2022-12-19 Resolución de problemas de examen final de MIEyA_a

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EEM (ESPACIO ESTUDIAR MATEMÁTICA) 
 presenta 
 
Taller “Resolución de problemas de examen 
final de MIEyA” 
 Prof. Vanessa Pereyra 
 
Problema 1. Selena está por hacer un viaje desde Luján hacia la costa y está averiguando para alquilar un 
auto. Averiguó en dos compañías: 
• La compañía A le cobra $9 por kilómetro recorrido sin monto fijo. 
• La compañía B le cobra $7,50 por cada kilómetro recorrido más una suma fija que desconocemos. 
a) Si recorre 1000 km, ambas compañías le cobran lo mismo. ¿Cuál es la suma fija que cobra la compañía 
B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Armá una fórmula correspondiente a la compañía A y otra correspondiente a la compañía B, que 
represente el costo de alquiler en función de los kilómetros recorridos. ¿A partir de qué kilometraje le 
conviene cada compañía? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) La compañía A le ofrece a Selena un 14% de descuento en la tarifa del kilometraje. ¿Cuántos kilómetros 
debe recorrer para que elegir esta compañía sea conveniente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2. Dadas las siguientes matrices: 
𝑨 = (
𝟑 𝟐
𝟓 𝟏
) , 𝑩 = (
𝟑 𝟐
𝟏 𝟓
) , 𝑪 = (
𝟑 𝟏 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
) , 𝑫 = (𝟏 𝟐 𝟎), 𝑬 = (
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
 
𝟏
𝟎
𝟏
) 
a) Hacé un listado con todos los productos posibles entre estas matrices, explicando tu propuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Elegí dos de las posibles multiplicaciones y realizá cada operación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Resolvé el siguiente sistema de ecuaciones: A⋅ (𝒙
𝒚
) = ( 𝟑
−𝟐
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3. Se sabe que la población de aves de cierto bosque no aumenta de manera uniforme por cada 
año transcurrido. La siguiente tabla indica cómo crece la población, donde el tiempo se mide en años. 
 
𝒕 𝒑(𝒕) 
0 200 
1 220 
2 242 
 
a) Proponé una función que represente la población de aves en función del tiempo, explicando las razones 
para tu propuesta. 
 
Sabemos que esta situación no se modeliza con una función lineal, porque la población no aumenta de 
manera uniforme cada año. 
 
En la tabla se observa que, por cada unidad incrementada en 𝑡, la variable 𝑝(𝑡) se multiplica siempre 
por 1,1. Por lo tanto, podemos una función exponencial 𝑓(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑏𝑡. 
 
Como la tabla muestra el valor inicial de población, 𝑎 = 200 y vemos que la base de la función 
exponencial es 1,1. Por lo tanto, 𝑓(𝑡) = 200 ⋅ 1,1𝑡. 
 
b) ¿En cuánto tiempo la población será de 500 aves? 
 
500 = 200 ⋅ 1,1𝑡 
 
500
200
= 1,1𝑡 
 
5
2
= 1,1𝑡 
 
log (
5
2
) = log(1, 1t) 
 
log (
5
2
) = 𝑡 ⋅ log(1,1) 
 
log (
5
2)
log(1,1)
= 𝑡 ≅ 9,61 
 
La población será de 500 aves a los 9,61 días (esto es igual a 9 días y el 61% de un día, o sea, 14,64 horas 
aproximadamente). 
 
c) ¿Cuál es la tasa anual de aumento de la población? 
 
En la tabla se observa que, por cada unidad incrementada en 𝑡, la variable 𝑝(𝑡) se multiplica siempre 
por 1,1. Por lo tanto, la tasa anual de aumento es del 10%. 
 
 
 
 
 
Problema 4. La fábrica Acero de primera produce hasta 140 muebles de 
archivo de acero inoxidable por mes. Contrató una empresa para que estimara 
cuál es el beneficio mensual de producir y vender estos muebles en la localidad 
de Moreno. El informe parcial de esta consultora salió mal impreso, sólo se 
alcanza a ver que los costos fijos son de $5000 por mes y el gráfico del beneficio 
marginal, que es una función cuadrática. 
 
a) Verificá la existencia de un beneficio máximo. ¿Cuál es dicho beneficio? 
 
Para verificar la existencia de un beneficio máximo, necesitamos reconstruir la fórmula de 𝐵′. En el gráfico 
de esta función, que es una cuadrática, vemos que los puntos (11; 2592) y (71; 2592) son puntos 
simétricos. Y resulta que 𝑥 = 41 es valor intermedio entre 𝑥 = 11 y 𝑥 = 71. Por lo tanto, el punto (41; 
5292) es el vértice. 
 
