Área de una superficie de Revolución

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Aplicaciones de la integral definida
Dpto. Académico de Matemática
UNALM
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Aplicaciones de la integral definida Ciclo: 2020 -II 1 / 7
3.4 Area de una superficie de revolución
Definición
Si y = f (x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b] , el área de la
superficie S generada por rotación, alrededor de la recta y = k, del arco de
la curva y = f (x) en el intervalo [a, b] , es definida por la fórmula
A = 2π
∫ b
a
|y − k|
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx .
En forma análoga, si x = g (y) tiene derivada continua en [c , d ], el área de
la superficie S generada por rotación, alrededor de la recta x = h, del arco
de la curva x = g (y) en el intervalo [c , d ] , es definida por la fórmula
A = 2π
∫ d
c
|x − h|
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy .
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Representación geométrica
eje de revolución
y=k
X
Figure:
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Ejemplo
Determine el área de la superficie generada por rotación de la gráfica de
y = x2 − 4x en el intervalo [2, 4] , alrededor de la recta x = 2.
Solución. Despejando la variable x en términos de y , se tiene
x = 2 +
√
y + 4,
dx
dy
=
1
2
√
y + 4
2
Figure:
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En la Figura observamso que el radio es r = x−2. Por tanto, reemplazando
la derivada y efectuando las operaciones respectiva, tenemos:
A = 2π
∫ 0
−4
(x − 2)
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy .
= π
∫ 0
−4
√
4y + 17dy
=
π
6
(
17
√
17− 1
)
.
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Ejemplo
Determine el área de la superficie generada por rotación de la gráfica de la
función y =
x3
3
+
1
4x
en el intervalo [−3,−1] , alrededor de la recta
x = −4.
Solución. Con el radio r = x + 4 y la diferencial del área de la superficie
dA = 2π (x + 4) ds,
donde, ds =
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx y
dy
dx
=
(
x2 − 1
4x2
)
, tenemos:
A = 2π
∫ −1
−3
(x + 4) ds
= 2π
∫ −1
−3
(x + 4)
√
1 +
(
x2 − 1
4x2
)2
dx
= π (32− ln 3) .
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Ejercicios propuestos
En los ejercicios 1 − 2, determine el área de la superficie generada por
rotación de la gráfica de la función y = f (x) alrededor del eje X .
1 y =
√
4− x2, −2 ≤ x ≤ 2.
2 y = e−x , x ≥ 0.
En los ejercicios 3− 4, determine el área de la superficie generada por
rotación de la gráfica de la función y = f (x) alrededor del eje Y .
3 y = 3
√
x + 2, 1 ≤ x ≤ 8.
4 y = 4− x2, 0 ≤ x ≤ 2.
En los ejercicios 5− 6, determine el área de la superficie generada por
rotación de la gráfica de la función y = f (x).
5 y = −3x , 0 ≤ x ≤ 3 alrededor de la recta y = −3.
6 y = 4− x2, 0 ≤ x ≤ 2 alrededor de la recta x = −2.
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