14 1 Cálculo de áreas en coordenadas paramétricas

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CALCULO DE AREAS DE REGIONES PLANAS CERRADAS DADA EN 
COORDENADAS PARAMETRICAS 
A) Si las curvas están orientadas en sentido antihorario (+): 
Existen 3 formulas: 
Sea C(t) = ( X (t), Y (t) ) es una curva cerrada tal que C(t1) = C(t2) y t1  t2 , 
entonces el área de la región encerrada por dicha curva esta dado por: 
1. A = 
2
1
)()(´
t
t
dttXtY 
2. A = - 
2
1
)(´)(
t
t
dttXtY 
 Sumando 1 con 2 tenemos: 
2 A = ( ) −
2
1
)(´)()()(´
t
t
dttXtYtXtY 
A = ( ) −
2
1
)(´)()()(´
2
1 t
t
dttXtYtXtY 
Acomodando la expresión: 
3.- A = 
( )
2
1 ´)´(
)()(
2
1 t
t
dt
tYtX
tYtX
 
 
Al operar de esta forma hay que derivar X´(t) y Y´ (t) , se utiliza mas en 
potencias de senos y cosenos. 
B) Si la curva esta orientada en sentido horario (-) , entonces las formulas 
anteriores son validos si la anteponemos el signo (-) 
❖ Ejemplos: 
1) Hallar el área encerrada por la curva: C(t) = (t2 - 2t, t3 - 12t) 
Solución: 
( ) ( )42 CCcomo =− 
( ) 
−−
−−
=
4
2 2
32
12322
122
2
1
dt
tt
tttt
A t
 
( ) ( ) ( ) ( )( )  −−−−−=
4
2
322 121221232
2
1
dtttttttA t
 
( )
4
2
3
4
2
3
4
2
2
32
4
32
12
52
1
−−−






−





+





=
ttt
A t 
( ) 





−−





++





+=
4
16
4
256
2
3
8
3
64
6
5
32
5
1024
2
1
tA 
( )
2
5
648
uA t = 
2) Hallar el área encerrada por la curva C( t ) = (t2 – t, t3 – 3t) 
Solución: 
)2()1( CC =− 
( )
2
1
= tA  −
2
1
dt
tt
tttt
3312
3
2
32
−−
−−
 
( )
2
1
= tA  −
2
1
 - ( ) ( ) ( ) ( ) dttttttt 12333 322 −−−−− 
( )
2
1
= tA  −
2
1
 (3t4 - 3t2 – 3t3 + 3t – 2t4 + t3 + 6t2 – 3t) dt 
( )
2
1
= tA  −
2
1
 (t4 + 3t2 – 2t3) dt 
 = 
1
1
41
1
31
1
5
432
3
5 −−−






−





+





−
ttt
 
( )
2
1
= tA 





+−+++
2
1
818
5
1
5
32
 
( )
2
20
81
uA t = 
3) Hallar el área de las regiones encerradas por las curvas: 
 a) X = 3t2 ; Y = 3t – t3 
Solución: 
( ) = tA 
3
3
( ) ( )  24322 333333 ttttdtttt +−−=−− 
( ) = tA 
3
3
 (3t3 – 3t4 – 3t + 3t2) dt 
( ) = tA −
3
3
 (3t3) dt - −
3
3
 (3 t4) dt - −
3
3
 (3t) dt + −
3
3
 (3t2 ) dt 
 
( ) = tA
3
3
3
3
3
23
3
53
3
4
2
3
5
3
4
3
−−−−
−+− t
ttt
 
 A(t) = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 



 −−−



 −−−



 −−−



 −−
332255
4
4
3333
2
3
33
5
3
33
4
3
 
( )
2
5
372
uA t = 
 
 
b) x = t - t2 ; Y = t3 - 3t 
Solucion: 
Hallando puntos multiples ( ) ( )31,268,4212 +−−=−−→−== tt 
( ) = tA  −
2
1
 (t – t2) (3t2 - 3) dt 
( ) = tA  −
2
1
 (3 t3 – 3t – 3t4 + 3t2 ) dt 
( ) = tA 
1
1
3
1
1
5
1
1
2
1
1
4
5
3
2
3
4
3
−−−−
−−− tttt 
 