𝐵′(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 41)2 + 5292 
 
Para hallar 𝑎, reemplazamos el punto (11, 2592): 
 
2592 = 𝑎(11 − 41)2 + 5292 
2592 = 𝑎(−30)2 + 5292 
2592 = 𝑎 ⋅ 900 + 5292 
−
2700
900
= 𝑎 = −3 
 
Por lo tanto, 𝐵′(𝑥) = −3(𝑥 − 41)2 + 5292 = −3𝑥2 + 246𝑥 + 249 
 
Para hallar la función 𝐵, integramos 𝐵′: 
 
𝐵(𝑥) = ∫ −3𝑥2 + 246𝑥 + 249 𝑑𝑥 = −𝑥3 + 123𝑥2 + 249𝑥 + 𝐾 
 
Como los costos fijos valen $5000, resulta que 𝐵(0) = −5000. 
 
−5000 = −03 + 123 ⋅ 02 + 249 ⋅ 0 + 𝐾 
 
Por lo tanto, resulta que 
𝐵(𝑥) = −𝑥3 + 123𝑥2 + 249𝑥 − 5000 
 
 
Ahora necesitamos verificar la existencia del beneficio máximo. Vamos a buscar los puntos críticos de 𝐵, 
que son los ceros de 𝐵′. 
 
𝐵′(𝑥) = −3𝑥2 + 246𝑥 + 249 = 0 
 
Usamos la fórmula resolvente para hallar las soluciones de la ecuación (hacer las cuentas). Se obtiene que 
𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 83. Recordemos que 𝑥 representa cantidad de muebles de acero inoxidable y la empresa 
puede producir hasta 140. Por lo tanto, el dominio de la función Beneficio es [0, 140] y descartamos 𝑥 =
−1 por el contexto económico. 
 
Luego, 𝑥 = 83 particiona el dominio de 𝐵′ (que es igual al dominio de 𝐵 por ser funciones polinómicas). 
Los intervalos en donde analizaremos el signo de la derivada son [0, 83) y (83, 140]. Vamos a aplicar el 
criterio de la primera derivada. 
 
𝐵′(𝑥) = −3𝑥2 + 246𝑥 + 249 
 
 [𝟎, 𝟖𝟑) 𝒙 = 𝟖𝟑 (𝟖𝟑, 𝟏𝟒𝟎] 
Signo de 𝑩′ 𝑩′(𝟎) = 𝟐𝟒𝟗 > 𝟎 𝑩′(𝟖𝟑) = 𝟎 𝑩′(𝟖𝟒) = −𝟐𝟓𝟓 
Comportamiento de 𝑩 Es creciente Alcanza un máximo Es decreciente 
 
Para hallar el beneficio máximo: 𝐵(83) = −833 + 123 ⋅ 832 + 249 ⋅ 83 − 5000 = 291227 
 
El beneficio máximo cuando se producen y venden 83 muebles es de $291227. 
 
 
b) Le aconsejan a esta fábrica que mude la planta de producción a la localidad de Luján dado que los costos 
de producción se reducen a $2500 por mes. ¿Cuál sería el beneficio máximo si se muda la producción? 
 
Como ahora 𝐵(0) = −2500 (porque los costos fijos son $2500), haciendo un procedimiento similar al 
que hicimos en el ítem anterior, tenemos que 
 
𝐵(𝑥) = −𝑥3 + 123𝑥2 + 249𝑥 − 2500 
 
El valor de 𝑥 donde la nueva función beneficio alcanza su máximo no cambia (al derivar, el término 
independiente se anula, por lo tanto, obtengo la misma función de beneficio marginal). Lo que sí cambia 
es el beneficio máximo: 
 
𝐵(83) = −833 + 123 ⋅ 832 + 249 ⋅ 83 − 2500 = 293727 
 
El nuevo beneficio máximo es $293727. 
 
c) Si la empresa mudara su producción, evaluaría la posibilidad de producir un mueble más por mes. ¿Cuál 
es el beneficio adicional por producir esa unidad? 
 
Nos preguntan por el beneficio adicional por producir el mueble 141 (recordemos que la empresa puede 
producir hasta 140 muebles por mes). 
𝐵(140) significa beneficio por producir y vender 140 muebles. 
 
𝐵(141) significa beneficio por producir y vender 141 muebles. 
 
El beneficio adicional por producir y vender el mueble 141 es igual a 𝐵(141) − 𝐵(140) ≈ 𝐵′(140) 
 
𝐵(140) = −1403 + 123 ⋅ 1402 + 249 ⋅ 140 − 2500 = −300840 
 
𝐵(141) = −1413 + 123 ⋅ 1412 + 249 ⋅ 141 − 2500 = −325249 
 
𝐵′(140) = −3 ⋅ 1402 + 246 ⋅ 140 + 249 = −24111 
 
𝑩(𝟏𝟒𝟏) − 𝑩(𝟏𝟒𝟎) = −𝟐𝟒𝟒𝟎𝟗 
 
Vemos que el beneficio adicional por producir y vender el mueble 141 es igual a - $24409 (o 
aproximadamente - $24111). 
 
 
Problema 5. Dadas 𝒇(𝒙) = −𝒙(𝒙 + 𝟏) + 𝟐𝟕 y 𝒈(𝒙) =
𝟏
𝟐
 (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓) + 𝟕. 
a) Hallá el área encerrada entre las funciones 𝒇 y 𝒈. 
 
