|| 
 
A = - ( ) ( ) ( ) ......coscoscos
2
1 3
2
2
0
−+++−+ −−− 




senxxesenxxesenxxe xxx 
A =   +
−
1
0
1
0
21 x
dx
dxex
 
A = 
1
0
1
0 arctgxex − 
 
 
 
A = 2
4
1 ue 





−−

 
 
19. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: y = x, y = x + sen2x, x  0,  
Resolución 
 
A =   −+

0
2 dxxxsenx 
A = 

0
2xdxsen 
A = ( ) −

0
2cos1
2
1
dxx 
A = 

0
4
2
2






−
xsenx
 
A = 
2
2
u

 
 
20. Calcular el área A de la región limitada por las curvas: y = e-x |sen x|; y = 0 y la recta 
x  0. 
Resolución 
 
A = - ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ......111111
2
1 2320 −−−+−−−−− −−−−−  eeeeee 
A = -  .......1
2
1 232 −−−−−−− −−−−−  eeeee 
A = -  ......2212
2
1 32 −−−−− −−−  eee 
A = - .......
2
1 32 ++++ −−−  eee 
e- (1 + e- + e-2 + e-3 + ....) 
A = 





++ −
2
1
2
1
Ae 
 
A(1-e-) = ( )−+ e1
2
1
 
A = 





−
+
=→





−
+
−
−
1
1
2
1
1
1
2
1




e
e
A
e
e
 
 A = 
2
1
 ctgh /2 
 
 
 
 
21. Hallar el área A de la región limitada por las curvas: y = ex, y = e-x, x = 1. 
Resolución: 
 
A = ( )
−−
1
0
dxee xx 
A = 
1
0
x)-e (ex + 
A = e + e-1 – 2 
A = 21
2 u
e
e 





+− 
 
22. Hallar el área encerrada por el lazo de la curva y2 = x (x - 1)2. 
Resolución: 
 
y2 = x (x - 1)2 
y =  x (x - 1) 
x  0, 1 
 
A = 2 ( ) −
1
0
1 dxxx 
A = 2 ( ) −
1
0
1 dxxx 
A = 2 
1
0
2/52/3
5
2
3
2






−
xx
 
A = 
2
15
8
u 
 
 
 
23. Calcular el valor del área de total de la región encerrada por las curvas y = 2x2ex, y = 
-x3ex. 
Resolución: 
 
y = 2x2 ex; y = -x3 ex 
2x2 e x = -x3 e x 
x2 e x (2 + x) = 0  x = 0  x = -2 
Donde: 
02
lim
2 =
→
xex
x
 
0
lim
3 =−
→
xex
x
 
 
 
A = ( ) 
−
−−
0
2
322 dxexex xx 
 = 2  
− −
+
0
2
0
2
32 dxexdxex xx 
 = 2 ex ( ) ( )( )0
2
23
0
2
2 22322
−−
+−−++− xxeexxx xx 
A = 2
2
2
18
u
e
− 
 
24. Calcular el valor del área de total de la región encerrada por las curvas y2 = (1 – x2)3. 
Resolución 
 
 
y =  (1 – x2)3/2 
x  -1, 1 
A = 2 ( ) −
1
1
2/321 x 
x = sen  
A = 2 
2/
2/3
4cos


 d 
A = 2 
2/
2/3
3 3
2
16
3
4
cos












−+ sen
sen
 
A = 
4
3
 
 
25. Calcular el valor del área de total de la región encerrada por las curvas x2/5 + y2/5 = 
a2/5, a > 0. 
Resolución: 
 
 
y =  ( )55/25/2 xa − (Dos ramas) 
En y Si x = 0  y =  a 
En x Si y = 0  x =  a 
 
En el 1° Cuadrante: 
y = ( )5/25/2 xa − x  0, a 
 
En el área 
A = 4 ( ) −
a
dxxa
0
2/55/25/2 
X = 5/2 
 
 
A = ( ) −
5/2
0
2/32/55/2
2
5 a
da   2
5/2
t
a
=
−


 
A = -5a2 
( ) +
0
62
6
1
dt
t
t
  t = Tg8 
A = -5a2 
0
2/
46 cos  dsen 
A = 5a2 
2/
0
46 cos  dsen 
A = 
128
15 2a
 
