TP 15 TEORIA 2021 CALCULO DE AREA

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5/8/2021
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Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 15
Calculo de Áreas.
Área de una región plana en coordenadas cartesianas
Se va a definir y calcular el 
área de la región limitada por 
la curva de ecuación y = f(x) , 
el eje x y las rectas de 
ecuación x = a y x = b cuando 
f (x) ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Objetivos: i) Definir A(R) 
ii) Calcular A(R).
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Sea P una partición de [ a, b ]
𝑃 ≡ 𝑥 = 𝑎, 𝑥 , 𝑥 , . . , 𝑥 , . . , 𝑥 , 𝑥 = 𝑏
Con 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 <, . . < 𝑥 < 𝑥
Por cada 𝑥 se traza una vertical hasta que toque la 
curva , quedara asi la región dividida en n franjas 
𝐹 , 𝐹 , 𝐹 , . . , 𝐹 , . . , 𝐹 
 ( 𝐹 ; 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛)
∴ 𝐴 𝑅 = 𝐴(𝐹 )
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Ahora debemos calcular A(Fi)
A(Fi) se aproximara por medio del A(Ri) 
Ri rectángulo i-esimo
Para ello se toma un aumento de P ; 
𝑇 = 𝑡 , 𝑡 , . . , 𝑡 , . . , 𝑡 con 𝑡 ∈
[ 𝑥 , 𝑥 ]
∴ 𝐴 𝑅 ≅ 𝐴(𝐹 )
Cuya base es ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥 y altura 
ℎ = 𝑓(𝑡 )
∴ 𝐴 𝑅 = 𝑓 𝑡 ∆𝑥 𝑖 = 1,2,3, . . , 𝑛
𝐴 𝑅 = 𝐴 𝐹 ≅ 𝐴 𝑅 = 𝑓 𝑡 ∆𝑥
Como mejoramos la aproximación?
∆𝑥 → 0 ⇔ 𝜇 𝑃 → 0
Se define como área de la región R : lim
→
∑ 𝑓 𝑡 ∆𝑥
Si este límite existe sin depender de P ni de T entonces: 𝐴 𝑅 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Y si f es continua en [a, b] : 𝐴 𝑅 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑥 | ( Como calcular)
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Ejemplo: Calcular el área de la región limitada por 
las curvas de ecuación: 
𝑦 = 𝑥 + 1; 𝑥 = 1; 𝑥 = 3 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥
𝐴 𝑅 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 
𝑥
3
+ 𝑥
3
1
=
= 9 + 3 −
1
3
− 1 =
32
3
Otros casos:
I) Si 𝑓 𝑥 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝐴 𝑅 = ∫ −𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
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II) Si f(x) esta definida en [a,b]
𝐴 𝑅 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
III) Si la región llega hasta el eje y
𝐴 𝑅 = 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑦
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IV) Si la región esta limitada por dos curvas.
La región esta limitada por las curvas de ecuación : 
y = f(x) ; y = g(x); x = a ; x = b con 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝐴 𝑅 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Ejemplo: Obtener el área de la región limitada por las curvas 
de ecuación :
𝑦 = 
𝑥 − 1
4
−
1
4
𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 2
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𝐴 𝑅 = 2 −
𝑥 − 1
4
+
1
4
𝑑𝑥 + 2 − 𝑥 𝑑𝑥 =
=
9
4
𝑥 −
𝑥 − 1
12
0
−2
+ 2𝑥 −
2𝑥 /
3
4
0
= 5
V) Si la curva esta dada por las ecuaciones paramétricas 
𝑥 = 𝑓 𝑡
𝑦 = 𝑔 𝑡
con 𝑡 ∈ 𝛼, 𝛽 ,
Donde si ⇒ 
 ⇒ 
𝐴 𝑅 = 𝑔 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
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Ejemplo:
Hallar el área limitada por las ecuaciones 
paramétricas y los ejes coordenados.
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡
1 − 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 −
𝑡
3
1
0
= 1 −
1
3
= 
2
3