𝑓(𝑥) = −𝑥(𝑥 + 1) + 27 = −𝑥2 − 𝑥 + 27 
 
𝑔(𝑥) =
1
2
 (𝑥 − 4)(𝑥 + 5) + 7 =
1
2
(𝑥2 + 𝑥 − 20) + 7 =
1
2
𝑥2 +
1
2
𝑥 − 3 
 
 
Analizando las fórmulas, vemos que 𝑓 tiene concavidad negativa (ramas de la parábola hacia abajo) y 𝑔 
tiene concavidad positiva (las ramas hacia arriba). 
 
Bosquejo: 
 
 
 
 
 
Para hallar los valores de 𝑥 en los cuales las funciones se intersecan, las igualamos y resolvemos la 
ecuación. 
 
 
−𝑥2 − 𝑥 + 27 =
1
2
𝑥2 +
1
2
𝑥 − 3 
 
−𝑥2 − 𝑥 + 27 −
1
2
𝑥2 −
1
2
𝑥 + 3 = 0 
 
−
3
2
𝑥2 −
3
2
𝑥 + 30 = 0 
 
 
 
 
 
 
∫ (−
3
2
𝑥2 −
3
2
𝑥 + 30)
4
−5
 𝑑𝑥 = −
3
2
𝑥3
3
−
3
2
𝑥2
2
+ 30𝑥= (−
43
2
−
3
4
42 + 30 ⋅ 4) − (−
(−5)3
2
−
3
4
(−5)2 + 30 ⋅ (−5)) 
 
 
= (−32 − 12 + 120) − (
125
2
−
75
4
− 150) = 76 − (−106,25) = 182,25 
 
El área de la región encerrada entre las funciones es de 182,25 unidades cuadradas. 
b) La recta 𝒚 =
𝟏𝟏
𝟐
 𝒙 −
𝟑𝟏
𝟐
, ¿es tangente a 𝒈 para algún valor de 𝒙? 
 
𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2 +
1
2
𝑥 − 3 
 
𝑔′(𝑥) = 𝑥 +
1
2
 
 
Tenemos que determinar si existe un valor de 𝑥 en el que la pendiente de la recta tangente a 𝑔 en ese 𝑥 
sea 11/2. 
𝑥 +
1
2
=
11
2
 
 
𝑥 = 5 
 
Reemplazamos 𝑥 = 5 en 𝑔(𝑥) para saber cuanto vale 𝑦. Por último, reemplazamos 𝑥 e 𝑦 en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
para averiguar 𝑏. 
 
𝑔(5) =
1
2
52 +
1
2
5 − 3 = 12 
 
 
El punto de tangencia es (5;12). Chequeamos si la recta candidata pasa por este punto: 
 
12 =
11
2
 5 −
31
2
 
 
12 = 12 
 
 
La recta propuesta pasa por el mismo punto, por lo tanto, es tangente a g. 
 
 
 
c) ¿Existe algún valor de 𝒙 en el cual la recta tangente a 𝒇 tenga la misma pendiente que la recta tangente 
a 𝒈? En caso afirmativo, mostrá las ecuaciones de las rectas. 
 
Como la derivada de una función da información sobre la pendiente de la recta tangente a la función para 
cada valor de 𝑥, debemos igualar la derivada de 𝑓 y la derivada de 𝑔. (TERMINAR) 
 
 
CONSULTAS PUNTUALES: 
1) Hay un problema donde tengo la función beneficio y la función costo. me piden que averigüe ingreso. Si 
planteo que I(q)=B(q)-C(q), ¿está bien? 
La definición de función beneficio es 𝐵(𝑞) = 𝐼(𝑞) − 𝐶(𝑞) 
 
Si despejamos 𝐼(𝑞): 
𝐵(𝑞) + 𝐶(𝑞) = 𝐼(𝑞) 
 
2) Si tengo que explicar el dominio de 𝑰(𝒒), sería siempre a partir de 0, ¿no? 
Como la variable independiente 𝑞 representa cantidad de algún bien, 𝑞 ≥ 0. El tope en el dominio depende de la 
información que brinde la consigna. 
3) ¿En qué situación debo usar módulo? 
Se aplica módulo cuando se resuelven ecuaciones en las que “se pasa una potencia par como raíz” al otro lado del 
símbolo “=”. 
8𝑥4 = 32768 
𝑥4 = 4096 
|𝑥| = √4096
4
 
|𝑥| = 8 
4) En la función exponencial 𝒇(𝒕) = 𝑨 ⋅ 𝑩𝒕/𝒙, ¿
𝒕
𝒙
 o 𝒙/𝒕? 
Si la variable independiente es 𝑡, es correcto escribir 𝑡/𝑥, donde 𝑥 es un número fijo, que representa cada cuántas 
unidades de 𝑡 se multiplica por la base de la exponencial 𝐵. No se recomienda usar 𝑥.