 
26. Hallar el área A de la región no acotada, limitada por la curva y2 = 
( )2
2
1 x
x
+
, por sus 
asintotas y el eje y. 
Resolución 
 
y =  
21 x
x
+
 
1
1
1
1lim
1
lim
2
2
=
+
→
=
+→
x
xx
x
x
 
A = 4 
+






+
−
0
21
1 dx
x
x
 
I= ( ) ( )   ++−=





+
−
− 22/12
2
11
2
1
1
1 xdxdxdx
x
x
 
I = x - 21 x+ 
A = 4 ( ) ( )
b
b
xx
b
0
2
0
2 1
lim
4x1-x +−
→
=+ 
A = 4
bb
xxbxx
xx
xx
b
0
2
0
2
2
2
1
1lim
4
1
1
1
lim






++
−
→
=








++
++
−+−
→
 
A = 4 





++
+
++
−
→ 010
1
1
1lim
2bbb
 
A = 4u2 
 
 
 
 
 
 
27. Hallar el área A de la región no acotada, limitada por la curva y =  
12 −x
x
 y sus 
asuntotas. Hacer un bosquejo de la grafica. 
Resolución: 
 
x =  1 
x =  
21 y
y
−
 
y =  1 
A = 4 dx
x
x








−
−1
2
1
1
 
A = 4 







−
−→
1
2
1
1
lim
dx
x
x
b
 
A = 4 ( )b
xx
b 1
2 1
lim
−−
→
 
A = 4 
( )( ) b
xx
xxxx
b
1
2
22
1
11lim
−−
+−−−
→
 
A = 4 
( )
b
xxb
1
2 1
1lim








+−
−
→
 
A = 4 





+
+−
−
→ 1
1
1
1lim
2 xbb
 
A = 4 u2 
 
28. Encontrar el valor del área A de la región limitada por y = 0, y = xe-x2 y su ordenada 
máxima (como frontera izquierda) 
Resolución 
 
y = 
2xe
x
 
Puntos críticos: 
y’ = 
( )22
22
2
x
xx
e
xxee −
 
y’ = 
2
1
0
21
2
2
==
−
x
e
x
x
 
 e-x2 = u 
A = 

−
2/1
2dxxe x -x2 = Lnu 
-2xdx = 
u
du
 
 
 
A = 
( )
−
=
− 22
u
xu
xudu
 
A = 

−
2/1
2
2xe
 
A = 2
2
1
u
e
 
 
29. Encontrar el valor del área A de la región limitada por: xy2 = 8 – 4x y su asuntota. 
Resolución 
 
x = 
4
8
2 +y
  2,0x 
A = 2 

+
0
2 4
8
dy
y
 
A = 

+
0
2 42
16
y
dy
 
A = 8 arctg 

02
y
 
A = 4 u2 
 
30. Calcular el área A de la región (no acotada) limitada por la curva y2 = 
( )
xa
axx
−
−
2
2
 y 
por su asuntota (a > 0). 
Resolución 
 
y =  
( )
xa
axx
−
−
2
 x  2a 
A = 2 
( )
 −
−
a
a
dx
xa
xax
2
2
 x = 2a sen2 
A = 2 ( ) −
2/
4/
2424


 dasensenaa 
A = 16a2  −
2/
4/
2
2/
4/
24 8




 dsenadsen 
A = 
12/
4/
232 cos2cos4


 senasena +− 
A = a2 
22
2
u





+

 
 
 
 
 
31. Calcular el área de la región, acotada, limitada por la curva de ecuación: y = (x2 + 
2x)e-x y el eje x. 
Resolución 
 
A = ( )
−
−+
0
2
2 2 dxexx x 
A = ( )
−
−− +
0
2
2 2 dxxeex xx 
A = 
( )

