Area de regiones planas en coordenadas cartesianas y coordenadas polares (1)

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III. Aplicaciones de la Integral Definida
Departamento Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo 2020 - II
Departamento Académico de Matemática (UNALM) III. Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo 2020 - II 1 / 12
Contenido
1 3.1 Área de regiones planas en coordenadas cartesianas y coordenadas polares
2 Área de una región plana
3 En coordenadas cartesianas
4 En coordenadas polares
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Área de una región plana
Problema
Consideremos una región R comprendida entre dos curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a,
x = b, estas funciones continuas con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] ( Ver figura 1).
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Para calcular el área de la región R, dividimos la región R en n fajas de bases iguales y
aproximamos la n-ésima faja por un rectángulo con base ∆x y altura f(x∗i )− g(x∗i ). Una
aproximación del área A esta dada por la suma de Riemann. (Ver figura 2).
n∑
i=1
[f(x∗i )− g(x∗i )]∆x.
que puede ser tomada com mayor precisión si n→ +∞. I.e.
A = ĺım
n→+∞
n∑
i=1
[f(x∗i )− g(x∗i )]∆x.
reconocemos este lı́mite como una integral definida de f − g.
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En coordenadas cartesianas
Definición
El área A de una región limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) y por las rectas verticales
x = a, x = b, donde f y g son funciones continuas con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] (Ver figura
1) esta dada por
A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx.
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Observación
El caso particular cuando g(x) = 0, obtenemos el área comprendida por la curva y = f(x), el
eje X y las rectas verticales x = a e y = b.
En algunos casos es mejor considerar x como una función de y. Es decir, si la región es
limitada por la curvas con ecuaciones x = f(y) y x = g(y) y la rectas horizontales y = c e
y = d, donde f y g son funciones continuas y f(y) ≥ g(y) para todo y ∈ [c, d], entonces su
área A esta dada por
A =
∫ d
c
[f(y)− g(y)]dy.
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Ejemplo 1
Encuentre el área limitada por las parábolas y = x2 y la parábola y = 2x− x2
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Ejemplo 2
Encuentre el área limitada por la recta y = x− 1 y la parábola y2 = 2x+ 6
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En coordenadas polares
Si F es la región limitada por una ecuación polar (Ver figura 3).
F = {(r, θ) ∈ R2;α ≤ θ ≤ β, 0 ≤ r ≤ f(θ)}.
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Definición
El área A de la región F esta dada por
A =
1
2
∫ β
α
f2(θ)dθ.
Y si la región esta definida por dos ecuaciones polares (Ver figura 4)
F = {(r, θ) ∈ R2;α ≤ θ ≤ β, g(θ) ≤ r ≤ f(θ)}.
Entonces el área esta dada por
A =
1
2
∫ β
α
[f2(θ)− g2(θ)]dθ.
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Ejemplo 3
Encuentre el área de la región interior a r = 2a cos 3θ y exterior a la circunferencia r = a, a > 0.
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Ejercicios Propuestos :
1 Encuentre el área de la región limitada por las curvas y = x3 − x y y = 3x.
2 Encuentre el área de la región limitada por las curvas y = cosx, y = sen 3x y las rectas x = 0
y x = π/2.
3 Encuentre el área de la región limitada por la curva r = a cos 4θ.
4 Encuentre el área de la región interior a r = 3 + cos 4θ y exterior a r = 2− cos 4θ.
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	3.1 Área de regiones planas en coordenadas cartesianas y coordenadas polares
	Área de una región plana
	En coordenadas cartesianas 
	En coordenadas polares