( ) = tA ( ) ( ) ( ) ( )18132
5
3
14
2
3
116
4
3
+−+−−−− 
( ) = tA 2
20
81
u 
RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Hallar el área A de las regiones limitadas por las siguientes curvas cerradas 
C: 
( todas las constantes son consideradas positivas). 
a) x = a Cos t, y = b Sen t (Elipse) 
Solución: 
x = 0 → t = AAt 4
2
=

 
x = a → t = 0 
A = 
2
0

 (b Sen t) (a Sen t) dt 
A = ab 
2
0

 (Sen2 t) dt 
A = 
0
8
2
2
2







−
tSen
t
ab
 
A = 
4
ab
 
At = ab  u2 
b) x = a Cos3 t , y = b Sen3 t (Astroide) 
Solucion: 
x = 0 → t = AAt 4
2
=

 
x = a → t = 0 
A = 3 ab 
2
0

 (Cos2 t Sen 2 t ) dt 
A = 3 ab 
2
0

 dt
tCostCos
22
2
21
2
21





 +





 −
 
A = 
8
3ab
 
2
0

 (1 – Cos 2t + Cos2 2t + Cos 2t – 2 Cos2 2t + Cos3 2t) dt 
A = 
8
3ab
 
2
0

 (1 – Cos 2t – Cos2 + Cos3 2t) dt 
A = 
8
3ab
 
0
8
3
6
2
2
2
2
4
2
4
1
2
2















−+





+−−
tSentSentnSe
t
tSen
t 
A = 
8
3ab
 
0
8
2






 t
 
A = 
32
3 ba
 
A = 2
8
3
u
ba





 
 
c) x = a Cos5 t , y = b Sen5 t 
Solución: 
x = 0 → t = AAt 4
2
=

 
x = a → t = 0 
A = 5 ab 
2
0

 (Cos4 t Sen 6 t) dt 
A = 5ab 
2
0

 dt
tCostCos
23
2
21
2
21





 +





 −
 
A = 
32
5 ba

2
0

 (1 + 3 Cos 2t – 3 Cos2 2t + Cos3 2t) (1 + 2 Cos 2t + Cos2 2t) 
dt 
A = 
32
5 ba

2
0

 (1 + 5 Cos 2t + 4 Cos 2 2t – 2 Cos 3 2t – Cos4 2t + Cos5 2t) dt 
A = 
32
5 ba
 
0
8
10
2
3
3
2
3
2
2
64
8
88
4
43
2
3
2
2
4
2
2
25





















+−++−−−−−+++
tSentSentSentSenttSenttSen
tSen
tSen
t
tSen
t A = 
32
5 ba
 
0
8
5
10
2
8
43
22
2
21







+++
tSentSen
tSen
t
 
A = 
512
105 ab
 
2
128
105
u
ab
A 





=

 
d) x = 2 a Cost – a Cos 2t , y = 2 a Sent - a Sen 2t 
t = 0  (a, 0) 
t =   (- 3a, 0) 
A = 

0
(2 Sen t – a Sen 2t) (2a Sen t – 2a Sen 2t) dt 
A = 

0
(4a2 Sen2 t – 4a2 Sen t Sen 2t – 2a2 Sen t Sen 2t + 2a2 Sen2 2t) dt 
A = 2a2 

0
 (2 Sen2 t – 3 Sen t Sen 2t + Sen2 2t) dt 
A = 2a2 

0
  dttSentCostCostSen 





+−− 23
2
3
2 22 
A = 2a2 
08
4
2
3
2
3
2
2
2
3







−−+−
tSentSentSentSent
 
A = 3  a2 
 AT = 6  a2 u2 
2.- Hallar el área A de las regiones encerradas por los lazos de las curvas: 
 a) x = 3t2 , y = 3t - t3 
Solución: 
El punto múltiple séria el (9,0) para t = 3,3 −=+ t 
 A =  −
3
3
(3 t – t3 ) (6t dt) 
A = 
3
3
5
3
5
6
6
−






−
t
t 
A = 36 
5
3108
3 − 
A = 2
5
372
u







 
 
b) x = t + t2 , y = t3 – 3t 
Solución: 
El punto múltiple seria el (2,-2) para t = -2, t = 1 
A =  +−
1
2
3 )21()3( dtttt 
A = 
2
1
3524
3
6
5
2
2
3
4
−






−+−
tttt
 
A = 2
20
81
u





 
 
c) x = t - t2 , y = t3 - 3t 
Solución: 
El punto múltiple seria el (2,2) para t = -1, t =2 
A = ( ) ( ) −
−−
2
1
3 213 dtttt 
A = ( ) −
+−
2
1
243 623 dttttt 
A = 
2
1
3524
3
6
5
2
2
3
4 −