−
−
−
−
+
0
2 2
0
2 1
2
2
I
dxxe
dx
I
ex xx
 
I1 = 
−
−0
2
2
dv
dxe
u
x x
 
u = x2 dv = e-x dx 
du = 2xdx v = -e-x 
I1 = -x2e-x + 2 
− dx
u
x
e x 
u = x dv = e-x dx 
du = dx v = e-x 
I1 = -x2 e-x + 2  
−− +− dxexe xx
 
I1 =  0
2
2 22
−
−−− −−− xxx exeex 
I2 = 2 
−
−
0
2
dxxe x 
u = x dv = e-x dx 
du = dx v = e-x 
I2 = 2  
−− +− dxexe xx
 
I2 = 2  xx exe −− −− 
I1 + I2 =  0
2
2 222
−
−−−−− −−−−− xxxxx exeexeex 
A = I1 + I2 =  0
2
2 44
−
−−− −−− xxx exeex 
A = 4u2 
 
32. Calcular el área de la región no acotada, limitada por la curva: y = (x2 + 2x)e-x y el 
eje x. 
Resolución: 
 
A = ( )

−+
0
2 2 dxexx x
 
A = ( )
−+
→
t
xdxexx
t
0
2 2
lim
 
 
 
A =  t
xxx exeex
t 0
2 44
lim
−−− −−−
→
 
A = -  444
lim
2 −−−
→
−−− ttt exeet
t
 
A = - 4
44lim 2
+





++
→ ttt ee
t
e
t
t
 
A = 4u2 
A = ( )

− −
0
0 dxex x
 
A = 

−
0
dxex x
 
A = 

−
0
2/1 dxex x
 
A = 

−
−
=
0
1
2
3
2
3
rdxex x
 
r =





2
1
 r = función gamma 
A = r
22
1
2
1
2
1
1

=





=





+ r 
 Ar = 2A = 2 
2
2
u

=







 
 
33. Calcular el área de la figura limitada por la curva: y = x2e-2x, y su asintota. 
Resolución 
 
A = 2 

−
0
22 dxex x
 
x2 = t 
2xdx = dt 
A = 2 

−
0
2 t
dt
te t
 
A = 

−
0
2/1 dtet t
 
A = 

−−






=
0
12/3
2
3
dtet t
.......... Función gamma 
 
A =  





=





+
2
1
2
1
1
2
1
 
 
 
A = 
2
1
 
 
34. Calcular el área de la figura limitada por la curva y2 = xe-2x, entre ambas ramas 
Resolución 
 
y2 = xe-2x  y =  xex − 
y’ = x
x
ex
xe
e −
−
+ 
y’ = e-x 0
2
1
=





− x
x
 
0
2
1
=− x
x
 
1 – 2x = 0 
x = ½ 
 
35. Utilizando el área de la región debajo de la gráfica de y = x3, encima del eje x entre 
x = a y x = b, si 0  a < b, probar que: 
a3 (b - a) < ( )abb
ab
−− 3
44
44
 
Resolución 
 
Como a < x < b 
Como 0  a  b 
→ 
0 → a  x  b 
→ 0  a3  x3  3 
  
b
a
b
a
b
a
bdxxdxa 333 Ya que b > a 
Además: a, b > 0 
b
a
b
a
b
a
xb
x
x
xa 3
4
3  
 a3 (b - a) < ( )abb
ab
−− 3
44
44
 
 
36. Hallar el área limitada por y = 1, y = tan h x, x  0 y el eje y. 
Resolución 
 
A = ( )

−
− dxxtanh1 
A = 2 ( )

−
− dxxtanh1 
 
 
 
A = 2 ( )   −−
a
a
xxdxx
0
0|cosh|lntanh1 
A = a – ln (cosh a) 
( )( )aa
a
A
a
coshln
limlim
−
→
=
→
 
A = 
→a
lim













 +
−
−
2
ln
aa ee
a 
A = 
→a
lim





















 +
−
−
2
ln
aa
a ee
ea 
A = 
→a
lim













 +
−−
−
2
1
ln
2ae
aa 
A = - ln 2
2
ln2
2
1
ln
2
1lim
=





−=













 +
→
− ae
a