+−−
tttt
 
A = 2
20
81
u





 
d) x = t3 – t , y = t + t2 
Solucion : 
El punto múltiple seria el (0,0) para t = -1, t = 0 
A = ( ) ( ) −
−+
0
1
22 131 dttt 
A = ( ) −
++−−
0
1
432 33 dttttt 
A = 
0
1
5432
5
3
4
3
32 −






++−−
tttt
 
A = 2
60
1
u





 
3.- Hallar el área A de la región encerrada por las curvas: 
b) x = Cos3 t, y = Cos2 t Sen t 
 Solucion: 
El punto múltiple seria el (0,0) para t = 
2
,
2

=− t 
A = 
−
−
2
2


(Cos2 t Sent)(-3 Cos2 t Sen t) dt 
A = 
−
2
2
3


 (Cos4 t Sen 2 t) dt 
A = 
−
2
2
4
3


 (1 + Cos2t)2(1 – Cos 2t) dt 
A = 
−
2
2
4
3


 (1 + Cos2t - Cos2 2t - Cos3 2t) dt 
A = 
4
3
2
2
3
6
2
8
4
2


−





++
tSentSent
 
A = 











2
.
4
3 
 
A = 2
8
3
u




 
 
5.- Hallar el área A de la región limitada por una onda de la cicloide 
(trasladada): 
 c) x = 2 (t – Sen t), y = 2 (1 – Cos t) + 2, y por la recta y = 2 
Solución: 
t = 0, t =  
A = 2 ( )( ) ( )( ) −+−

0
12212 dtCosttCos 
A = 2 ( ) +−−

0
24848 dttCosCostCost 
A = 2

0
2
2
2
4
1048 











++−−
tSen
ttSenSentt 
A = 2 ( )

0
21210 tSentSent +− 
A = 20  - (8 ) * * debajo de y = 2 
A = 12  
6.- Hallar el área A de la región limitada por la curva: (a  0) 
a) 3
2
3
2
3
2
ayx =+ Sug: x = a Cos3 t , y = a Sen 3 t ; t   0, 2  
Solución: 
x = 0 → t = AAt 4
2
=

 
x = a → t = 0 
A = 3a2

2
0

 (Cos2 t Sen 4 t) dt 
A = 3a2

2
0

 dt
tCostCos





 +





 −2
21
2
21
2
 
A = 
8
3 2a

2
0

 (1 – Cos 2t + Cos2 2t + Cos 2t – 2 Cos2 2t + Cos3 2t) dt 
A = 
8
3 2a

2
0

 (1 – Cos 2t - Cos 2 2t + Cos3 2t) dt 
A = 
8
3 2a
 
2/
0
3
6
2
2
2
2
4
2
4
1
2
2 
















−+





+−−
tSentSentSen
t
tSen
t 
A = 
8
3 2a
 
2/
02






 t
 
A = 
32
3 2 a
 
At = 2
2
8
3
u
a





 
 
b) 5
2
5
2
5
2
ayx =+ 
Solución: 
Sug: x = a Cos3 t , y = a Sen3 t ; t   0, 2  
x = 0 → t = AAt 4
2
=

 
x = a → t = 0 
A = 5a2

2
0

 (Cos4 t Sen6 t) dt 
A = 5a2

2
0

 dt
tCostCos
23
2
21
2
21





 +





 −
 
A = 
32
5 2a
 
2
0

 (1 + 3 Cos 2t – 3 Cos2 2t + Cos3 2t) (1 + 2 Cos 2t + Cos2 
2t)dt 
A = 
32
5 2a

2
0

 (1 + 5 cos 2t + 4 Cos2 2t – 2Cos3 2t – Cos4 2t + Cos5 2t) dt 
A = 
32
5 2a
 
2/
010
2
5
3
2
3
2
2
64
8
88
4
43
2
3
2
2
4
2
2
25 




















+−++−−−−−+++
tSentSentSentSenttSenttSen
tSen
tSen
t
tSen
t 
A = 
32
5 2a
 
2/
0
5
10
2
8
43
22
8
21 








+++
tSentSen
tSen
t
 
A = 
512
105 2a
 
2
2
128
105
u
a
A 





=

 
c) 1
45
3
22
=





+




 yx
 Sug : x = 5 Cos t, y = 4 Sen 3 t, t   0, 2  
Solucion: 
A = -4 
2
0

 (4 Sen3 t) (- 5 Sen t) dt 
A = 80 
2
0

dt
tCos
2
2
21





 −
 
A = 20 
2
0

 (1 – 2 Cos 2t + Cos2 t) dt 
A = 20 
2/
08
4
2







++
tSent
t 
 
A = 20 
2/
02
3 





 t
 
A = 15  u2